泛函分析-證明題40個

PAGEPAGE1泛函分析證明題（40個）設是一個度量空間，，證明：若當時，且，則。設是兩個賦范線性空間，是的線性子空間到中的線性算子。證明：若在中某一點處連續(xù)，則在上連續(xù)。設是H空間上的可列規(guī)范正交系，，令，（），證明：收斂的充要條件是收斂。設是H空間上的兩個自伴算子。證明：為自伴算子的充要條件為：。設是線性空間，是一個給定的數(shù)，，令，證明：是線性算子。設，，令，證明：是一個度量空間。設是一個內(nèi)積空間，且，令，證明：，成立設，是定義在上的二元連續(xù)函數(shù)，，令，證明：是有界線性算子。設是內(nèi)積空間的一個規(guī)范正交系，，令。證明：若將展開成級數(shù)（其中是數(shù)）時，只有當時，取最小值。設為復H空間上的有界線性算子。證明：若為自伴算子，那么，，其中為實數(shù)集。設，，，令，證明：是可分度量空間。設，，令，證明：是連續(xù)線性算子。設是任一維線性空間，證明：與線性同構。設是一個內(nèi)積空間，證明：，有。設為復H空間上的有界線性算子，且，是實數(shù)，證明：是自伴算子。設是一個度量空間，，令，證明：也是上的一個度量空間。設，，，且有，證明：存在唯一的，使。設是內(nèi)積空間的閉線性子空間，且，證明：中必有非零元素。在線性空間中，，令，證明：是一個賦范線性空間。設為復內(nèi)積空間上的有界線性算子，證明：的充要條件是成立。設是一個度量空間，是中的兩個點列，且，（），證明：。設，，令，證明：是上的線性算子。設是一個賦范線性空間，令，證明：若在上連續(xù)，則是一個閉集。設是一個內(nèi)積空間，證明：，若，則。設為復H空間上的有界線性算子，證明：為正常算子的充要條件為，成立。設是一個度量空間，是中的任一收斂點列，證明：為中的有界點列。設是度量空間，，且B在A中稠密，證明：以及，，使。設，，令，證明：是到中的一個連續(xù)映射。設是一個賦范線性空間，，令，證明：是一個度量空間。設是復H空間上的有界線性算子，令，，證明：均為上的自伴算子。設是一個度量空間，是中的一個收斂點列，證明：是一個柯西點列。在線性空間中，，令，證明：是一個賦范線性空間。設是兩個賦范線性空間，，證明：是有界算子。設是一個維內(nèi)積空間，是的一個正交系，證明：是的一個線性無關子集。設是復H空間上的有界線性算子，是的笛卡爾分解，證明：為正常算子的充要條件是。設是度量空間中的閉集，證明：有一列開集滿足，，且有。設，，令，證明：是線性算子。設為賦范線性空間的子空間到賦范線性空間中的線性算子，證明：，。設是實線性空間，，令，證明：，。設是H空間上的兩個酉算子，證明：也是酉算子。34、設是希爾伯特空間的兩個酉算子，那么；當時，；是算子；是算子。35、設是賦范線性空