吉林省長春市第一五三中學高二數(shù)學理摸底試卷含解析

吉林省長春市第一五三中學高二數(shù)學理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.記等比數(shù)列的前項和為，若則（

）

A．

9

B．27

C．8

D．8參考答案：A略2.如圖是某四面體ABCD水平放置時的三視圖（圖中網(wǎng)格紙的小正方形的邊長為1，則四面體ABCD外接球的表面積為（）A．20π B． C．25π D．100π參考答案：C【考點】由三視圖求面積、體積．【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；立體幾何．【分析】還原三視圖成直觀圖，得到如圖所示的三棱錐P﹣ABC，其中AC⊥BC，PA⊥平面ABC，AB=BC=2且PA=3．利用線面垂直的判定與性質(zhì)，證出PB是Rt△PAB與Rt△PBC公共的斜邊，從而得到PB的中點O就是多面體的外接球的球心．再根據(jù)勾股定理和球的表面積公式加以計算，可得答案．【解答】解：根據(jù)三視圖的形狀，將該多面體還原成直觀圖，得到如圖所示的三棱錐P﹣ABC．其中△ABC中，AC=4，AB=BC=2，PA⊥平面ABC，PA=3∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC．∵BC⊥AC，PA∩AC=C，∴BC⊥平面PAC結(jié)合PC?平面PAC，得BC⊥PC因此，PB是Rt△PAB與Rt△PBC公共的斜邊，設(shè)PB的中點為0，則OA=OB=OC=OP=PB．∴PB的中點O就是多面體的外接球的球心∵Rt△ABC中，AC⊥BC，AC=BC=2，∴AB=2．又∵Rt△PAB中，PA=3，∴PB==，所以外接球表面積為S=4πR2=25π．故選：C．【點評】本題給出三視圖，求多面體的外接球的表面積．著重考查了三視圖的認識、線面垂直的判定與性質(zhì)、勾股定理和球的表面積公式等知識，屬于中檔題．3.若集合，，則＝()A.

B.

C.

D.參考答案：D4.已知動點對應(yīng)的復數(shù)滿足，且點與點連線的斜率之積為，則等于（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略5.已知F1(2,0)，F(xiàn)2（a,b）為焦點的橢圓經(jīng)過原點，且長軸長為6，那么ab的最大值是(

)A.4

B.8

C.12

D.16參考答案：B6.拋物線C：y2=2px（p＞0）的準線為l，焦點為F，圓M的圓心在x軸的正半軸上，圓M與y軸相切，過原點O作傾斜角為的直線m，交直線l于點A，交圓M于不同的兩點O、B，且|AO|=|BO|=2，若P為拋物線C上的動點，則的最小值為（）A．﹣2 B．2 C． D．3參考答案：B【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】求出p的值，從而求出拋物線方程，求出圓心和半徑可求出⊙M的方程，表示出，然后根據(jù)點在拋物線上將y消去，求關(guān)于x的二次函數(shù)的最小值即可；【解答】解：因為=OA?cos=2×=1，即p=2，所以拋物線C的方程為y2=4x，設(shè)⊙M的半徑為r，則=2，所以⊙M的方程為（x﹣2）2+y2=4設(shè)P（x，y）（x≥0），則=x2﹣3x+2+y2=x2+x+2，所以當x=0時，有最小值為2故選：B【點評】本題主要考查了圓的方程和拋物線方程，以及向量數(shù)量積的最值，屬于中檔題．7.設(shè)a,b,c,d是非零實數(shù)，則“ad=bc”是“a,b,c,d成等比數(shù)列”的（

）（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件參考答案：B8.某容量為180的樣本的頻率分布直方圖共有n(n>1)個小矩形，若第一個小矩形的面積等于其余n--1個小矩形的面積之和的，則第一個小矩形對應(yīng)的頻數(shù)是(

)A.20

B.25

C.30

D.35 參考答案：C9.觀察式子：，，，……則可歸納出式子（）（

）A.

B.C.

D.參考答案：C10.拋物線的準線方程為參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如果函數(shù)，那么函數(shù)的最大值等于

▲

．參考答案：3

12.，則的最小值是

．參考答案：913.設(shè)常數(shù)．若的二項展開式中項的系數(shù)為，則

．參考答案：14.已知拋物線C：y2=4x的焦點F，點P為拋物線C上任意一點，若點A（3，1），則|PF|+|PA|的最小值為．參考答案：4考點：拋物線的簡單性質(zhì)．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；圓錐曲線中的最值與范圍問題．分析：設(shè)點P在準線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|PF|=|PD|進而把問題轉(zhuǎn)化為求|PA|+|PD|取得最小，進而可推斷出當D，P，A三點共線時|PA|+|PD|最小，答案可得．解答：解：拋物線C：y2=4x的準線為x=﹣1．設(shè)點P在準線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|PF|=|PD|，要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最?。擠，P，A三點共線時，|PA|+|PD|最小，為3﹣（﹣1）=4．故答案為：4．點評：本題考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，判斷當D，P，A三點共線時|PA|+|PD|最小，是解題的關(guān)鍵．15.我?；@球隊曾多次獲得全國中學生籃球賽冠軍！在一次比賽中，需把包括我?；@球隊在內(nèi)的7個籃球隊隨機地分成兩個小組（一組3個隊，一組4個隊）進行小組預賽，則我?；@球隊和另6個隊中實力最強的隊分在同一小組的概率為．參考答案：【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】先求出基本事件總數(shù)n=，再求出我?；@球隊和另6個隊中實力最強的隊分在同一小組包含的基本事件個數(shù)m=，由此能求出我?；@球隊和另6個隊中實力最強的隊分在同一小組的概率．【解答】解：包括我?；@球隊在內(nèi)的7個籃球隊隨機地分成兩個小組（一組3個隊，一組4個隊）進行小組預賽，基本事件總數(shù)n=，我?；@球隊和另6個隊中實力最強的隊分在同一小組包含的基本事件個數(shù)為：m=，∴我?；@球隊和另6個隊中實力最強的隊分在同一小組的概率：p===．故答案為：．16.以原點為頂點，坐標軸為對稱軸，并且經(jīng)過點（－2，－4）的拋物線方程是

。參考答案：y2=－8x或x2=－y

略17.已知點M的坐標為（5，θ），且tanθ=﹣，＜θ＜π，則點M的直角坐標為．參考答案：（﹣3，4）【考點】G9：任意角的三角函數(shù)的定義．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求出【解答】解：∵tanθ=﹣，＜θ＜π，∴cosθ=﹣，sinθ=，∴x=5cosθ=﹣3，y=5sinθ=4，∴點M的直角坐標為（﹣3，4），故答案為：（﹣3，4）三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分13分)從含有兩件正品a，b和一件次品c的3件產(chǎn)品中每次任取一件，連續(xù)取兩次，(1)每次取出不放回；求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件是次品的概率．(2)每次取出后放回；求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件是次品的概率．參考答案：(1)每次取出不放回的所有結(jié)果有(a，b)，(a，c)，(b，a)，(b，c)，(c，a)，(c，b)，其中左邊的字母表示第一次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第二次取出的產(chǎn)品，共有6個基本事件，其中恰有一件次品的事件有4個，所以每次取出不放回，取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件是次品的概率為.(2)每次取出后放回的所有結(jié)果：(a，a)，(a，b)，(a，c)，(b，a)，(b，b)，(b，c)，(c，a)，(c，b)，(c，c)共有9個基本事件，其中恰有一件次品的事件有4個，所以每次取出后放回，取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件是次品的概率為.19.已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若，求a的取值范圍.參考答案：（1）見解析；（2）.【分析】（1）求出，分a=0和a＞0時，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．（2）當a＝0時，f（x）＝﹣≤0，符合題意，當a＞0時，利用函數(shù)的最值列出不等式，求解即可；【詳解】（1）由，當a=0時，則f（x）在（0，+∞）上遞減，當a＞0時，令f'（x）＝0得或（負根舍去），令f'（x）＞0得；令f'（x）＜0得，所以f（x）在上遞增，在上遞減．綜上：a=0時，f（x）在（0，+∞）上遞減，a＞0時，f（x）在上遞增，在上遞減（2）由（1）當a＝0時，f（x）＝﹣≤0，符合題意，當a＞0時，，因為a＞0，所以，令,則函數(shù)單調(diào)遞增，又，故得綜上，a的取值范圍為．【點睛】本題考查函數(shù)的導數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，注意分類討論的應(yīng)用與第二問的聯(lián)系，是中檔題20.已知曲線C1：（t為參數(shù)），C2：（θ為參數(shù)）．（1）化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；（2）若C1上的點P對應(yīng)的參數(shù)為t=，Q為C2上的動點，求PQ中點M到直線C1：（t為參數(shù)）距離的最小值．參考答案：【考點】QK：圓的參數(shù)方程；IT：點到直線的距離公式；QJ：直線的參數(shù)方程．【分析】（1）分別消去兩曲線參數(shù)方程中的參數(shù)得到兩曲線的普通方程，即可得到曲線C1表示一個圓；曲線C2表示一個橢圓；（2）把t的值代入曲線C1的參數(shù)方程得點P的坐標，然后把直線的參數(shù)方程化為普通方程，根據(jù)曲線C2的參數(shù)方程設(shè)出Q的坐標，利用中點坐標公式表示出M的坐標，利用點到直線的距離公式表示出M到已知直線的距離，利用兩角差的正弦函數(shù)公式化簡后，利用正弦函數(shù)的值域即可得到距離的最小值．【解答】解：（1）把曲線C1：（t為參數(shù)）化為普通方程得：（x+4）2+（y﹣3）2=1，所以此曲線表示的曲線為圓心（﹣4，3），半徑1的圓；把C2：（θ為參數(shù)）化為普通方程得：+=1，所以此曲線方程表述的曲線為中心是坐標原點，焦點在x軸上，長半軸為8，短半軸為3的橢圓；（2）把t=代入到曲線C1的參數(shù)方程得：P（﹣4，4），把直線C3：（t為參數(shù)）化為普通方程得：x﹣2y﹣7=0，設(shè)Q的坐標為Q（8cosθ，3sinθ），故M（﹣2+4cosθ，2+sinθ）所以M到直線的距離d==，（其中sinα=，cosα=）從而當cosθ=，sinθ=﹣時，d取得最小值．【點評】此題考查學生理解并運用直線和圓的參數(shù)方程解決數(shù)學問題，靈活運用點到直線的距離公式及中點坐標公式化簡求值，是一道綜合題．21.某校要建一個面積為450平方米的矩形球場，要求球場的一面利用舊墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成，且在矩形一邊的鋼筋網(wǎng)的正中間要留一個3米的進出口（如圖）．設(shè)矩形的長為x米，鋼筋網(wǎng)的總長度為y米．（1）列出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出其定義域；（2）問矩形的長與寬各為多少米時，所用的鋼筋網(wǎng)的總長度最小？參考答案：【考點】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．【分析】（1）求出矩形的寬，可得y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出其定義域；（2）用到基本不等式的性質(zhì)注意能否取到“=”．【解答】解：（1）矩形的寬為：米，=定義域為{x|0＜x＜150}注：定義域為{x|0＜x≤150}不扣分（2）y=當且僅當即x=30時取等號，此時寬為：米所以，長為30米，寬為15米，所用的鋼筋網(wǎng)的總長度最?。?2.已知回歸直線方程是：=bx+a，其中=，a=﹣b．假設(shè)學生在高中時數(shù)學成績和物理成績是線性相關(guān)的，若10個學生在高一下學期某次考試中數(shù)學成績x（總分150分）和物理成績y（總分100分）如下：X122131126111125136118113115112Y87949287909683847984（1）試求這次高一數(shù)學成績和物理成績間的線性回歸方程（系數(shù)精確到0