中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點提分特訓(xùn)專題08 圓與幾何綜合問題（解析版）

專題08圓與幾何綜合問題一、【知識回顧】【思維導(dǎo)圖】二、【考點類型】考點1：切線的判定典例1：（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為直徑的SKIPIF1<0分別交SKIPIF1<0邊于點D、F．過點D作SKIPIF1<0于點E(1)求證：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切線；(2)若SKIPIF1<0半徑為5，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）連接SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，可證SKIPIF1<0，再根據(jù)SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，則可得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的半徑，可得SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切線；（2）過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，根據(jù)垂徑定理可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得四邊形SKIPIF1<0為矩形，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的半徑．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切線．（2）過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0為矩形，

SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的長為2．【點睛】本題考查的是切線的判定與性質(zhì)，垂徑定理，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識點，掌握切線的判定定理、垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023秋·河南信陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，SKIPIF1<0是⊙O的直徑，四邊形SKIPIF1<0內(nèi)接于⊙O，D是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長線于點E．(1)求證：SKIPIF1<0是⊙O的切線；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．【答案】(1)見解析(2)1【分析】（1）要證明SKIPIF1<0是⊙O的切線，所以連接SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0即可，根據(jù)已知SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以只要證明SKIPIF1<0即可解答；（2）由（1）可得SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，所以想到過點D作SKIPIF1<0，垂足為F，進(jìn)而證明SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，易證SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，然后進(jìn)行計算即可解答．【詳解】（1）證明：連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是⊙O的半徑，SKIPIF1<0是⊙O的切線．（2）過點D作SKIPIF1<0，垂足為F，由（1）得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0內(nèi)接于⊙O，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，全等三角形的證明，添加輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2021·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，過點C作CE⊥AD交AD的延長線于點E，延長EC，AB交于點F，∠ECD＝∠BCF．（1）求證：CE為⊙O的切線；（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半徑．【答案】（1）見解析；（2）⊙O的半徑是4.5【分析】（1）如圖1，連接OC，先根據(jù)四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，得SKIPIF1<0，再根據(jù)等量代換和直角三角形的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，由切線的判定可得結(jié)論；（2）如圖2，過點O作SKIPIF1<0于G，連接OC，OD，則SKIPIF1<0，先根據(jù)三個角是直角的四邊形是矩形得四邊形OGEC是矩形，設(shè)⊙O的半徑為x，根據(jù)勾股定理列方程可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖1，連接OC，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴SKIPIF1<0又SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵OC是⊙O的半徑，∴CE為⊙O的切線；（2）解：如圖2，過點O作SKIPIF1<0于G，連接OC，OD，則SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴四邊形OGEC是矩形，∴SKIPIF1<0，設(shè)⊙O的半徑為x，Rt△CDE中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴⊙O的半徑是4.5．【點睛】本題考查的是圓的綜合，涉及到圓的切線的證明、勾股定理以及矩形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【變式3】（2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模）如圖，已知SKIPIF1<0內(nèi)接于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直徑，SKIPIF1<0的平分線交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長線于點SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)求證：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切線；(3)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的半徑和SKIPIF1<0的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)15，SKIPIF1<0【分析】（1）由圓周角定理及已知條件進(jìn)行等量代換，然后利用內(nèi)錯角相等兩直線平行證明即可．（2）利用角平分線及圓周角定理得出SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，再利用垂徑定理及平行線的性質(zhì)推導(dǎo)得出SKIPIF1<0為直角，即可證明．（3）先證明SKIPIF1<0，然后利用勾股定理計算得出SKIPIF1<0的長，再利用平行線所截線段成比例求出SKIPIF1<0．【詳解】（1）證明：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）證明：連接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的半徑，∴SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切線；（3）解：如圖，設(shè)SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由勾股定理，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的半徑為15；∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直徑，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由勾股定理，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．方法二：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的半徑為15；求SKIPIF1<0長的步驟同上．【點睛】本題主要考查平行的判定，圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，切線的證明以及相似三角形，掌握切線的證明，相似三角形的判定及計算是解決本題的關(guān)鍵．考點2：與線段有關(guān)的問題典例2：（遼寧省大連市金普新區(qū)2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷）如圖，以SKIPIF1<0的邊SKIPIF1<0為直徑作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長度．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）由四邊形SKIPIF1<0內(nèi)接于SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，根據(jù)已知SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，等量代換得出SKIPIF1<0，根據(jù)等角對等邊，即可得證；（2）根據(jù)SKIPIF1<0為直徑，得出SKIPIF1<0，根據(jù)已知以及（1）的結(jié)論，得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，根據(jù)SKIPIF1<0相等，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形SKIPIF1<0內(nèi)接于SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：如圖所示，連接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0為直徑，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由（1）可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形對角互補，直徑所對的圓周角是直角，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023秋·山東濱州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為切點，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直徑，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0．求證：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)切線長定理得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)三線合一得出SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直徑，得出SKIPIF1<0，即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論得出SKIPIF1<0，進(jìn)而得出SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0得出SKIPIF1<0，即可得證．【詳解】（1）證明：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切線，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直徑∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）證明：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了切線長定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022·江西萍鄉(xiāng)·?？寄M預(yù)測）如圖，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外接圓，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，P是SKIPIF1<0上的一動點．(1)當(dāng)SKIPIF1<0的度數(shù)為多少時，SKIPIF1<0；(2)若以動點P為切點的切線為SKIPIF1<0，那么當(dāng)SKIPIF1<0的度數(shù)為多少時，切線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0一邊平行？【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，再由圓周角定理，即可求解；（2）分三種情況：當(dāng)SKIPIF1<0時，連接SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，并反向延長SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點E；當(dāng)SKIPIF1<0時，反向延長SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點F，連接SKIPIF1<0，結(jié)合切線的性質(zhì)，垂徑定理以及圓周角定理，即可求解．【詳解】（1）解：在SKIPIF1<0中，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；（2）解：①如圖2，當(dāng)SKIPIF1<0時，連接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0切SKIPIF1<0于點P，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是半徑，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；②如圖3，當(dāng)SKIPIF1<0時，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，并反向延長SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點E，∵SKIPIF1<0切SKIPIF1<0于點P，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；③如圖4，當(dāng)SKIPIF1<0時，反向延長SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點F，連接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0切SKIPIF1<0于點P，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；終上所述，SKIPIF1<0的度數(shù)為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，垂徑定理，三角內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握圓周角定理，切線的性質(zhì)，垂徑定理，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·安徽合肥·九年級合肥壽春中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在SKIPIF1<0中，直徑為SKIPIF1<0，正方形SKIPIF1<0的四個頂點分別在半徑SKIPIF1<0、SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0上，并且SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長度；(2)若半徑是5，求正方形SKIPIF1<0的邊長．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）由四邊形SKIPIF1<0為正方形，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，再連接SKIPIF1<0，構(gòu)造直角三角形，求出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的長，然后利用勾股定理即可求出圓的半徑，可得SKIPIF1<0．（2）證出SKIPIF1<0是等腰直角三角形，得出SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，再根據(jù)勾股定理求出SKIPIF1<0的長即可．【詳解】（1）解：SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為直角三角形，∴SKIPIF1<0，∴即SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，則正方形SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0．【點睛】此題考查了圓的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證出SKIPIF1<0是等腰直角三角形，得出SKIPIF1<0，作出輔助線，利用勾股定理求解．考點3：與角度有關(guān)的問題典例3：（2022·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直徑，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一條弦，SKIPIF1<0連接SKIPIF1<0(1)求證：SKIPIF1<0(2)連接SKIPIF1<0,過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長線于點SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，求證：直線SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的切線．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）設(shè)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，故可得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0；（2）連接AD，解出SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0為直徑得到SKIPIF1<0，進(jìn)而得到SKIPIF1<0，即可證明SKIPIF1<0，故可證明直線SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的切線．【詳解】（1）證明：設(shè)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由題可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）證明：連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理可得：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，∵點H是CD的中點，點F是AC的中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的直徑，

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的切線．【點睛】本題主要考查三角形全等的判定與性質(zhì)，同弧所對的圓周角相等，圓周角定理，直線平行的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和公式，證明三角形全等以及證明平行線是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為直徑作⊙SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0邊于點SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上取一點SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，作射線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0邊于點SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的長．【答案】(1)見解析(2)BF=5，SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，得到∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，根據(jù)SKIPIF1<0，得到∠B=∠BCF，推出∠A=∠ACF；（2）根據(jù)∠B=∠BCF，∠A=∠ACF，得到AF=CF，BF=CF，推出AF=BF=SKIPIF1<0AB，根據(jù)SKIPIF1<0，AC=8，得到AB=10，得到BF=5，根據(jù)SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，連接CD，根據(jù)BC是⊙O的直徑，得到∠BDC=90°，推出∠B+∠BCD=90°，推出∠A=∠BCD，得到SKIPIF1<0，推出SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，根據(jù)∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，得到∠FDE=∠B，推出DE∥BC，得到△FDE∽△FBC，推出SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0．【詳解】（1）解：∵SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，∵SKIPIF1<0，∴∠B=∠BCF，∴∠A=∠ACF；（2）∵∠B=∠BCF，∠A=∠ACF∴AF=CF，BF=CF，∴AF=BF=SKIPIF1<0AB，∵SKIPIF1<0，AC=8，∴AB=10，∴BF=5，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，連接CD，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BDC=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，∴∠FDE=∠B，∴DE∥BC，∴△FDE∽△FBC，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【點睛】本題主要考查了圓周角，解直角三角形，勾股定理，相似三角形，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握圓周角定理及推論，運用勾股定理和正弦余弦解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)．【變式2】（2021·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外接圓，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直徑，SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0；（2）連接SKIPIF1<0并延長，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0的半徑為5，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的長．【答案】（1）見詳解；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【分析】（1）由題意易得SKIPIF1<0，然后問題可求證；（2）由題意可先作圖，由（1）可得點E為BC的中點，則有SKIPIF1<0，進(jìn)而可得SKIPIF1<0，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】（1）證明：∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直徑，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：由題意可得如圖所示：由（1）可得點E為BC的中點，∵點O是BG的中點，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0的半徑為5，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【點睛】本題主要考查垂徑定理、三角形中位線及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握垂徑定理、三角形中位線及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2020·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圓，BO的延長交邊AC于點D．（1）求證：∠BAC=2∠ABD；（2）當(dāng)△BCD是等腰三角形時，求∠BCD的大?。唬?）當(dāng)AD=2，CD=3時，求邊BC的長．【答案】（1）證明見解析；（2）∠BCD的值為67.5°或72°；（3）SKIPIF1<0．【分析】(1)連接OA．利用垂徑定理以及等腰三角形的性質(zhì)解決問題即可．(2)分三種情形：①若BD=CB，則∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．②若CD=CB，則∠CBD=∠CDB=3∠ABD．③若DB=DC，則D與A重合，這種情形不存在．分別利用三角形內(nèi)角和定理構(gòu)建方程求解即可．(3)如圖3中，作AESKIPIF1<0BC交BD的延長線于E．則SKIPIF1<0，進(jìn)而得到SKIPIF1<0，設(shè)OB=OA=4a，OH=3a，根據(jù)BH2=AB2-AH2=OB2-OH2，構(gòu)建方程求出a即可解決問題．【詳解】解：(1)連接OA，如下圖1所示：∵AB=AC，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴OA⊥BC，∴∠BAO=∠CAO．∵OA=OB，∴∠ABD=∠BAO，∴∠BAC=2∠ABD．(2)如圖2中，延長AO交BC于H．①若BD=CB，則∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠DBC=2∠ABD．∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°，∴8∠ABD=180°，∴∠C=3∠ABD=67.5°．②若CD=CB，則∠CBD=∠CDB=3∠ABD，∴∠C=4∠ABD．∵∠DBC+∠C+∠CDB=180°，∴10∠ABD=180°，∴∠BCD=4∠ABD=72°．③若DB=DC，則D與A重合，這種情形不存在．綜上所述：∠C的值為67.5°或72°．(3)如圖3中，過A點作AESKIPIF1<0BC交BD的延長線于E．則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，且BC=2BH，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，設(shè)OB=OA=4a，OH=3a．則在Rt△ABH和Rt△OBH中，∵BH2=AB2﹣AH2=OB2﹣OH2，∴25-49a2=16a2﹣9a2，∴a2=SKIPIF1<0，∴BH=SKIPIF1<0，∴BC=2BH=SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．【點睛】本題屬于圓的綜合題，考查了垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．考點3：與三角函數(shù)有關(guān)的計算典例3：（2022·江蘇蘇州·蘇州市振華中學(xué)校?？级＃┤鐖D，AB是⊙O的弦，C為⊙O上一點，過點C作AB的垂線與AB的延長線交于點D，連接BO并延長，與⊙O交于點E，連接EC，SKIPIF1<0．(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求AB的長．【答案】(1)見解析；(2)SKIPIF1<0．【分析】（1）連接OC，利用三角形的外角定理得到：SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，可證明SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，進(jìn)一步可得SKIPIF1<0；（2）分析可得：SKIPIF1<0，再利用同弧所對圓周角相等可知：SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可求出AB．【詳解】（1）證明：連接OC，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴CD是⊙O的切線；（2）解：連接AC，BC，∵BE是⊙O的直徑，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【點睛】本題考查切線的判定，解直角三角形，第（1）問證CD是⊙O的切線，關(guān)鍵是證明SKIPIF1<0；第（2）問的關(guān)鍵是證明SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【變式1】（2020·廣西柳州·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一點，連接AC、BC，OD⊥BC于點E，交⊙O于點D，連接CD、AD，AD與BC交于點F，CG與BA的延長線交于點G．（1）求證：△ACD∽△CFD；（2）若∠CDA＝∠GCA，求證：CG為⊙O的切線；（3）若sin∠CAD＝SKIPIF1<0，求tan∠CDA的值．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）SKIPIF1<0．【分析】（1）由垂徑定理得SKIPIF1<0，由圓周角定理得∠CAD＝∠FCD，再由公共角∠ADC＝∠CDF，即可得出△ACD∽△CFD；（2）連接OC，由圓周角定理得∠ACB＝90°，則∠ABC+∠CAB＝90°，由等腰三角形的性質(zhì)得∠OBC＝∠OCB，證出∠OCB＝∠GCA，得出∠OCG＝90°，即可得出結(jié)論；（3）連接BD，由圓周角定理得∠CAD＝∠CBD，則sin∠CAD＝sin∠CBD＝SKIPIF1<0，設(shè)DE＝x，OD＝OB＝r，則OE＝r﹣x，BD＝3x，由勾股定理得BE＝SKIPIF1<0，則BC＝2BE＝SKIPIF1<0，在Rt△OBE中，由勾股定理得(r﹣x)2+(SKIPIF1<0)2＝r2，解得r＝SKIPIF1<0，則AB＝2r＝9x，由勾股定理求出AC＝7x，由三角函數(shù)定義即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵OD⊥BC，∴SKIPIF1<0,∴∠CAD＝∠FCD，又∵∠ADC＝∠CDF，∴△ACD∽△CFD；（2）證明：連接OC，如圖1所示：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠CAB＝90°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠CDA＝∠OBC，∠CDA＝∠GCA，∴∠OCB＝∠GCA，∴∠OCG＝∠GCA+∠OCA＝∠OCB+∠OCA＝90°，∴CG⊥OC，∵OC是⊙O的半徑，∴CG是⊙O的切線；（3）解：連接BD，如圖2所示：∵∠CAD＝∠CBD，∵OD⊥BC，∴sin∠CAD＝sin∠CBD＝SKIPIF1<0，BE＝CE，設(shè)DE＝x，OD＝OB＝r，則OE＝r﹣x，BD＝3x在Rt△BDE中，BE＝SKIPIF1<0，∴BC＝2BE＝SKIPIF1<0,在Rt△OBE中，OE2+BE2＝OB2，即(r﹣x)2+(SKIPIF1<0)2＝r2，，解得：r＝SKIPIF1<0，∴AB＝2r＝9x，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，∴AC2+(SKIPIF1<0)2＝(9x)2，∴AC＝7x或AC＝﹣7x（舍去），∴tan∠CDA＝tan∠CBA＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定，三角函數(shù)等知識．本題綜合性比較強，熟練掌握圓周角定理，垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2020·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，C為BA延長線上一點，CD是⊙O的切線，D為切點，OF⊥AD于點E，交CD于點F．（1）求證：∠ADC=∠AOF；（2）若sinC=SKIPIF1<0，BD=8，求EF的長．【答案】（1）見解析；（2）2．【分析】（1）連接OD，根據(jù)CD是⊙O的切線，可推出∠ADC+∠ODA=90°，根據(jù)OF⊥AD，∠AOF+∠DAO=90°，根據(jù)OD=OA，可得∠ODA=∠DAO，即可證明；（2）設(shè)半徑為r，根據(jù)在Rt△OCD中，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，AC=2r，由AB為⊙O的直徑，得出∠ADB=90°，再根據(jù)推出OF⊥AD，OF∥BD，然后由平行線分線段成比例定理可得SKIPIF1<0，求出OE，SKIPIF1<0，求出OF，即可求出EF．【詳解】（1）證明：連接OD，∵CD是⊙O的切線，∴OD⊥CD，∴∠ADC+∠ODA=90°，∵OF⊥AD，∴∠AOF+∠DAO=90°，∵OD=OA，∴∠ODA=∠DAO，∴∠ADC=∠AOF；（2）設(shè)半徑為r，在Rt△OCD中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵OA=r，∴AC=OC-OA=2r，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，又∵OF⊥AD，∴OF∥BD，∴SKIPIF1<0，∴OE=4，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，銳角三角函數(shù)，切線的性質(zhì)，直徑所對的圓周角是90°，靈活運用知識點是解題關(guān)鍵．【變式3】（2022·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點F在弧BC上，AF與CD交于點G，點H在DC的延長線上，且HG=HF，延長HF交AB的延長線于點M．(1)求證：HF是⊙O的切線；(2)若SKIPIF1<0，BM=1，求AF的長．【答案】(1)見解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）連接OF，根據(jù)CD⊥AB，可得∠A+∠AGE=90°，再由HG=HF，可得∠HFG=∠AGE，然后根據(jù)OA=OF，可得∠A=∠OFA，即可求證；（2）連接BF，先證得△BFM∽△FAM，可得SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0，可得OM=5，AM=9，AB=8，F(xiàn)M=3，從而得到SKIPIF1<0，然后由勾股定理，即可求解．【詳解】（1）證明：連接OF，∵CD⊥AB，∴∠AEG=90°，∴∠A+∠AGE=90°，∵HG=HF，∴∠HFG=∠HGF，∵∠HGF=∠AGE，∴∠HFG=∠AGE，∵OA=OF，∴∠A=∠OFA，∴∠OFA+∠HFG=90°，即∠OFH=90°，∴HF是⊙O的切線；（2）解：如圖，連接BF，由（1）得：∠OFM=90°，∴∠BFO+∠BFM=90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AFB=90°，∴∠A+∠ABF=90°，∵OB=OF，∴∠ABF=∠BFO，∴∠BFM=∠A，∵∠M=∠M，∴△BFM∽△FAM，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵BM=1，OB=OF，∴SKIPIF1<0，解得：OF=4，∴OM=5，AM=9，AB=8，∴FM=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．【點睛】本題主要考查了圓的綜合題，熟練掌握切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，理解銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練一、單選題1．（2022秋·江蘇徐州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，SKIPIF1<0的直徑SKIPIF1<0與弦SKIPIF1<0的延長線交于點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0＝()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據(jù)示意圖結(jié)合已知條件可得出SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0，即可得出SKIPIF1<0，計算即可得出答案．【詳解】解：∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0故選：A．【點睛】本題考查的知識點是圓的綜合題目，根據(jù)示意圖得出SKIPIF1<0是解此題的關(guān)鍵．2．（2023春·九年級課時練習(xí)）已知SKIPIF1<0過正方形SKIPIF1<0頂點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且與SKIPIF1<0相切，若正方形邊長為SKIPIF1<0，則圓的半徑為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，在直角SKIPIF1<0中根據(jù)勾股定理即可得到一個關(guān)于半徑的方程，即可求得．【詳解】解析：如圖，作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，設(shè)圓的半徑是SKIPIF1<0，則在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故選：B．【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理以及勾股定理，在圓的有關(guān)半徑、弦長、弦心距之間的計算一般要轉(zhuǎn)化為直角三角形的計算．3．（2017·山東青島·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，則∠BCD的度數(shù)為()A．100° B．110° C．115° D．120°【答案】B【分析】連接AD，BD，由圓周角定理可得∠ABD＝20°，∠ADB＝90°，從而可求得∠BAD＝70°，再由圓的內(nèi)接四邊形對角互補得到∠BCD=110°.【詳解】如下圖，連接AD，BD，∵同弧所對的圓周角相等，∴∠ABD=∠AED＝20°，∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°-20°=70°，∴∠BCD=180°-70°=110°.故選B【點睛】本題考查圓中的角度計算，熟練運用圓周角定理和內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是關(guān)鍵.4．（2022秋·江蘇無錫·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點，AE是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，且AC平分∠PAE，過C作CD⊥PA，垂足為D．且DC＋DA＝12，⊙O的直徑為20，則AB的長等于(

)A．8 B．12 C．16 D．18【答案】B【分析】過O作OF⊥AB，垂足為F，連接OC，根據(jù)圓的基本性質(zhì)和角平分線的定義，可得∠DAC=∠OCA，從而得到OC⊥CD，得到四邊形DCOF為矩形，從而得到OC=FD，OF=CD，然后設(shè)AD=x，則OF=CD=12-x，AF=10-x，在Rt△AOF中，由勾股定理得到AD=4，從而得到AF=6再由垂徑定理，即可求解．【詳解】解：過O作OF⊥AB，垂足為F，連接OC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵AC平分∠PAE，∴∠DAC=∠CAO，∴∠DAC=∠OCA，∴PB∥OC，∵CD⊥PA，∴OC⊥CD，∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，∴四邊形DCOF為矩形，∴OC=FD，OF=CD，∵DC+DA=12，設(shè)AD=x，則OF=CD=12-x，∵⊙O的直徑為20，∴DF=OC=10，∴AF=10-x，在SKIPIF1<0中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2，即（10-x）2+（12-x）2=102，解得：SKIPIF1<0（不合題意，舍去），∴AD=4，∴OF=8，∴SKIPIF1<0，∵OF⊥AB，由垂徑定理知，F(xiàn)為AB的中點，∴AB=2AF=12．故選：B【點睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，矩形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．5．（2018秋·湖北武漢·九年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，CE平分∠ACB交⊙O于E，∠E＝30°，交AB于點D，連接AE，則S△ADC∶S△ADE的比值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】C【詳解】試題解析：過C作CF⊥AB于F，連接OE，設(shè)AC=a，∵AB是SKIPIF1<0的直徑，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∵CE平分∠ACB交O于E,∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0,∴OE⊥AB，SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選C.6．（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，圓SKIPIF1<0的兩條弦SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的延長線交于點SKIPIF1<0，下列結(jié)論中成立的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<