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第四節(jié)無窮小與無窮大1第1頁,課件共20頁,創(chuàng)作于2023年2月【無窮小產(chǎn)生的背景——第二次數(shù)學(xué)危機】芝諾提出的四個著名的悖論:第一個悖論是說運動不存在,理由是運動物體到達目的地之前必須到達半路,而到達半路之前又必須到達半路的半路……如此下去,它必須通過無限多個點,這在有限長時間之內(nèi)是無法辦到的。第二個悖論是跑得很快的阿希里趕不上在他前面的烏龜。因為烏龜在他前面時,他必須首先到達烏龜?shù)钠瘘c,然后用第一個悖論的邏輯,烏龜總在他的前面。這兩個悖論是反對空間、時間無限可分的觀點的2第2頁,課件共20頁,創(chuàng)作于2023年2月第四個悖論是游行隊伍悖論,內(nèi)容大體相似第三個悖論是說“飛矢不動”,因為在某一時間間隔,飛矢總是在某個空間間隔中確定的位置上,因而是靜止的。這兩個悖論是反對空間、時間由不可分的間隔組成這說明希臘人已經(jīng)看到“無窮小”與“很小很小”的矛盾。當(dāng)然他們無法解決這些矛盾。十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)思想的確是不嚴密的、直觀的、強調(diào)形式的計算,而不管基礎(chǔ)的可靠與否,其中特別是:沒有清楚的無窮小概念,因此導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念不清楚;對無窮大的概念也不清楚;發(fā)散級數(shù)求和的任意性;符號使用的不嚴格性;不考慮連續(xù)性就進行微分,不考慮導(dǎo)數(shù)及積分的存在性以及可否展成冪級數(shù)等等。例如以求速度為例,瞬時速度是Δs/Δt當(dāng)Δt趨向于零時的值。Δt是零、是很小的量,還是什么東西?這個無窮小量究竟是不是零?這引起了極大的爭論,從而引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機。3第3頁,課件共20頁,創(chuàng)作于2023年2月一直到十九世紀(jì)二十年代,一些數(shù)學(xué)家才開始比較關(guān)注于微積分的嚴格基礎(chǔ)。它們從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里克萊等人的工作開始,最終由威爾斯特拉斯、戴德金和康托爾徹底完成,中間經(jīng)歷了半個多世紀(jì),基本上解決了矛盾,為數(shù)學(xué)分析奠定了一個嚴格的基礎(chǔ)。波爾查諾不僅承認無窮小數(shù)和無窮大數(shù)的存在,而且給出了連續(xù)性的正確定義??挛髟?821年的《代數(shù)分析教程》中從定義變量開始,認識到函數(shù)不一定要有解析表達式。他抓住了極限的概念,指出無窮小量和無窮大量都不是固定的量而是變量,并定義了導(dǎo)數(shù)和積分;阿貝爾指出要嚴格限制濫用級數(shù)展開及求和;狄里克萊給出了函數(shù)的現(xiàn)代定義。在這些數(shù)學(xué)工作的基礎(chǔ)上,維爾斯特拉斯消除了其中不確切的地方,給出現(xiàn)在通用的ε-δ的極限、連續(xù)定義,并把導(dǎo)數(shù)、積分等概念都嚴格地建立在極限的基礎(chǔ)上,從而克服了危機和矛盾。十九世紀(jì)七十年代初,威爾斯特拉斯、戴德金、康托爾等人獨立地建立了實數(shù)理論,而且在實數(shù)理論的基礎(chǔ)上,建立起極限論的基本定理,從而使數(shù)學(xué)分析終于建立在實數(shù)理論的嚴格基礎(chǔ)之上了。4第4頁,課件共20頁,創(chuàng)作于2023年2月一、無窮小1.【直觀定義】極限為零的變量稱為無窮小5第5頁,課件共20頁,創(chuàng)作于2023年2月【例如】【注意】(1)無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;(2)零是可以作為無窮小的唯一的常數(shù).(3)說一個量是無窮小,必須指明其變化過程6第6頁,課件共20頁,創(chuàng)作于2023年2月2.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:【證】【定理1】時,有對自變量的其它變化過程類似可證.7第7頁,課件共20頁,創(chuàng)作于2023年2月【意義】(1)將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);?!R稱《無窮小分析》【補例】寫成其極限值與一個無窮小之和的形式.【解】故f(x)能寫成其極限值與一個無窮小之和.8第8頁,課件共20頁,創(chuàng)作于2023年2月二、無窮大1.【直觀定義】絕對值無限增大的變量稱為無窮大的
x,總有則稱函數(shù)當(dāng)時為無窮大,使對一切滿足不等式①(或正數(shù)X),記作【精確定義2】
設(shè)f(x)在內(nèi)有定義(或|x|大于某一正數(shù)時有定義),若任給
M>0,總存在9第9頁,課件共20頁,創(chuàng)作于2023年2月【特殊情形】正無窮大+∞,負無窮大-∞.【注意】(1)無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;
常數(shù)中不存在無窮大.(3)無窮大是一種特殊的無界變量,而無界變量未必是無窮大,但它至少有一個無窮大子列(2)若上述定義中將①式改為則記作10第10頁,課件共20頁,創(chuàng)作于2023年2月【無窮大】【無界量】【比喻】[無窮大]某過程中,組織紀(jì)律性強,某時刻后,步調(diào)一致地向無窮遠跑.[無界量]某范圍內(nèi)的某過程中,較自由、散漫,有的向無窮遠跑,有的掉隊,有的原地踏步不動,行動不一致.無窮大必?zé)o界,但無界未必是無窮大.【兩者區(qū)別與聯(lián)系】11第11頁,課件共20頁,創(chuàng)作于2023年2月由此可知不是無窮大.有無窮大子列,故無界.【例如】不是無窮大.12第12頁,課件共20頁,創(chuàng)作于2023年2月【證】【例1】13第13頁,課件共20頁,創(chuàng)作于2023年2月2.【鉛直漸近線】(1)[鉛直漸近線]【例如】是函數(shù)的鉛直漸近線。(2)[水平漸近線](3)[小結(jié)求漸近線]14第14頁,課件共20頁,創(chuàng)作于2023年2月【例2】【解】15第15頁,課件共20頁,創(chuàng)作于2023年2月三、無窮小與無窮大的關(guān)系【定理2】在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.【證】【分析】注意到由無窮大定義16第16頁,課件共20頁,創(chuàng)作于2023年2月關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.由無窮小定義【意義】17第17頁,課件共20頁,創(chuàng)作于2023年2月四、小結(jié)1.主要內(nèi)容:兩個定義;兩個定理.鉛直漸近線2.幾點注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的.(1)無窮?。ù螅┦亲兞?不能與很小00000(大)的數(shù)混淆,零是唯一的無窮小的數(shù);(2)無窮大
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