第六章 電磁感應(yīng)

第六章電磁感應(yīng)第1頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月1.電磁感應(yīng)定律

當(dāng)閉合線圈中的磁通變化時(shí)，線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢e

為

式中電動勢e的正方向與磁通方向構(gòu)成右旋關(guān)系。當(dāng)磁通增加時(shí)，感應(yīng)電動勢的實(shí)際方向與磁通方向構(gòu)成左旋關(guān)系；反之，當(dāng)磁通減少時(shí)，電動勢的實(shí)際方向與磁通方向構(gòu)成右旋關(guān)系。

eI

第2頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月感應(yīng)電流產(chǎn)生的感應(yīng)磁通方向總是阻礙原有磁通的變化，所以感應(yīng)磁通又稱為反磁通。感應(yīng)電場強(qiáng)度E沿線圈回路的閉合線積分等于線圈中的感應(yīng)電動勢，即

又知，得上式稱為電磁感應(yīng)定律，它表明時(shí)變磁場可以產(chǎn)生時(shí)變電場。

eI

第3頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)旋度定理，由上式得

該式對于任一回路面積S

均成立，因此，其被積函數(shù)一定為零，即此為電磁感應(yīng)定律的微分形式。它表明某點(diǎn)磁通密度的時(shí)間變化率負(fù)值等于該點(diǎn)時(shí)變電場強(qiáng)度的旋度。

電磁感應(yīng)定律是描述時(shí)變電磁場著名的麥克斯韋方程組中的方程之一。

第4頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月2.電感在線性介質(zhì)中，單個(gè)閉合回路電流產(chǎn)生的磁通密度與回路電流I成正比，因此穿過回路的磁通也與回路電流

I成正比。式中L

稱為回路的電感，單位為H(亨)。與回路電流

I交鏈的磁通稱為回路電流

I

的磁通鏈，以

表示。令

與I

的比值為L，即電感又可理解為與單位電流交鏈的磁通鏈。

第5頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月單個(gè)回路的電感僅與回路的形狀及尺寸有關(guān)，與回路中電流無關(guān)。磁通鏈與磁通不同，磁通鏈?zhǔn)侵概c某電流交鏈的磁通。若交鏈N

次，則磁通鏈增加N

倍；若部分交鏈，則必須給予適當(dāng)?shù)恼劭?。因此，與N

匝回路電流I

交鏈的磁通鏈為

=N

。由N

匝回路組成的線圈的電感為第6頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月與I1交鏈的磁通鏈由兩部分磁通形成，其一是I1本身的磁通形成的磁通鏈

11，另一是I2

在回路l1中的磁通形成的磁通鏈

12。

dl1Ozyxdl2l2l1I2I1r2-r1r2r1那么，與電流

l1

交鏈的磁通鏈

1為同理，與電流I2交鏈的磁通鏈

2為第7頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月在線性介質(zhì)中，比值，，及均為常數(shù)。式中L11稱為回路l1的自感，M12稱為回路

l2

對

l1的互感。同理定義式中L22稱為回路l2的自感，M21稱為回路l1對l2的互感。

令第8頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月將上述參數(shù)L11，L22，M12及M21

代入前式，得可以證明，任意兩個(gè)回路之間的互感公式為

考慮到，由上兩式可見第9頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月

在電子電路中，若要增強(qiáng)兩個(gè)線圈的耦合，應(yīng)彼此平行放置；若要避免兩個(gè)線圈的耦合，則應(yīng)相互垂直?；ジ锌烧韶?fù)，但電感始終為正值。

若互磁通與原磁通方向相同，則磁通鏈增加，互感應(yīng)為正值；反之，若兩者方向相反，則磁通鏈減少，互感為負(fù)值。若處處，則互感。若處處，則互感M

最大。第10頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月例1計(jì)算無限長直導(dǎo)線與矩形線圈之間的互感。設(shè)線圈與導(dǎo)線平行，周圍介質(zhì)為真空，如圖所示。abdrrD

0I1I2zS2解建立圓柱坐標(biāo)系，令z

軸方向與電流

I1一致，則I1產(chǎn)生的磁通密度為

與電流I2交鏈的磁通鏈

21

為

第11頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月求得

若電流I2為逆時(shí)針方向時(shí)，則B1與dS

反向，

M21

為負(fù)。若電流I2為如圖所示的順時(shí)針方向，則dS

與B1方向相同。那么abdrrD

0I1I2zS2但在任何線性介質(zhì)中第12頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月bcaO例2計(jì)算載有直流電流的同軸線單位長度內(nèi)的電感。

解設(shè)同軸線內(nèi)導(dǎo)體的半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，外半徑為c，如圖示。

在同軸線中取出單位長度，沿長度方向形成一個(gè)矩形回路。

內(nèi)導(dǎo)體中的電流歸并為矩形回路的內(nèi)邊電流，外導(dǎo)體中的電流歸并為外邊電流。

IrcbaOdrIIe

O第13頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月同軸線單位長度的電感定義為

式中，I為同軸線中的電流；

是單位長度內(nèi)與電流

I

交鏈的磁通鏈。該磁通鏈由三部分磁通形成：外導(dǎo)體中的磁通，內(nèi)、外導(dǎo)體之間的磁通以及內(nèi)導(dǎo)體中的磁通。由于外導(dǎo)體通常很簿，穿過其內(nèi)的磁通可以忽略。內(nèi)外導(dǎo)體之間的磁通密度Bo為

第14頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月該外磁通與電流I

完全交鏈，故外磁通與磁通鏈相等。

內(nèi)導(dǎo)體中的磁通密度Bi

為該磁場形成的磁通稱為內(nèi)磁通，以表示。那么穿過寬度為dr的單位長度截面的內(nèi)磁通

為該磁場形成的磁通稱為外磁通，以表示，則單位長度內(nèi)的外磁通為第15頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月

該部分磁通僅與內(nèi)導(dǎo)體中部分電流I

交鏈。因此，對于總電流I

來說，這部分磁通折合成與總電流I形成的磁通鏈應(yīng)為求得內(nèi)導(dǎo)體中的磁場對總電流

I

提供的磁通鏈

i為bcaO

IrcbaOdrIIe

O第16頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月那么，與總電流I

交鏈的總磁通鏈為(

o+i)。因此，同軸線的單位長度內(nèi)電感為式中第一項(xiàng)稱為外電感；第二項(xiàng)稱為內(nèi)電感。

當(dāng)同軸線傳輸電磁波時(shí)，內(nèi)外導(dǎo)體中的磁通均可忽略，同軸線單位長度內(nèi)的電感等于外電感，即第17頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月3.磁場能量

若加入外源，回路中產(chǎn)生電流。在電流建立過程中，回路中產(chǎn)生的反磁通企圖阻礙電流增長，為了克服反磁通產(chǎn)生反電動勢，外源必須作功。若電流變化非常緩慢，可以不計(jì)輻射損失，則外源輸出的能量全部儲藏在磁場中。根據(jù)在建立磁場過程中外源作的功即可計(jì)算磁場能量。eIB第18頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月

設(shè)單個(gè)回路的電流從零開始逐漸緩慢地增加到最終值

I，因而回路磁通也由零值逐漸緩慢地增加到最終值

。反電動勢為eIB

為了克服這個(gè)反電動勢，外源必須在回路中產(chǎn)生的電壓。即第19頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月若時(shí)刻t

回路中的電流為i(t)，則此時(shí)刻回路中的瞬時(shí)功率為在dt時(shí)間內(nèi)外源作的功為

單個(gè)回路的磁通鏈與電流的關(guān)系為。

那么，在線性介質(zhì)中，求得dt時(shí)間內(nèi)外源作的功為

第20頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)回路電流增至最終值I時(shí)，外源作的總功

W

為

因電流增長很慢，輻射損失可以忽略，外源作的功完全轉(zhuǎn)變?yōu)橹車艌龅哪芰?。若以Wm

表示磁場能量，那么上式又可改寫為利用此式計(jì)算電感十分方便。第21頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月

考慮到，則單個(gè)回路電流的磁場能量又可表示為式中，

為與電流

I

交鏈的磁通鏈。

對于N個(gè)回路，可令各個(gè)回路電流均以同一比例同時(shí)由零值緩慢地增加到最終值。

已知各回路磁通鏈與其電流之間的關(guān)系是線性的，第j

個(gè)回路的磁通鏈

j為式中Ij為電流最終值。第22頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月第j個(gè)回路在時(shí)刻t

的電流為在dt

時(shí)間內(nèi)，外源在

N

個(gè)回路中作的功為那么，在同一時(shí)刻該回路的磁通鏈為第23頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月那么，具有最終值電流的N

個(gè)回路產(chǎn)生的磁場能量為當(dāng)各個(gè)回路電流均達(dá)到最終值時(shí)，外源作的總功

W

為若已知各個(gè)回路的電流及磁通鏈，由上式即可計(jì)算N個(gè)回路共同產(chǎn)生的磁場能量。

第24頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月

已知回路磁通可用矢量磁位

A表示為，因此第

j

個(gè)回路的磁通鏈可用矢量磁位A表示為那么，N個(gè)回路的磁場能量又可用矢量磁位表示為式中A

為周圍回路電流在第j

個(gè)回路所在處產(chǎn)生的合成矢量磁位。第25頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月

若電流分布在體積V中，電流密度為J，已知，則上式變?yōu)轶w積分，此時(shí)磁場能量可以表示為式中V

為體電流所占據(jù)的體積。對于面電流，則產(chǎn)生的磁場能量為式中S

為面電流所在的面積。

第26頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月磁能密度利用矢量恒等式，上式又可寫為若將積分區(qū)域擴(kuò)大到無限遠(yuǎn)處，上式仍然成立。已知，代入，得式中，V

為電流所在的區(qū)域。第27頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月令S

為半徑無限大的球面，則由散度定理知，上式第一項(xiàng)的當(dāng)電流分布在有限區(qū)域時(shí)，，，因此考慮到，求得上式中的被積函數(shù)即是磁場密度。第28頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月若以小寫字母wm

表示磁能密度，則已知各向同性的線性介質(zhì)，，因此磁場能量密度又可表示為可見，磁場能量與磁場強(qiáng)度平方成正比，磁場能量不符合疊加原理。第29頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月磁場和電場的能量計(jì)算方法單個(gè)回路：N

個(gè)回路：分布電流：磁能密度：第30頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月例設(shè)同軸線中通過的恒定電流為I，內(nèi)導(dǎo)體的半徑為a，外導(dǎo)體的厚度可以忽略，其半徑為b，內(nèi)外導(dǎo)體之間為真空。計(jì)算該同軸線中單位長度內(nèi)的磁場能量。

解已知同軸線單位長度內(nèi)的電感為因此，單位長度內(nèi)同軸線中磁場能量為

baOI

0第31頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月已知內(nèi)導(dǎo)體中的磁場強(qiáng)度為

也可通過磁場密度計(jì)算同軸線的磁場能量。因此內(nèi)導(dǎo)體中單位長度內(nèi)的磁場能量為又知內(nèi)、外導(dǎo)體之間的磁場強(qiáng)度Ho

為第32頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月所以內(nèi)外導(dǎo)體之間單位長度內(nèi)的磁場能量為此結(jié)果與前式完全相同。單位長度內(nèi)同軸線的磁場能量應(yīng)為，即第33頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月4.磁場力

dl1Ozyxdl2l2l1I2I1r2

–r1r2r1已知式中的磁通密度B1為因此，B1對于整個(gè)回路l2的作用力F21為那么，由回路電流I1產(chǎn)生的磁場B1對于電流元I2dl的作用力dF21為第34頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月

同理，回路電流I2產(chǎn)生的磁場B2對于整個(gè)回路l1的作用力F12

為上述兩式稱為安培定律。根據(jù)牛頓定律得知，應(yīng)該。如果回路形狀復(fù)雜，上述積分計(jì)算非常困難。磁場力的計(jì)算也可采用虛位移方法，通過能量關(guān)系可以導(dǎo)出計(jì)算磁場力的公式。直接利用前述廣義力和廣義坐標(biāo)的概念，導(dǎo)出計(jì)算磁場力的一般公式。第35頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)在電流I1產(chǎn)生的磁場廣義力

F

的作用下，使得回路l2的某一廣義坐標(biāo)變化的增量為dl，同時(shí)磁場能量的增量為dWm。下面分為兩種情況分別導(dǎo)出磁場力的計(jì)算公式。

兩個(gè)回路中的外源作的總功dW應(yīng)該等于磁場廣義力作的功與磁場能量的增量之和，即第36頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月

第一，若電流I1和I2

不變，這種情況稱為常電流系統(tǒng)，則磁場能量的增量為

兩個(gè)回路中外源作的功分別為

兩個(gè)回路中的外源作的總功dW為即求得常電流系統(tǒng)中的廣義力F

為

第37頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月第二，若各回路中的磁通鏈不變，即磁通未變，這種情況稱為常磁通系統(tǒng)。求得常磁通系統(tǒng)中廣義力為由于各個(gè)回路的磁通未變，因此，各個(gè)回路位移過程中不會產(chǎn)生新的電動勢，因而外源作的功為零，即磁場力的應(yīng)用比電場力更為廣泛，而且力量更強(qiáng)。第38頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月例1計(jì)算無限長的載流導(dǎo)線與矩形電流環(huán)之間的作用力。電流環(huán)的尺寸及位置如圖所示。ab