第五章第五節(jié)二次型及其標準形

第五章第五節(jié)二次型及其標準形1第1頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月例.有心二次曲線方程①可取適當?shù)霓D(zhuǎn)軸變換:②方程①可化成標準方程③一、二次型的矩陣表示第2頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月特點:(1).變換陣(2).可逆變換不改變常數(shù)(項).實質(zhì):經(jīng)變換②二次齊次多項式,有交叉項.二次齊次多項式,無交叉項.第3頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月定義11.二次型是指二次齊次函數(shù)(二次齊次多項式).第4頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月f可寫成:

即第5頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月記第6頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月註:(2).A的對角線上的元素是f中的平方 項的系數(shù).A的右上角是f中交叉 項系數(shù)的一半.例1.例2.寫成矩陣表示.3735-155-15第7頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.寫成矩陣表示.1-10122-101-1220-11-1AX第8頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)A為n階實對稱陣.可逆變換:(2)二、二次型在可逆變換下的變化情況第9頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月即P|P|≠0X=PY.(3)要把f化成標準形:第10頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月若把標準形寫成矩陣,則00把(3)代入(1),有第11頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月證明:若A為對稱陣,[註]:性質(zhì)表明,經(jīng)可逆變換X=PY后,二次型f的矩陣變?yōu)槠渲炔蛔?性質(zhì):任給可逆陣P,令若A為對稱陣,則B為對稱陣,第12頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月定理十:任給二次型總有正交變換X=PY,使f化為標準形證明:據(jù)定理九,總有正交陣P,使00第13頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月代入00證畢.第14頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.

化二次型為標準形.解:利用f的矩陣A的特征值寫出f的標準形.f的矩陣為:第15頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月A的特征多項式:第16頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.試確定一個正交變換X=PY,將二次型化為標準形.解:f的矩陣為:第17頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月可解得A的特征值為:對應(yīng)的特征向量為:第18頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月令則X=PY為所求正交變換.它將二次型f化為注意:第19頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.化二次型成標準形,并求所用的變換矩陣.解:三、用配方法化二次型為標準形第20頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月所用的變換陣為:第21頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月例7.化二次型成標準形,并求所用的變換矩陣.解:令.代入,得第22頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月令由于