近世代數(shù) 子群

近世代數(shù)課件子群第1頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月8.1定義與例討論子對象是一個常用的代數(shù)方法.我們看一個群．假如由里取出一個非空子集來，那么利用的乘法可以把的兩個元相乘．對于這個乘法來說，很可能也作成一個群．定義一個群的一個非空子集叫做的一個子群，假如對于的乘法來說作成一個群,用符號表示．例１給了一個任意群，至少有兩個子群：１．；２．只包含單位元的子集．第2頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月例２，，．那么是的一個子群．因為：Ⅰ．對于的乘法來說是閉的，，，，；Ⅱ．結合律對于所有的元都對，對于的元也對；Ⅳ．；Ⅴ．，．更多的例子……注1:的乘法必須是的乘法注2:驗證是子群時有些條件可以省略.第3頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月8.2等價條件引理:設,那么(1)(2),對于中運算定理１一個群的一個不空子集作成的一個子群的充分而且必要條件是：（?。áⅲ┑?頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月證明若是（?。?，（ⅱ）成立，作成一個群．Ⅰ．由于（ⅰ），是閉的；Ⅱ．結合律在中成立，在中自然成立；Ⅳ．因為至少有一個元，由（ⅱ），也有元，所以由（?。酰桑áⅲ?，對于的任意元來說，有元，使得反過來看，假如是一個子群，（ⅰ）顯然成立．我們證明，這時（ⅱ）也一定成立．證完■（?。áⅲ﹥蓚€條件也可以用一個條件來代替．第5頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月定理２一個群的一個不空子集作成的一個子群的充分而且必要條件是：（ⅲ）證明I.我們先證明，（?。┖停áⅲ┏闪?，（ⅲ）就也成立．假定，屬于，由（ⅱ），，由（?。?，II.現(xiàn)在我們反過來證明，由（ⅲ）可以得到（?。┖停áⅲ俣ǎ桑á＃?，，于是（ⅱ）成立第6頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月假定，．由剛證明的，；由（ⅲ），,即(i)成立證完■假如所給子集是一個有限集合，那么作成子群的條件更要簡單．定理３一個群的一個不空有限子集作成的一個子群的充分而且必要條件是：證明這個條件是必要的，無須證明．我們證明它是充分的．因為是有限集合，我們使用有限的定義證明.第7頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月8.3生成子群現(xiàn)在我們要認識一種找一個子群的一般方法．我們在一個群里任意取出一個非空子集來，包含元，，，，….那么當然不見得是一個子群,但是我們可以把擴大一點，而得到一個包含的子群．利用的元以及這些元的逆元我們可以作各種乘積，比方說，，，，，等等．設集合剛好包含所有這樣的乘積,可以證明:第8頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月(1).作成一個子群．因為兩個這樣的乘積乘起來還是一個這樣的乘積，一個這樣的乘積的逆元也是一個這樣的乘積,由定理１，(2)對任何一個包含的子群,一定包含．這一點容易看出：既是一個子群，它又包含所有的元，，，…，Ⅰ，Ⅱ，兩個條件，因而根據(jù)定理1，它必須包含所有的上面所作的那些乘積；這就是說，．由(1)和(2)，是包含的最小的子群．第9頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月定義如上得到的叫做由生成的子群，我們用符號來表示它．假如我們取一個只包含一個元的子集，那么是一個循環(huán)子群．例3生成子群很復雜,給出一些簡單的例子第10頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月8.4子群的運算兩個子群的交仍然是子群兩個子群的并不一定是子群群的子集的運算容易證明:,,設A，B是群G的兩個非空子集,規(guī)定第11頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月等價條件的另外表達定理1’一個群的一個不空子集作成的一個子群的充分而且必要條件是：（?。áⅲ?/p>

定理２’一個群的一個不空子集作成的一個子群的充分而且必要條件是：（ⅲ）定理3’一個群的一個不空有限子集作成的一個子群的充分而且必要條件是：第12頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月證明:僅證明定理1設H是G的子群,那么,(??)另一方面,,所以,注意:,所以.反過來,構成的一個子群.第13頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月子群的乘積例4兩個子群的乘積一般不是子群.S3中，H={(1),(12)}N={(1),(13)},HN={(1),(13),(12),(132)}不是子群定理4設H,K是G的兩個子群,那么HK是子群HK=KH證明:如果HK是子群,那么(HK)-1=HK,同時,(HK)-1=K-1H-1=KH,所以HK=KH反過來,如果HK=KH(HK)(HK)=(H