連續(xù)時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)

連續(xù)時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)第1頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月要點：1.梅遜公式2.零極點分布3.勞斯定理第六章連續(xù)時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)第2頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月§6.1

梅遜公式第3頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月§

梅遜公式第4頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月§

梅遜公式

負(fù)反饋

正反饋

系統(tǒng)函數(shù)第5頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月例6-1C(s)=R(s)1+1-G2G1G1G21+G1G2–G2G1

(1–

G2)=§

梅遜公式第6頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月§

梅遜公式ΣLiΣLiLjΣLiLjLzΔ=1––++···2．梅遜公式回路內(nèi)前向通道和反饋通道傳遞函數(shù)的乘積。梅遜公式：回路傳遞函數(shù)：—特征式△—各回路傳遞函數(shù)之和。—兩兩互不相接觸回路的傳遞函數(shù)乘積之和?！腥齻€互不相接觸回路的傳遞函數(shù)乘積之和。Φ(s)=Σnk=1PkΔkΔΣLiΣLiLjΣLiLjLzΣLiΣLiLjΣLiLjLz△k

—將△中與第k條前向通道相接觸的回路所在項去掉之后的剩余部分，稱為余子式。Pk—第k條前向通道的傳遞(系統(tǒng))函數(shù)。第7頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月§

梅遜公式例6-1_G1+C(s)R(s)G2解:(2)L1L1=-G1G2L2L2=G2P1=G1Δ1=1-G2Δ=1+G1G2-G2C(s)R(s)1+G1G2–G2G1

(1–

G2)=第8頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月L1L2L3H1_+++G1+C(s)R(s)G3G2例6-2

求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。解:L1=G3H1L2=–G1H1L3=–G1G2P1=G1G2Δ1=1–

G3H1Δ=1+G1G2+G1H1–G3H1R(s)C(s)1+G1G2+G1H1–G3H1G1G2

(1–

G3H1)=§

梅遜公式第9頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月G1(s)G2(s)G3(s)H1(s)__+R(s)C(s)H2(s)求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)解:L1L1=-G2H1L2L2=-G1G2H2P1=G1G2P2=G3G2Δ1=1Δ2=1R(s)C(s)=Σnk=1PkΔkΔΔ=1+G2H1+G1G2H21+G2H1+G1G2H2G2G1+G2G3

=例6-3§

梅遜公式第10頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月3.系統(tǒng)穩(wěn)定性LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是沖激響應(yīng)絕對可積，即對因果LTI系統(tǒng)穩(wěn)定性，用沖激響應(yīng)絕對可積條件判斷與用沖激響應(yīng)衰減條件判斷給出同一結(jié)果?！?/p>

穩(wěn)定性第11頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月tPi位于右半平面§

零、極點分布第12頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)穩(wěn)定性（1）極點分布對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響因果系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：所有極點都在s左半平面。當(dāng)虛軸上沒有重極點，并且s右半平面無極點時，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；當(dāng)s右半平面有極點或虛軸有重極點時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。穩(wěn)定系統(tǒng)的因果條件是所有極點都在s左半平面。系統(tǒng)零點只影響部分分式展開式中各分量的加權(quán)系數(shù)，因此它只影響沖激響應(yīng)的各分量的幅度和相位，對系統(tǒng)穩(wěn)定性無影響。各分量的幅度和相位要受到系統(tǒng)零極點的共同影響?！?/p>

穩(wěn)定性第13頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月求系統(tǒng)的零、極點，并繪制零、極點分布圖，并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例6-4解：系統(tǒng)的零點為：系統(tǒng)的極點為：系統(tǒng)的零、極點分布圖為：§

穩(wěn)定性第14頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月例6-5第15頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月解:第16頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月4、根據(jù)穩(wěn)定的充分與必要條件,求得特征方程的根,就可判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性.但對于高階系統(tǒng)求解方程的根比較困難。勞斯穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程式的各項系數(shù),按一定的規(guī)則排列成勞斯表，根據(jù)表中第一列系數(shù)正負(fù)符號的變化情況來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。下面具體介紹勞斯穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用?！靹谒狗€(wěn)定判據(jù)第17頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)特征方程的各項系數(shù)排列成勞斯表：設(shè)系統(tǒng)的特征方程為a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an=0

a0a2a4…a1

a3a5…b42

sn-3

……………s0

sn

sn-1

sn-2

b31

b32

b33

b31=

a1a2

-a0a3

a1

b41

b32=

a1a4

-a0a5

a1

b41=

b31a3

-b32a1

b31

b42=

b31a5

-b33a1

b31

b43

……

bn+1

系統(tǒng)穩(wěn)定的條件：

(1)特征方程式各項系數(shù)都大于零。(2)勞斯表中第一列元素均為正值。第一列元素符號改變的次數(shù)等于不穩(wěn)定根的個數(shù)?！靹谒狗€(wěn)定判據(jù)第18頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月例6-6已知系統(tǒng)的特征方程，試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：s4+2s3+3s2+4s+5=0勞斯表如下：

135s1

s0

s4

s3

s2

b31

b32

b41

b51

24

b31=

2*3

-1*4

2

=11

b32=

2*5

-1*0

2

=55

b41=

1*4

-2*5

1

=-6-6

b51=

-6*5

-1*0

-6

=55有兩個正實部根，系統(tǒng)不穩(wěn)定?！靹谒狗€(wěn)定判據(jù)第19頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月例6-7已知閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式，試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(1)s3+20s2+9s+100=0解：勞斯表如下：s1

s0

s3

s2

19201004

100系統(tǒng)穩(wěn)定。(2)s4+8s3+18s2+16s+5=0

1185s4

s3

816勞斯表如下：s2

165s1

216

16

s0

5系統(tǒng)穩(wěn)定?！靹谒狗€(wěn)定判據(jù)第20頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月例6-8

系統(tǒng)如圖所示，試確定系統(tǒng)穩(wěn)定放大倍數(shù)K的取值范圍。Ks(0.1s+1)(0.25s+1)-R(s)C(s)閉環(huán)傳遞函數(shù)Ф(s)=s(0.1s+1)(0.25s+1)+KK特征方程:s3+14s2+40s+40K=0解：勞斯表:

140s3

s2

1440Ks1

b31

b31=

14*40

-1*40K

14

s0

b41

40K

系統(tǒng)穩(wěn)定的條件:>0560-40K>040K>014>K>0§勞斯穩(wěn)定判據(jù)第21頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月如果勞斯表中某行的第一個元素為零，表示系統(tǒng)中有純虛根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。下面舉例說明:該行中其余各元素不等于零或沒有其他元素，將使得勞斯表無法排列。此時，可用一個接近于零的很小的正數(shù)ε來代替零，完成勞斯表的排列?！靹谒狗€(wěn)定判據(jù)第22頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月例6-9已知系統(tǒng)的特征方程，試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。勞斯表為:系統(tǒng)有一對純虛根s3+2s2+s+2=0解：

11s3

s2

22s1

b31

=0

εs0

b41

2

通過因式分解驗證:s3+2s2+s+2=0(s+2)(s2+1)=0s1=-2s2.3=±j

b31=

2*1

-2*1

2

(

ε

)

=2

b41=

-2*0

2*

εε不穩(wěn)定§勞斯穩(wěn)定判據(jù)第23頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月例6-10已知系統(tǒng)的特征方程,試用勞斯判據(jù)確定方程的根在s平面上的分布。解：s3-3s+2=0方程中的系數(shù)有負(fù)值，系統(tǒng)不穩(wěn)定。勞斯表為:

1-3s3

s2

02s1

b31

b31=

s0

b41

2

ε通過因式分解驗證:s3-3s+2=(s-1)2(s+2)=0s1.2=1s3=-2-∞ε-2-3εε→0

b31

→-

∞

=

-∞

第一列元素的符號變化了兩次,有一對不穩(wěn)定根?！靹谒狗€(wěn)定判據(jù)第24頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月如果勞斯表中某一行的元素全為零，表示系統(tǒng)中含有不穩(wěn)定的實根或復(fù)數(shù)根。系統(tǒng)不穩(wěn)定。下面舉例說明:此時，應(yīng)以上一行的元素為系數(shù)，構(gòu)成一輔助多項式，該多項式對s求導(dǎo)后，所得多項式的系數(shù)即可用來取代全零行。同時由輔助方程可以求得這些根?！靹谒狗€(wěn)定判據(jù)第25頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月例6-11已知控制系統(tǒng)特征方程,判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。由為零上一行的元素組成輔助多項式：s6+2s5+8s4+12s3+20s2+16s+16=0解：勞斯表為:

182016s6

s5

21216