等比關(guān)系 練習(xí)題

等比關(guān)系練習(xí)題等比關(guān)系練習(xí)題問題一若$a$、$b$、$c$成等比數(shù)列，且$a+b+c=7$，$abc=\frac{35}{27}$，則數(shù)列$a$、$b$、$c$的公比$q$等于多少？解答設(shè)$a=kq^2$、$b=kq$、$c=k$，其中$k\neq0$且$q\neq0$。則$a+b+c=kq^2+kq+k=(k+1)(q^2+q)$，且$abc=k^3q^3$。由題意得，$$\begin{cases}kq^2+kq+k=7\\\k^3q^3=\dfrac{35}{27}\end{cases}$$解得$k=\dfrac{3}{q}$，代入第一個式子得$$\dfrac{3}{q^3}+\dfrac{3}{q^2}+\dfrac{3}{q}=7$$化簡得$$3q^3-7q^2+3q=0$$解得$q=\dfrac{1}{3}$或$q=3$，舍去$q=3$的情況，因為$a$、$b$、$c$三數(shù)互不相等。綜上所述，數(shù)列$a$、$b$、$c$的公比$q=\dfrac{1}{3}$。問題二在$\triangleABC$中，$AD$是中線，$E$點在$DC$產(chǎn)生延長線$DE$與$AB$相交于點$F$，$F$點把$AB$邊分為$AF:FB=3:1$，設(shè)$\dfrac{CE}{ED}=k$，則$k$的取值范圍是什么？解答首先聯(lián)想到中線的性質(zhì)，得$$AD^2=\dfrac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4}$$因為$AD=\dfrac{BC}{2}$，所以代入得$$\dfrac{BC^2}{4}=\dfrac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4}$$即$$AB^2+AC^2=\dfrac{5}{4}BC^2\\cdots(*)$$接下來分別考慮$\triangleADC$和$\triangleAFE$。在$\triangleADC$中，根據(jù)塞瓦定理得$$\dfrac{AE}{EC}\cdot\dfrac{BD}{AD}\cdot\dfrac{CF}{FB}=1$$代入$AD=\dfrac{BC}{2}$，$BD=\dfrac{BC}{2}$，$\dfrac{CF}{FB}=3$，得$$\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{1}{2}$$在$\triangleAFE$中，根據(jù)梅涅勞斯定理得$$\dfrac{CD}{DE}\cdot\dfrac{BF}{FA}\cdot\dfrac{AE}{EC}=1$$代入$$\dfrac{BF}{FA}=\dfrac{1}{3}$$和$\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{1}{2}$，得$$\dfrac{CD}{DE}=2$$所以$\dfrac{CE}{ED}=k$，即$\dfrac{CE}{CD}=\dfrac{k}{k+1}$。代入$(*)$，得$$AB^2+AC^2=\dfrac{5}{4}(AD^2+CD^2+2\cdotAD\cdotCD)$$即$$AB^2+AC^2=\dfrac{5}{4}\left(\dfrac{5}{4}CD^2+2\cdotCD^2+2\cdotAD\cdotCD\right)$$代入$$AB=\dfrac{3}{4}AD$$得$$\dfrac{9}{16}AD^2+AC^2=\dfrac{25}{16}CD^2+\dfrac{25}{8}AD\cdotCD$$將$\dfrac{CE}{CD}=\dfrac{k}{k+1}$代入得$$\dfrac{9}{16}AD^2+AC^2=\dfrac{25}{4}AD^2\cdot\dfrac{k}{k+1}$$即$$\dfrac{AC^2}{AD^2}=\dfrac{25-36k}{9k}\\cdots(**)$$所以$k\in\left(\dfrac{25}{36},+\infty\right)$或$k\in\left(-\infty,\dfrac{25}{36}\right)$，但因為$\dfrac{CE}{ED}=k$，所以$k>0$，故$k\in\left(\d