2023-2024學(xué)年山東蒙陰縣八年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題（含解析）

2023-2024學(xué)年山東蒙陰縣八年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷

上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非

選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（每小題3分,共30分）

1.直線/上有三個(gè)正方形4、8、C放置如圖所示，若正方形A、C的面積分別為1和

12,則正方形6的面積為（）.

A.11B.12C.13D.√145

2.長(zhǎng)方形的面積是9/-3融+67，一邊長(zhǎng)是3α,則它的另一邊長(zhǎng)是（）

A.3α2-b+2a1B.b+3a+2a2C.2a1+3a-bD.3a2-b+2a

3.現(xiàn)實(shí)世界中，對(duì)稱現(xiàn)象無(wú)處不在，中國(guó)的黑體字中有些也具有對(duì)稱性，下列黑體字

是軸對(duì)稱圖形的是（）

A.誠(chéng)B.信C.自D.由

4.如圖，已知ΔABC,延長(zhǎng)AB至。，使BD=A3；延長(zhǎng)BC至E,使CE=2BC;

延長(zhǎng)C4至尸，使Ab=3C4;連接。E、EF、FD,得ΔDEF.若ΔABC的面積為

k,則ADE尸的面積為（）

A.10kB.15kC.18攵D.20左

5.如圖，矩形ABC。的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)。，ZADB=30o,AB=A,則OC

等于

()

A.5B.4C.3.5D.3

6.下列圖形中，由Nl=N2,能得到A的是（）

7.如圖，已知一次函數(shù)V="+力的圖象經(jīng)過(guò)A（0,1）和B（2,0）,當(dāng)x>0時(shí)，y

的取值范圍是（）

V4

B^x

A.y<l；B.y<0；C.y>?tD.y<2

8.下列各運(yùn)算中，計(jì)算正確的是（）

A.（β2Z?）3=α?3B.（-3a2）3=27α5C.χ6÷χ2=χ4

D.（α+?）3=ai+b'

9.在一張長(zhǎng)為IOem,寬為8cm的矩形紙片上，要剪下一個(gè)腰長(zhǎng)為5cm的等腰三角形

（要求：等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與矩形的頂點(diǎn)A重合，其余的兩個(gè)頂點(diǎn)都在矩形邊上）,

這個(gè)等腰三角形有幾種剪法（）

A.1B.2C.3D.4

10.如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊ΔABC

和等邊ACDE,AD與BE交于點(diǎn)O,AD與BC交于點(diǎn)P,BE與CD交于點(diǎn)Q,

連接PQ.下列五個(gè)結(jié)論：①AD=BE;②PQHAE；③AP=JBQ；④DE=DP;

⑤NAQB=60°.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

二、填空題（每小題3分,共24分）

11.用“如果…，那么…”的形式，寫出“對(duì)頂角相等”的逆命題：

12.如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為ICm和3cm,高為6cm.如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A

開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B,那么所用細(xì)線最短需要cm.

13.在平面直角坐標(biāo)系中，把直線y=-2x+3沿y軸向上平移兩個(gè)單位后，得到的直

線的函數(shù)關(guān)系式為.

14.計(jì)算：20192-2018?=.

15.如圖，在平行四邊形ABCD中，DE平分NADC,AD=6,BE=2,則平行四邊形

ABCD的周長(zhǎng)是.

16.如圖，邊長(zhǎng)為，，:+」的正方形紙片剪出一個(gè)邊長(zhǎng)為m的正方形之后，剩余部分可

剪拼成一個(gè)矩形，若拼成的矩形一邊長(zhǎng)為4,則另一邊長(zhǎng)為

A''`4

17.已知甲、乙兩地間的鐵路長(zhǎng)1480千米，列車大提速后，平均速度增加了70千米/

時(shí)，列車的單程運(yùn)行時(shí)間縮短了3小時(shí).設(shè)原來(lái)的平均速度為X千米/時(shí)，根據(jù)題意，

可列方程為.

18.甲、乙兩人以相同路線前往離學(xué)校12千米的地方參加植樹(shù)活動(dòng).圖中1甲、IZ分別

表示甲、乙兩人前往目的地所行駛的路程S（千米）隨時(shí)間t（分）變化的函數(shù)圖象，則每分

鐘乙比甲多行駛千米.

三、解答題（共66分）

19.（10分）如圖:在ΔABC中（Ae>AB）,AC=2BC,BC邊上的中線AD把AABC

的周長(zhǎng)分成60c〃7和40cr〃兩部分，求邊AC和AB的長(zhǎng).

20.（6分）（1）求值：（I--L）÷Y-,其中a=l.

Q+1Cl-I

（2）解方程：二=一!一+2.

X-Ix-?

21.（6分）（1）如圖，Z1=Z2,Z3=Z4,求證：AC=AD

C

（2）化簡(jiǎn)：（α+l）（α-1）—（a-2『

22.（8分）在等邊ABC中，點(diǎn)。是線段BC的中點(diǎn)，NEr甲=12（）。,OE與線段AB

相交于點(diǎn)E,DF與射線AC相交于點(diǎn)F.

（1）如圖1,若OFJ_AC,垂足為EAB=4,求BE的長(zhǎng);

（2）如圖2,將（1）中的NED尸繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，。尸仍與線段AC相交

于點(diǎn)F?求證：BE+CF=-AB.

2

圖2

⑶如圖3,將（2）中的NEZ才繼續(xù)繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使Z）E與線段AC

的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E作。N_LAC于點(diǎn)N,若。N=FN,設(shè)5E=x,CE=y,寫出y關(guān)

于X的函數(shù)關(guān)系式.

圖3

23.（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+m過(guò)點(diǎn)A（5,-2）且分別與X

軸、y軸交于點(diǎn)B、C,過(guò)點(diǎn)A畫AD∕∕x軸，交y軸于點(diǎn)D.

（1）求點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；

（2）在線段AD上存在點(diǎn)P,使BP+CP最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

24.（8分）如圖，點(diǎn)E、尸是線段AB上的點(diǎn)，DEJ.AD,CFLBC,垂足分別是

點(diǎn)。和點(diǎn)C,DE=CF,AF=BE,求證：ADHBC.

25.（10分）（1）教材呈現(xiàn)：下圖是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第94頁(yè)的部分內(nèi)容.

/2.線段*位平分段I

/-------------------------1

Ul我的巳t?如ifl線l?地軸“林四布.線15的而

√,在平分我是蝶校的W脩柏.加圖135.1.ftMN

/是線校48的重虎平分拽"J?WVL任-戊.連

,雄/火.也將坡氏4%沿?技MV。標(biāo).我In發(fā)現(xiàn)

\用OM完全小合同比期勺：

ACxH找股筮?平分線的性晨定Rtttt?JKΨ

'分線上的點(diǎn)Sl線段兩端的速離相等.

Bia51HM:如圖?3.5.?,Λll>lLAH*足為點(diǎn)C.

AC=BC./PKItt找MN卜的任X?0.

^li.tPΛ≈l?B.

:，iΛ1fm??Γ"卷眇圖中分四個(gè)l?ftl?ft∣fHΛW*∣?/*：.

（體的H叫過(guò)只要H叫這四子：加形*F.使"IW和/”IH.

定理證明：請(qǐng)根據(jù)教材中的分析，結(jié)合圖①，寫出“線段垂直平分線的性質(zhì)定理”完整

的證明過(guò)程.

定理應(yīng)用：

（2）如圖②，在AASC中，直線〃?、"分別是邊8C、AC的垂直平分線，直線〃？、

”的交點(diǎn)為。.過(guò)點(diǎn)。作OH_LAB于點(diǎn)H.求證：AH=BH.

（3）如圖③，在AABC中，AB=BC,邊4?的垂直平分線/交AC于點(diǎn)O,邊BC

的垂直平分線k交AC于點(diǎn)￡.若NABC=120°,AC=15,則OE的長(zhǎng)為

26.（10分）為厲行節(jié)能減排，倡導(dǎo)綠色出行，今年3月以來(lái).“共享單車”（俗稱“小

黃車”）公益活動(dòng)登陸我市中心城區(qū).某公司擬在甲、乙兩個(gè)街道社區(qū)投放一批“小黃車”,

這批自行車包括A、B兩種不同款型，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：

問(wèn)題1：?jiǎn)蝺r(jià)

該公司早期在甲街區(qū)進(jìn)行了試點(diǎn)投放，共投放A、B兩型自行車各50輛，投放成本共

計(jì)7500元，其中B型車的成本單價(jià)比A型車高10元，A、B兩型自行車的單價(jià)各是多

少？

問(wèn)題2：投放方式

該公司決定采取如下投放方式：甲街區(qū)每IOoO人投放a輛“小黃車”，乙街區(qū)每IOOO人

投放8“+240輛,,小黃車,,,按照這種投放方式，甲街區(qū)共投放KOO輛，乙街區(qū)共投放

a

1200輛，如果兩個(gè)街區(qū)共有15萬(wàn)人，試求a的值.

參考答案

一、選擇題（每小題3分,共30分）

1、C

【分析】運(yùn)用正方形邊長(zhǎng)相等，再根據(jù)同角的余角相等可得NEr>F=NHEG,然后可

依據(jù)AAS證明?EDF注AHFG,再結(jié)合全等三角形的性質(zhì)和勾股定理來(lái)求解即可.

【詳解】解：

：N、3、C都是正方形，

?DF=FH,/DFH=90。，：.NEDF=NHFG=90。

ΛZDFE+ZHFG=90o,NEDF+NDFE=90°

ΛZEDF=ZHFG,

ZEDF=ZHFG

在ADEF和AFGH中，＜ZDEF=4HGF,

DF=HF

??EDF^HFG(AAS),

.?.DE=FG,EF=HG;

：.在RjDEF中,由勾股定理得：

DF2=DE2+EF2=DE2+HG2，

即SB=SA+Sc=1+12=13,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查對(duì)全等三角形和勾股定理的綜合運(yùn)用，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)直角三角形全等是解題的

關(guān)鍵.

2、C

【分析】根據(jù)長(zhǎng)方形面積公式“長(zhǎng)X寬=面積”，列出式子后進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算即可。

【詳解】長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)X寬，由此列出式子(9αl-3ab+6ai')÷3α=3α-b+la'.

解：(9a1-3α?+6α3)÷3a=3α-b+lal,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了用代數(shù)式表示相應(yīng)的量，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握整式除法的運(yùn)算法則。

3、D

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解即可.

【詳解】解：根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念可知“由”是軸對(duì)稱圖形，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折

疊后可重合.

4、C

【分析】如圖所示：連接AE、CD,要求aDEF的面積，可以分三部分來(lái)計(jì)算，利用高

一定時(shí)，三角形的面積與高對(duì)應(yīng)的底成正比的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算；利用已知AABC的面積

k計(jì)算與它同高的三角形的面積，然后把所求各個(gè)面積相加即可得出答案.

【詳解】如圖所示：連接AE、CD

F

/Vi?

∕×≤ic√-?

VBD=AB

:?SZXABC=SaBCD=A

貝!jSZiACD=2k

VAF=3AC

ΛFC=4AC

:?S?kFCD=4SaACD=4X2k=8k

同理求得：

SΔACE=2SΔΛBC=2k

SAFCE=4S-CE=4X2k=8k

SΔDCE=2SΔBCD=2×?=2?

:?SΔDEF=SΔFCD+SΔFCE+SΔDCE=8?+8Λ+2?=18k

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角形的面積與底的正比關(guān)系的知識(shí)點(diǎn)：當(dāng)高相同時(shí)，三角形的面積與高

對(duì)應(yīng)的底成正比的關(guān)系，掌握這一知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

5、B

【解析】試題解析：Y四邊形ABC。是矩形，

??.AC=BD,OA=OCyZBAD=90,

ZADB=30,ΛAC=BD=2AB=8,

.?.OC=-AC=A;

2

故選B.

點(diǎn)睛：平行四邊形的對(duì)角線互相平分.

6,C

【分析】根據(jù)平行線的判定定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.

【詳解】A、由Nl+N2=180°,得到A〃〃CD,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

3、Nl=N2不能判定A5〃C。，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、由N1=N2,得AB〃C。，符合平行線的判定定理，故本選項(xiàng)正確；

。、N1=N2不能判定A5〃CD,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要主要考查平行線的判定定理，掌握“同位角相等，兩直線平行”，“內(nèi)錯(cuò)角相

等，兩直線平行”，“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”是解題的關(guān)鍵.

7、A

【分析】觀察圖象可知，y隨X的增大而減小，而當(dāng)x=0時(shí)，y=l,根據(jù)一次函數(shù)的增

減性，得出結(jié)論.

【詳解】解：把A(0,1)和B(2,0)兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx+b中，

..y=~-x+l9

?.?-gv(),y隨X的增大而減小，

當(dāng)x>0時(shí)，y<l.

故選A.

【點(diǎn)睛】

首先能夠根據(jù)待定系數(shù)法正確求出直線的解析式.在直線y=kx+b中，當(dāng)k>0時(shí)，y

隨X的增大而增大；當(dāng)kV0時(shí)，y隨X的增大而減小.

8、C

【分析】根據(jù)積的乘方、同底數(shù)幕的除法、多項(xiàng)式的乘法逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】A.(a2h)^aβbi,錯(cuò)誤；

B.(-3α2)3=-27α%錯(cuò)誤；

C.χβ÷χ2-X4,正確；

D.(α+?)3=a3+3a2b+^iab2+b',錯(cuò)誤.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查積的乘方、同底數(shù)塞的除法、多項(xiàng)式的乘法等知識(shí)，熟練掌握各計(jì)算公式是解

題的關(guān)鍵.

9、B

【解析】有兩種情況:

①當(dāng)NA為頂角時(shí)，如圖1,此時(shí)AE=AF=5cm.

圖1

②當(dāng)NA為底角時(shí)，如圖2,此時(shí)AE=Ep=5cm.

故選B.

10、C

【分析】①由于AABC和aCDE是等邊三角形，可知AC=BC,CD=CE,

NACB=NDCE=60。，從而證出aACDgABCE,可推知AD=BE；

②由AACDgz!?BCE得NCBE=NDAC力口之NACB=NDCE=60。，AC=BC,得至!|

?CQB^?CPA(ASA),再根據(jù)NPCQ=60。推出APCQ為等邊三角形，又由

ZPQC=ZDCE,根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，可知②正確；

③根據(jù)②aCQB04CPA(ASA),可知③正確；

④根據(jù)NDQE=NECQ+NCEQ=6(F+NCEQ,ZCDE=60o,可知NDQE≠NCDE,可

知④錯(cuò)誤；

⑤由BC〃DE,得至UNCBE=NBED,由NCBE=NDAE,得至!]

NAoB=NOAE+NAEO=60,

【詳解】解：V等邊AABC和等邊4CDE,

ΛAC=BC,CD=CE,NACB=NDCE=60。，

ΛNACB+∕BCD=NDCE+NBCD,即ZACD=ZBCE,

在AACD與aBCE中，

AC=BC

<ZACD=NBCE,

CD=CE

Λ?ACD^?BCE(SAS),

ΛAD=BE,故①正確，

V?ACD^?BCE,

.?.NCBE=NDAC,

又：NACB=NDCE=60°,

ΛZBCD=60o,即NACP=NBCQ,

XVAC=BC,

Λ?CQB^?CPA(ASA),

CP=CQ,

又；NPCQ=60?？芍狝PCQ為等邊三角形，

ΛZPQC=ZDCE=60o,

ΛPQ/7AE,故②正確，

VΔCQB^ΔCPA,

.?.AP=BQ,故③正確，

VAD=BE,AP=BQ,

/.AD-AP=BE-BQ,

即DP=QE,

VNDQE=NECQ+NCEQ=6(F+NCEQ,ZCDE=60o,

ΛZDQE≠ZCDE,故④錯(cuò)誤；

VBC/7DE,

.?.NCBE=NBED,

VZCBE=ZDAE,

ΛZAOB=ZOAE+ZAEO=60o,故⑤正確；

綜上所述，正確的有4個(gè)，

故選C

【點(diǎn)睛】

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)不變性，找到不變

量，是解題的關(guān)鍵.

二、填空題(每小題3分,共24分)

11、如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角.

【分析】先找到命題的題設(shè)和結(jié)論，再寫成“如果…那么…”的形式，再利用把一個(gè)命

題的題設(shè)和結(jié)論互換即可得到其逆命題.

【詳解】解：V原命題的條件是：“兩個(gè)角是對(duì)頂角”，結(jié)論是：“這兩個(gè)角相等”，

.??命題“對(duì)頂角相等”的逆命題寫成“如果…那么…”的形式為：“如果兩個(gè)角相等,

那么它們是對(duì)頂角”.

故答案為：如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角.

【點(diǎn)睛】

本題考查了命題的條件和結(jié)論的敘述以及互逆命題的知識(shí)，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命

題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩

個(gè)命題叫做互逆命題.其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題.

12、1

【分析】要求所用細(xì)線的最短距離，需將長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段

最短'’得出結(jié)果.

【詳解】解：將長(zhǎng)方體展開(kāi)，連接A、B，，

VAA,=l+3+l+3=8(cm),A'B'=6cm,

22

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AB-=√8+6=Icm.

考點(diǎn)：平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題.

13、y=-2x+l.

【分析】根據(jù)平移法則上加下減可得出平移后的解析式.

【詳解】解：由題意得：平移后的解析式為：y=-2x+3+2=-2x+l.

故答案為y=-2x+l.

【點(diǎn)睛】

本題考查一次函數(shù)圖形的平移變換和函數(shù)解析式之間的關(guān)系,解題關(guān)鍵是在平面直角坐

標(biāo)系中，圖形的平移與圖形上某點(diǎn)的平移相同.平移中點(diǎn)的變化規(guī)律是：橫坐標(biāo)左移加，

右移減；縱坐標(biāo)上移加，下移減.

14、1

【分析】把給的算式進(jìn)行因式分解后再計(jì)算即可.

【詳解】20192-20182=(2019+2018)()=2019+2018=l.

故答案為：L

【點(diǎn)睛】

本題考查有理數(shù)的乘方運(yùn)算，關(guān)鍵是利用因式分解可簡(jiǎn)化運(yùn)算.

15、2

【解析】；四邊形ABCD是平行四邊形，AD=6,

ΛBC=AD=6,又BE=2,ΛEC=1.

又TDE平分NADC,，NADE=NEDC.

VAD∕7BC,ΛZADE=ZDEC.

ΛZDEC=ZEDC.ΛCD=EC=I.

Λ□ABCD的周長(zhǎng)是2×（6+l）=2.

16、2m+4

【詳解】因?yàn)榇笳叫芜呴L(zhǎng)為“2+4,小正方形邊長(zhǎng)為m,所以剩余的兩個(gè)直角梯形的

上底為m,下底為〃?+4,所以矩形的另一邊為梯形上、下底的和：m+4+m=2m+4.

17、≡=≡L÷3

X%+70

【解析】試題解析：設(shè)原來(lái)的平均速度為X千米/時(shí)，列車大提速后平均速度為x+70千

14801480,

米/時(shí)，根據(jù)走過(guò)相同的距離時(shí)間縮短了3小時(shí)，列方程:-------=---------+3,

X%+70

14801480,

故答案為---------+3.

X%+70

3

18、

5

【分析】根據(jù)函數(shù)的圖形可以得到甲用了30分鐘行駛了12千米，乙用12分鐘行駛了

12千米，分別算出速度即可求得結(jié)果：

2

【詳解】；甲每分鐘行駛12÷30=（（千米），乙每分鐘行駛12÷12=1（千米）,

.?.每分鐘乙比甲多行駛1一二2=三3（千米）

3

則每分鐘乙比甲多行駛《千米

3

故答案為M

三、解答題（共66分）

19、AC-48cm,AB=2Scm

【分析】先根據(jù)AD是BC邊上的中線得出BD=CD1設(shè)BD=CD=x,AB=y,貝IJAC=4x,

再根據(jù)AC+CD=60,AB+BD=40,即可得出X和y的值.

【詳解】TA。是BC邊上的中線，AC=2BC,

BD=CD,

設(shè)BO=CD=X,A6=y,則AC=4x,

VAC>AB,

ΛAC+CD60,AB+BD=40,

即4x+x=60,x+y=40,

解得：X=I2,y=28,

即4C=4x=48C∕77，AB=28cm.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形的中線,利用數(shù)形結(jié)合的方法,用列方程求線段的長(zhǎng)度是常用的方法,

需要掌握好.

20、（1）a-1,99；（3）x=3.

【分析】（1）先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再將a的值代入計(jì)算可

得；

（3）根據(jù)解分式方程的步驟依次計(jì)算可得.

【詳解】解：（1）原式=-?-?（

a+?"Wa”D

=a-1,

當(dāng)a=l時(shí)，

原式=1-1=99；

（3）方程兩邊同乘X-1,得3x=l+3（x-1）,

解得x=3,

檢驗(yàn)：當(dāng)x=3時(shí)，X-l≠0,

.?.x=3是原方程的解.

【點(diǎn)睛】

本題考查分式的混合運(yùn)算與解分式方程,解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算

法則，注意解分式方程需要檢驗(yàn).

21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）4a-l

【分析】（1）由題意，可以得到ΔABC=ΔA8。，再由三角形全等的性質(zhì)可得AC=AD;

（2）根據(jù)平方差公式和完全平方公式把算式展開(kāi)，再合并同類項(xiàng)可得解.

【詳解】⑴證明：?因?yàn)镹3=N4,所以NABC=NABD

在AABC和AABD中，

ABAB

<Nl=N2

ZABC=ZABD

.?.ΔΛBC≡ΔABD

所以AC=AD

(2)解：原式=ci—1—(α~-4"+4?)=α~-1—c~+4α—4=4a-l.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)以及乘法公式的應(yīng)用，熟練掌握三角形全等的判定和

性質(zhì)定理以及乘法公式的形式是解題關(guān)鍵.

22、(1)BE=I;(2)見(jiàn)解析；(3)>=(2-G)X

【分析】(1)如圖1,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和定理可得N5EO=90。，

進(jìn)而可得N8OE=30。，然后根據(jù)30。角的直角三角形的性質(zhì)即可求出結(jié)果；

(2)過(guò)點(diǎn)。作DM_LA5于M,作DNLAC^N,如圖2,根據(jù)AAS易證AMBOgaNCZ),

則有8M=CN,DM=DN,進(jìn)而可根據(jù)ASA證明aEMOgZ?FNO,可得EM=FN,

再根據(jù)線段的和差即可推出結(jié)論；

(3)過(guò)點(diǎn)。作OM_LA8于如圖3,同(2)的方法和已知條件可得OW=ON=FN

=EM,然后根據(jù)線段的和差關(guān)系可得5E+C尸=2OM,BE-CF=IBM,在RtZiBMO

中，根據(jù)30。角的直角三角形的性質(zhì)可得Z)M=G8M,進(jìn)而可得3E+C尸=&(BE

-CF),代入X、y后整理即得結(jié)果.

【詳解】解：(1)如圖1,VZUBC是等邊三角形，

：.ZB=ZC=60o,BC=AC=AB=I.

：點(diǎn)。是線段BC的中點(diǎn)，

：.BD=DC=-BC=I.

2

'：DFLAC,即NAfD=90°,

,NAED=360。-60°-90°-120o=90o,

ΛZBfiD=90o,.?.N5OE=30°,

.'.BE=-BD=I

2i

Ei

BD

圖1

(2)過(guò)點(diǎn)。作O于Λf,作。V，AC于N,如圖2,

則有NAMD=ZBMD=NANO=NCNO=90。?

VNA=60。，

：?NMDN=360。-60°-90°-90o=120o.

VZEDF=120°,

：.ZMDE=ZNDF.

在AMBD和ANCD中，

?；NBMD=NCND,ZB=ZCfBD=CD9

：?AMBDqANCD(AAS),

：.BM=CN9DM=DN.

在AEMD和AFND中，

?；∕EMD=∕FND,DM=DN9ZMDE=ZNDF9

△尸NO(ASA),

：.EM=FN9

：.BE+CF=BM+EM+CN—FN=BM+CN=IBM=BD=—BC=—AB；

22

(3)過(guò)點(diǎn)。作DMJ_A3于M,如圖3,同(2)的方法可得：BM=CN,DM=DN9

EM=FN.

TDN=FN,

：.DM=DN=FN=EM9

：?BE+CF=BM+EM+FN-CN=NF+EM=2DM=Ky,

BE-CF=BM+EM-QFN-CN)=BM+NC=2BM=χ-y,

在RtZkBMD中，?.?N8Z)M=30o,：.BD=IBM,

22

-'-DM=yJBD-BM=y∕3BM，

.?.x+y=G(x-y),整理，得y=(2-6)x.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、30。

角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，具有一定的綜合性，正確添加輔助線、熟

練掌握上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

23、(1)B(3,0),C(0,3);(2)P(y,-2).

【分析】(1)代入點(diǎn)A(5,-2)求出m的值，分別代入y=0和x=0,求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)

(2)過(guò)C作直線AD對(duì)稱點(diǎn)Q,求出直線BQ的方程式，代入y=-2,即可求出點(diǎn)P的

坐標(biāo)

【詳解】⑴*.?y=-x+m過(guò)點(diǎn)A(5,-2),

:?-2=-5+m,

/.m=3

：?y=-x+3

令y=0,.?.x=3,ΛB(3,0)

令x=0,?β.y=3,.?.C(0,3)

(2)過(guò)C作直線AD對(duì)稱點(diǎn)Q,可得Q(0,?7),

連結(jié)BQ,交AD與點(diǎn)P,

7

可得直線BQtyi=-X-J

本題考查了二元一次方程的求解以及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，掌握作對(duì)稱點(diǎn)的方法來(lái)使BP+CP最小

是解題的關(guān)鍵

24、見(jiàn)解析

【分析】先根據(jù)“HL”證明aADEg4BCF,可證NA=NB