2023年新高考數(shù)學(xué)一模試題匯編06 用正余弦定理解三角形（解析版）

專題06用正余弦定理解三角形

一、單選題

1.（2023?廣東茂名?統(tǒng)考一模）已知菱形ABCD的各邊長為2,N8=60。.將△ABC沿AC折起，折起后記點(diǎn)8

為P,連接PD,得到三棱錐P-ACD,如圖所示，當(dāng)三棱錐P-ACO的表面積最大時(shí)，三棱錐P-4C。的

外接球體積為（）

【答案】D

【分析】根據(jù)題意結(jié)合三角形面積公式分析可得當(dāng)PClCn時(shí)，三棱錐P-ACD的表面積取最大值，再根

據(jù)直角三角形的性質(zhì)分析三棱錐的外接球的球心和半徑，即可得結(jié)果.

【詳解】由題意可得：44CD,A4CP均為邊長為2的等邊三角形，△PADQPCD為全等的等腰三角形，

則三棱錐P-4CD的表面積S=2SΔACD+2S“CD=2×∣×2×2×γ+2×∣×2×2×SinzPCD=2√3+

4sinzPCD<2√3+4,

當(dāng)且僅當(dāng)SinNPCO=1,即PC_LC。時(shí)，三棱錐P-4CD的表面積取最大值，

此時(shí)APADqPCD為直角三角形，PD=>JPC2+CD2=2√2,

取PD的中點(diǎn)0,連接040C，由直角三角形的性質(zhì)可得：OA=OC=OD=OP=E

即三棱錐P-4CD的外接球的球心為0,半徑為R=√2,故外接球體積為V=∣π（√2）3=竽π.

故選：D.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若三棱錐有兩個(gè)面為共斜邊的直角三角形，則三棱錐的外接球的球心為該斜邊的中點(diǎn).

2.（2023?廣東茂名?統(tǒng)考一模）蒙古包是蒙古族牧民居住的一種房子，建造和搬遷都很方便，適于牧業(yè)生

產(chǎn)和游牧生活，蒙古包下半部分近似一個(gè)圓柱，高為2m；上半部分近似一個(gè)與下半部分同底的圓錐，其

母線長為2√5m,軸截面（過圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面）是面積為3√5m2的等腰鈍角三角形，則該蒙古包的體積

約為（）

A.21πm3B.18πm3C.（18+3V3）τcm3D.（20+3V3）πm3

【答案】C

【分析】根據(jù)題意求圓錐的高和底面半徑，再結(jié)合錐體、柱體體積運(yùn)算求解.

【詳解】如圖所示為該圓錐軸截面，設(shè)頂角為α（｝<α<π）,

因?yàn)槠漭S截面（過圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面）是腰長為2gm,面積為3Km2的等腰三角形，

所以“2Sina=gX（2√5）2Xsinα=3百，解得Sina=苧，則α=g或α=g（舍去），

由α=與得九=/eos?=2√3XCOSg=√3,r=/sin=2√3Xsin；=3,

則上半部分的體積為（療2八=?n×32×√3=3√3πm2,下半部分體積為兀產(chǎn)八=18π,

故蒙古包的體積為（18+3√3）πm3.

故選：C.

二、解答題

3.（2023?山東荷澤?統(tǒng)考一模）如圖,在平面四邊形ABeD中,乙4BC=O（O<0<π）,AB=BC=CD=1,AC1

CD.

⑴試用夕表示BD的長；

⑵求的最大值.

【答案】(I)BD=2cos?

4

⑵m

【分析】(1)根據(jù)已知條件將/BCC用。表示,再在△BCD中利用余弦定理求解即可；

(2)在AZBC中先用余弦定理將ACZ用J表示,再結(jié)合(1)的結(jié)論,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最大值即可.

【詳解】(1)V乙ABC=θ(0<0<π),AB=BC=CD=1,AC1CD,

?-?BCA=l-^,則NBCD+—今=π—*

?ΔBCD'↑I,BD2=BC2+CD2-2BC-CDCOS乙BCD=2+2cos-=2(1+2cos2--1')=4cos2

V0<θ<π,

???cos->0,則BD=2cos

44

⑵在△ABC^^AC2=AB2+BC2-2AB?BCa)S乙ABC=2-2cosθ,

二AC2+BD2=2-2cosθ+2+2cos-=-4cos2-+2cos-÷6=-4fcos--工)+—,

222\24/4

V0<θ<π,.?.0<cos-<1,

則當(dāng)CoSl=:時(shí),取到最大值好

244

故4C2+BD2的最大值是指

4.(2023?遼寧盤錦?盤錦市一模)已知在AABC中，√3sin(A+B)=l+2sin2∣.

(1)求角C的大??；

(2)若NBAC與/ABC的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)/,AABC的外接圓半徑為2,求AAB/周長的最大值.

【答案】⑴；；(2)4+2√3.

【分析】(1)利用降幕公式、兩角和的正弦公式變形可得Sin(C+≡)=1,再根據(jù)角的范圍可得解；

O

(2)利用正弦定理求出4B,求出44/B,設(shè)出乙48/,將4/,B/用-1B/表示，根據(jù)三角函數(shù)知識(shí)求出4/+8/

的最大值可得解.

【詳解】(1)V√3sin(A+B)=1+2Si喏，且A+B+C=τr,

V3sinC=1+1-cosC—2-cosC,即V3sinC+cosC=2>

Λsin(C+^)=1.

VC∈(0,兀)，ΛC+≡∈(-,—),ΛC+-=-,即C=Z.

666623

(2)；AABC的外接圓半徑為2,

???由正弦定理知,缶=盤=2X2=4,.?.AB=2右

ZACB=M.?.NABC+NBAC音

:NBAC與NABC的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)1,

.?.NABI+NBAI/,.?.∕AIB=拳

Bc

設(shè)NABl=0,則∕BAI=g-0,且0＜。＜;

在"BI中，由正弦定理得，母y=焉=/=器=4,

.??BI=4sin(?-θ).AI=4sinθ,

,△ABI的周長為2√^+4sin(?-θ)+4sinθ=2√3+4(ycosθ-∣sinθ)÷4sinθ

=2√3+2√3cosθ+2sinθ≈4sin(。中+2√3,

?.?0＜θ巧.彳＜峭＜爭

.?.當(dāng)θ+∣=5即8=2時(shí)，AABI的周長取得最大值，最大值為4+2√5,

故AABI的周長的最大值為4+2√3.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將4/,B/用N4B/表示，根據(jù)三角函數(shù)知識(shí)求出4/+8/的最大值是解題關(guān)鍵.

5.(2023?重慶?統(tǒng)考一模)在△4BC中，角4B,C的對(duì)邊分別為α,b,c且b=c(cos4+sin4).

⑴求角Ci

(2)求竺叵的最大值.

C

【答案】⑴￡

4

⑵√Tδ

【分析】(I)由正弦定理，兩角和的正弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡已知等式即可得tanC=1,結(jié)

合0＜C＜7τ,可求得C的值.

(2)通過邊角互化將手轉(zhuǎn)換為吟誓,再由(D知角C利用輔助角公式化簡，即可求得最大值?

【詳解】(1)在△4BC中,由正弦定理得,SinB=SinC(COS4+sirυ4),

Sin(4+C)=SinCCC)SA+SinCSin4

=>SinaCOSC=SinCSin4

VSini4≠0,???cosC=SinC,

即tanC=1,*：0<C<π,?C=-.

4

(2)由正弦定理得：

葉；3=s"：：：SInE=企(Sin4+√2sin(4+=V2(2sin∕l+cosΛ)=√10sin(i4+φ),

其中SimP=京,cos*=蠢，又4∈(。，手),

故4÷φ∈(φ,乎+￠),

.?.sin(A+0)max=1，

Λ√10sin(i4+(p)max=√Iθ,

故空型的最大值為√IU.

C

6.(2023?重慶?統(tǒng)考一模)如圖，在平面四邊形ABCn中，BC=√3,BE1AC于點(diǎn)E,βF=√2,H?ΛCD

的面積為AABC面積的2倍.

⑴求4。?SinZ7λ4C值；

(2)當(dāng)CD=3時(shí),求線段Z)E的長.

【答案】(l)2√∑

⑵2企或26

【分析】(1)利用三角形面積公式和面積之間的關(guān)系得到AD?sin4λ4C=2?BE=2&；

(2)由正弦定理得4。-sinzD>lC=CD-sin?ACD=2√2,則有COS乙4CD=±3分情況討論即可.

(詳解】(I)VSAACD=~-AC-AD-SinNZMC,SΔABC=γAC-BE,

SAACD=2SAABC,’2.4C,40?sinZ-DAC=AC-BE,

???AD?sin?DAC=2?BE=2y[2.

4D

(2)由題CE=1,在AZCD中，.

s?n?DACSin乙4Cθ''

.,?AD?s?n?DAC=CD?sin?ACD=2√2.

又CD=3,.??SinzzlCD=?,?CoSZyICD=±J1-1=±

2

?ΔCDE中,由余弦定理,得。E2=CE2+CD-2-CE-CD-cos?ACD.

當(dāng)COSUC。=?'j',PF2=I2+32-2×1×3×I=8,???DF=2√2.

當(dāng)CoSN4CD=-^,DE2=l2+3z-2×l×3×(-j)=12,???DE=2√3.

綜上:DE=2近或DE=2√3.

7.(2023?江蘇南通?統(tǒng)考一模)在?M0C中,48,。的對(duì)邊分別為26,￡：,政0$8-2如0$。=(2<7-切8$4

(1)若C=√3α,求CoSB的值；

(2)若b=LNBAC的平分線4D交BC于點(diǎn)D,求4D長度的取值范圍.

【答案】(1)磐

⑵儲(chǔ))

【分析】(1)由正弦定理得出C=2b,再由余弦定理求得結(jié)果；

(2)設(shè)NB4。=。，把表示成兩個(gè)三角形的面積和，表示出4D,再求其取值范圍;

【詳解】(1)已知αcos3—2αcosC=(2c—b)cosAf

由正弦定理可得SinACOSB—2sin√lcosC=(2sinC-SinB)COS4

?SiIVICOSB+COSASinB=2sin√lcosC+2cos4sinC,

?Sin(A+B)=2sin(√l+C),

???sinC=2sinB,

：,c=2btc=V3a?即b=

a2+c2-b2a2+3α2-?213√3

:?COSDn=-----------=-------=------------.

2ac2a>∕3a24

(2)由(1)知c=2b,由b=l,則c=2.

設(shè)立84。=θ,SAABC=，2?sin2θ=γ2AD?Sine+，1?AD?sin。，

.?.ΛD=∣cosΘ,θ∈(θ,?),

???^e(o-S?

A

8.(2023?廣東梅州?統(tǒng)考--模)在AABC中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為α,b,c,已知√5αsinB+bcos4=2b.

(1)求內(nèi)角A;

(2)點(diǎn)M是邊BC上的中點(diǎn)，已知4M=2,求AABC面積的最大值.

【答案】⑴：

Q呼

【分析】(1)利用正弦定理將邊化成角，根據(jù)輔助角公式即可求得內(nèi)角A=*(2)根據(jù)向量加法的平行四

邊形法則可得病=X荏+前)，再利用數(shù)量積公式和基本不等式即可求得△4BC面積的最大值.

【詳解】(1)在△4Be中，因?yàn)閃asinB+bcosA=2b,

由正弦定理得0sin4sinB+SinBCOS4=2sinB,

因?yàn)锽∈(0,π),所以SinB>0,于是有WsinA+cos4=2,

所以ISini4+[CoSA=1,即Sin(A+2)=1,

因?yàn)?C(0,兀)，所以4+,∈

所以A+?=%

62

即A=?

(2)因?yàn)辄c(diǎn)M是邊BC上的中點(diǎn)，所以宿=X費(fèi)+前)，

對(duì)上式兩邊平分得：AM2=^(AB2+AC2+2|畫國ICoS4),

因?yàn)镮彳所=2,所以4=(92+∕J2+2bccθsg),即62+￠2+be=16,

而c2+Z√≥2bc,有3bc≤16,所以bc≤^,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，等號(hào)成立.

因此SAABC=IbCSinAWqX當(dāng)XSinW=等.

即AABC面積的最大值為華.

9.(2023?廣東佛山?統(tǒng)考一模)在銳角三角形AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為α,b,c,而為石?在方方

向上的投影向量，且滿足2csinB=遮|而

(1)求COSC的值;

Q)若b=6,a=3ccosfi,求AABC的周長.

【答案】(疇

(2)√2+2√3

【分析】利用正弦定理，邊化角，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方式，建立方程，可得答案.

【詳解】(1)由而為8?在方方向上的投影向量，則I而∣=bcosC,B∣J2csinB=√5hcosC,

根據(jù)正弦定理，2sinCsinB=√5sinBcosC,

在銳角AABC中，Be(0,9，貝IJSinB>0,即2sinC=√^cosC,

由C∈(0,]),則Cθs2c+SiMc=1,整理可得C0s2f+?cos2f=1,解得COSC=*

(2)由g=3ccos8,根據(jù)正弦定理，可得SirL4=3SinCCOsB,

在44BC中，4+B+C=7T,則Sin(B+C)=3sinCcosB,SinBcosC+CosBsinC=3sinCcosB,SinFcosC=

2sinCcosB,

2

由(I)可知CoSC=|,sinC=Vl—cosC=γ,則SinB=y∕5cosBf

由SiMB+Cos2B=1,則5COS2B+cos2B=1,解得cos8=~,SinB=—,

J66

根據(jù)正弦定理，可得-?=-?,貝IJC=當(dāng)b=√Σα=^c=√3,

SlnBSinCSlnB2

故4A8C的周長CMBC=a+b+c=2√3+V2.

10.(2023?廣東茂名?統(tǒng)考一模)已知AABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且a=b+2bcosC.

(1)求證：C=2B.

(2)求生的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

⑵(1,5)

【分析】(1)結(jié)合正弦定理及正弦和角公式得Sin(C-B)=Sin8,結(jié)合角度范圍即可證明；

(2)結(jié)合正弦定理及三角恒等變換華=4(cosB+；f-p結(jié)合B角范圍即可求解.

【詳解】(1)在ZMBC中，

由Q+b=2bcosC及正弦定理得：sinA=SinB+2sinBcosC

又??N=π-(8+C),

JsinA=sin[π—(B+C)]=Sin(B+C)=SinBcosC÷CosBsinC

BPsinBcosC+CoSBSinC=sinB+ZsinFcosC

SinBCOSC+COSBSinC-2s?nBcosC=sin8,

Sin(C-B)=SinB

β.,0<sinB=sin(C—B),/.0<C—B<C<π.

TB+(C—B)=CV兀，IB=C-B,C=2B

(2)得：C=28得B+C=38∈(0,π),

Λ0<β<-,.?-<cosB<1,

32

由題意Q=6+2hcosC,C=28及正弦定理得：

Q+cb+2bcosC+csinB+2sinBcosC+sinCsinB+2sinBcosC+sin2F

bbsinBSinB

sinB+2sin8cosC+2sinBcosB

=-------------------r~z------------------=1+2cosC+2cosB=1÷2cos2B+2cosB

SInB

=1+2(2cos2β-1)+2cosB=4cos2B+2cosB—1

/1\25

=4COSB÷———

\4/4

,.?i<cosB<1,Λl<4fcosB+i')z-≤<5,即1<小<5

2\4/4b

故等的取值范圍為(L5)

方法二：由正弦定理得：*si*nc

bSinF

V∕l+B+C=π,???4=兀-(8+。),

sinA+sinCsin[τr—(B+C)]+si∏Csin(B÷C)÷SinC

sinBSinBSinB

由(1)得：C=2B,故等=0誓吧

SinBCos2B+cos8sin2B+sin2B

SinB

si∏Bcos2B+COSB2sin8cosB+2sinBcosB

SinB

=cos2B+2cos2β+2cosF

=2COS2F-1+2COS2F+2cosB=4cos2B+2cosB—1

/1\25

=4cosB+---

\4/4

由(1)得：C=2B得B+C=35∈(0fπ),

Λ0<B<-,.?-<cosB<1,

32

1<4(CoSB+—<5>即1<—^―<5>

故等的取值范圍為(1,5)

11.(2023?廣東深圳?統(tǒng)考一模)記△>!BC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為α,b,c,己知b+c=2αsin(C+J.

⑴求4;

(2)設(shè)AB的中點(diǎn)為D,若CD=α,且b-c=l,求AABC的的面積.

【答案】(IM=W

(2嚴(yán)

【分析】(1)由b+c=2αsin(C+J可得b+c=√30sinC+acosC,由正弦定理及輔助公式得Sin(/I-J=

即可求得答案；

⑵在AACD中，由余弦定理得，。2=爐+。一、在AABC中，由余弦定理得，α?=爐+c?一反，從

而得b=￡,再由b-c=l,可得匕=3,c=2,由三角形面積公式求解即可.

【詳解】(1)解：由己知得，h+c=√3αsinC+acosC,

由正弦定理可得，sinB÷sinC=√3si∏i4sinC+sin?cosC,

因?yàn)椤?B+C=兀，

所以SinB=SinG4+C)=SinACe)SC+CoSASinC,

代入上式，整理得COSi4sinC+sinC=V3sinΛsinC,

又因?yàn)镃∈(0,π),sinC≠0,

所以λ∕5si∏4—cosA=1,

BPsin(Λ-=)=i

又因?yàn)锳∈(0,π),

所以一gv4—?<γ,

666

所以=

OO

解得4=%

(2)在△/!CD中，由余弦定理得，CD?=川+《一2b?fcos4.

42

而力=g,CD=a,所以QZ=/+￡——,①

342

在AABC中，由余弦定理得，a2=b2+c2-be,②

由①②兩式消去a,得3c2=2bc,

所以b=今，

又b-c=l,解得b=3,c=2.

所以△4BC的面積S=LbCSin4=—.

22

12.(2023?湖南岳陽?統(tǒng)考一模)在AABC中，三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)應(yīng)邊分別為α,b,c,b2-a2=ac.

(1)證明：B=24；

(2)求CoSC+cos4的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

(2)(θ(v]

【分析】(1)利用余弦定理、正弦定理化簡已知條件，結(jié)合三角恒等變換的知識(shí)證得B=24

(2)CoSC+CosA轉(zhuǎn)化為只含A的三角函數(shù)的形式，利用換元法、構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得CoSC+CosA的

取值范圍

【詳解】(1)依題意/-a2=QC,由余弦定理得a?+C2-2accosB-a2=c2-2accosB=ac,

c—2αcosB=Q,由正弦定理得SinC—2sin4cos8=SinA,

Sin(A+B)-2s?nAcosB=SirL4,SinAcosB+CosAsinB—2sinAcosB=SinA,

sin(B—力)=SinA1由于0V4V兀，所以sin4>0,則Sin(B—Λ)>0

由于]所以一兀<8—4<兀，則0<B—4<兀，

I—兀<—A<0

所以8-4=4或B-A+4=τc(舍去)，

所以B=2A.

(2)由于8=24,所以4為銳角，即0<4<],

而0<4+8<τt,即0<34<π,0<A<?

cosC+CoSi4=-cos(λ+B)+COSA=SinAsinB-cosAcosB+CoSi4=Sin力sin24—∞Si4cos2i4+cos4=

2s?n2AcosA—cosΛ(l—2sin2?)+cosA=4siM∕cos/=4(1—cos224)cos∕4=-4cos3∕l+4cos4,

令t=CoSA∈[?,l),∕^(t)=-4t3+4tG≤t<1),

∕,(t)=-12t2+4,

所以f(t)在區(qū)間當(dāng))∣V,(t)>0,/Q)遞增:

在區(qū)間(MI)上f'Q)<Oj⑴遞減.

Z1?11

/f

l-n=--

v2∕82—4+4=0

?

4X+4X√38√3

一=-

39

所以O(shè)<∕(t)≤竿，

所以COSC+C0S4的取值范圍是(0,竽］.

13.(2023?湖南邵陽?統(tǒng)考一模)如圖，P為△4BC內(nèi)的一點(diǎn),NBAP記為α,乙4BP記為刊,且α,［在BP中

的對(duì)邊分別記為，a，n,(2m+n)s?nβ=V3ncos∕?,a,β∈(θ,^)-

(2)若48=2√3,BP=2,PC=√3,記乙4PC=θ,求線段AP的長和△ABC面積的最大值.

【答案】⑴*

(2)答案見解析.

【分析】⑴由已知可推出Sina=曰COS"乂儂，整理得到Sina=Sin6—0).根據(jù)ɑ,H的范圍可得α+

β=三,進(jìn)而即可得出ZAPS；

(2)由已知可得AP=2,進(jìn)而根據(jù)SAABC=SMPB+SMPC+SABPC即可得出SAABC=√3+3sin(j-根

據(jù)0<0<兀，即可得出三角形面積的最大值.

【詳解】(1)已知(2m+n)sin/?=√^ncos0,由正弦定理可得

(2sinα+SinS)SinS=√5sinSCOS0,由SinS≠0,

所以2sinα+sin夕=BCOS0,即Sina=?cos3一^sinF,

所以Sina=sinɑ一￡).

因?yàn)棣?夕e(θ(),?-/je(θ?),

所以a=；-/?,則以+S=彳，所以乙4P8=兀一(α+?)=g.

(2)在△4PB中，由余弦定理得知：

AB2=AP2+BP2-2AP-BP?COSZTIPB,

即12=Ap2+4+24P,因?yàn)锳P>0,所以AP=2.

因?yàn)镹4PB+乙BPC+ΛAPC=2π,所以NBPC=2π---θ=--θ.

33

SbABC—SAAPB÷SRAPC+SbBPC

Ill

=-×AP×BP×sin?APB-V-×AP×CP×SinzTlPCΛ--×BP×CP×SinzIBPC

=∣×2×2×si∏y÷^×2×V3×Sine+∣×2×?/?Xsin(日—6)

=λ∕3+V3卜in?+sin-9)]=√3+V3(Sine+sinycosθ—cosySine)=V3+√3(Sine—?cosθ÷

ISine)=V3÷V3ɑsinθ-?cosθ^

=√3+3sin(e一3，O<6V兀.

因?yàn)?，一?lt;。一：<”，

666

所以，當(dāng)。T=泉即。=與時(shí)，AABC面積有最大值√5+3.

14.(2023?山東臨沂?統(tǒng)考一模)在△48C中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知αcosB+bcosA=2ccosC.

⑴求C;

(2)若c=l,求448C面積的取值范圍.

【答案】(I)C=M

⑵(0。

【分析】(1)利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦化簡作答.

(2)由(1)的結(jié)論，利用余弦定理結(jié)合均值不等式求出三角形面積范圍作答.

【詳解】(1)在△481中,由已知及正弦定理得:SinAcosB÷sinficosi4=ZsinCcosC,

即有sin(4+B)=2sinCcosC,即SinC=2sinCcosC,而OVCV兀，SinC>0,則COSC=g

所以C=%

(2)在中，由余弦定理C?=a2+爐一2αbcosC得：1=/+/-。/),

因此1≥2ab—abf即0<ɑb≤1,當(dāng)且僅當(dāng)Q=b時(shí)取等號(hào)，

取平面ABC的一個(gè)法向量為元=(0,0,1),BM=(-2,√3,y),

設(shè)直線BM與平面4BC所成的角為0,則SinW=翳德=n?=等，

N4+3+4

直線BM與平面4BC所成角的正弦值為等.

(2)由題意知C(-2+4cos0,4sin仇0),MhCOSO-l,2sinθ,y).

又荏=(4,0,0),俞=(2CoSe+l,2sinθ,y),

"AM1AB,.?.AM-AB=O.即4(2cos0+1)=0,.??cosθ=-?,θ=y,

在AABC中，AB=AC=4,?BAC=y,?BC=J42+42-2×4×4×cosy=4√3.

16.(2023?山東威海?統(tǒng)考一模)在AABC中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為α,b,c,旦駕=上-1.

tanAa

⑴求B；

(2)若α=3,b=3√7,求△ABC的面積.

【答案】（IE

⑵罕

【分析】（1）利用三角恒等變換及正弦定理化簡已知條件，即可得到答案;

（2）利用余弦定理求出c=9,再代入三角形的面積公式，即可得到答案;

SinBcosA2c∣∣JsinBcosA+cosBsinA_2c

【詳解】⑴由鬻=H1,得:+1J

CosBsinAaCosBsinAa

Sin(A+B)sin(π-C)SinC2c

-----------------------~------------——

CosBsinZlCoSBSin力COSBSinAa

由正弦定理得鼻=m=簫

因?yàn)镺VeVπ,sinC≠0,所以CoSB=；.

因?yàn)?<B<π,所以8=泉

(2)在AABC中，因?yàn)?=；,α=3,b=3√7,由余弦定理，得63=c?+9-6ccosY

即c?—3c—54=0,解得C=9或C=-6(舍去).

所以SC=?CicsinB=gx3x9xsin:=

即AABC的面積為2金

4

17.（2023?山東濰坊?統(tǒng)考一模）在①tanAtanC-√5tan4=l+√^tanC;②（2c-√5α）cosB=√5bcos4③

（α—V3c）sinΛ+csinC=bsinB這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中并作答.

問題：在△4BC中，角?!1了所對(duì)的邊分別為48的且__________.

（1）求角B的大?。?/p>

（2）已知c=6+1,且角4有兩解，求b的范圍.

【答案】（1）答案見解析

（2）h>1

【分析】（1）若選①，由兩角和的正切公式化筒即可求出求角8的大??；若選②，利用正弦定理統(tǒng)一為角

的三角函數(shù)，再由兩角和的正弦公式即可求解；若選③，由余弦定理代入化簡即可得出答案.

(2)將c=b+1代入正弦定理可得SinC=等，要使角4有兩解，B∣J∣<sinC<1,解不等式即可得出答案.

【詳解】(1)若選①：整理得1—tam4tanC=一百(tan?+tanC),因?yàn)?+B+C=τr,

所以tanB=—tan(i4÷C)=—,taπ4+tan^,=立，因?yàn)锽∈(O,τr),所以8=-；

ITaMtanC36

若選②：因?yàn)?2c—V3α)cosF=V3hcos?,

由正弦定理得(2SinC—√3sin√l)cosβ=√3sinBcos√l,

所以2sinCcosB=√3sin(y4+8)=√3sinC,sinC>0,所以COSB=立，因?yàn)锽∈(0lπ),所以B=-；

26

若選③：由正弦定理整理得α2+c2一匕2=√5αc,所以貯手打=當(dāng)，

2ac2

即CoSB二鼻因?yàn)锽∈(0,7r),所以B=g

26

(2)將c=b+1代入正弦定理-?=三，得-?=>，所以SinC=察

sιnβsinesιnBsmC2b

因?yàn)锽=G角4的解有兩個(gè)，所以角C的解也有兩個(gè)，所以;<sinC<1,

62

即等<1,又b>0,所以b<b+l<2b,解得b>l.

18.（2023?山東日照?統(tǒng)考一模）已知△力BC中，a,b,C是角A,B,C所對(duì)的邊，αsin等=bsinA,且α=1.

⑴求角B；

(2)若AC=BC,在△4Be的邊AB,4C上分別取。，E兩點(diǎn)，使△4。E沿線段DE折疊到平面BeE后，頂

點(diǎn)A正好落在邊BC(設(shè)為點(diǎn)P)上，求AQ的最小值.

【答案】⑴?

(2)2√3-3

【分析】(I)由正弦定理邊角互化得sin4sin=SinBSin4,又4+C=π—B,可得CoSm=SinB,結(jié)合

二倍角公式可求得結(jié)果；

(2)由題意可知△?!BC為等邊三角形，設(shè)4。=m,則8。=l-m,PC=m,由余弦定理得8「2+。一

2rri)=BP-(1-m),設(shè)BP=X,0≤x≤l,所以m=2-％+六-3,利用基本不等式可求得答案.

【詳解】(1)因?yàn)楱籹in?^=bsinA,所以由正弦定理邊角互化得sin4si∏B^=SinBsinA,

因?yàn)?∈(0,π),sin4≠O,A+C=π-B,所以Sinɑ—=sinB.B∣Jcos∣=SinB,所以CoST=2sin^cosp

因?yàn)锽∈(0,兀)，所以：€(0,9，cos：≠0,所以Sinm=5

所以月=二即B=：.

263

(2)因?yàn)?C=BC,B=%所以AABC為等邊三角形，即AC=BC=AB=I,

設(shè)力。=m,貝IJBz)=1-mfPD=ττir

所以在ABPO中，由余弦定理得cos8=BP：》；：''}=’整理得BP?+(1-2τn)=BP?

2BP?BD2BP(l-m)2''

(1_巾)，

設(shè)BP=X,0≤x≤1,所以Tn==Rr)2-30r)+3=2-χ+三一3,

2-X2-X2-X

由于0≤x≤l,故l≤2-x≤2,

所以m=2-刀+三一3≥28一3,當(dāng)且僅當(dāng)2-X=三=√5時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)X=2-√5,

2-X2-X

所以AD的最小值為2百-3.

19.(2023?福建?統(tǒng)考一模)記AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且3而?AC+4BA-BC=CA-CB.

⑴求.

(2)已知B=3C,c=1,求△4BC的面積.

【答案］⑴"2

【分析】(1)利用平面向量的數(shù)量積的定義結(jié)合余弦定理即可求出結(jié)果；

(2)由正弦定理得至IJSinB=2sinC,結(jié)合B=3C,c=1和兩角和則iE弦公式求出

β=3C=p進(jìn)而求出三角形的面積.