2023年高考數(shù)學模擬卷1（解析版）-2023年高考數(shù)學壓軸題專項訓練（全國通用）

2023年高考模擬卷（一）

文科數(shù)學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考

證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第H卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的）

1.已知集合A={xeN|x2-2x-340},B={xeR|log2023x<0},則AB=（）

A.(0,1]B.[0,1]C.{1}D.0

【答案】C

【詳解】由/一2萬-340,解得—14x43,

又因為xeN,所以A={0,l,2,3},

又由1嗚023彳4°，可得bgiWgzd解得0<xVl,

所以8={xeR|0<x41},

所以AB={1},

故選:C.

2.若（l+i）2=（l-i）z,則乞在復平面內(nèi)對應的點所在象限為（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

所以之對應點為（7,-1）,在第三象限.

故選：C

3.的一個充要條件是（）

110）

ac2>bc2

A.-a<7bB.

C.log2a>log2bD.1.7">1.7”

【答案】D

【詳解】A：若a>b,取。=12=7,則十年不成立，故A不符題意;

B：若a>b，取c=0,則ac?>歷2不成立，故B不符題意；

C：函數(shù)y=k>g2x在(0,+°o)上單調(diào)遞增，

山log2a>log?匕，得a>b>0,故C不符題意；

D：函數(shù)y=1.7'在R上單調(diào)遞增，

由1.7">1.7〃，得a>b；由得1.7">1.7",

所以“1.7">1.7〃"是的充要條件,故D符合題意.

故選：D.

4.已知向量a=(l,㈤，b=(-1,0),且,一可="m+6,則同=()

A.75B.25/3

C.722D.2限

【答案】C

【詳解】解：因為向量。=(1,，")，6=(-1,0)，

所以a-b=(2,，"),(/心=-1,

又因為卜一司=a,〃+6,

所以，2?+加=5，

解得癡=21,

所以同=\J\2+m2=-s/22.

故選：C

5.將頂點在原點，始邊為x軸非負半軸的銳角a的終邊繞原點逆時針轉(zhuǎn)過;后，交單位圓于點

415

那么cosa的值為()

阻「70D.逑

A.-------RD.-------L?-----

1051010

【答案】A

【詳解】由點尸在單位圓匕則(+y2=l,解得y=±g,

,3一(八兀、,,,,兀(7U3兀、?,4

由銳角。^［。，萬>即則y=g，

“（兀13.（4

故8s[a+aJ=_《,sin[a+1J=1，

（兀兀、（兀）兀.（兀）兀3正4夜夜

I44jI4j4I4j4525210

故選：A.

6,中國古代數(shù)學著作《九章算術》是人類科學史上應用數(shù)學的最早巔峰.書里記載了這樣一個問題"今有女

子善織，日自倍，五日織五尺.問日織幾何？"譯文是"今有一女子很會織布，每日加倍增長，5天共織5尺,

問每日各織布多少尺？"，則該女子第二天織布（）

A.9尺10155「

B.—尺aC.—D尺D.—尺

31311616

【答案】B

【詳解】由題，設每日織布數(shù)的數(shù)列為｛。,,｝，則｛/｝為以2為公比的等比數(shù)列,

山題知駕[2=5,得4=（，所以第二天織布尺數(shù)為。2=于2=黑.

故選:B.

7.法國數(shù)學家加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn)：與桶圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我

29

們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓c：3+W=i（〃>/>>0）的蒙日圓方程為Y+/=/+凡現(xiàn)有

橢圓C:￡+與=1的蒙日圓上一個動點M,過點M作橢圓C的兩條切線，與該蒙日圓分別交于P,Q兩點,

a16

若」時尸。面積的最大值為41,則橢圓C的長軸長為（）

A.5B.10C.6D.12

【答案】B

【詳解】橢圓C的蒙日圓的半徑為壽=

因為所以PQ為蒙日圓的直徑，

所以=2J4+16,所以+|Me|2=|PQ|2=4（/+16）.

因為明斗|蟆2|』歷H=2（容+16），當|何H=|MQ|=4.JY+16時,等號成立,

所以一MPQ面積的最大值為：^\MP\-\MQ\=a2+\6.

巾工加尸。面積的最大值為41,得/+16=41,得a=5,

故橢圓C的長軸長為10.

故選：B

兀5兀

8.已知函數(shù)/（%）=sin（<wx+夕）（少>0）是在區(qū)間上的單調(diào)減函數(shù)，其圖象關于直線戶w對稱,

18,36

7

且了（工）的一個零點是工=/兀，則①的最小值為（）

A.2B.12C.4D.8

【答案】C

【詳解】因為函數(shù)"x）=sin（ox+9）的圖象關于直線對稱,

36

所以一切?工+°=色+〃兀，WGZ,所以9=7+愛+〃兀，/IGZ,

362<236)

injr-,兀3兀〃771D677C刃兀

根據(jù)后＜、言’則行＜3而，所以而+。＜8+夕＜而+8,

兀5兀

因為〃X）=sin（0X+0）是在區(qū)間上的單調(diào)減函數(shù).

13936

G兀、兀eIr

-----F02F2匕I,Z￡Z

182

所以

5防，3瓦….丁

-------1■0V---F2%兀,kwZ

362

COJI

-----F—+—+/2］兀2工+2%兀，〃￡Z.kGZ

18236J2

所以，

56971

-----+---1------F〃|兀4----F2攵兀,nGZ,Z￡Z

36236)2

—+(—+—+/?|>—+2%,〃wZ,攵wZ

18(236)2

即《

5(0(1(D)/3?r

36(236)2

角吊得12（2%—〃）＜GW6（2左一〃+1）,HGZ,jteZ,

因為。＞（）,所以2攵一〃=（）或2%-〃=1,

當2左一〃=0時，0＜co＜6,當2Z—九=1時，12WGW12；

元

由7T于75且7r/（X）的一個零點是x=76n'

lo/Z3o/Z

7兀

所以GX五+9=（2/%+1）兀,meZ,

所以gx元+（,+公+〃）兀=（2/%+1）兀，tneZ,〃wZ,

即0=8（2/一〃）+4,mwZ,neZ.

根據(jù)0＜046或12W/W12,可得cy=4,或G=12,所以。的最小值為4.

故選：C.

9.在“2,3,5,7,11,13,17,19〃這8個素數(shù)中，任取2個不同的數(shù)，則這兩個數(shù)之和仍為素數(shù)的概率

是（）

【答案】C

【詳解】這8個素數(shù)中，任取2個不同的數(shù)，有如下基本事件：

（2,3）,（2,5）,（2,7）,（2,11）,（2,13）,（2,17）,（2,19）,

（3,5）,（3,7）,（3,11）,（3,13）,（3,17）,（3,19）,

（5,7）,（5,11）,（5,13）,（5,17）,（5,19）,

（7,11）,（7,13）,（7,17）,（7,19）,

（11,13）,（11,17）,（11,19）,

（13,17）,（13,19）,

（17,19）,共有28個基本事件，

這兩個數(shù)之和仍為素數(shù)的基本事件有：（2,3）,（2,5）,（2,11）,（2,17）共4個，

41

所以這兩個數(shù)之和仍為素數(shù)的概率是丞=,，

故選:C.

10.已知函數(shù)/（x）=a（3T）+*的圖象過點（0,1）與（3；）,則函數(shù)“X）在區(qū)間［1,4］上的最大值為（）

【答案】B

【詳解】因為函數(shù)/（x）=a（3-x）+鼻的圖象過點（0,1）與（3,（

9但，

所以“0）=1,/（3）=p貝I］44,

4［3a=\

解得a=~,b=3,

故函數(shù)的解析式為：/（-r）=-^-j+l.

而“加WJ+3（x+l）-3XI13

一+1

x+13~3

當且僅當x=2時取等號,

7

函數(shù)“X）在區(qū)間［1,4］上的最大值為不

故選：B.

11.已知三棱錐尸-MC的所有頂點都在球。的表面上，是邊長為4石的等邊三角形，若三棱錐

P-ABC體積的最大值是32石，則球。的表面積是（）

A.IOOTCB.16071C.200KD.320兀

【答案】A

【詳解】設一4?C外接圓的半徑為，則r=上6-=4,

2sin60°

設球。的半徑為R,當三梭錐尸-ABC的高最大時，體積取最大值，高的最大值〃=VFK+R.

所嗎?￥小扃X（JR2-42+/?）=32退,即1R-R=8,解得R=5.

故球O的表面積是4兀代=1007t.

故選：A.

12.若存在xe[l,+8）,使得關于x的不等式成立,則實數(shù)。的最小值為（）

1

A.2B.---C.In2-1D.------1

ln2ln2

【答案】D

【詳解】由（1+一）Ne兩邊取對數(shù)可得（》+。）始（1+5）21①,

令l+」=f,則*=六，因為xe[l,+8）,所以fe（l,2],

11

因為Inz>0,a>----

In/T^T

因為存在x?l,+功，使得關于x的不等式(i+￡|Ne成立，

所以存在rw(L2],〃之」--一!；成立，故求J--一、的最小值即可，

Inrt-\Inrt-\

令g(x)=7^-----^”(1,2]

Inxx-\

22

.g7X)______]+]_(Inx)-———(Inx)-x--4-2

“x-(lnx)2(x-1)2-x(x-l)2(lnx)2=-可*=(fan)

令人(x)=(Inx)2-X--+2,XG(1,2]

x

II21nx—x4—

/.hr(x)=--2Inx-l+—=-----------'

XXX

令°(x)=21nx-x+—,xc(l,2］,

x

,21—x2+2x—1—(x—1)~

/.(PM=一一1一一-=----A——=———<0,

XX"X廠

所以例X)在。,2］上單調(diào)遞減,所以以X)〈奴1)=0,

f

：.h(x)<09所以〃(%)在(1,2］上單調(diào)遞減，

所以A(x)</?(1)=0,gr(x)<0,

g(x)在(1,2］上單調(diào)遞減，「.g(x)>g(2)=-^―-1,

In2

所以實數(shù)。的最小值為」-1

m2m2

故選：D

第n卷

二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.已知|a|=2,161=26，a-i>=-4>貝U|a+8|=.

【答案】2夜

【詳解】由|。卜2,|切=2后，〃m=-4，

可得［a+bl=?a+b)2+b'+2a-b=5/4+12+2x(-4)=272，

故答案為：2后

41

14.已知x，y都是正數(shù)，且x+y=2,則--+—；的最小值為

x+2y+\

9

【答案】-##1.8

【詳解】因為乂了都是正數(shù)，且x+y=2,則(x+2)+(y+l)=5,

41141

則百齊7=#+2)+(k1-+衣)

冬+空+苦斗5+2、慳察

5x+2y+\5Nx+2y+15

當且僅當里空2=±±!,結(jié)合x+y=2,即X=］,時取等號，

x+2y+133

9

故答案為：j

15.已知圓Y+y2=4上有且僅有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1,則實數(shù)c的取值范圍是

【答案】-13<c<13

【詳解】因為圓/+爐=4工行且僅有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1,

所以原點到直線12x-5y+c=0的距離為d<r_1=2-1=1,

由點到直線的距離公式可得J%2+（_5）2

解得T3vc<13,

故答案為：-13<c<13.

[x—y=m+\

16.己知f=d一2X+4,x,y滿足<,，貝h的取值范圍是

“[x+y=3m+3

【答案】[3,12]

x-y=fn+\x=2m+2

【詳解】團,解得

x+y=3m+3y=m+l

1ax=2y,

又回-14”1,則-24x42,

對于f=f-2x+4,可知二次函數(shù)開口向上，對稱軸x=l,

故當x=l時，取至IJ最小值%n=l-2+4=3；

當x=—2時，取到最大值*,=4+4+4=12；

故34dl2,即f的取值范圍是[3,12].

故答案為：[3,12].

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.如圖，在二A3C中，點尸在8c邊上，ZPAC=6O°,PC=4,AP+AC=8.

⑴求邊AC的長；

(2)若ZvlPB的面積是8百，求sinNBAP的值.

【詳解】(1)在中，設AC=x,

由余弦定理得PC2=AP2+AC2-2AP-AC-cosAPAC,

則42=X2+(8-X)2-2X-(8-X)?；，

整理得3f-24x+48=0,

解得x=4,故AC=4.

(2)因為AC=4,AP+AC=8,

所以AP=4,所以△APC為等邊三角形，則/BB4=120。,

所以;?AP?8P-sinNBPA=8&,解得BP=8.

在△AP3中，由余弦定理得44=8尸+A尸-2?4PAPcosNBP4=112,得AB=4出,

RPAD8_4幣]

在△APB中，由正弦定理得.二n=.即Sin/"AP=環(huán),解得sin/34P=±i.

18.為了檢測甲、乙兩名工人生產(chǎn)的產(chǎn)品是否合格，一共抽取了40件產(chǎn)品進行測量，其中甲產(chǎn)品20件，

乙產(chǎn)品20件，分別稱量產(chǎn)品的重量（單位：克），記重量不低于66克的產(chǎn)品為〃合格〃，作出莖葉圖如圖:

甲乙

39130

68758010459

7754371248799

874133616

6329565

⑴分別估計甲、乙兩名工人生產(chǎn)的產(chǎn)品重量不低于80克的概率；

（2）根據(jù)莖葉圖填寫下面的列聯(lián)表，并判斷能否有90%的把握認為產(chǎn)品是否合格與生產(chǎn)的工人有關？

甲乙合計

合格

不合格

合計

【詳解】（1）設工人甲生產(chǎn)的產(chǎn)品重量不低于80克的概率為與，則扁=—=；.

工人乙生產(chǎn)的產(chǎn)品重量不低于80克的概率為紜，則攵=玲

（2）根據(jù)莖葉圖得列聯(lián)表如下：

甲乙合計

合格121729

不合格8311

合計202040

^^40x(12x3-17x8/^i35>

20x20x11x29

故判斷有90%的把握認為產(chǎn)品是否合格與生產(chǎn)的工人有關.

19.四棱錐E—ABCO中，面EBC,AD=ED,底面ABCQ中，AD//BC,=NCSA=90。,

AB=BC=2AD.

⑴若點F在線段8c上，試確定尸的位置，使面面A8C3,并給出證明;

(2)若￡/="，求四棱錐E-ABC。的體積.

【詳解】(1)當點尸是BC的中點時，面。￡戶，面ABCD證明如下:

由點F是8c的中點，得BF=:8C,又ADHBC,BC=2AD,

2

所以AD//BF,AD=BF,四邊形AOFB是平行四邊形.

根據(jù)N8AQ=NCR4=90。，得四邊形ADFB是矩形，故BCLDF.

因為切_1面功(?，BCu面EBC,所以BC_L￡D,

因為。Fc￡Q=。，DFu面DEF,EDu面DEF,

于是8c工面OEF,由于BCu面ABC。，因此面。EFLflMBC。.

(2)因為面￡)“尸"L面ABC。，面DEFc面ABC。=。/，

所以過點E作EOLDF于點O,EOu面DEFEOJ_面48。9,￡。的長就是四棱錐E-ABCD的高.

因為即_1_面EBC.所以￡DJ_EF,在RtZ\￡>EF中，EF=&DF=AB=2AD=2ED，

由勾股定理，得EF?+ED?=DF?，所以3+￡￡>2=4E￡)2,

于是E￡>=1,DF=2,根據(jù)即。尸=四后，得￡。=也.

2

根據(jù)鉆=。尸=2,以及8C=A8=2,AD=-AB=l,ZBAD=ZCBA=90°,

2

得四邊形ABCD的面積為SABCD=g(AO+BC)?AB=gx(1+2)x2=3,

因此四棱錐E-ABCD的體積峰ABCD=-SABCDXE0='X3X是=B.

_

c/ID<_3322

20.己知對稱軸都在坐標軸上的橢圓C過點415，亍)與點8(2,0),過點(1,0)的直線/與橢圓C交于P,

。兩點，直線3P,8。分別交直線x=3于E,F兩點.

⑴求橢圓C的標準方程；

⑵PEQ尸是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由.

【詳解】(1)設橢圓C的方程為座2+江=1(m>0,〃>0,且，什〃)，

tn15〃

1,解得，

因為橢圓C過點A與點8(2,0),所以1416

4〃？=1

所以橢圓C的標準方程為—+/=1.

(2)設直線/：x=)+l,P(x，yJ,Q(w，%)

x=ty+\

由I/，得(9+1f+4丫2-4=0，

—+V-=1

4

即(r+4“+2。，-3=0,則%+%=_島,y通=_*.

直線8P,BQ的方程分別為y=」、(x-2),y=上7(x-2).

玉一2w—2

令x=3,則E3.

則4=—

一d)

QF=3f尸」=2-ty2,

X%(2-"J(2一伙)

所以尸E?。尸=（2—劣）（2-"J+

-1)(^2-1)

=[-％_2心+必)+4]1+

「yy2T(y+%)+1

/2+4

_3”2產(chǎn)

r2+4+r2+4+>

_5/+16_5(1+4)-4_5___1

4(產(chǎn)+4)4,2+4)4t2+4

因為產(chǎn)+4,所以。<*《』，［七5

<-

4

即PE.QF的取值范圍為《

所以PEQ戶存在最小值，且最小值為1.

21.已知函數(shù)+2（，"+l）x-2，〃lnx,xe（0,+oo）.

⑴討論〃x）的單調(diào)區(qū)間；

⑵當機20時，試判斷函數(shù)f（x）的零點個數(shù)解：

【詳解】（1）求導得八4）=一2""口’.

X

當以40時，由制x）>0可知0—由r（x）<0可知x>l；

當0<〃?<1時，由/，X）>0可知〃7cx<1；由/'（x）<0可知X>1或0<X<〃7;

當，〃=1時，f'（x）40；

當山>1.時,由第x）>0可知1cx<m；由r（x）<0可知m<x或0vx<l.

綜上可得，當心40時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,1）,單調(diào)遞減區(qū)間為。,物）；

當0<加<1時，“X）的單調(diào)遞增區(qū)間為（〃川，單調(diào)遞減區(qū)間為（0,加），（1,+?））；

當機=1時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,+8）,無單調(diào)遞增區(qū)間：

當R>1時，“X）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1,，〃），單調(diào)遞減區(qū)間為（04），（也包）.

(2)①當〃?=0時，/(x)=-x2+lx,令y(x)=O,得x=2或0,

又x>0,所以〃x)僅有1個零點；

②當機=1時，f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，又/⑴=3>0,/(4)=-21n4<0,

所以〃x)僅有1個零點；

③當0<加<1時，〃6在(0,間，(1,”)上單調(diào)遞減，在(皿1)內(nèi)單調(diào)遞增，

又f(〃2)=，〃2+2〃?-2，〃ln"7>0,f(2m+2)=-2m\n(2m+2)<0,所以函數(shù)/(x)僅有1個零點；

④當">1時.，f(x)在(0,1),(九物)上單調(diào)遞減，在(1,加)內(nèi)單調(diào)遞增，又/(1)=2機+1>0,

f(2m+2)=-2m\n(2m+2)<0,所以〃x)僅有1個零點，

綜上可知，，心0時，函數(shù)〃x)有且僅有1個零點.

請考生在第22、23兩題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做的第一個題目計

分.

fx=cosa-sina

22.在平面直角坐標系X。)中，曲線C的參數(shù)方程為1.為參數(shù))，以。為極點，x軸的正