2024年初中升學考試模擬測試湖南省婁底市中考數(shù)學試卷解析版

第1頁（共1頁）2023年湖南省婁底市中考數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，滿分36分，每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的，請把你認為符合題目要求的選項填涂在答題卡上相應題號下的方框里）1．（3分）（2022?婁底）2022的倒數(shù)是（）A．2022 B．﹣2022 C． D．﹣2．（3分）（2022?婁底）下列式子正確的是（）A．a(chǎn)3?a2＝a5 B．（a2）3＝a5 C．（ab）2＝ab2 D．a(chǎn)3+a2＝a53．（3分）（2022?婁底）一個小組10名同學的出生月份（單位：月）如下表所示：編號12345678910月份26861047887這組數(shù)據(jù)（月份）的眾數(shù)是（）A．10 B．8 C．7 D．64．（3分）（2022?婁底）下列與2022年冬奧會相關的圖案中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．5．（3分）（2022?婁底）截至2022年6月2日，世界第四大水電站——云南昭通溪洛渡水電站累計生產(chǎn)清潔電能突破5000億千瓦時，相當于替代標準煤約1.52億噸，減排二氧化碳約4.16億噸．5000億用科學記數(shù)法表示為（）A．50×1010 B．5×1011 C．0.5×1012 D．5×10126．（3分）（2022?婁底）一條古稱在稱物時的狀態(tài)如圖所示，已知∠1＝80°，則∠2＝（）A．20° B．80° C．100° D．120°7．（3分）（2022?婁底）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．8．（3分）（2022?婁底）將直線y＝2x+1向上平移2個單位，相當于（）A．向左平移2個單位 B．向左平移1個單位 C．向右平移2個單位 D．向右平移1個單位9．（3分）（2022?婁底）在古代，人們通過在繩子上打結(jié)來計數(shù)，即“結(jié)繩計數(shù)”．當時有位父親為了準確記錄孩子的出生天數(shù)，在粗細不同的繩子上打結(jié)（如圖），由細到粗（右細左粗），滿七進一，那么孩子已經(jīng)出生了（）A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天10．（3分）（2022?婁底）如圖，等邊△ABC內(nèi)切的圖形來自我國古代的太極圖，等邊三角形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關于等邊△ABC的內(nèi)心成中心對稱，則圓中的黑色部分的面積與△ABC的面積之比是（）A． B． C． D．11．（3分）（2022?婁底）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知點P（m，1）、Q（1，m）（m＞0且m≠1），過點P、Q的直線與兩坐標軸相交于A、B兩點，連接OP、OQ，則下列結(jié)論中成立的有（）①點P、Q在反比例函數(shù)y＝的圖象上；②△AOB為等腰直角三角形；③0°＜∠POQ＜90°；④∠POQ的值隨m的增大而增大．A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③12．（3分）（2022?婁底）若10x＝N，則稱x是以10為底N的對數(shù)．記作：x＝lgN．例如：102＝100，則2＝lg100；100＝1，則0＝lg1．對數(shù)運算滿足：當M＞0，N＞0時，lgM+lgN＝lg（MN）．例如：lg3+lg5＝lg15，則（lg5）2+lg5×lg2+lg2的值為（）A．5 B．2 C．1 D．0二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）13．（3分）（2022?婁底）函數(shù)y＝的自變量x的取值范圍是．14．（3分）（2022?婁底）已知實數(shù)x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的兩根，則x1x2＝．15．（3分）（2022?婁底）黑色袋子中裝有質(zhì)地均勻，大小相同的編號為1～15號臺球共15個，攪拌均勻后，從袋中隨機摸出1個球，則摸出的球編號為偶數(shù)的概率是．16．（3分）（2022?婁底）九年級融融陪同父母選購家裝木地板，她感覺某品牌木地板拼接圖（如實物圖）比較美觀，通過手繪（如圖）、測量、計算發(fā)現(xiàn)點E是AD的黃金分割點，即DE≈0.618AD．延長HF與AD相交于點G，則EG≈DE．（精確到0.001）17．（3分）（2022?婁底）菱形ABCD的邊長為2，∠ABC＝45°，點P、Q分別是BC、BD上的動點，CQ+PQ的最小值為．18．（3分）（2022?婁底）如圖，已知等腰△ABC的頂角∠BAC的大小為θ，點D為邊BC上的動點（與B、C不重合），將AD繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)θ角度時點D落在D′處，連接BD′．給出下列結(jié)論：①△ACD≌△ABD′；②△ACB∽△ADD′；③當BD＝CD時，△ADD′的面積取得最小值．其中正確的結(jié)論有（填結(jié)論對應的應號）．三、解答題（本大題共2小題，每小題6分，共12分）19．（6分）（2022?婁底）計算：（2022﹣π）0+（）﹣1+|1﹣|﹣2sin60°．20．（6分）（2022?婁底）先化簡，再求值：（x+2+）÷，其中x是滿足條件x≤2的合適的非負整數(shù)．四、解答題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）21．（8分）（2022?婁底）按國務院教育督導委員會辦公室印發(fā)的《關于組織責任督學進行“五項管理”督導的通知》要求，各中小學校積極行動，取得了良好的成績．某中學隨機抽取了部分學生對他們一周的課外閱讀時間（A：10h以上，B：8h～10h，C：6h～8h，D：6h以下）進行問卷調(diào)查，將所得數(shù)據(jù)進行分類，統(tǒng)計繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)圖中的信息，解答下列問題：（1）本次調(diào)查的學生共名；（2）a＝，b＝；（3）補全條形統(tǒng)計圖．22．（8分）（2022?婁底）“體育承載著國家強盛、民族振興的夢想”．墩墩使用握力器（如實物圖所示）鍛煉手部肌肉．如圖，握力器彈簧的一端固定在點P處，在無外力作用下，彈簧的長度為3cm，即PQ＝3cm．開始訓練時，將彈簧的端點Q調(diào)在點B處，此時彈簧長PB＝4cm，彈力大小是100N，經(jīng)過一段時間的鍛煉后，他手部的力量大大提高，需增加訓練強度，于是將彈簧端點Q調(diào)到點C處，使彈力大小變?yōu)?00N，已知∠PBC＝120°，求BC的長．注：彈簧的彈力與形變成正比，即F＝k?Δx，k是勁度系數(shù)，Δx是彈簧的形變量，在無外力作用下，彈簧的長度為x0，在外力作用下，彈簧的長度為x，則Δx＝x﹣x0．五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）23．（9分）（2022?婁底）“綠水青山就是金山銀山”，科學研究表明：樹葉在光合作用后產(chǎn)生的分泌物能夠吸附空氣中的懸浮顆粒物，具有滯塵凈化空氣的作用．已知一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量比一片國槐樹葉一年的平均滯塵量的2倍少4mg，若一片國槐樹葉與一片銀杏樹葉一年的平均滯塵總量為62mg．（1）請分別求出一片國槐樹葉和一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量；（2）婁底市雙峰縣九峰山森林公園某處有始于唐代的三棵銀杏樹，據(jù)估計三棵銀杏樹共有約50000片樹葉．問這三棵銀杏樹一年的平均滯塵總量約多少千克？24．（9分）（2022?婁底）如圖，以BC為邊分別作菱形BCDE和菱形BCFG（點C，D，F(xiàn)共線），動點A在以BC為直徑且處于菱形BCFG內(nèi)的圓弧上，連接EF交BC于點O．設∠G＝θ．（1）求證：無論θ為何值，EF與BC相互平分；并請直接寫出使EF⊥BC成立的θ值．（2）當θ＝90°時，試給出tan∠ABC的值，使得EF垂直平分AC，請說明理由．六、綜合題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）25．（10分）（2022?婁底）如圖，已知BD是Rt△ABC的角平分線，點O是斜邊AB上的動點，以點O為圓心，OB長為半徑的⊙O經(jīng)過點D，與OA相交于點E．（1）判定AC與⊙O的位置關系，為什么？（2）若BC＝3，CD＝，①求sin∠DBC、sin∠ABC的值；②試用sin∠DBC和cos∠DBC表示sin∠ABC，猜測sin2α與sinα、cosα的關系，并用α＝30°給予驗證．26．（10分）（2022?婁底）如圖，拋物線y＝x2﹣2x﹣6與x軸相交于點A、點B，與y軸相交于點C．（1）請直接寫出點A，B，C的坐標；（2）點P（m，n）（0＜m＜6）在拋物線上，當m取何值時，△PBC的面積最大？并求出△PBC面積的最大值．（3）點F是拋物線上的動點，作FE∥AC交x軸于點E，是否存在點F，使得以A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請寫出所有符合條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．

2022年湖南省婁底市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，滿分36分，每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的，請把你認為符合題目要求的選項填涂在答題卡上相應題號下的方框里）1．（3分）（2022?婁底）2022的倒數(shù)是（）A．2022 B．﹣2022 C． D．﹣【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義即可得出答案．【解答】解：2022的倒數(shù)是．故選：C．【點評】本題考查了倒數(shù)，掌握乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)是解題的關鍵．2．（3分）（2022?婁底）下列式子正確的是（）A．a(chǎn)3?a2＝a5 B．（a2）3＝a5 C．（ab）2＝ab2 D．a(chǎn)3+a2＝a5【分析】根據(jù)冪的乘方與積的乘方，合并同類項，同底數(shù)冪的乘法法則，進行計算逐一判斷即可解答．【解答】解：A、a3?a2＝a5，故A符合題意；B、（a2）3＝a6，故B不符合題意；C、（ab）2＝a2b2，故C不符合題意；D、a3與a2不能合并，故D不符合題意；故選：A．【點評】本題考查了冪的乘方與積的乘方，合并同類項，同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握它們的運算法則是解題的關鍵．3．（3分）（2022?婁底）一個小組10名同學的出生月份（單位：月）如下表所示：編號12345678910月份26861047887這組數(shù)據(jù)（月份）的眾數(shù)是（）A．10 B．8 C．7 D．6【分析】根據(jù)眾數(shù)的意義求出眾數(shù)即可．【解答】解：這10名同學的出生月份出現(xiàn)次數(shù)最多的是8，共出現(xiàn)3次，因此眾數(shù)是8，故選：B．【點評】本題考查眾數(shù)，理解眾數(shù)的意義是解決問題的前提，掌握眾數(shù)的意義是解決問題的關鍵．4．（3分）（2022?婁底）下列與2022年冬奧會相關的圖案中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念進行判斷即可．【解答】解：A．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；B．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；C．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；D．是中心對稱圖形，故此選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查的是中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．5．（3分）（2022?婁底）截至2022年6月2日，世界第四大水電站——云南昭通溪洛渡水電站累計生產(chǎn)清潔電能突破5000億千瓦時，相當于替代標準煤約1.52億噸，減排二氧化碳約4.16億噸．5000億用科學記數(shù)法表示為（）A．50×1010 B．5×1011 C．0.5×1012 D．5×1012【分析】根據(jù)5000億＝500000000000，再用科學記數(shù)法的表示即可．【解答】解：∵5000億＝500000000000＝5×1011，故選：B．【點評】本題主要考查科學記數(shù)法的知識，熟練掌握科學記數(shù)法的形式是解題的關鍵．6．（3分）（2022?婁底）一條古稱在稱物時的狀態(tài)如圖所示，已知∠1＝80°，則∠2＝（）A．20° B．80° C．100° D．120°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和平角的定義可得結(jié)論．【解答】解：如圖，由平行線的性質(zhì)得：∠3＝∠1＝80°，∵∠2+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣80°＝100°．故選：C．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)和平角的定義，掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解本題的關鍵．7．（3分）（2022?婁底）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【分析】先求出不等式組的解集，再確定符合條件的選項．【解答】解：，解①，得x≤2，解②，得x＞﹣1．所以原不等式組的解集為：﹣1＜x≤2．故符合條件的選項是C．故選：C．【點評】本題考查了解一元一次不等式組，掌握不等式組的解法是解決本題的關鍵．8．（3分）（2022?婁底）將直線y＝2x+1向上平移2個單位，相當于（）A．向左平移2個單位 B．向左平移1個單位 C．向右平移2個單位 D．向右平移1個單位【分析】根據(jù)直線y＝kx+b平移k值不變，只有b發(fā)生改變解答即可．【解答】解：將直線y＝2x+1向上平移2個單位后得到新直線解析式為：y＝2x+1+2，即y＝2x+3．由于y＝2x+3＝2（x+1）+1，所以將直線y＝2x+1向左平移1個單位即可得到直線y＝2x+3．所以將直線y＝2x+1向上平移2個單位，相當于將直線y＝2x+1向左平移1個單位．故選：B．【點評】本題考查的是一次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減”的原則是解答此題的關鍵．9．（3分）（2022?婁底）在古代，人們通過在繩子上打結(jié)來計數(shù)，即“結(jié)繩計數(shù)”．當時有位父親為了準確記錄孩子的出生天數(shù)，在粗細不同的繩子上打結(jié)（如圖），由細到粗（右細左粗），滿七進一，那么孩子已經(jīng)出生了（）A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天【分析】由于從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿七進一，所以從右到左的數(shù)分別為5，3×7，3×7×7和1×7×7×7，然后把它們相加即可．【解答】解：孩子自出生后的天數(shù)是：1×7×7×7+3×7×7+3×7+5＝343+147+21+5＝516，答：那么孩子已經(jīng)出生了516天．故選：B．【點評】本題考查了用數(shù)字表示事件．本題是以古代“結(jié)繩計數(shù)”為背景，按滿七進一計算自孩子出生后的天數(shù)，運用了類比的方法，根據(jù)圖中的數(shù)學列式計算；本題題型新穎，一方面讓學生了解了古代的數(shù)學知識，另一方面也考查了學生的思維能力．10．（3分）（2022?婁底）如圖，等邊△ABC內(nèi)切的圖形來自我國古代的太極圖，等邊三角形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關于等邊△ABC的內(nèi)心成中心對稱，則圓中的黑色部分的面積與△ABC的面積之比是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意和圖形，可知圓中的黑色部分的面積是圓的面積的一半，然后即可計算出圓中的黑色部分的面積與△ABC的面積之比．【解答】解：作AD⊥BC于點D，作BE⊥AC于點E，AD和BE交于點O，如圖所示，設AB＝2a，則BD＝a，∵∠ADB＝90°，∴AD＝＝a，∴OD＝AD＝a，∴圓中的黑色部分的面積與△ABC的面積之比是：＝，故選：A．【點評】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、圓的面積、三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．11．（3分）（2022?婁底）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知點P（m，1）、Q（1，m）（m＞0且m≠1），過點P、Q的直線與兩坐標軸相交于A、B兩點，連接OP、OQ，則下列結(jié)論中成立的有（）①點P、Q在反比例函數(shù)y＝的圖象上；②△AOB為等腰直角三角形；③0°＜∠POQ＜90°；④∠POQ的值隨m的增大而增大．A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可判斷①；根據(jù)P、Q點的坐標特征即可判斷②③；求得直線OP、OQ的解析式，根據(jù)正比例函數(shù)的系數(shù)即可判斷．【解答】解：∵點P（m，1）、Q（1，m）（m＞0且m≠1），則m?1＝1?m＝m，∴點P、Q在反比例函數(shù)y＝的圖象上，故①正確；設直線PQ為y＝kx+b，則，解得，∴直線PQ為y＝﹣x+m+1，當y＝0時，x＝m+1；當x＝0時，y＝m+1，∴A（m+1，0），B（0，m+1），∴OA＝OB，∵∠AOB＝90°，∴△AOB為等腰直角三角形，故②正確；∵點P（m，1）、Q（1，m）（m＞0且m≠1），∴P、Q都在第一象限，∴0°＜∠POQ＜90°，故③正確；∵直線OP為y＝x，直線OQ為y＝mx，∴當0＜m＜1時，∠POQ的值隨m的增大而減小，當m＞1時，∠POQ的值隨m的增大而增大，故④錯誤；故選：D．【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，等腰直角三角形的判定等，數(shù)形結(jié)合是解題的關鍵．12．（3分）（2022?婁底）若10x＝N，則稱x是以10為底N的對數(shù)．記作：x＝lgN．例如：102＝100，則2＝lg100；100＝1，則0＝lg1．對數(shù)運算滿足：當M＞0，N＞0時，lgM+lgN＝lg（MN）．例如：lg3+lg5＝lg15，則（lg5）2+lg5×lg2+lg2的值為（）A．5 B．2 C．1 D．0【分析】首先根據(jù)定義運算提取公因式，然后利用定義運算計算即可求解．【解答】解：原式＝lg5（lg5+lg2）+lg2＝lg5×lg（5×2）+lg2＝lg5lg10+lg2＝lg5+lg2＝lg10＝1．故選：C．【點評】本題主要考查了定義運算，實際上是對數(shù)的運算，讀懂題目意思是關鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）13．（3分）（2022?婁底）函數(shù)y＝的自變量x的取值范圍是x＞1．【分析】根據(jù)（a≥0），以及分母不能為0，可得x﹣1＞0，然后進行計算即可解答．【解答】解：由題意得：x﹣1＞0，解得：x＞1，故答案為：x＞1．【點評】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，熟練掌握（a≥0），以及分母不能為0是解題的關鍵．14．（3分）（2022?婁底）已知實數(shù)x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的兩根，則x1x2＝﹣1．【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系解答．【解答】解：∵方程x2+x﹣1＝0中的a＝b＝1，c＝﹣1，∴x1x2＝＝﹣1．故答案是：﹣1．【點評】此題主要考查了根與系數(shù)的關系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數(shù)的關系為：x1+x2＝﹣，x1?x2＝．15．（3分）（2022?婁底）黑色袋子中裝有質(zhì)地均勻，大小相同的編號為1～15號臺球共15個，攪拌均勻后，從袋中隨機摸出1個球，則摸出的球編號為偶數(shù)的概率是．【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以得到一共有多少種可能性，其中摸出編號是偶數(shù)的有多少種可能性，從而可以求得摸出的球編號為偶數(shù)的概率．【解答】解：由題意可得，從袋中隨機摸出1個球，一共有15種可能性，其中摸出編號是偶數(shù)的有7種可能性，故摸出的球編號為偶數(shù)的概率是，故答案為：．【點評】本題考查概率公式，解答本題的關鍵是明確題意，求出相應的概率．16．（3分）（2022?婁底）九年級融融陪同父母選購家裝木地板，她感覺某品牌木地板拼接圖（如實物圖）比較美觀，通過手繪（如圖）、測量、計算發(fā)現(xiàn)點E是AD的黃金分割點，即DE≈0.618AD．延長HF與AD相交于點G，則EG≈0.618DE．（精確到0.001）【分析】根據(jù)黃金分割的定義可得＝≈0.618，再根據(jù)題意可得EG＝AE，即可解答．【解答】解：∵點E是AD的黃金分割點，且DE≈0.618AD，∴＝≈0.618，由題意得：EG＝AE，∴≈0.618，∴EG≈0.618DE，故答案為：0.618．【點評】本題考查了黃金分割，近似數(shù)和有效數(shù)字，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關鍵．17．（3分）（2022?婁底）菱形ABCD的邊長為2，∠ABC＝45°，點P、Q分別是BC、BD上的動點，CQ+PQ的最小值為．【分析】連接AQ，作AH⊥BC于H，利用SAS證明△ABQ≌△CBQ，得AQ＝CQ，當點A、Q、P共線，AQ+PQ的最小值為AH的長，再求出AH的長即可．【解答】解：連接AQ，作AH⊥BC于H，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝CB，∠ABQ＝∠CBQ，∵BQ＝BQ，∴△ABQ≌△CBQ（SAS），∴AQ＝CQ，∴當點A、Q、P共線，AQ+PQ的最小值為AH的長，∵AB＝2，∠ABC＝45°，∴AH＝，∴CQ+PQ的最小值為，故答案為：．【點評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識，將CQ+PQ的最小值轉(zhuǎn)化為AH的長是解題的關鍵．18．（3分）（2022?婁底）如圖，已知等腰△ABC的頂角∠BAC的大小為θ，點D為邊BC上的動點（與B、C不重合），將AD繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)θ角度時點D落在D′處，連接BD′．給出下列結(jié)論：①△ACD≌△ABD′；②△ACB∽△ADD′；③當BD＝CD時，△ADD′的面積取得最小值．其中正確的結(jié)論有①②③（填結(jié)論對應的應號）．【分析】由題意可知AC＝AB，AD＝AD′，∠CAD＝∠BAD′，即可根據(jù)SAS判斷△ACD≌△ABD′；根據(jù)∠BAC＝∠D′AD＝θ，＝，即可判斷△ACB∽△ADD′；由△ACB∽△ADD′，得出＝（）2，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，當BD＝CD，則AD⊥BC時，AD最小，△ADD′的面積取得最小值．【解答】解：由題意可知AC＝AB，AD＝AD′，∠CAD＝∠BAD′，∴△ACD≌△ABD′，故①正確；∵AC＝AB，AD＝AD′，∠BAC＝∠D′AD＝θ，∴＝，∴△ACB∽△ADD′，故②正確；∵△ACB∽△ADD′，∴＝（）2，∵當AD⊥BC時，AD最小，△ADD′的面積取得最小值．而AB＝AC，∴BD＝CD，∴當BD＝CD時，△ADD′的面積取得最小值，故③正確；故答案為：①②③．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，垂線段最短以及等腰三角形三線合一的性質(zhì)，三角形掌握這些性質(zhì)是解題的關鍵．三、解答題（本大題共2小題，每小題6分，共12分）19．（6分）（2022?婁底）計算：（2022﹣π）0+（）﹣1+|1﹣|﹣2sin60°．【分析】先計算零次冪、負整數(shù)指數(shù)冪，再化簡絕對值、代入特殊角的三角函數(shù)值算乘法，最后算加減．【解答】解：原式＝1+2+﹣1﹣2×＝1+2+﹣1﹣＝2．【點評】本題考查了實數(shù)的運算，掌握零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、絕對值的意義及特殊角的函數(shù)值是解決本題的關鍵．20．（6分）（2022?婁底）先化簡，再求值：（x+2+）÷，其中x是滿足條件x≤2的合適的非負整數(shù)．【分析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再將x的值代入計算即可．【解答】解：原式＝（+）÷＝?＝，∵x≠0且x﹣2≠0，∴x≠0且x≠2，∴x＝1，則原式＝＝﹣1．【點評】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關鍵是掌握分式的混合運算順序和運算法則．四、解答題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）21．（8分）（2022?婁底）按國務院教育督導委員會辦公室印發(fā)的《關于組織責任督學進行“五項管理”督導的通知》要求，各中小學校積極行動，取得了良好的成績．某中學隨機抽取了部分學生對他們一周的課外閱讀時間（A：10h以上，B：8h～10h，C：6h～8h，D：6h以下）進行問卷調(diào)查，將所得數(shù)據(jù)進行分類，統(tǒng)計繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)圖中的信息，解答下列問題：（1）本次調(diào)查的學生共200名；（2）a＝30，b＝50；（3）補全條形統(tǒng)計圖．【分析】（1）根據(jù)D類人數(shù)以及所占的百分比即可求解；（2）根據(jù)總數(shù)以及A類、B類的人數(shù)即可求解；（3）根據(jù)C類所占的百分比，求出C類人數(shù)，即可補全條形統(tǒng)計圖．【解答】解：（1）本次調(diào)查的學生共：10÷5%＝200（名），故答案為：200；（2）a＝×100＝30，b＝×100＝50，故答案為：30，50；（3）C類人數(shù)為200×15%＝30，補全條形統(tǒng)計圖如圖：【點評】本題考查扇形統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖，理解兩個統(tǒng)計圖中數(shù)量之間的關系是正確解答的關鍵．22．（8分）（2022?婁底）“體育承載著國家強盛、民族振興的夢想”．墩墩使用握力器（如實物圖所示）鍛煉手部肌肉．如圖，握力器彈簧的一端固定在點P處，在無外力作用下，彈簧的長度為3cm，即PQ＝3cm．開始訓練時，將彈簧的端點Q調(diào)在點B處，此時彈簧長PB＝4cm，彈力大小是100N，經(jīng)過一段時間的鍛煉后，他手部的力量大大提高，需增加訓練強度，于是將彈簧端點Q調(diào)到點C處，使彈力大小變?yōu)?00N，已知∠PBC＝120°，求BC的長．注：彈簧的彈力與形變成正比，即F＝k?Δx，k是勁度系數(shù)，Δx是彈簧的形變量，在無外力作用下，彈簧的長度為x0，在外力作用下，彈簧的長度為x，則Δx＝x﹣x0．【分析】由題意可以先求出k的值，然后即可求出PC的長，再根據(jù)勾股定理即可得到PA和AB的長，由圖可知：BC＝AC﹣AB，代入數(shù)據(jù)計算即可．【解答】解：由題意可得，x0＝3cm，100＝k（4﹣3），解得k＝100，∴F＝100Δx，當F＝300時，300＝100×（PC﹣3），解得PC＝6cm，由圖可得，∠PAB＝90°，∠PBC＝120°，∴∠APB＝30°，∵PB＝4cm，∴AB＝2cm，PA＝＝2（cm），∵PC＝5cm，∴AC＝＝2（cm），∴BC＝AC﹣AB＝（2﹣2）cm，即BC的長是（2﹣2）cm．【點評】本題考查解直角三角形的應用、正比例函數(shù)，解答本題的關鍵是求出k的值，以及AC和AB的值．五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）23．（9分）（2022?婁底）“綠水青山就是金山銀山”，科學研究表明：樹葉在光合作用后產(chǎn)生的分泌物能夠吸附空氣中的懸浮顆粒物，具有滯塵凈化空氣的作用．已知一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量比一片國槐樹葉一年的平均滯塵量的2倍少4mg，若一片國槐樹葉與一片銀杏樹葉一年的平均滯塵總量為62mg．（1）請分別求出一片國槐樹葉和一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量；（2）婁底市雙峰縣九峰山森林公園某處有始于唐代的三棵銀杏樹，據(jù)估計三棵銀杏樹共有約50000片樹葉．問這三棵銀杏樹一年的平均滯塵總量約多少千克？【分析】（1）設一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量為xmg，一片國槐樹葉一年的平均滯塵量為ymg，由題意：一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量比一片國槐樹葉一年的平均滯塵量的2倍少4mg，一片國槐樹葉與一片銀杏樹葉一年的平均滯塵總量為62mg．列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）由（1）的結(jié)果列式計算即可．【解答】解：（1）設一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量為xmg，一片國槐樹葉一年的平均滯塵量為ymg，由題意得：，解得：，答：一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量為40mg，一片國槐樹葉一年的平均滯塵量為22mg；（2）50000×40＝2000000（mg）＝2kg，答：這三棵銀杏樹一年的平均滯塵總量約2千克．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．24．（9分）（2022?婁底）如圖，以BC為邊分別作菱形BCDE和菱形BCFG（點C，D，F(xiàn)共線），動點A在以BC為直徑且處于菱形BCFG內(nèi)的圓弧上，連接EF交BC于點O．設∠G＝θ．（1）求證：無論θ為何值，EF與BC相互平分；并請直接寫出使EF⊥BC成立的θ值．（2）當θ＝90°時，試給出tan∠ABC的值，使得EF垂直平分AC，請說明理由．【分析】（1）證明四邊形DEGF是平行四邊形，可得結(jié)論；（2）當tan∠ABC＝2時，EF垂直平分線段AC．證明OJ∥AC，可得結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形BCFG，四邊形BCDE都是菱形，∴CF∥BG，CD∥BE，CB＝CF＝CD＝BG＝BE，∵D，C，F(xiàn)共線，∴G，B，E共線，∴DF∥EG，DF＝GE，∴四邊形DEGF是平行四邊形，∴EF與BC互相平分．當EF⊥FG時，∵GF＝BG＝BE，∴EG＝2GF，∴∠GEF＝30°，∴θ＝90°﹣30°＝60°；（2）解：當tan∠ABC＝2時，EF垂直平分線段AC．理由：如圖（2）中，設AC交EF于點J．∵四邊形BCFG是菱形，∴∠G＝∠FCO＝90°，∵EF與BC互相平分，∴OC＝OB，∴CF＝BC，∴FC＝2OC，∴tan∠FOC＝tan∠ABC，∴∠ABC＝∠FOC，∴OJ∥AB，∵OC＝OB，∴CJ＝AJ，∵BC是直徑，∴∠BAC＝∠OJC＝90°，∴EF垂直平分線段AC．【點評】本題考查菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．六、綜合題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）25．（10分）（2022?婁底）如圖，已知BD是Rt△ABC的角平分線，點O是斜邊AB上的動點，以點O為圓心，OB長為半徑的⊙O經(jīng)過點D，與OA相交于點E．（1）判定AC與⊙O的位置關系，為什么？（2）若BC＝3，CD＝，①求sin∠DBC、sin∠ABC的值；②試用sin∠DBC和cos∠DBC表示sin∠ABC，猜測sin2α與sinα、cosα的關系，并用α＝30°給予驗證．【分析】（1）連接OD，證明OD∥BC，則∠ODA＝∠C＝90°，再根據(jù)圓的切線的判定定理證明AC是⊙O的切線；（2）①根據(jù)三角函數(shù)定義可得結(jié)論；②計算cos∠DBC的值，并計算2sin∠DBC?cos∠DBC的值，可得結(jié)論：sin∠ABC＝2sin∠DBC?cos∠DBC；并用α＝30°可得結(jié)論．【解答】解：（1）AC是⊙O切線，理由如下：如圖，連接OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵BD是△ABC的角平分線，∴∠OBD＝∠DBC，∴∠ODB＝∠DBC，∴OD∥BC，∴∠ODA＝∠C＝90°，∵OD是⊙O的半徑，且AC⊥OD，∴AC是⊙O的切線；（2）①在Rt△DBC中，∵BC＝3，CD＝，∴BD＝＝＝，∴sin∠DBC＝＝＝，如圖2，連接DE，OD，過點O作OG⊥BC于G，∴∠