高中數(shù)學(xué)選擇性必修三：7-5 正態(tài)分布（學(xué)案）

7.5正態(tài)分布

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

課程標(biāo)準(zhǔn)素養(yǎng)要求

L通過(guò)誤差模型,了解服從正態(tài)分布1.了解正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概念.(數(shù)學(xué)抽

的隨機(jī)變量.通過(guò)具體實(shí)例、借助頻象)

率分布直方圖的幾何直觀,了解正態(tài)2.了解概率密度函數(shù),理解正態(tài)曲線的性質(zhì).(數(shù)學(xué)

分布的特征.抽象、直觀想象)

2.了解正態(tài)分布的均值、標(biāo)準(zhǔn)差、方3.會(huì)求正態(tài)分布在給定區(qū)間的概率,能利用正態(tài)

差及其含義._____________________分布知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算)

【自主學(xué)習(xí)】

一、正態(tài)曲線

1(x-?)2

函數(shù)?！?X)=72，，X∈(-8,+8),其中實(shí)數(shù)卜I和。0>0)為參數(shù)，以，0。)的圖象

為，簡(jiǎn)稱(chēng)正態(tài)曲線.

二、正態(tài)分布

1.定義:若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(χ),則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布；

2.記作:X~N(μ,σ2);

3.特例:當(dāng)μ=—,σ=—時(shí),稱(chēng)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

思考1：正態(tài)曲線”“(X)中參數(shù)〃，。的意義是什么？

三、正態(tài)曲線的性質(zhì)

正態(tài)曲線φ.傘)=后一，XeR有以下性質(zhì)：

μ—.2,

1、曲線位于X軸,與X軸.

2、曲線是單峰的，它關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).

3、曲線在處達(dá)到峰值.

4、曲線與X軸之間的面積為.

5、當(dāng)一定時(shí)，曲線的位置由〃確定，曲線隨著〃的變化而沿X軸平移，如圖①.

6、當(dāng)〃一定時(shí)，曲線的形狀由。確定，σ,曲線越“瘦高”，表示總體的分布越；

σ，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越______,如圖②.

四、正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率

1、P(μ—σ<X<μ+σ)≈；

2、P(∕ι—2σ<X<μ+2σ)≈；

3、P(JI—3σ<X<∕∕+3σ)≈.

思考2：為什么正態(tài)分布中，通常認(rèn)為X只取區(qū)間5—30,〃+3司內(nèi)的值?

【小試牛刀】

1、思維辨析(對(duì)的打“J”，錯(cuò)的打“X”)

(1)正態(tài)曲線是一條鐘形曲線.()

(2)函數(shù)””(x)中參數(shù)〃，α的意義分別是樣本的均值與方差.()

(3)正態(tài)曲線是單峰的，其與X軸圍成的面積是隨參數(shù)〃，。的變化而變化的.()

(4)正態(tài)曲線可以關(guān)于)，軸對(duì)稱(chēng).()

2.設(shè)X?N(IO,0.64),則D(X)等于()

A.0.8B.0.64C.0.642D.6.4

【經(jīng)典例題】

題型一正態(tài)分布密度曲線

點(diǎn)撥：正態(tài)密度函數(shù)解析式的求法

利用圖象求正態(tài)密度函數(shù)的解析式，應(yīng)抓住圖象的實(shí)質(zhì)，主要有兩點(diǎn)：一是對(duì)稱(chēng)軸X=",

二是最值一?=,這兩點(diǎn)確定以后，相應(yīng)參數(shù)〃，。便確定了，代入便可求出相應(yīng)的解析式.

σ?2π

例1如圖是一個(gè)正態(tài)曲線,試根據(jù)該圖象寫(xiě)出其正態(tài)分布的概率密度

函數(shù)的解析式，求出總體隨機(jī)變量的均值和方差.

【跟蹤訓(xùn)練】設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布和c?)(σ2>0)

1Nql1,στ)(σ?ι>O)N(U2,N(μι,σf)λ

的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有()X∕ι

0^

O^.0

A.μ?<μι,σ?<σιB.μ1<μ2,σι>σ2J

54

C.μ1>μ2,σ1<σ2D.μ1>μ2,σι>σ2S2

5。

.O-O.

題型二利用正態(tài)分布的性質(zhì)求概率

點(diǎn)撥：正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值概率的求解策略

(1)充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性和曲線與X軸之間面積為1.

(2)熟記Pal-σ<x<μ+σ),P(μ~2σ<X<μ+2σ),P(μ-3σ<X<t∕+3Cr)的值.

⑶注意概率值的求解轉(zhuǎn)化：

①P(XVa)=1-P(XNa);②P(XV〃一ɑ)=P(X≥∕∕+α):

廣、“1—P(b<X<2μ-b)

③若b<μ,則P(XVb)=---------------2—----------

例2設(shè)X?N(1,22),試求:

(1)P(-1<X<3);

(2)P(3<X<5).

【跟蹤訓(xùn)練】2設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(2,9),若P("c+l)=P(O<c-l)惻c=.

題型三正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用

點(diǎn)撥：正態(tài)曲線的應(yīng)用及求解策略

解答此類(lèi)題目的關(guān)鍵在于將待求的問(wèn)題向(//—σ,∕z+σ),(∕z-2σ,∕z+2σ),(j,ι-3σ,〃+3。)

這三個(gè)區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用上述區(qū)間的概率求出相應(yīng)概率，在此過(guò)程中依然會(huì)用到化歸思

想及數(shù)形結(jié)合思想.

例3在某校舉行的一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，全體參賽學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)X近似服從正態(tài)分布

M70,100).已知成績(jī)?cè)?0分以上(含90分)的學(xué)生有16名.

⑴試問(wèn)此次參賽的學(xué)生總數(shù)約為多少？

⑵若該校計(jì)劃獎(jiǎng)勵(lì)競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上(含80分)的學(xué)生，試問(wèn)此次競(jìng)賽獲獎(jiǎng)勵(lì)的學(xué)生約為多

少人？

附：P(IX一川<<7)=0.683,P(IX一川<2Q=0.955,P(IX—川<3。)=0.997.

【跟蹤訓(xùn)練】3己知某種零件的尺寸。(單位：mm)服從正態(tài)分布，其正態(tài)曲線在(0,80)上是增

函數(shù)，在(80,+8)上是減函數(shù)，且/(80)=泵岔.

⑴求概率密度函數(shù)；

(2)估計(jì)尺寸在72mm~88mm間的零件大約占總數(shù)的百分之幾?

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】

1.如圖是當(dāng)。分別取值6,。2,<73的三種正態(tài)曲線N(0,f)的圖象,

那么<71,<72,<73的大小關(guān)系是()

A.σι>l>σ2>σ3>OB.O<σ1<σ2<l<σ3

C.σι>σ2>l>σ3>0D.O<σ1<σ2=l<σ3

2.紅外線自動(dòng)測(cè)溫門(mén)能有效避免測(cè)溫者與被測(cè)溫者的近距離接觸,降低潛在的病毒感染風(fēng)險(xiǎn),為

防控新冠肺炎,某廠生產(chǎn)的紅外線自動(dòng)測(cè)溫門(mén),其測(cè)量體溫誤差服從正態(tài)分布N(O?1,0.32),從已經(jīng)

生產(chǎn)出的測(cè)溫門(mén)中隨機(jī)取出一件,則其測(cè)量體溫誤差在區(qū)間(0.4,0.刀內(nèi)的概率為()

(附:若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,o).則P(μ-σ<ξ<μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.9545)

A.0.3174B.0.2718C.0.1359D.0.0456

3.某廠生產(chǎn)的零件外徑4?MlO004),今從該廠上午、下午生產(chǎn)的零件中各取一件，測(cè)得其外

徑分別為9.9Cm,9.3Cm,則可認(rèn)為()

A.上午生產(chǎn)情況正常，下午生產(chǎn)情況異常

B.上午生產(chǎn)情況異常，下午生產(chǎn)情況正常

C.上午、下午生產(chǎn)悄況均正常

D.上午、下午生產(chǎn)情況均異常

4.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(X<4)=0?84,則P(X<O)=.

5.數(shù)學(xué)考試試卷滿分是150分,設(shè)在一次考試中,某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)X近似服從正態(tài)分布,且均值為

110,標(biāo)準(zhǔn)差為20.求這個(gè)班在這次數(shù)學(xué)考試中分?jǐn)?shù)在90分以上的概率.

【課堂小結(jié)】

p(?l

-[對(duì)稱(chēng)性)

—[―高點(diǎn))

曲線與工軸之

間的面積

集中、離

散程度.

【參考答案】

【自主學(xué)習(xí)】

一、正態(tài)分布密度曲線

二、01

思考1：參數(shù)〃反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，即若X?M∕Z,M),則E(X)=〃.同理,

參數(shù)。是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì).

1_

三、1.上方，不相交；2.x=μ;3.x=μ,4.1;5"；6.越小，集中，越大，分散.

σ?∣2π,

四、0.68270.95450.9973

思考2：正態(tài)分布中變量X幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間3為〃+35之內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概

率只有0.0026,通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生，故在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)

為服從正態(tài)分布M/1，σ2)的隨機(jī)變量X只取(//—3c,〃+3σ∣之內(nèi)的值，簡(jiǎn)稱(chēng)“3小原則.

【小試牛刀】

1.(1)√(2)×(3)×(4)√

2.B解析：因?yàn)閄?N(IO,0.64),所以D(X)=O.64.

【經(jīng)典例題】

例1解：從正態(tài)曲線可知，該正態(tài)曲線關(guān)于直線尤=20對(duì)稱(chēng)，最大值為蘇，

所以〃=20,忘=所以°=6?

1(Y—20)2

于是你,。(九)=泰?e-J,x∈(-∞,+oo),總體隨機(jī)變量的期望是〃=20,方差是『

=(√2)2=2.

【跟蹤訓(xùn)練】1A解析：由正態(tài)分布N(μ,σ2)性質(zhì)知，為正態(tài)密度函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，

故川<彼.又o越小，圖象越高瘦，故m<e.故選A.

例2解：因?yàn)閄?M1，22),所以〃=1,σ=2.

(l)P(-l<X<3)=P(l-2<X<?+2)=P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6827.

(2)因?yàn)镻(3≤X≤5)=P(-3<X<-1),所以P(3VX≤5)

=∣[P(-3<X<5)-P(-1<X<3)]=∣[P(1-4<X≤1+4)-P(l-2<X<1+2)]

-2σ<X<μ+2σ)-PQi一σ<X<μ+σ)]

?0.9545-0.6827)=0.1359.

【跟蹤訓(xùn)練】22解析：因?yàn)椤?2,由正態(tài)分布的定義知其圖象(如圖)關(guān)于直線尤=2對(duì)稱(chēng),

c+1+c—1

于是￡；=2,所以C=2?

?-l2c+1

例3解：(1)設(shè)參賽學(xué)生的成績(jī)?yōu)閄,因?yàn)閄?N(70,100),所以〃=70,σ=10,則

P(Λ≥90)=P(X<50)=^[1-P(50<X<90)]=∣[1-P^ι-2σ<X<μ+2σ)]=^×(1-0.955)=0.0225,

16÷0.0225?711(人).

因此，此次參賽學(xué)生的總數(shù)約為711.

⑵由P(X>80)=P(X<60)=^[1-P(60<X<80)]=∣×[1-P[μ~σ<X<μ+σ)1=^×(1-0.683)=0.1585,

得711χ0.1585≈113(人).

因此，此次競(jìng)賽獲獎(jiǎng)勵(lì)的學(xué)生約為113人.

【跟蹤訓(xùn)練】3解：(1)由于正態(tài)曲線在(0,80)上是增函數(shù)，在(80,+8)上是減函數(shù)，所以正

態(tài)曲線關(guān)于直線x=80對(duì)稱(chēng)，且在x=80處取得最大值，因此得〃=80.

后=詆所以0=8.

故密度函數(shù)解析式是φμ,Y*)=忐e?

(2)由〃=80,。=8,得〃一。=80—8=72,"+o=80+8=88,

所以零件尺寸/位于區(qū)間(72,88)內(nèi)的概率是0.6826.

因此尺寸在72mm?88m