第六章計數(shù)原理講義 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

第三講：計數(shù)原理方法總結(jié)區(qū)別分布原理和分類原理，做一件事情是否一步完成.合理分類、精準(zhǔn)的分布。排列：特殊元素特殊位置“優(yōu)先法”,相鄰問題捆綁法，不相鄰問題插空法，定序問題，間接法等.組合：平均分組分配問題，名額分配問題隔板法.4、排列與組合綜合應(yīng)用：先組合再排列.題型一：分類加法原理和分步乘法原理綜合應(yīng)用題型二：排列題型三：組合題型四：排列組合綜合應(yīng)用題型一：分類加法原理和分步乘法原理綜合應(yīng)用【典例例題】1.“回文聯(lián)”是對聯(lián)中的一種，既可順讀，也可倒讀．比如，一副描繪廈門鼓浪嶼景色的回文聯(lián)：霧鎖山頭山鎖霧，天連水尾水連天．由此定義“回文數(shù)”，n為自然數(shù)，且n的各位數(shù)字反向排列所得自然數(shù)與n相等，這樣的n稱為“回文數(shù)”，如：1221，2413142．則所有5位數(shù)中是“回文數(shù)”且各位數(shù)字不全相同的共有（

）A．648個 B．720個 C．810個 D．891個【變式訓(xùn)練】1.四色定理(Fourcolortheorem)又稱四色猜想，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一.它是于年由畢業(yè)于倫敦大學(xué)的格斯里(FrancisGuthrie)提出來的，其內(nèi)容是“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色”四色問題的證明進(jìn)程緩慢，直到年，美國數(shù)學(xué)家運用電子計算機證明了四色定理.某校數(shù)學(xué)興趣小組在研究給四棱錐的各個面涂顏色時，提出如下的“四色問題”：要求相鄰面（含公共棱的平面）不得使用同一顏色，現(xiàn)有種顏色可供選擇，那么不同的涂法有（

）A．種 B．種 C．種 D．種2.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，如圖所示．將一個正四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法種數(shù)．【答案】4203.將3種作物全部種植在如圖所示的5塊試驗田中，每塊種植一種作物，且相鄰的試驗田不能種同一種作物，則不同的種植方法共有________種．4.某兒童游樂園有5個區(qū)域要涂上顏色，現(xiàn)有四種不同顏色的油漆可供選擇，要求相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則符合條件的涂色方案有（）種A．36

B．48

C．54

D．725.過三棱柱中任意兩個頂點連線作直線，在所有這些直線連線中構(gòu)成異面直線的對數(shù)為（

）A．18 B．30 C．36 D．54題型二：排列【典例例題】例1.（1）6名同學(xué)（簡記為，，，，，）到甲、乙、丙三個場館做志愿者.（i）一天上午有16個相同的口罩全部發(fā)給這6名同學(xué)，每名同學(xué)至少發(fā)兩個口罩，則不同的發(fā)放方法種數(shù)？（ii）每名同學(xué)只去一個場館，每個場館至少要去一名，且、兩人約定去同一個場館，、不想去一個場館，則滿足同學(xué)要求的不同的安排方法種數(shù)？（2）某校選派4名干部到兩個街道服務(wù)，每人只能去一個街道，每個街道至少1人，有多少種方法？（結(jié)果用數(shù)字表示）（3）如圖，某水果店門前用3根繩子掛了6串香蕉，從左往右的串?dāng)?shù)依次為1，2，3.到了晚上，水果店老板要收攤了，假設(shè)每次只取1串（掛在一列的只能先收下面的），則將這些香蕉都取完的不同取法種數(shù)？（結(jié)果用數(shù)字表示）【變式訓(xùn)練】1.（多選）A、B、C、D、E五個人并排站在一起，則下列說法正確的有（

）A．若A、B兩人站在一起有48種方法B．若A、B不相鄰共有12種方法C．若A在B左邊有60種排法D．若A不站在最左邊，B不站最右邊，有72種方法2.當(dāng)前新冠肺炎疫情形勢依然嚴(yán)峻，防控新冠肺炎疫情需常態(tài)化，某校從含甲、乙、丙在內(nèi)的名行政人員中選取人負(fù)責(zé)每周周一至周六的疫情防控工作（周日學(xué)校放假），每人各負(fù)責(zé)天，其中甲、乙、丙人必被選中．若甲與乙需安排在相鄰的兩天，乙與丙不安排在相鄰的兩天，且丙不排周一，則不同的安排方法有___種．3.電影《志愿軍雄兵出擊》講述了在極其簡陋的裝備和極寒嚴(yán)酷環(huán)境下，中國人民志愿軍憑著鋼鐵意志和英勇無畏的精神取得入朝作戰(zhàn)第一階段戰(zhàn)役的勝利，著名的“松骨峰戰(zhàn)斗”在該電影中就有場景.現(xiàn)有3名男生和4名女生相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．（列出算式，并計算出結(jié)果）(1)女生必須坐在一起的坐法有多少種？(2)女生互不相鄰的坐法有多少種？(3)甲、乙兩位同學(xué)相鄰且都不與丙同學(xué)相鄰的坐法有多少種？4.如圖，用四種不同的顏色給三棱柱的六個頂點涂色，要求每個點涂一種顏色．

(1)若每個底面的頂點涂色所使用的顏色不相同，則不同的涂色方法共有多少種？(2)若每條棱的兩個端點涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有多少種？5.有3名男生與4名女生，在下列不同條件下，分別求排法種數(shù).(1)全體排成一排，女生必須站在一起；(2)全體排成一排，男生互不相鄰；(3)全體排成一行，其中甲，乙，丙三人從左至右的順序不變題型三：組合【典例例題】例1.將20個完全相同的球放入編號為1，2，3，4，5的五個盒子中．(1)若要求每個盒子至少放一個球，則一共有多少種放法？(2)若每個盒子可放任意個球，則一共有多少種放法？(3)若要求每個盒子放的球的個數(shù)不小于其編號數(shù)，則一共有多少種放法？例2.有本不同的書，按下列方式進(jìn)行分配，其中分配種數(shù)正確的是（）A．分給甲?乙?丙三人，每人各本，有90種分法；B．分給甲?乙?丙三人中，一人本，另兩人各本，有種分法；C．分給甲乙每人各本，分給丙丁每人各本，有種分法；D．分給甲乙丙丁四人，有兩人各本，另兩人各本，有種分法；【變式訓(xùn)練】1.將4個編號為的小球放入4個編號為的盒子中.(1)有多少種放法？(2)每盒至多一球，有多少種放法？(3)把4個不同的小球換成4個相同的小球，恰有一個空盒，有多少種放法？2.某商場在迎新春活動中進(jìn)行抽卡活動，不透明的卡箱中共有“?！薄暗摗薄皦邸薄跋病笨ǜ鲀蓮垼柏敗笨ㄈ龔?每位顧客從卡箱中隨機抽取5張卡片，其中抽到“財”卡獲得3分，抽到其他卡均獲得1分，若抽中“福”“祿”“壽”“喜”“財”卡片各一張，則額外獲得4分.(1)求顧客甲最終獲得7分的不同的抽法種數(shù)；(2)求顧客乙最終獲得11分的不同的抽法種數(shù).題型四：排列組合綜合應(yīng)用【典例例題】例1.某學(xué)校實行新課程改革，即除語、數(shù)、外三科為必考科目外，還要在理、化、生、史、地、政六科中選擇三科作為選考科目.已知某生的高考志愿為某大學(xué)環(huán)境科學(xué)專業(yè)，按照該大學(xué)上一年高考招生選考科目要求理、化必選，為該生安排課表（上午四節(jié)、下午四節(jié)，每門課每天至少一節(jié)），已知該生某天最后兩節(jié)為自習(xí)課，且數(shù)學(xué)不排下午第一節(jié)，語文、外語不相鄰（上午第四節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰），則該生該天課表有（

）.A．444種 B．1776種 C．1440種 D．1560種【變式訓(xùn)練】1.中國救援力量在國際自然災(zāi)害中為拯救生命作出了重要貢獻(xiàn)，很好地展示了國際形象，增進(jìn)了國際友誼，多次為祖國贏得榮譽．現(xiàn)有6支救援隊（含甲、乙）前往A，B，C三個受災(zāi)點執(zhí)行救援任務(wù)，若每支救援隊只能去其中一個受災(zāi)點，且每個受災(zāi)點至少安排1支救援隊，其中A受災(zāi)點至少需要2支救援隊，且甲、乙2支救援隊不能去同一個受災(zāi)點，則不同的安排方法種數(shù)是．2.3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊，求不同的排隊方法數(shù)．(1)選5名同學(xué)排成一排；(2)全體站成一排，甲、乙不在兩端；(3)全體站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端；(4)全體站成一排，男生站在一起、女生站在一起；(5)全體站成一排，男生排在一起；(6)全體站成一排，男生彼此不相鄰；(7)全體站成一排，男生各不相鄰、女生各不相鄰；(8)全體站成一排，甲、乙中間有2個人；(9)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(10)全體站成一排，乙不能站在甲左邊，丙不能站在乙左邊．3.第18屆亞足聯(lián)亞洲杯將于2023年舉行，已知此次亞洲杯甲裁判組有6名裁判，分別是.（以下問題用數(shù)字作答）(1)若亞洲杯組委會邀請甲裁判組派裁判去參加一項活動，必須有人去，去幾人由甲裁判組自行決定，問甲裁判組共有多少種不同的安排方法？(2)若亞洲杯組委會安排這6名裁判擔(dān)任6場比賽的主裁判，每場比賽只有1名主裁判，每名裁判只擔(dān)任1場比賽的主裁判，根據(jù)回避規(guī)則，其中A不擔(dān)任第一場比賽的主裁判，不擔(dān)任第三場比賽的主裁判，問共有多少種不同的安排方法？(3)若亞洲杯組委會將這6名裁判全部安排到3項不同的活動中，每項活動至少安排1名裁判，每名裁判只參加1項活動，問共有多少種不同的安排方法？1.北京大興國際機場擁有世界上最大的單一航站樓，并擁有機器人自動泊車系統(tǒng)，解決了停車滿、找車難的問題．現(xiàn)有5輛車停放在8個并排的泊車位上，要求停放的車輛相鄰，箭頭表示車頭朝向，則不同的泊車方案有（

）種．A．120 B．240 C．480 D．9602.用四種不同的顏色給如圖所示的六塊區(qū)域A，B，C，D，E，F(xiàn)涂色，要求相鄰區(qū)域涂不同顏色，則涂色方法的總數(shù)是（

）A．120 B．72 C．48 D．243.《數(shù)術(shù)記遺》是東漢時期徐岳編撰的一部數(shù)學(xué)專著，該書記述了我國古代14種算法，分別是：積算（即算籌）?太乙算?兩儀算?三才算?五行算?八卦算?九宮算?運籌算?了之算?成數(shù)算?把頭算?龜算?珠算?和計數(shù).某學(xué)習(xí)小組有甲?乙?丙3人，該小組要收集九宮算?運籌算?了之算?成數(shù)