18.2.3 正方形 人教版數(shù)學(xué)八年級下冊素養(yǎng)提升練習(xí)(含解析)

第十八章平行四邊形18.2特殊的平行四邊形18.2.3正方形基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點(diǎn)1正方形的定義及性質(zhì)1.(2023四川自貢中考)如圖,邊長為3的正方形OBCD的兩邊與坐標(biāo)軸正半軸重合,點(diǎn)C的坐標(biāo)是()A.(3,-3)B.(-3,3)C.(3,3)D.(-3,-3)2.(2023河南周口期末)如圖,在正方形ABCD中,E為AD上一點(diǎn),連接BE交對角線AC于點(diǎn)F,連接DF,若∠ABE=25°,則∠EFD的度數(shù)為()A.40°B.50°C.55°D.65°3.【教材變式·P67T1(3)】如圖,在正方形ABCD的外側(cè),作等邊△ABE,連接ED,則∠BED的度數(shù)為()A.15°B.35°C.45°D.55°4.如圖,正方形ABCD的邊長為2,對角線AC,BD交于點(diǎn)O,E是AC延長線上一點(diǎn),且CE=CO,連接BE,則BE的長度為()A.3B.102C.5D.25.(2021湖南邵陽中考)如圖,在正方形ABCD中,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F是對角線AC上的兩點(diǎn),且AE=CF,連接DE,DF,BE,BF.(1)證明:△ADE≌△CBF;(2)若AB=42,AE=2,求四邊形BEDF的周長.知識點(diǎn)2正方形的判定6.(2021廣西玉林中考)如圖,一個(gè)四邊形順次添加下列條件中的三個(gè)條件便得到正方形:a.兩組對邊分別相等;b.一組對邊平行且相等;c.一組鄰邊相等;d.一個(gè)角是直角.順次添加的條件:①a→c→d;②b→d→c;③a→b→c.則正確的是()A.僅①B.僅③C.①②D.②③7.(2023黑龍江龍東地區(qū)中考)如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,試添加一個(gè)條件:,使得矩形ABCD為正方形.

8.如圖,正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,CE∥BD,DE∥AC.若AC=2,則點(diǎn)E到邊CD的距離為.

9.(2022湖南邵陽中考)如圖,在菱形ABCD中,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F在對角線BD上,且BE=DF,OE=OA.求證:四邊形AECF是正方形.10.(2022廣東深圳模擬)如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D,DE∥AB交AC于點(diǎn)E,DF∥AC交AB于點(diǎn)F.(1)求證:四邊形AFDE為正方形;(2)若AD=22,求四邊形AFDE的面積.能力提升全練11.(2022山東青島中考,7,★☆☆)如圖,O為正方形ABCD對角線AC的中點(diǎn),△ACE為等邊三角形.若AB=2,則OE的長度為()A.62B.6C.22D.212.(2023山東青島二十六中期中,6,★★☆)如圖,?ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,給出四個(gè)條件:①AB=BC;②∠ABC=90°;③OA=OB;④AC⊥BD.從所給的四個(gè)條件中任意選擇兩個(gè)為一組,能判定?ABCD是正方形的有()A.3組B.4組C.5組D.6組13.(2022重慶中考A卷,9,★★☆)如圖,在正方形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E,點(diǎn)F是邊AB上一點(diǎn),連接DF,若BE=AF,則∠CDF的度數(shù)為()A.45°B.60°C.67.5°D.77.5°14.(2021湖南常德中考,7,★★☆)如圖,已知F、E分別是正方形ABCD的邊AB與BC的中點(diǎn),AE與DF交于點(diǎn)P,連接CP,則下列結(jié)論成立的是()A.BE=12AEC.∠EAF+∠AFD=90°D.PE=EC15.(2023重慶中考B卷,9,★★☆)如圖,在正方形ABCD中,O為對角線AC的中點(diǎn),E為正方形內(nèi)一點(diǎn),連接BE,BE=BA,連接CE并延長,與∠ABE的平分線交于點(diǎn)F,連接OF,若AB=2,則OF的長度為()A.2B.3C.1D.216.(2022江蘇無錫中考,16,★★☆)如圖,正方形ABCD的邊長為8,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),HG垂直平分AE且分別交AE、BC于點(diǎn)H、G,則BG=.

17.【新考法】(2023天津中考,17,★★★)如圖,在邊長為3的正方形ABCD的外側(cè),作等腰三角形ADE,EA=ED=52(1)△ADE的面積為;

(2)若F為BE的中點(diǎn),連接AF并延長,交CD于點(diǎn)G,則AG的長為.

18.(2023廣西南寧期末,22,★★☆)如圖,△ABC中,D是BC邊上一點(diǎn),E是AD的中點(diǎn),過點(diǎn)A作BC的平行線交CE的延長線于F,且AF=BD,連接BF.(1)求證:D是BC的中點(diǎn).(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí),四邊形AFBD是正方形?并說明理由.19.(2023浙江紹興中考,22,★★☆)如圖,在正方形ABCD中,G是對角線BD上的一點(diǎn)(與點(diǎn)B,D不重合),GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分別為垂足.連接EF,AG,并延長AG交EF于點(diǎn)H.(1)求證:∠DAG=∠EGH;(2)判斷AH與EF是否垂直,并說明理由.20.(2022山東濰坊諸城一模,21,★★☆)如圖,E是正方形ABCD的對角線BD上的點(diǎn),連接AE、CE.(1)求證:AE=CE;(2)若將△ABE沿AB翻折得到△ABF,則當(dāng)點(diǎn)E在BD上的何處時(shí),四邊形AFBE是正方形?請證明你的結(jié)論.素養(yǎng)探究全練21.【幾何直觀】下圖是一張矩形紙片ABCD,按照下面步驟進(jìn)行折疊:第一步:如圖①,將矩形紙片沿AM折疊,使得點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)N落在AB上,連接MN,然后把紙片展開.第二步:如圖②,將四邊形ADMN沿PQ對折,使AD與NM重合.將紙片展開,得到折痕PQ,然后連接NQ.第三步:如圖③,折疊紙片使得NQ落在DC上,折痕為EQ,點(diǎn)N的對應(yīng)點(diǎn)為F.(1)求證:四邊形ADMN是正方形;(2)求圖③中四邊形NQFE的面積與四邊形ADMN的面積的比值.

答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.C∵正方形OBCD的邊長為3,∴DC=BC=3,DC與BC分別垂直于y軸和x軸.∵點(diǎn)C在第一象限,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,3).2.A∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAC=∠DAC,∠BAD=90°,在△ABF和△ADF中,AB∴△ABF≌△ADF(SAS),∴∠ADF=∠ABE=25°,∵∠AEB=90°-∠ABF=65°,∴∠EFD=∠AEB-∠ADF=65°-25°=40°,故選A.3.C在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,在等邊△ABE中,AB=AE,∠BAE=∠AEB=60°,∴AD=AE,∠DAE=∠BAD+∠BAE=90°+60°=150°,∴∠AED=∠ADE=12∴∠BED=∠AEB-∠AED=60°-15°=45°.故選C.4.C∵正方形ABCD的對角線AC,BD交于點(diǎn)O,∴OB=OC,OB⊥OC,∴OB2+OC2=BC2,∵正方形ABCD的邊長為2,即BC=2,∴OB=OC=1(舍負(fù)),∵CE=OC,∴OE=2,∴在Rt△OBE中,BE=12+22=5.解析(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴AD=BC,∠DAE=∠BCF=45°,在△ADE和△CBF中,AD∴△ADE≌△CBF(SAS).(2)∵四邊形ABCD為正方形,∴∠BAD=90°,AC=BD,OA=OC,OB=OD,AC⊥BD,AD=AB=42,∴BD=AB2+AD2=(42)2+(42)2∵DE=DO2+EO2=42+22=26.C①由a得,兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形,添加c得,有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形,再添加d得,有一個(gè)角是直角的菱形是正方形,故①正確;②由b得,一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形,添加d得,有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形,再添加c得,有一組鄰邊相等的矩形是正方形,故②正確;③由a得,兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形,添加b得,一組對邊平行且相等的平行四邊形仍是平行四邊形,再添加c得,有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形,不能得到四邊形是正方形,故③不正確.故選C.7.答案AB=AD(答案不唯一)解析添加AB=AD.(答案不唯一)理由:∵四邊形ABCD是矩形,AB=AD,∴四邊形ABCD是正方形.8.答案0.5解析如圖,連接EO,交CD于H,∵CE∥BD,DE∥AC,∴四邊形OCED是平行四邊形,在正方形ABCD中,AC⊥BD,OD=OC,∴∠COD=90°,∴四邊形OCED是正方形.∴EH=12CD,OE⊥CD,∵AC=2,∴AB=BC=CD=1,∴EH=12CD=0.5,即點(diǎn)E到邊CD9.證明∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,∵BE=DF,∴OE=OF,∴四邊形AECF是菱形.∵OE=OA=OF,∴OE=OF=OA=OC,∴EF=AC,∴四邊形AECF是正方形.10.解析(1)證明:∵DE∥AB,DF∥AC,∴四邊形AFDE是平行四邊形.∵AD平分∠BAC,∴∠FAD=∠EAD.∵DE∥AB,∴∠EDA=∠FAD,∴∠EDA=∠EAD,∴AE=DE,∴四邊形AFDE是菱形.∵∠BAC=90°,∴四邊形AFDE是正方形.(2)∵四邊形AFDE是正方形,∴AF=DF=DE=AE,∠AED=90°,∴AE2+DE2=AD2,∵AD=22,∴AE=DE=2(舍負(fù)),∴四邊形AFDE的面積為2×2=4.能力提升全練11.B∵四邊形ABCD為正方形,AB=2,∴AC=22,∵O為正方形ABCD對角線AC的中點(diǎn),△ACE為等邊三角形,∴∠AOE=90°,AE=AC=22,AO=2,∴OE=AE2-OA12.B∵AB=BC,∠ABC=90°,∴?ABCD是正方形,故①②為一組,能判定?ABCD是正方形;∵∠ABC=90°,∴?ABCD是矩形,∵AC⊥BD,∴矩形ABCD是正方形,故②④為一組,能判定?ABCD是正方形;在?ABCD中,AC=2OA,BD=2OB,∵OA=OB,∴AC=BD,∵AC⊥BD,∴?ABCD是正方形,故③④為一組,能判定?ABCD是正方形;∵OA=OB,∴AC=BD,∴?ABCD是矩形,∵AB=BC,∴矩形ABCD是正方形,故①③為一組,能判定?ABCD是正方形.故選B.13.C∵四邊形ABCD是正方形,∴AD=BA,∠DAF=∠ABE=90°,在△DAF和△ABE中,AD=BA,∠DAF∴∠ADF=∠BAE,∵AE平分∠BAC,四邊形ABCD是正方形,∴∠BAE=12∠BAC=22.5°,∠ADC=90°,∴∠∴∠CDF=∠ADC-∠ADF=90°-22.5°=67.5°,故選C.14.C∵F、E分別是正方形ABCD的邊AB與BC的中點(diǎn),∴AF=BE,∠DAF=∠ABE=90°,在△AFD和△BEA中,AF∴△AFD≌△BEA(SAS),∴∠FDA=∠EAB.∵∠FDA+∠AFD=90°,∴∠EAB+∠AFD=90°,即∠EAF+∠AFD=90°,故C中結(jié)論成立,根據(jù)已知條件無法證明A、B、D中結(jié)論成立,故選C.15.D如圖,連接AF,∵四邊形ABCD是正方形,∴BC=AB=BE=2,∠ABC=90°,∴∠BEC=∠BCE,AC=AB2+BC2=2∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=2∠BEC-90°,∵BF平分∠ABE,∴∠ABF=∠EBF=12∠ABE=∠BEC-45°.∴∠BFE=∠BEC-∠EBF=45°,在△BAF與△BEF中,AB=EB,∠∴∠BFA=∠BFE=45°,∴∠AFC=∠BFA+∠BFE=90°,∵O為對角線AC的中點(diǎn),∴OF=12AC=2,故選16.答案1解析連接AG,EG,如圖,易知AG=EG.∵E是CD的中點(diǎn),∴DE=CE=4,設(shè)CG=x,則BG=8-x,在Rt△ABG和Rt△GCE中,根據(jù)勾股定理,得AB2+BG2=CE2+CG2,即82+(8-x)2=42+x2,解得x=7,∴BG=8-7=1.17.答案(1)3(2)13解析(1)過E作EM⊥AD于M,如圖,∵EA=ED=52∴AM=DM=12AD=3∴EM=AE∴△ADE的面積為12AD·EM=1(2)延長EM交AG于N,交BC于P,過點(diǎn)N作NH⊥DC于H,如圖,∵四邊形ABCD是正方形,∴BC∥AD,∴EP⊥BC,∴四邊形ABPM是矩形,∴PM=AB=3,AB∥EP,∴EP=5,∠ABF=∠NEF,∵F為BE的中點(diǎn),∴BF=EF,在△ABF與△NEF中,∠∴△ABF≌△NEF(ASA),∴EN=AB=3,∴MN=1,∵NH⊥CD,∴∠GHN=∠NMA=90°,NH∥AD,∴∠GNH=∠NAM,易知四邊形MNHD為矩形,∴NH=DM=AM,∴△GNH≌△NAM,∴AN=NG,∵AM=MD,∴GD=2MN=2,∴AG=AD2+18.解析(1)證明:∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE,∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),∴AE=DE,在△AEF和△DEC中,∠∴△AEF≌△DEC(AAS),∴AF=CD,∵AF=BD,∴CD=BD,∴D是BC的中點(diǎn).(2)當(dāng)△ABC滿足AB=AC,∠BAC=90°時(shí),四邊形AFBD是正方形.理由如下:∵AF∥BD,AF=BD,∴四邊形AFBD是平行四邊形,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ADB=90°,AD=BD=12BC,∴平行四邊形AFBD是正方形19.解析(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴AD⊥CD,∵GE⊥CD,∴AD∥GE,∴∠DAG=∠EGH.(2)AH⊥EF.理由如下:連接GC交EF于點(diǎn)O,如圖,∵BD為正方形ABCD的對角線,∴∠ADG=∠CDG=45°,∵DG=DG,AD=CD,∴△ADG≌△CDG(SAS),∴∠DAG=