2024年中考數(shù)學(xué)常見幾何模型全歸納（全國通用）專題26 最值模型之費馬點模型（原卷版）

專題26最值模型之費馬點模型費馬點問題是由全等三角形中的手拉手模型衍生而來，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，在各類考試中都以中高檔題為主。本專題就最值模型中的費馬點問題進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握?！灸Ｐ捅尘啊科ひさ隆べM馬，17世紀法國數(shù)學(xué)家，有“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”的美譽，之所以叫業(yè)余并非段位不夠，而是因為其主職是律師，兼職搞搞數(shù)學(xué)．費馬在解析幾何、微積分等領(lǐng)域都有卓越的貢獻，除此之外，費馬廣為人知的是以其名字命名的“費馬小定理”、“費馬大定理”等．費馬點：三角形內(nèi)的點到三個頂點距離之和最小的點?！灸Ｐ徒庾x】結(jié)論1：如圖，點M為△ABC內(nèi)任意一點，連接AM、BM、CM，當(dāng)M與三個頂點連線的夾角為120°時，MA+MB+MC的值最小。注意：上述結(jié)論成立的條件是△ABC的最大的角要小于120o，若最大的角大于或等于120o，此時費馬點就是最大角的頂點A。（這種情況一般不考，通常三角形的最大頂角都小于120°）【模型證明】以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN．∵△ABE為等邊三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．在△AMB與△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）．連接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN為等邊三角形．∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴當(dāng)E、N、M、C四點共線時，AM+BM+CM的值最?。藭r，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．費馬點的作法：如圖3，分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設(shè)交點為M，則點M即為△ABC的費馬點?！咀钪翟怼績牲c之間，線段最短。結(jié)論2：點P為銳角△ABC內(nèi)任意一點，連接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加權(quán)費馬點）【模型證明】第一步，選定固定不變線段；第二步，對剩余線段進行縮小或者放大。如：保持BP不變，xAP+yBP+zCP=，如圖，B、P、P2、A2四點共線時，取得最小值。模型特征：PA+PB+PC（P為動點）①一動點，三定點；②以三角形的三邊向外作等邊三角形的，再分別將所作等邊三角形最外的頂點與已知三角形且與所作等邊三角形相對的頂點相連，連線的交點即為費馬點；③同時線段前可以有不為1的系數(shù)出現(xiàn)，即：加權(quán)費馬點。例1．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）1643年，法國數(shù)學(xué)家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個頂點）當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，如圖1，將繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，

由，可知為①三角形，故，又，故，由②可知，當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時，取最小值，如圖2，最小值為，此時的P點為該三角形的“費馬點”，且有③；已知當(dāng)有一個內(nèi)角大于或等于時，“費馬點”為該三角形的某個頂點．如圖3，若，則該三角形的“費馬點”為④點．(2)如圖4，在中，三個內(nèi)角均小于，且，已知點P為的“費馬點”，求的值；

(3)如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個三角形，且已知．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/，a元/，元/，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為___________元．（結(jié)果用含a的式子表示）例2．（2023·廣東深圳·二模）如圖，是等邊三角形，M是正方形ABCD對角線BD（不含B點）上任意一點，，（點N在AB的左側(cè)），當(dāng)AM+BM+CM的最小值為時，正方形的邊長為______．例3．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，四邊形是菱形，B=6，且∠ABC=60°，M是菱形內(nèi)任一點，連接AM，BM，CM，則AM+BM+CM的最小值為________．例4．（2023春·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點M是矩形內(nèi)一點，且，，N為邊上一點，連接、、，則的最小值為______．例5．（2023·廣東廣州·?？级＃┢叫兴倪呅沃?，點E在邊上，連，點F在線段上，連，連．(1)如圖1，已知，點E為中點，．若，求的長度；(2)如圖2，已知，將射線沿翻折交于H，過點C作交于點G．若，求證：；(3)如圖3，已知，若，直接寫出的最小值．例6．（2023.河南四模）閱讀材料：平面幾何中的費馬問題是十七世紀法國數(shù)學(xué)家、被譽為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾·德·費馬提出的一個著名的幾何問題．1643年，在一封寫給意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利的私人信件中，費馬提出了下面這個極富挑戰(zhàn)性和趣味性的幾何難題，請求托里拆利幫忙解答：給定不在一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最短的點P的位置．托里拆利成功地解決了費馬的問題．后來人們就把平面上到一個三角形的三個頂點A，B，C距離之和最小的點稱為ABC的費馬-托里拆利點，也簡稱為費馬點或托里拆利點．問題解決：（1）費馬問題有多種不同的解法，最簡單快捷的還是幾何解法．如圖1，我們可以將BPC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到BDE，連接PD，可得BPD為等邊三角形，故PD=PB，由旋轉(zhuǎn)可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由可知，PA+PB+PC的最小值與線段的長度相等；（2）如圖2，在直角三角形ABC內(nèi)部有一動點P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，連接PA，PB，PC，若AB=2，求PA+PB+PC的最小值；（3）如圖3，菱形ABCD的邊長為4，∠ABC=60°，平面內(nèi)有一動點E，在點E運動過程中，始終有∠BEC=90°，連接AE、DE，在ADE內(nèi)部是否存在一點P，使得PA+PD+PE最小，若存在，請直接寫出PA+PD+PE的最小值；若不存在，請說明理由．例7．（2023·江蘇·?？既＃┤鐖D，四個村莊坐落在矩形ABCD的四個頂點上，公里，公里，現(xiàn)在要設(shè)立兩個車站E，F(xiàn)，則的最小值為______公里．例8．（2023下·陜西西安·九年級?？茧A段練習(xí)）問題探究將幾何圖形按照某種法則或規(guī)則變換成另一種幾何圖形的過程叫做幾何變換．旋轉(zhuǎn)變換是幾何變換的一種基本模型．經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，往往能使圖形的幾何性質(zhì)明白顯現(xiàn)．題設(shè)和結(jié)論中的元素由分散變?yōu)榧校嗷ブg的關(guān)系清楚明了，從而將求解問題靈活轉(zhuǎn)化．

問題提出：如圖1，是邊長為1的等邊三角形，P為內(nèi)部一點，連接、、，求的最小值．方法分析：通過轉(zhuǎn)化，把由三角形內(nèi)一點發(fā)出的三條線段（星型線）轉(zhuǎn)化為兩定點之間的折線（化星為折），再利用“兩點之間線段最短”求最小值（化折為直）．問題解決：如圖2，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，連接，記與交于點，易知．由，可知為正三角形，有．故．因此，當(dāng)共線時，有最小值是．學(xué)以致用：(1)如圖3，在中，為內(nèi)部一點，連接，則的最小值是________．(2)如圖4，在中，為內(nèi)部一點，連接，求的最小值．課后專項訓(xùn)練1.（2022·宜賓·中考真題）如圖，和都是等腰直角三角形，，點D是BC邊上的動點（不與點B、C重合），DE與AC交于點F，連結(jié)CE．下列結(jié)論：①；②；③若，則；④在內(nèi)存在唯一一點P，使得的值最小，若點D在AP的延長線上，且AP的長為2，則．其中含所有正確結(jié)論的選項是（

）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④2．（2023·成都實外九年級階段練習(xí)）如圖，在中，，P是內(nèi)一點，求的最小值為______．3．（2023·廣東廣州·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點P是AB邊上一動點，作PD⊥BC于點D，線段AD上存在一點Q，當(dāng)QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2時，則PD=________．4．（2019·湖北武漢·中考真題）問題背景：如圖，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，與交于點，可推出結(jié)論：問題解決：如圖，在中，，，．點是內(nèi)一點，則點到三個頂點的距離和的最小值是___________5．（2023·重慶·九年級專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底邊上的高AH上一點．若AP+BP+CP的最小值為2，則BC＝_____．6．（2023·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形是菱形，B=6，且∠ABC=60°，M是菱形內(nèi)任一點，連接AM，BM，CM，則AM+BM+CM的最小值為________．7．（2023·陜西·二模）已知，如圖在中，，，，在內(nèi)部有一點D，連接DA、DB、DC．則的最小值是__________．8．（2023·山東·九年級專題練習(xí)）已知：到三角形3個頂點距離之和最小的點稱為該三角形的費馬點．如果是銳角（或直角）三角形，則其費馬點P是三角形內(nèi)一點，且滿足．（例如：等邊三角形的費馬點是其三條高的交點）．若，P為的費馬點，則_________；若，P為的費馬點，則_________．9．（2021·山東濱州·中考真題）如圖，在中，，，．若點P是內(nèi)一點，則的最小值為____________．10．（2021·遼寧丹東·中考真題）已知：到三角形3個頂點距離之和最小的點稱為該三角形的費馬點．如果是銳角（或直角）三角形，則其費馬點P是三角形內(nèi)一點，且滿足．（例如：等邊三角形的費馬點是其三條高的交點）．若，P為的費馬點，則_________；若，P為的費馬點，則_________．11．（2023·江蘇·九年級階段練習(xí)）探究題(1)知識儲備：①如圖1，已知點P為等邊△ABC外接圓的弧BC上任意一點．求證：PB+PC=PA．②定義：在△ABC所在平面上存在一點P，使它到三角形三頂點的距離之和最小，則稱點P為△ABC的費馬點，此時PA+PB+PC的值為△ABC的費馬距離．(2)知識遷移：我們有如下探尋△ABC(其中∠A，∠B，∠C均小于120°)的費馬點和費馬距離的方法：如圖2，在△ABC的外部以BC為邊長作等邊△BCD及其外接圓，根據(jù)(1)的結(jié)論，易知線段____的長度即為△ABC的費馬距離．(3)知識應(yīng)用：①如圖3所示的△ABC（其中均小于），，現(xiàn)取一點P，使點P到三點的距離之和最小，求最小值；②如圖4，若三個村莊構(gòu)成Rt△ABC，其中．現(xiàn)選取一點P打水井，使P點到三個村莊鋪設(shè)的輸水管總長度最小，畫出點P所對應(yīng)的位置，輸水管總長度的最小值為________．（直接寫結(jié)果）12．（2020·重慶中考真題）如圖，在中，，，點D是BC邊上一動點，連接AD，把AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到AE，連接CE，DE．點F是DE的中點，連接CF．（1）求證：；（2）如圖2所示，在點D運動的過程中，當(dāng)時，分別延長CF，BA，相交于點G，猜想AG與BC存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你猜想的結(jié)論；（3）在點D運動的過程中，在線段AD上存在一點P，使的值最小．當(dāng)?shù)闹等〉米钚≈禃r，AP的長為m，請直接用含m的式子表示CE的長．13．（2023·河北·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點B的坐標(biāo)為(0，2)，點在軸的正半軸上，，OE為△BOD的中線，過B、兩點的拋物線與軸相交于、兩點（在的左側(cè)）.（1）求拋物線的解析式；（2）等邊△的頂點M、N在線段AE上，求AE及的長；（3）點為△內(nèi)的一個動點，設(shè)，請直接寫出的最小值,以及取得最小值時，線段的長.14．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P為平面內(nèi)一點，求最小值15．（2023·福建三明·八年級期中）【問題背景】17世紀有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽的法國律師皮耶·德·費馬，提出一個問題：求作三角形內(nèi)的一個點，使它到三角形三個頂點的距離之和最小后來這點被稱之為“費馬點”．如圖，點是內(nèi)的一點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60°到，則可以構(gòu)造出等邊，得，，所以的值轉(zhuǎn)化為的值，當(dāng)，，，四點共線時，線段的長為所求的最小值，即點為的“費馬點”．(1)【拓展應(yīng)用】如圖1，點是等邊內(nèi)的一點，連接，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到．①若，則點與點之間的距離是___；②當(dāng)，，時，求的大?。?2)如圖2，點是內(nèi)的一點，且，，，求的最小值．16．（2023·江蘇·蘇州八年級期中）背景資料：在已知所在平面上求一點P，使它到三角形的三個頂點的距離之和最小.這個問題是法國數(shù)學(xué)家費馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點被人們稱為“費馬點”．如圖1，當(dāng)三個內(nèi)角均小于120°時，費馬點P在內(nèi)部，當(dāng)時，則取得最小值．(1)如圖2，等邊內(nèi)有一點P，若點P到頂點A、B、C的