新高考2023屆高考數(shù)學二輪復習練習 第23講證明數(shù)列不等式學生版

第23講證明數(shù)列不等式

一.解答題(共47小題)

1.(2021?浙江月考)設(shè)等差數(shù)列｛/｝的前為S,,,已知出=4,S4=20.

(1)求數(shù)列｛α,,｝的通項公式

2

(2)記數(shù)列｛%+*｝的前〃項和為7；,求證：Tn<n+n+^

2.(2021春?江油市校級期中)等比數(shù)列｛%｝的前"項和為S,,已知對任意的〃eN*,點(n,S?),

均在函數(shù)y=6'+r3>0且b,廠均為常數(shù))的圖象上.

(1)求r的值；

(2)當6=2時，記加=巳里("cN*),求數(shù)列｛2｝的前〃項和

也

(3)由(2),是否存在最小的整數(shù)機，使得對于任意的“eN，,均有3-2T“<*,若存在，

求出加的值，若不存在，說明理由.

3.(2021春?蘭山區(qū)校級月考)等比數(shù)列｛",,｝的前〃項和為S,,,已知對任意的"cN*,點

均在函數(shù)y=b'+"6>0且bwl,b,r均為常數(shù))的圖象上.

(1)求廠的值；

(2)當6=2時，記4=2(bg3%+l)5EN"),證明：對任意的〃∈N*,不等式

叱1Λ±1?.,Λ11>G成立.

b?b2hn

4.數(shù)列｛4,,｝的前〃項和為S11,已知對任意的"cN+,點(〃,S“)均在函數(shù)y=6*-l(b>0且

b≠?,b均為常數(shù))的圖象上.

(1)求證：｛α,J是等比數(shù)列；

(2)當6=2時，記"=2里SeN+),證明：數(shù)列也｝的前〃項和北<2.

4%2

5.(2021?臨沂期中)等比數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,，已知對任意"wN',點(〃3.)均在函

數(shù)y=2'+r(r為常數(shù))的圖象上.

(1)求「的值；

(2)記々="%("wN*),數(shù)列色｝的前〃項和為7；,試比較2S,與7；的大小.

6.已知二次函數(shù)仁1圖象經(jīng)過坐標原點，其導函數(shù)為/(x)=6x-2,數(shù)列｛〃,,｝的前〃項和

為，，點5，S,)("GN?)均在函數(shù)y=∕(x)的圖象上；又b∣=l,cn=∣(αn+2),且

2

l+2a2+2乜+…+2"-?π,l+2"Tbn=cn,對任意〃eM都成立，

1

(1)求數(shù)列｛α,J,也,｝的通項公式；

(2)求數(shù)歹U｛q,?4｝的前”項和T11；

(3)求證：(i)∕w(x+1)<(x>0)；(ι7)V^v-<—~-(πeJV*.n.2).

Ma：4(〃+1)

7./(χ)=-l×4-'+l+ft,等比數(shù)列｛%｝的前"項和為S,,，點勺5，S")(〃WM)均在函數(shù)

y=f(x)±..

(1)求6的值及數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)設(shè)6.=10氏(83、氏)，記數(shù)列也｝的前〃項和為7；,是否存在左eN*,使得

ZL+%+…+4</對任意〃eN.恒成立？若存在，求出力的最小值；若不存在，請說明

12n

理由.

8.已知q=JlX2+J2x3+J3χ4+...++1)(〃eN*),求證：D<%V+1戶.

9.(2021?嘉興模擬)設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”,已知q,?,SIl成等差數(shù)列，且%=邑+2,

〃∈N*.

(I)求數(shù)列｛〃〃｝的通項公式；

(II)i己“=~?,∕7∈N*,證明：?1+h2+...+b.,--------------,“GN*.

〃S；,244(2n-l)

γ~+2Y

10.(2021春?秀山縣校級月考)設(shè)函數(shù)/(x)=>(l+x),g(x)=tz-------(a∈Λ).

1+x

(1)若函數(shù)〃(X)=/(x)-g(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求α的取值范圍；

⑵設(shè)〃eN*,證明：(1+2)(1+芻…(1+/?)<e%為自然對數(shù)的底數(shù)).

H.(2021春?陽江校級月考)設(shè)數(shù)列｛”,,｝滿足4=2,a,,+1=^-???+1,〃=1,2,3,…，

(1)求白2，〃3，〃4；

(2)猜想出｛%｝的一個通項公式，并用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論；

1一3

(3)設(shè)數(shù)列｛“｝的前〃項和為7；,求證：Tn<-.

an4

12.(2012秋?濟源校級期中)設(shè)數(shù)列｛αzl｝滿足％=2%+1(〃…2),且q=l,bn=Iog2(?+1)

(1)求數(shù)列｛qj的通項公式；

1Ti

(2)設(shè)數(shù)列｛—^｝的前〃項和為S〃，證明：Sπ<-.

她+24

13.(2007?崇文區(qū)一模)已知數(shù)列｛a,J中，q=；，。屋〃〃.1=4—ι一%(幾?2,〃￡N*),數(shù)列｛4｝

2

滿足"=，(〃€%.).

an

(I)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

1T1

(II)設(shè)數(shù)列｛」一｝的前"項和為7；,證1明.

也4M+2

14.(2021春?紹興期中)已知正項數(shù)列｛氏｝滿足：αl=∣,?=?.,?2),S“為數(shù)

列｛”,J的前〃項和.

(/)求證：對任意正整數(shù)〃，有之“2;

n2

(〃)設(shè)數(shù)列的前”項和為(,，求證：對任意"e(0,6),總存在正整數(shù)N,使得〃>N

時，Tn>M.

15.(2021?邯鄲一模)已知正項數(shù)列｛4｝的前〃項和S,滿足：6S.=6：+34+2(〃eN"),且

b1<2.

(I)求｛"｝的通項公式；

(II)設(shè)數(shù)列｛4｝滿足：Q∣=2,%=(1+"!■)%_I(〃...2,且〃∈N*),試比較α〃與#"+］的大小,

并證明你的結(jié)論.

16.(2021?安徽三模)已知正項數(shù)列｛%｝的前〃項和為5,，且

∕=??+%??+"M)

①求生,a2,%；

②求數(shù)列｛q｝的通項公式4;

③若數(shù)列｛hn｝滿足?l=l，2=bfl∣+L幾.2),求證：

%

優(yōu)<2+2(ga+：仇+：“+…+LaT)(〃…2)?

234n

17.(2021春?歷下區(qū)校級期中)(1)已知α>6>0,m>0,比較。和竺竺的大小并給出

aa+m

解答過程；

(2)證明：對任意的〃eN+,不等式工工工…出口>而T成立.

2462n

18.(2021?鹽城三模)(1)已知q>0也>0(ieN*),比較?-+%與魚也2的大小,試將

α1a2a1+a2

3

其推廣至一般性結(jié)論并證明;

1352n+1("+Ip

(2)求證：:r+[+2+...+(nwN*).

dC戲T

19.(2021春?棗莊校級月考)(1)已知加都是正數(shù)，且。<6,用分析法證明空巴>應；

b+tnb

(2)已知數(shù)列｛4｝的通項公式為%=U,∕ι∈N'?利用(1)的結(jié)論證明如下等式：

11113

—+—+—+...+—<—.

?1a2a3an2

20.(2021?杭州期中)已知數(shù)列｛叫的前〃項和，滿足3%+2S,,-l=0,且％=g?

(I)求數(shù)列｛α,J的通項公式；

117

(H)設(shè)包=3〃S+1，證明：4+&+a+…+a<〃+??.

21.(2021?沙坪壩區(qū)校級一模)已知數(shù)列｛α,｝的前〃項之積北滿足條件：①｛工｝為首項為2

λn

的等差數(shù)列；②7；-?；=：.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式見；

(2)設(shè)數(shù)列也｝滿足4=口二一可，其前n項和為Stt.求證:對任意正整數(shù)〃，有0<S“<L

V〃+24

22.已知數(shù)列｛4｝中，S,,為｛%｝的前〃項和，an+λ=Sn-n+3>,neN',al=2.

(1)求｛〃“｝的通項公式；

(2)設(shè)“=--—SeN*),數(shù)列｛，｝的前〃項和為7；,求證：Tιι<-(π∈7√*).

Sn-n+233

23?(2021?賓陽縣校級期中)已知公差不為0的等差數(shù)列｛%｝滿足：％=1且％,%，須成

等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛α,,｝的通項公式可和前n項和S,,；

(2)證明不等式3--Lj+-S-+,+…+-5-<2」(九.2且〃wN*)

2n+lSiS2S3Snn

24.已知函數(shù)/(x)=/"x,g(x)=,(α為常數(shù))

2X

(1)若方程e2∕">=g(x)在區(qū)間g,1］上有解，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)當α=l時，證明不等式g(x)<∕(x)<x-2在［4,+oo)上恒成立;

(3)證明：(Textranslationfailed),("∈N*)(參考數(shù)據(jù)：。2、0.693)

4

25.(2021?衡水校級模擬)已知函數(shù)/(x)=XCOSX-SinX(X>0).

(1)求函數(shù)/(X)在點弓,/(∣))處的切線方程;

(2)記/為/(X)的從小到大的第個極值點，證明：不等式

11117.小、

“建屋…+*<彳(""V

26.(2012?洛陽模擬)已知函數(shù)/(x)=∕"x-αv+Eq-IgCR).

X

(I)當α<g時，討論/(x)的單調(diào)性；

(II)當α=0時，對于任意的n∈7√t,且〃..2,證明：不等式

11132〃+1

H------------1"...+------〉-----------------

/(2)/(3)/(77)42n(n÷1)

372fn-1

27.證明不等式：1+2+士+...+2~-<3.

593〃-2”

28.(2021春?辛集市校級月考)已知/(x)=(x+l)歷(x+l).

⑺求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Il)設(shè)函數(shù)g(x)=2x-——f(x),若關(guān)于X的方程g(x)=α有解，求實數(shù)α的最小值；

x+1

(III)證明不等式：ln(n+1)<1+,+,+-+L("EN?)

23n

29.(2021?大慶一模)已知函數(shù)/(X)=1-QX+/〃X

(1)若不等式/(G?0恒成立，則實數(shù)Q的取值范圍；

(2)在(1)中，。取最小值時，設(shè)函數(shù)g(x)=x(l-/(x))-/x+2)+2.若函數(shù)g(x)在區(qū)

間［；,8］上恰有兩個零點，求實數(shù)A的取值范圍；

(3)證明不等式：2歷(2x3χ4x...χ”)>?^——型土^5∈N*且?guī)?.2).

n

30.(2021春?荔灣區(qū)校級月考)已知數(shù)列｛%｝的前“項和為S,,,a,=1,當〃..2時，

Sn=2Sn,l+I.數(shù)列｛4｝滿足a+&-+…+%=2n-2+-?-.

an%aι2^

(1)求數(shù)列｛α,,｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(3)若數(shù)列他,｝的前〃項和為7；,求證：Sn...Tn.

31.(2021春?淮安期末)已知數(shù)列｛α,,｝的前"項和SM滿足:S,=2(4-1),數(shù)列也｝滿足:

5

對任意nwN.有Naibi=(w-<)?2"+l+2.

/=I

(1)求數(shù)列｛α,,｝與數(shù)列他,｝的通項公式；

⑵設(shè)Q=%,數(shù)列也,｝的前N項和為7；,證明：當"…6H寸，n?2-Tn?<?.

32.(2009秋?沙坪壩區(qū)校級月考)[x]表示不超過X的最大整數(shù)，正項數(shù)列｛凡｝滿足q=l,

“Mi_1

l

-aa2~?

n-l-,,

(1)求數(shù)列｛α,｝的通項公式凡;

222

(2)求證：a2+α,+...all>?[?og,n](/;>2)；

(3)已知數(shù)列｛an｝的前〃項和為S,,,求證：當〃>2時，有

33.(2021?黃岡模擬)已知數(shù)列｛α,,｝滿足an='一4∣-』〃?(2)”("...2,〃eN*),首項為％=3；

/?-1339

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵記“=…”，數(shù)列也｝的前〃項和為?；，求證：加二±<7；<二；

3/7-2all93

(2y+i

(3)設(shè)數(shù)列匕｝滿足G=LC向=上一c^+c?,其中人為一個給定的正整數(shù)，

24

求證：當“.4時，恒有?,<l.

34.(2021?桃城區(qū)校級模擬)設(shè)公差不為0的等差數(shù)列｛q｝的前"項和為S,,,等比數(shù)列也,｝

的前”項和為北,若即是力與。4的等比中項，?=12,alhl=a2b2=1.

(1)求凡,SIl與。;

nfn2

(2)若q,=[SjT.,求證：cl+c2+...+cn<'^).

35.(2021?柯橋區(qū)期末)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前刀項和為S,,a2=-3,SA=2(as+1),數(shù)列色｝

的前”項和為7；,滿足A=-1,bn+l=TnTn+i｛n^N').

(I)求數(shù)列｛a“｝、也,｝的通項公式;

..√2

n

(11)記%=,n&N,證明：cl+c2+...+cll<~^^+?)-

36.(2021?蕪湖二模)已知數(shù)列｛α,,｝的前〃項和為S,,,且滿足S“=1-4,(〃eN*).各項為正

數(shù)的數(shù)列｛"｝中,

6

(I)求數(shù)列｛α,J和也,｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛α也｝的前n項和為7；,求證：Tn<2.

37.(2021?溫州期末)已知數(shù)列｛q,｝的前〃項和為S,,,滿足α1=2,S,,+Sn+l=/+2(〃∈N').

(I)求｛%｝的通項公式；

(Il)設(shè)q為數(shù)列｛—1｝的前”項和，求證：對任意"€N",都有7；<3.

%

38.(2021?溫州三模)已知正項數(shù)列滿足q=l,α2=2,且對任意的正整數(shù)〃，1是a；

和a，的等差中項.

(1)證明：｛a2-。；｝是等差數(shù)列，并求｛4｝的通項公式；

(2)設(shè)〃=拿("cN*),S“為痣｝前〃項和，證明：Sn<2√2-4?,,+2(∕j∈7V,).

39.(2021?中原區(qū)校級月考)已知數(shù)列｛%｝滿足叼=9,‰=8?-7.

(1)求數(shù)列｛為｝的通項公式；

(2)設(shè)a=瘋［TgeM),將。的底數(shù)與指數(shù)互換得到4,設(shè)數(shù)列｛>｝的前“項和為刀,，

求證：τ<-.

"n20

40.(2021?浙江開學)已知數(shù)列｛%｝的前"項積為7；,al=|,且對一切N*均有

an^-a,,=Tn-Tn^.

(I)求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列｛a,,｝的通項公式;

號的前"項和為S,,,求證：S,,+lnT>?.

(II)若數(shù)列n

41.(2021?臺州模擬)已知數(shù)列｛《,｝,｛“｝的前〃項和分別為S“，Tn,且

S,=』4+3)也=匕&

"4”"l+52,,

(1)求數(shù)列｛4｝,也J的通項公式;

(II)求證：—n<T<?n+-.

1n714

42.(2021春?浙江月考)已知等比數(shù)列｛〃“｝的公比g>l,?a2+?+?=14,%+1是七，

%的等差中項，數(shù)列｛"｝滿足：數(shù)列口,也,｝的前〃項和為“?2".

7

(1)求數(shù)列｛4｝、砂“｝的通項公式;

+

(2)數(shù)列｛c,｝滿足：c∣=3,cn+l=cn+—,πeN*,證明：cl+c2+...+cn>2?neN'.

%2

43.(2021?浙江模擬)已知數(shù)列｛%｝的前〃項之積為7；,即7；,=CG?…?g,且7；=10""叫，

4=lgcπ-1.

(1)求數(shù)列￡｝,｛α,,｝的通項公式；

(II)設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項和為S.，?=?ΞΓξι,求證：對一切〃EN*,均有

111

—+—+...+—<3

瓦瓦bn

44.已知平面直角坐標系x°y,在X軸的正半軸上，依次取點∕∣,A2,A3,...Aιl(neN"),

并在第一象限內(nèi)的拋物線爐=1x上依次取點與，與，Bi,瓦,SeN*),使得△

4一耳4∕∈N*)都為等邊三角形，其中a為坐標原點，設(shè)第〃個三角形的邊長為/(〃).

(1)求/(1),f(2),并猜想/(“)(不要求證明)；

(2)令%=9∕(")-8,記％為數(shù)列｛%｝中落在區(qū)間(9",戶M)內(nèi)的項的個數(shù)，設(shè)數(shù)列的前加

項和為鼠，試問是否存在實數(shù)2,使得2。，,對任意”?￡"恒成立？若存在，求出2的取

值范圍；若不存在，說明理由；

(3)已