數(shù)學(xué)選修課件第章空間向量及其線性運算共面向量定理

數(shù)學(xué)選修課件第章空間向量及其線性運算共面向量定理匯報人：XX2024-01-13XXREPORTING2023WORKSUMMARY目錄CATALOGUE空間向量基本概念與性質(zhì)空間向量數(shù)量積與夾角公式空間向量在平面幾何中應(yīng)用空間向量在立體幾何中應(yīng)用空間向量在物理學(xué)中應(yīng)用總結(jié)回顧與拓展延伸XXPART01空間向量基本概念與性質(zhì)空間向量是空間中既有大小又有方向的量，通常用有向線段表示?？臻g向量定義空間向量可以用有向線段的起點和終點坐標(biāo)來表示，記作$vec{AB}$或$vec{a}$，其中$A$為起點，$B$為終點?？臻g向量表示方法空間向量定義及表示方法空間向量的加法滿足平行四邊形法則或三角形法則，即$vec{AB}+vec{BC}=vec{AC}$。加法運算空間向量與實數(shù)的乘法滿足數(shù)乘的定義，即$kvec{a}$的方向與$vec{a}$相同（$k>0$）或相反（$k<0$），大小為$|k||vec{a}|$。數(shù)乘運算空間向量線性運算規(guī)則共面向量定理如果兩個向量$vec{a}$和$vec$不共線，那么向量$vec{c}$與$vec{a}$、$vec$共面的充要條件是存在唯一一對實數(shù)$x$、$y$，使得$vec{c}=xvec{a}+yvec$。共面向量性質(zhì)共面向量具有傳遞性，即如果$vec{a}$、$vec$、$vec{c}$是共面向量，那么$vec{a}+vec$、$vec+vec{c}$、$vec{c}+vec{a}$也是共面向量。共面向量定理內(nèi)容例題1已知向量$vec{a}=(1,2,3)$，$vec=(2,-1,2)$，$vec{c}=(1,1,1)$，判斷$vec{a}$、$vec$、$vec{c}$是否共面，并說明理由。解答1假設(shè)$vec{a}$、$vec$、$vec{c}$共面，則存在實數(shù)$x$、$y$使得$vec{c}=xvec{a}+yvec$。將向量坐標(biāo)代入可得方程組典型例題分析與解答$left{begin{array}{l}x+2y=1典型例題分析與解答2x-y=13x+2y=1end{array}典型例題分析與解答\right.$解此方程組可得$x=\frac{5}{7}$，$y=\frac{1}{7}$，因此$\vec{a}$、$\vec$、$\vec{c}$共面。例題2：已知向量$\vec{OA}=(1,2,3)$，$\vec{OB}=(2,1,2)$，$\vec{OC}=(1,1,1)$，求點$A$、$B$、$C$是否共線，并說明理由。解答2：假設(shè)點$A$、$B$、$C$共線，則存在實數(shù)$k$使得$\vec{AB}=k\vec{AC}$。計算可得$\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}=(1,-1,-1)$，$\vec{AC}=\vec{OC}-\vec{OA}=(0,-1,-2)$。由于不存在實數(shù)$k$使得$(1,-1,-1)=k(0,-1,-2)$成立，因此點$A$、$B$、$C$不共線。典型例題分析與解答PART02空間向量數(shù)量積與夾角公式空間向量數(shù)量積是指兩個向量的點乘，其結(jié)果為一個標(biāo)量。空間向量數(shù)量積滿足交換律、分配律和結(jié)合律，同時與向量的模和夾角有關(guān)?？臻g向量數(shù)量積定義及性質(zhì)性質(zhì)定義推導(dǎo)過程：根據(jù)空間向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)，可以推導(dǎo)出空間向量的夾角公式。具體推導(dǎo)過程涉及向量的模、數(shù)量積和夾角的三角函數(shù)關(guān)系。空間向量夾角公式推導(dǎo)過程應(yīng)用舉例：夾角公式在解決幾何問題中具有廣泛應(yīng)用，如計算兩平面夾角、判斷兩直線是否垂直等。通過舉例可以深入理解夾角公式的應(yīng)用方法。夾角公式在幾何問題中應(yīng)用舉例典型例題分析與解答例題分析選取典型例題，分析題目中涉及的幾何問題和已知條件，明確解題思路。解答過程根據(jù)已知條件和夾角公式，逐步推導(dǎo)解題過程，得出最終答案。PART03空間向量在平面幾何中應(yīng)用根據(jù)平面的點法式方程，可以直接寫出平面的法向量。定義法一般式截距式將平面的一般式方程轉(zhuǎn)化為點法式方程，從而求出法向量。根據(jù)平面在坐標(biāo)軸上的截距，可以構(gòu)造兩個向量，這兩個向量的叉積即為平面的法向量。030201平面法向量求解方法利用平面的法向量和點的坐標(biāo)，可以判斷點是否在平面上、點在平面的哪一側(cè)或者點在平面上且位于某條直線上。點與平面的位置關(guān)系利用直線的方向向量和平面的法向量，可以判斷直線與平面是否平行、直線是否在平面上或者直線與平面相交。直線與平面的位置關(guān)系利用法向量判斷點線面位置關(guān)系03求解步驟先求出兩個平面的法向量，再計算兩個法向量的夾角，最后根據(jù)二面角的實際情況確定其大小。01二面角的定義兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。02法向量的夾角與二面角的關(guān)系兩個平面的法向量的夾角（或其補角）就是這兩個平面所成的二面角的平面角。利用法向量求解二面角大小例題1已知平面α的一個法向量為n=(2,3,-1)，平面β的一個法向量為m=(-1,-2,3)，則α與β所成銳角的二面角的余弦值為____。分析根據(jù)兩個平面的法向量的夾角與這兩個平面所成的二面角的平面角的關(guān)系，我們可以先求出兩個法向量的夾角余弦值，再根據(jù)二面角的實際情況確定其大小。解答首先計算兩個法向量的點積n·m=2*(-1)+3*(-2)+(-1)*3=-11，然后計算兩個法向量的模|n|=√(2^2+3^2+(-1)^2)=√14，|m|=√((-1)^2+(-2)^2+3^2)=√14，所以cos<n,m>=(n·m)/(|n|*|m|)=-11/(√14*√14)=-11/14，因為α與β所成銳角的二面角的余弦值為正數(shù)，所以答案為11/14。典型例題分析與解答PART04空間向量在立體幾何中應(yīng)用利用已知條件直接求出法向量。直接法設(shè)出法向量，利用已知條件列出方程組，解出待定系數(shù)。待定系數(shù)法利用兩個非零向量的叉積求解法向量。叉積法立體圖形中法向量求解方法

利用法向量判斷立體圖形位置關(guān)系平行關(guān)系如果兩個平面的法向量平行，則這兩個平面平行。垂直關(guān)系如果兩個平面的法向量垂直，則這兩個平面垂直。夾角關(guān)系兩個平面的夾角等于它們的法向量的夾角。體積求解利用法向量和基向量的數(shù)量積求解三棱錐的體積。表面積求解利用法向量和基向量的數(shù)量積求解平面圖形的面積，進(jìn)而求出立體圖形的表面積。利用法向量求解立體圖形體積和表面積例題1已知三棱錐A-BCD中，AB=CD=2,AC=BD=AD=BC=2√2，求三棱錐A-BCD的體積。分析此題考查利用空間向量求解三棱錐的體積。首先，需要確定三棱錐的四個頂點在空間中的位置，然后求出底面BCD的法向量和頂點A到底面BCD的距離，最后利用三棱錐體積公式求解。解答設(shè)O為BD的中點，連接AO、CO。由于AB=CD=2,BD=2√2，所以AO⊥BD,CO⊥BD。以O(shè)為原點，OB、OC、OA的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系。則A(0,0,√2),B(1,0,0),C(0,1,0),D(-1,0,0)。設(shè)平面BCD的法向量為n=(x,y,z)，則n·BC=0,n·CD=0。解得n=(1,1,0)。又因為AO⊥平面BCD，所以點A到平面BCD的距離d=|AO|=√2。所以三棱錐A-BCD的體積V=1/3*S△BCD*d=1/3*1/2*|BC|*|CD|*sin∠BCD*d=2/3。典型例題分析與解答PART05空間向量在物理學(xué)中應(yīng)用力01在力學(xué)中，力是一個向量，其大小和方向可以用空間向量表示。例如，一個物體受到的合力可以表示為多個力的向量和。速度02速度是描述物體運動快慢和方向的物理量，可以表示為空間向量。在直線運動中，速度向量與運動方向相同或相反；在曲線運動中，速度向量始終與物體的運動軌跡相切。加速度03加速度是描述物體速度變化快慢和方向的物理量，也可以表示為空間向量。加速度向量與速度變化量的方向相同，大小等于單位時間內(nèi)速度的變化量。力學(xué)中力、速度和加速度等物理量表示方法VS利用空間向量的加法運算，可以將多個力合成為一個合力，或?qū)⒁粋€合力分解為多個分力。這對于解決力學(xué)中的平衡問題和動力學(xué)問題非常有用。運動學(xué)問題利用空間向量可以方便地描述物體的運動狀態(tài)，如位置、速度和加速度等。通過向量的運算，可以解決諸如追及、相遇、碰撞等運動學(xué)問題。力的合成與分解利用空間向量進(jìn)行力學(xué)問題建模和求解電場強度是描述電場中某點電場大小和方向的物理量，可以表示為空間向量。電場強度向量與正電荷在該點所受電場力的方向相同，大小等于單位正電荷所受的電場力。磁感應(yīng)強度是描述磁場中某點磁場大小和方向的物理量，也可以表示為空間向量。磁感應(yīng)強度向量與磁場中小磁針N極所指的方向相同，大小等于單位面積上穿過的磁感線的條數(shù)。電場強度磁感應(yīng)強度電磁學(xué)中電場強度、磁感應(yīng)強度等物理量表示方法利用空間向量進(jìn)行電磁學(xué)問題建模和求解利用空間向量的加法運算，可以將多個電場或磁場疊加為一個合場，這對于解決電磁學(xué)中的復(fù)雜問題非常有用。電場和磁場的疊加洛倫茲力和安培力是電磁學(xué)中的重要概念，它們都是向量。利用空間向量的點乘和叉乘運算，可以方便地計算這兩個力的大小和方向。洛倫茲力和安培力的計算PART06總結(jié)回顧與拓展延伸空間向量線性運算空間向量可以進(jìn)行加法、減法、數(shù)乘等線性運算。加法遵循平行四邊形法則或三角形法則，減法為加法的逆運算，數(shù)乘則是向量與實數(shù)的乘法運算。空間向量基本概念空間向量是三維空間中具有大小和方向的量，用有向線段表示?？臻g向量的模是其長度，方向由起點指向終點。共面向量定理若三個向量共面，則它們可以表示為其中兩個向量的線性組合。該定理在解決空間向量共面問題時具有重要作用。本章知識點總結(jié)回顧空間向量在計算機圖形學(xué)中用于表示三維模型中的頂點、法線、紋理坐標(biāo)等信息，是實現(xiàn)三維圖形渲染的基礎(chǔ)。計算機圖形學(xué)在物理學(xué)中，空間向量用于描述力、速度、加速度等物理量，可以方便地進(jìn)行力的合成與分解、運動學(xué)分析等。物理學(xué)