北京市西城區(qū)高三數(shù)學(xué)二模試題

2020年北京市西城區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷一、選擇題（共10小題）.1.設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，則集合（）∪B＝（）A.（﹣∞，2） B.[2，+∞）C.（1，2） D.（﹣∞，1）∪[2，+∞）【答案】D【解析】【分析】先求出，再求（）∪B得解【詳解】U＝R，A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，∴＝{x|x≥2}，（）∪B＝（﹣∞，1）∪[2，+∞）.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的補(bǔ)集和并集運(yùn)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.2.設(shè)復(fù)數(shù)z＝1+i，則2＝（）A.﹣2i B.2i C.2﹣2i D.2+2i【答案】A【解析】【分析】由z求得，再利用復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算求解即可.【詳解】∵z＝1+i，∴＝（1﹣i）2＝﹣2i.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查共軛復(fù)數(shù)的定義，考查了復(fù)數(shù)出乘方運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3.焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A.x2＝4y B.y2＝4x C.x2＝8y D.y2＝8x【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，結(jié)合拋物線的幾何性質(zhì)可得p的值，代入拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，要求拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為，又由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，即p＝4，故要求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝8x，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，屬于基礎(chǔ)題4.在銳角中，若，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可用正弦定理先求出，再由三角函數(shù)中的平方關(guān)系及角的范圍，求出，進(jìn)而得到答案.【詳解】在銳角中，若，，，由正弦定理，可得，由為銳角，可得．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理及三角函數(shù)中平方關(guān)系的應(yīng)用，考查理解辨析能力與運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5.函數(shù)f(x)＝x是（）A.奇函數(shù)，且值域?yàn)椋?，+∞）B.奇函數(shù)，且值域?yàn)镽C.偶函數(shù)，且值域?yàn)椋?，+∞）D.偶函數(shù)，且值域?yàn)镽【答案】B【解析】【分析】由奇偶性定義，求出函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，再求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分析其單調(diào)性可得在區(qū)間（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函數(shù)，且f（1）＝f（﹣1）＝0；作出函數(shù)的草圖，分析其值域，即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)f(x)＝x，其定義域?yàn)閧x|x≠0}，有f（﹣x）＝（﹣x）﹣（）＝﹣（x）＝﹣f(x)，即函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)f′(x)＝1，在區(qū)間（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函數(shù)，且f（1）＝f（﹣1）＝0；其圖象大致如圖：其值域?yàn)镽；故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，值域的求解，屬于基礎(chǔ)題6.圓x2+y2+4x﹣2y+1＝0截x軸所得弦的長度等于（）A2 B.2 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】首先令y＝0，整理得兩根和與兩根積，進(jìn)一步求出弦長.【詳解】令y＝0，可得x2+4x+1＝0，所以，，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查的是圓中弦長的求法，較簡單.7.設(shè)為非零實(shí)數(shù)，且，則（）A. B.C. D.以上三個選項(xiàng)都不對【答案】C【解析】【分析】直接利用不等式的性質(zhì)，結(jié)合特例，利用排除法，即可求解.【詳解】設(shè)為非零實(shí)數(shù)，且，所以對于選項(xiàng)A：當(dāng)時，，故錯誤.對于選項(xiàng)B：當(dāng)時，無意義，故錯誤.對于選項(xiàng)C：由于，所以，故正確.對于選項(xiàng)D：由于C正確，所以選項(xiàng)D錯誤.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)，其中解答中不等式的基本性質(zhì)，以及合理利用特例，結(jié)合排除法求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力.8.設(shè)向量滿足，，則的最小值為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】兩邊平方，得出關(guān)于的二次函數(shù)，從而得出最小值.【詳解】解：∴當(dāng)時，取得最小值.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的模的求解方法，利用二次函數(shù)求最值，考查運(yùn)算能力，是中檔題.9.設(shè)為等比數(shù)列，則“對于任意的”是“為遞增數(shù)列”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】對于任意的，即.可得：，，任意的，解出即可判斷出結(jié)論.【詳解】解：對于任意的，即.∴，，任意的，∴，或.∴“為遞增數(shù)列”，反之也成立.∴“對于任意的”是“為遞增數(shù)列”的充要條件.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的單調(diào)性，充分必要條件，是基礎(chǔ)題.10.佩香囊是端午節(jié)傳統(tǒng)習(xí)俗之一，香囊內(nèi)通常填充一些中草藥，有清香、驅(qū)蟲、開竅的功效.因地方習(xí)俗的差異，香囊常用絲布做成各種不同的形狀，形形色色，玲瓏奪目.圖1的由六個正三角形構(gòu)成，將它沿虛線折起來，可得圖2所示的六面體形狀的香囊，那么在圖2這個六面體中，棱AB與CD所在直線的位置關(guān)系為（）A.平行 B.相交 C.異面且垂直 D.異面且不垂直【答案】B【解析】【分析】可將平面展開圖還原為直觀圖，可得兩個三棱錐拼接的六面體，它們共一個底面，即可判斷，的位置關(guān)系．【詳解】將平面展開圖還原為直觀圖，可得兩個三棱錐拼接的六面體，它們共一個底面，且兩點(diǎn)重合，所以與相交，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查平面展開圖與其直觀圖的關(guān)系，考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11.在（1+5x）6的展開式中，含x的項(xiàng)系數(shù)為_____.【答案】30.【解析】【分析】先寫出二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)，要求含x的項(xiàng)系數(shù)，只要使得展開式中x的指數(shù)是1，求得r，代入數(shù)值即可求出含x項(xiàng)的系數(shù).【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為：，令x的指數(shù)為1，即r＝1；∴含x的項(xiàng)系數(shù)為：；故答案為：30.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式中具體項(xiàng)的系數(shù)求解問題，屬于基礎(chǔ)題12.在等差數(shù)列{an}中，若a1+a2＝16，a5＝1，則a1＝_____；使得數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和Sn取到最大值的n＝_____.【答案】(1).9(2).5.【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a1+a2＝16，a5＝1，可得2a1+d＝16，a1+4d＝1，解得：a1，d，可得an，令an≥0，解得n即可得出【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a1+a2＝16，a5＝1，∴2a1+d＝16，a1+4d＝1解得：a1＝9，d＝﹣2.∴an＝9﹣2（n﹣1）＝11﹣2n.令an＝11﹣2n≥0，解得n5.∴使得數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和Sn取到最大值的n＝5.故答案為：9；5.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等差數(shù)列前n項(xiàng)的和的最值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題.13.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為_____.【答案】4+4.【解析】【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖，進(jìn)一步求出幾何體的表面積.【詳解】根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為，該幾何體為底面為邊長為2，高為2正四棱錐體.如圖所示：所以4+4.故答案為：4+4.【點(diǎn)睛】本題考查了利用三視圖求幾何體的表面積，考查了空間想象能力和空間感，屬于基礎(chǔ)題.14.能說明“若，則方程表示的曲線為橢圓或雙曲線”是錯誤的一組的值是_____.【答案】（答案不唯一）.【解析】【分析】由題意可得滿足或者即可，取滿足上述條件的的值即可（答案不唯一）.【詳解】若方程1表示的曲線為橢圓或雙曲線是錯誤的，則，或者，則可?。ù鸢覆晃ㄒ唬?故答案為：（答案不唯一）.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.15.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，滿足f（x+2）＝2f(x)，且當(dāng)x∈（0，2]時，f(x)＝2x﹣3.①f（1）；②當(dāng)a∈（，]時，方程f(x)＝a在區(qū)間[﹣4，4]上有三個不同的實(shí)根；③函數(shù)f(x)有無窮多個零點(diǎn)，且存在一個零點(diǎn)b∈Z.其中，所有正確結(jié)論的序號是_____.【答案】①②.【解析】【分析】由題意可得函數(shù)f(x)的大致圖象，根據(jù)圖像逐個判斷，即可判斷出所給命題的真假.【詳解】如圖：對①，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)镽，滿足f（x+2）＝2f(x)，x∈（0，2]時，f(x)＝2x﹣3所以f（1）f（1+2）f（1）?（21﹣3），所以①正確；對②，f(x)的大致圖象如圖所示可得當(dāng)a∈（，]時，方程f(x)＝a在區(qū)間[﹣4，4]上有三個不同的實(shí)根，所以②正確對③，因?yàn)閤∈（0，2]時，f(x)＝2x﹣3＝0，x＝log23，又因?yàn)閒（x+2）＝2f(x)所以函數(shù)f(x)由無數(shù)個零點(diǎn)，但沒有整數(shù)零點(diǎn)，所以③不正確；故答案為：①②.【點(diǎn)睛】本題考查了類周期函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)方程思想，屬于中當(dāng)題.三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.16.如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥BC，D是A1C1的中點(diǎn)，且AC＝BC＝AA1（1）求證：BC1∥平面AB1D；（2）求直線BC與平面AB1D所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接A1B，設(shè)A1B∩AB1＝E，連接DE，可得BC1∥DE，再由直線與平面平行的判定得到BC1∥平面AB1D；（2）由CC1⊥底面ABC，AC⊥BC，得CA，CB，CC1兩兩互相垂直，分別以CA，CB，CC1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面AB1D的一個法向量與的坐標(biāo)，由兩向量所成角的余弦值可得直線BC與平面AB1D所成角的正弦值.【詳解】（1）證明：連接A1B，設(shè)A1B∩AB1＝E，連接DE，由ABC﹣A1B1C1為三棱柱，得A1E＝又∵D是A1C1的中點(diǎn)，∴BC1∥∵BC1?平面AB1D，DE?平面AB1D，∴BC1∥平面AB1D；（2）解：∵CC1⊥底面ABC，AC⊥BC，∴CA，CB，CC1兩兩互相垂直，故分別以CA，CB，CC1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C（0，0，0），B（0，2，0），A（2，0，0），B1（0，2，2），D（1，0，2），∴，，.設(shè)平面AB1D的法向量為，由，取y＝1，得；設(shè)直線BC與平面AB1D所成角為θ.則sinθ＝|cos|.∴直線BC與平面AB1D所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明和求線面角的大小，考查了通過線線平行證明線面平行的方法，同時考查了空間直角坐標(biāo)系，利用向量求線面角，是立體幾何中較為常規(guī)的一類題型，有一定的計(jì)算量，屬于中檔題.17.已知函數(shù)同時滿足下列四個條件中的三個：①最小正周期為；②最大值為2；③；④（1）給出函數(shù)的解析式，并說明理由；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間【答案】（1），理由見解析；（2），.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，先判斷不能滿足條件③，再由條件①求出，由條件②，得，由條件④求出，即可得出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，列出不等式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）若函數(shù)滿足條件③，則.這與，矛盾，故不能滿足條件③，所以函數(shù)只能滿足條件①，②，④.由條件①，得，又因?yàn)?，所?由條件②，得.由條件④，得，又因?yàn)椋?所以.（2）由，，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.【點(diǎn)睛】本題主要考查由三角函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)解析式，以及求正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，熟記正弦函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.18.隨著科技的進(jìn)步，視頻會議系統(tǒng)的前景愈加廣闊.其中，小型視頻會議軟件格外受人青睞.根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，小型視頻會議軟件量前6名的依次為A，B，C，D，E，F(xiàn).在實(shí)際中，存在很多軟件后但并未使用的情況.為此，某調(diào)查公司對有視頻會議需求的人群進(jìn)行抽樣調(diào)查，統(tǒng)計(jì)得到這6款軟件的量W（單位：人次）與使用量U（單位：人次），數(shù)據(jù)用柱狀圖表示如圖：定義軟件的使用率t，當(dāng)t≥0.9時，稱該款軟件為“有效軟件”.調(diào)查公司以調(diào)查得到的使用率t作為實(shí)際中該款軟件的使用率.（1）在這6款軟件中任取1款，求該款軟件是“有效軟件”的概率；（2）從這6款軟件中隨機(jī)抽取4款，記其中“有效軟件”的數(shù)量為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（3）將（1）中概率值記為x%.對于市場上所有小型視頻會議軟件，能否認(rèn)為這些軟件中大約有x%的軟件為“有效軟件”？說明理由.【答案】（1）；（2）分布列見解析；期望為；（3）不能；答案見解析.【解析】【分析】（1）計(jì)算各軟件的使用率，得出有效軟件的個數(shù)，從而可得出所求概率；（2）根據(jù)超幾何分布的概率公式計(jì)算概率，得出分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)樣本是否具有普遍性進(jìn)行判斷.【詳解】解：（1）tA0.9，tB0.9，tC0.9，tD0.9，tE0.9，tF0.9.∴6款軟件中有4款有效軟件，∴這6款軟件中任取1款，該款軟件是“有效軟件”的概率為.（2）X的可能取值有2，3，4，且P（X＝2），P（X＝3），P（X＝4），∴X的分布列為：X234PE（X）＝234.（3）不能認(rèn)為這些軟件中大約有x%的軟件為“有效軟件”.理由：用樣本估計(jì)總體時應(yīng)保證總體中的每個個體被等可能抽取，此次調(diào)查是對有視頻會議需求的人群進(jìn)行抽樣調(diào)查，且只選取量排名前6名的軟件，不是對所有軟件進(jìn)行的隨機(jī)抽取6件的樣本.【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)事件的概率，超幾何分布，考查數(shù)學(xué)建模能力與數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，是中檔題.19.設(shè)函數(shù)，其中，曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn).（1）求的值；（2）求函數(shù)的極值；（3）證明:.【答案】（1）；（2）極小值，沒有極大值；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）由題意，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求切線的斜率，進(jìn)而可求切線方程，代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)可求；（2）先對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系即可求解；（3）由于等價于，結(jié)合（2）可得，故只要證明即可，（需驗(yàn)證等號不同時成立）結(jié)合導(dǎo)數(shù)可證.【詳解】解：（1），則，故在處的切線方程，把點(diǎn)代入切線方程可得，，（2）由（1）可得，易得，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時,，函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，沒有極大值，證明：（3）等價于，由（2）可得（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）①，所以，故只要證明即可，（需驗(yàn)證等號不同時成立）設(shè)，則，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，②因?yàn)棰佗诘忍柌煌瑫r成立，所以當(dāng)時，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系，還考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．20.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)、分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），直線交軸于點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，且，求證：、、三點(diǎn)共線.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可求得的值，再由橢圓的離心率可求得、的值，由此可得出橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，可得出，求出直線的方程，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，由，可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入直線的方程可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，驗(yàn)證，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的坐標(biāo)可得，由題意可得，解得，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，設(shè)點(diǎn)，則，則，直線斜率為，則直線的方程為，令，可得，即點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，由，可得，直線的斜率為，則直線的方程為，將代入直線的方程得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為直線的斜率為，又、有公共點(diǎn)，因此，、、三點(diǎn)共線.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，同時也考查了橢圓中三點(diǎn)共線的證明，考查計(jì)算能力，屬于難題.21.如圖，表1是一個由40×20個非負(fù)實(shí)數(shù)組成的40行20列的數(shù)表，其中am，n（m＝1，2，…，40；n＝1，2，…，20）表示位于第m行第n列的數(shù).將表1中每一列的數(shù)都按從大到小的次序從上到下重新排列（不改變該數(shù)所在的列的位置），得到表2（即bi，j≥bi+1，j，其中i＝1，2，…，39；j＝1，2，…，20）.表1a1，1a1，2…a1，20a2，1a2，2…a2，20…………a40，1a40，2…a40，20表2b1，1b1，2…b1，20b2，1b2，2…b2，20…………b40，1b40，2…b40，20（1）判斷是否存在表1，使得表2中的bi，j（i＝1，2，…，40；j＝1，2，…，20）等于100﹣i﹣j？等于i+2﹣j呢？（結(jié)論不需要證明）（2）如果b40，20＝1，且對于任意的i＝1，2，…，39；j＝1，2，…，20，都有bi，j﹣bi+1，j≥1成立，對于任意的m＝1，2，…，40；n＝1，2，…，19，都有