新高考2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)練習(xí) 第20講數(shù)列的通項(xiàng)公式學(xué)生版

第20講數(shù)列的通項(xiàng)公式

一.選擇題（共7小題）

1.（2021春?赤坎區(qū)校級(jí)月考）設(shè)｛an｝是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且

（〃+1）4,-〃。：+。用4=0（〃=1,2,3,...）,則它的通項(xiàng)公式是“πw=（）

A.100B.—C.101D.-?-

100IOI

2.（2021?廬山區(qū)校級(jí)期中）己知數(shù)列｛??｝,｛bll｝,｛δ｝滿足：

π+

岫+a2b2+a3b3+...+anbn=（w-l>2'+2（neN'）,若也｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比

數(shù)列，C,,=（--Γ',則數(shù)列［%］的前"項(xiàng)的和是（）

A1-(4〃+1)(-3)"1+3,|(4∏+1)

1616

1-(3〃+2)(-3)”1+3"(3/7+2)

1616

3.（2021?黃州區(qū)校級(jí)二模）數(shù)列｛an｝滿足q=2,%”=-------4----------則數(shù)列｛%｝的前

32（2n+?）atl+1

2021項(xiàng)的和為（）

A403540364037θ4038

A.------DnC.

4036.40374038?4039

r

4.（2021?天水校級(jí)期末）已知數(shù)列｛4｝中，,%=1，∕7?+1=2(a1+a2+...+azf)(A?∈Λ*)?則

數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為（)

A.an-nB.an=2π-l

〃+1∫1,5=1)

Cc.Ci=------D.a=〈

"2/7"ti[〃+1,5..2)

5.（2021春?麗水期末）已知數(shù)列｛〃〃｝滿足q=1,%〃〃+2=4。；+1，則數(shù)列｛%｝的最

?16

小項(xiàng)為（）

_25

A.2七B.2^τC.27D.2-6

6.（2021?福州一模）已知數(shù)列｛αl,｝滿足q=l,%=，+■，「，,則知=（）

2an÷4nali+n

7.（2021?德州期末）對(duì)于數(shù)列｛%｝,規(guī)定｛△%｝為數(shù)列｛%｝的一階差分?jǐn)?shù)列，其中△

%=q,+∣-%（"GN*）,對(duì)自然數(shù)％/...2），規(guī)定｛△%,,｝為數(shù)列｛%｝的k階差分?jǐn)?shù)列，其中△

4ll

an=Δ*,-a,,+l-Δ*'^all.若α∣=l,且-Z?α,+∣+α,,=-2"("∈N*),則數(shù)列｛”"｝的通項(xiàng)

公式為()

2

Λ.al,=n×2"-'B.an=n×2"-'

πl(wèi)

C.a,,=5+l)x2'TD.all=(2n-l)×2^

二.填空題(共5小題)

8.(2021?廣西月考)已知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為-1,設(shè)S“是數(shù)列｛”,｝的前〃項(xiàng)和，且

。向=2S,,S向，則S,,=—.

9.設(shè)｛an｝是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(〃+1)?+1-na^1+a,,+lall=0("=1,2,3,…)，則％=>

an=——?

10.(2021?山東月考)已知數(shù)列｛0,,｝中，ax=|,其前〃項(xiàng)和S.滿足S；+%=0(〃..2),

=

則生----；S20]9=----------->

11.(2021?重慶模擬)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和S〃滿足

S；-(7+"-2)5,-2(/+,7)=0,〃wN*,則數(shù)列I—1的前2021項(xiàng)和與儂=____.

IaM,+J

12.(2021?江西月考)已知數(shù)列｛”,｝滿足％=；,。向=-a；+2a,,.記S,,=[aJ+[%]+…+U,]，

其中[團(tuán)表示不超過機(jī)的最大整數(shù)，求$239的值為一.

Ξ.解答題(共35小題)

13.(2021?浙江月考)已知數(shù)列｛”,｝的各項(xiàng)都不為零，其前〃項(xiàng)和為5,,,且滿足：

2ξ,=?(a,,+l)(n∈2√?).

(1)若a“>0,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)是否存在滿足題意的無窮數(shù)列使得%(M6=-2(H5?若存在，求出這樣的無窮數(shù)

列的一個(gè)通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說明理由.

14.(2021?迎澤區(qū)校級(jí)月考)設(shè)數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和為S,,,已知q=2,%=8,

SM+4SJJT=5\(?...2),。是數(shù)列｛log,an｝的前n項(xiàng)和.

(1)求數(shù)列也,｝的通項(xiàng)公式;

(2)求(1-----)(1-----)...(1--------)的值.

TA%015

15.(2021?殷都區(qū)校級(jí)月考)(1)已知數(shù)歹(]｛a,J滿足az=a”+2"+l,ax=?,求數(shù)列｛a,｝

的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列J,2L3L4L…的前〃項(xiàng)和.

24816

2

16.(2021?湖南模擬)在正項(xiàng)數(shù)列｛α,,｝中，al=?,a2=2,且""∣*+.

β

n-?-∣%-a,

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛---｝的前〃項(xiàng)和5“.

an+?÷l

17.(2021?重慶三模)已知數(shù)列｛%｝是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且各項(xiàng)均為正數(shù)，其前〃項(xiàng)和

為S,,q?6=81,&,a3,%-S3成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若—，求｛%?4｝的前”項(xiàng)和匕，并求勺的最小值.

從以下所給的三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到上面問題的橫線上，并解答此問題.

①數(shù)列｛"｝滿足：b=—,3Z),,=--—?b(n∈N')；

t2+1〃+2n

②數(shù)列他,｝的前n項(xiàng)和Tn∈M);

③數(shù)列｛“｝的前n項(xiàng)和Tn滿足：6Tn-bl,=5(〃eN*).

18.(2021春?萊蕪區(qū)校級(jí)月考)在數(shù)列｛&｝中,q=2,anall,l=2an-l.

⑴求證:數(shù)列國

是等差數(shù)列，并求｛α,J的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列，的前〃項(xiàng)和S,,.

[4∕α,J

19.(2021?河西區(qū)二模)已知數(shù)列｛4,｝的前〃項(xiàng)和為S.,且2S,,=3(%-2)("eN*),數(shù)列｛"｝

是公差不為0的等差數(shù)列，且滿足白=Iq,"是H和3的等比中項(xiàng).

6

(1)求數(shù)列｛〃“｝和也,｝的通項(xiàng)公式：

求2IO片1；

(2)

t

1?3tO2"

(3)設(shè)數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式?1='JZeN*),求￡(c,-I)2(〃eN*)：

[%,"=2M

20.(2021?葫蘆島月考)在數(shù)列｛α,,｝中，4=1,%=2%+/-4〃+2(〃..2).

(1)證明數(shù)列｛α,,+∕｝為等比數(shù)列，并求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)歹∣J｛〃%+/｝的前”項(xiàng)和s,l.

2L(2021?秦州區(qū)校級(jí)月考)已知數(shù)列｛(｝中，％=4,%+ι=24,,-2("eM)?

(1)令4=勺-2,求證：數(shù)列｛〃｝為等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛%｝和收｝的通項(xiàng)公式；

3

(3)S”為數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和,求S,,.

22.(2021?西城區(qū)校級(jí)月考)數(shù)列｛4｝中，α1=?,an+an.l+2n-l=0(neN*?n..2).

(I)求生，的值；

(II)證明：數(shù)列｛4+〃｝是等比數(shù)列，并求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(III)求數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和S”.

23.(2021?赫山區(qū)校級(jí)期中)已知數(shù)列｛%｝中,ai=2,an+l≈2+3aπ.

(1)求證以+1｝是等比數(shù)列，并求｛為｝的通項(xiàng)公式見；

(2)求數(shù)列｛%｝的前”項(xiàng)和S.；

24.(2021?沈陽月考)在等差數(shù)列｛為｝中，已知q=l,公差d>0,其前〃項(xiàng)和S,滿足

4Sn=M(α,,+α,,+1).

(1)求數(shù)列｛α,J的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛a,,?2",｝的前〃項(xiàng)和為7；,求7；的表達(dá)式.

25.(2021?五華區(qū)校級(jí)月考)己知數(shù)列也｝中，q=3,a2=6,當(dāng)”..2(〃eN*)時(shí)，

%+∣+%τ=2a“+1.

(1)證明：數(shù)列｛%M-α,,｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

n

(2)當(dāng)eN*)時(shí)，an<2,求正整數(shù)加的最小值.

n

26.(2021?湖南月考)已知在數(shù)列｛α,,｝中，q=3,an=an,i+2-?n.2).

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)ξ,=log2(α用-1)，求｛一一｝的前"項(xiàng)和

b也+1

4

27.(2021?青羊區(qū)校級(jí)開學(xué))在①S,，25ntl,352成等差數(shù)列，且昆=1；②

媒=+”(2?！?5%),且%>0;③2S,+α,,-f=0?為常數(shù))從這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)

充在橫線處，并給出解答.

問題：已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,q=；,,其中“wN*?

(1)求｛α,,｝的通項(xiàng)公式；

(2)記”=1OgIa求數(shù)列也也｝的前"項(xiàng)和7；.

3

28.(2021?明山區(qū)校級(jí)月考)在數(shù)列｛%｝中，S.為其前〃項(xiàng)和，且q=2,

4

(1)求SJ的通項(xiàng)公式;

(2)若a=聯(lián),求數(shù)列色｝的前〃項(xiàng)和北.

2a

",Λ+l

n

29.(2021?邯鄲開學(xué))在數(shù)列｛”“｝中，q=2,aπ+i=an+2+2.

(1)求數(shù)列｛q,-2"｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列也｝滿足"=2(%+2-2”)，求也｝的前〃項(xiàng)和

2

30.(2021?全國I卷月考)已知數(shù)列｛%｝中，q=l,且滿足。用=%-2”，bn=an+n(neN*).

(1)證明：數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列也,｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)S,為數(shù)列!」一］的前"項(xiàng)和，求滿足S,,…上的”的最小值.

l???÷J12

31.(2021?天河區(qū)月考)已知數(shù)列｛α,,｝中，α,,>0,其前〃項(xiàng)和為國，且對(duì)任意“wN”,都

有S,=(歿

(1)求《、。2、a3,并求數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式.

(2)求數(shù)列｛(—1)"可｝的前〃項(xiàng)和7；.

32.(2021春?雅安期末)已知數(shù)列｛0,,｝中，α=1,《向=eN*).

14a“+3

(1)求證：］卜+2)是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)己知數(shù)列｛4｝,滿足”=照Fy.

(i)求數(shù)列｛"｝的前月項(xiàng)和7；；

(ii)若不等式(-1)”<7;+占」對(duì)一切恒成立，求；I的取值范圍.

2"n

33.(2021?遂寧模擬)已知數(shù)列｛α,,｝中，α2=∣,an=α,,+1+2αnα,,+1.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

γ

(2)若a=且數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和為方，求

%

34.(2021?北京月考)已知數(shù)列｛〃,｝中，q=,，且%=」一對(duì)「迎?(-')"T(">l且"eN*).

2n-?22

(1)求數(shù)列｛α,J的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)數(shù)列｛α,J的前〃項(xiàng)和為S,,,求滿足2S,-3/+5〃>0的所有正整數(shù)〃的值.

35.(2021?漂陽市期中)己知數(shù)列｛風(fēng)｝的前"項(xiàng)和為S"，點(diǎn)(及，S,)("∈N*)在函數(shù)y=/的

5

圖象上，數(shù)列｛"｝滿足"=6"τ+2"M("?.2,"eN*),且4=4+3

(1)求數(shù)列｛α,｝的通項(xiàng)公式;

(2)證明列數(shù)｛/+1｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

(3)設(shè)數(shù)列｛%｝滿足對(duì)任意的〃∈N，,均有可用=+上=+上〒+…+-?-成立

4+2h2+2^A2+2,bn+2"

c1÷c2+C3÷...+C2010的值.

36.(2021春?長陽縣校級(jí)期中)已知數(shù)列｛4｝中，4=5,a2=2,an=2αw,1+3an_29(n,.3)

(I)證明數(shù)列｛%-3/./｝成等比數(shù)列，并求數(shù)｛〃”｝列的通項(xiàng)公式4;

(II)若數(shù)列b,,=也+%)，求數(shù)列I｛"｝的前"項(xiàng)和5“.

37.已知在數(shù)列｛%｝中，al=3,aπ+l+an=3?2"^',nwN*?

(1)求數(shù)列｛α,,｝的前n項(xiàng)和S11；

(2)若l<r<s且r,swN,是否存在直線/,使得當(dāng)卬，%,生成等差數(shù)列時(shí)，點(diǎn)列(2,,

2,)在/上？若存在，求該直線的方程并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.

38.(2021春?內(nèi)江期末)已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,且滿足q=l,當(dāng)〃.2(〃eN*)時(shí),

(M-l)?-(n+l‰=∣(√-n).

(1)計(jì)算：a2,a3;

(2)求｛4,,｝的通項(xiàng)公式；

(3)設(shè)6“=tan亞^,求數(shù)歹U也什也｝的前〃項(xiàng)和北.

39.(2021春?新津縣校級(jí)月考)已知數(shù)列｛0,,｝中，6=1,且

氏=」ɑ,?+2“?3'τ("…2,〃eN,)?

n—1

(1)求出，％的值及數(shù)列｛0,,｝的通項(xiàng)公式;

(2)令〃(〃eN*),設(shè)數(shù)列也,｝的前“項(xiàng)和為S,,,求S,并比較S2,與〃的大小.

40.(2021春?廣東期中)已知數(shù)列｛4｝滿足q=2,且％=2q+2"*2(〃6N*),b“畤.

(1)求證數(shù)列｛“｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛α,J的通項(xiàng)公式；

(2)記7；=-?-+—^―+—l-+...+―!—,求7；；

bb

ι?2b2?b3b3?b4bll?bn+l

(3)是否存在實(shí)數(shù)在，使得(1+2)(1+2)...(1+2)..&/4+2-5對(duì)任意〃€:*都成立?若

6

存在，求實(shí)數(shù)人的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

41.(2008?深圳二模)已知數(shù)列｛α,J滿足q=α,α向=?"+6)α.+4〃+10(“.

2/7+1

(1)試判斷數(shù)列｛"2｝是否為等比數(shù)列？若不是，請(qǐng)說明理由；若是，試求出通項(xiàng).

2n+1

(∏)如果α=1時(shí)，數(shù)歹U｛?！埃那啊表?xiàng)和為5”.試求出S,,并證明一!→L+…+-!-<L(〃..3).

S3S&S1110

42.(2021?南城縣校級(jí)月考)設(shè)各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為Szt,且滿足：

22

Sn-(n+n~3)S,,-3(/+〃)=QZN等比數(shù)列也,｝滿足：Iog2bn+?ɑ,,=0.

(I)求數(shù)列｛%｝，｛?w｝的通項(xiàng)公式；

(H)設(shè)Czf=〃〃?"，求數(shù)列｛qj的前〃項(xiàng)的和北；

(HI)證明：對(duì)一切正整數(shù)〃，有一1—+—'—+...+—1—<L

α∣(q+l)a2(a2+1)α,,(a,,+1)3

43.(2021春?壽縣校級(jí)月考)設(shè)數(shù)列｛α,,｝滿足：q=l

%=?ɑ+%+Jl+24*(〃GN*)?令”,=Jl+24%.

Io

(1)求證數(shù)列也,-