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文檔簡(jiǎn)介
2022-2023學(xué)年遼寧省丹東市高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷
一、單選題(本大題共8小題,共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中,選出符合題目的一項(xiàng))
1.設(shè)集合4={4,5,6,7},B={6,7,8},U=AuB,則CU(An8)中元素個(gè)數(shù)為()
A.3B.4C.5D.6
2.已知I甘I=遍,則正實(shí)數(shù)α=()
A.1B.√2C.√3D.2
3.設(shè)命題P:力設(shè),命題q:["W二則P是q的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分且必要條件D.既不充分也不必要條件
4.將函數(shù)y=sin(2x+6圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍,所得圖象函數(shù)式為()
A.y-sin(4x+B.y=sin(4x+^)C.y=sin(x+工)D.y=sjn(x+ξ)
5.已知等比數(shù)列{αjl}的前三項(xiàng)和84,a1-a4=42,則α4=()
A.3B.6C.12D.24
6.從三個(gè)班級(jí),每班隨機(jī)選派兩名學(xué)生為代表,這六名同學(xué)被隨機(jī)安排在一個(gè)圓桌會(huì)議室
進(jìn)行“深度學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)”座談,會(huì)議室的圓桌正有好有六個(gè)座位,則同一班級(jí)的兩名同學(xué)恰
好被安排在一起相鄰而坐的概率為()
?2_R-L
a?30ts?15
7.設(shè)函數(shù)/(X)=育,則()
A./(χ)是奇函數(shù)B."X)是偶函數(shù)
C./(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)中心對(duì)稱D./(尤)的圖象關(guān)于直線%=1軸對(duì)稱
8.已知&F2為雙曲線C;捻-,=1?>0,匕>°)的兩個(gè)焦點(diǎn),以RF2為直徑的圓與C及C
的漸近線在第一象限的交點(diǎn)分別為點(diǎn)4和點(diǎn)B,若A,B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之比為4:3,則C的離心率
為()
A.√5B.2C.絲D.挈
二、多選題(本大題共4小題,共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)
9.某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí),為了解講座效果,隨機(jī)抽取10位
社區(qū)居民,讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問卷,這10位社區(qū)居民在講座
前和講座后問卷答題的正確率如圖,則()
A.講座前問卷答題的正確率都小于100%
B.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%
C.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%
D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差
10.正方體ABCD-AIBIClDi的棱長(zhǎng)為1,P為線段BiDi上的點(diǎn),則()
A.BP〃平面AD11CB.AP〃平面CIBD
C.三棱錐B—APD的體積為定值D.BP與ADl所成角的最小值為45。
11.拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為I,經(jīng)過C上的點(diǎn)M作C的切線m,m與y軸、
I、X軸分別相交于點(diǎn)N、P、Q,過M作/垂線,垂足為貝∣J()
A.?PF?=IPQlB.N為MI尸中點(diǎn)
C.若P(-2,3),貝IJlMFl=10D.若NMPF=60°,則IMlQl=2p
b
12.設(shè)πι>l,logma=m=c,若α,b,C互不相等,則()
A.α>1B.c≠e
C.b<c<aD.(c—b)(c—α)<0
三、填空題(本大題共4小題,共20.0分)
13.已知向量d=(2,1),b-(2,x)>若其〃B,則實(shí)數(shù)X=.
14.當(dāng)X=Xo時(shí),SinXCoSX+V^cos2χ取得最大值,則沏的一個(gè)值為.(任意寫出滿足條
件的一個(gè)Λ?值即可)
15.直三棱柱力BC-4&G的所有棱長(zhǎng)均為2,以Cl為球心,√7為半徑的球面與側(cè)面4BB14
的交線長(zhǎng)為_.
16.若X=I是函數(shù)f(x)=/+以2+以的極大值點(diǎn),則/(1)的取值范圍為_.
四、解答題(本大題共6小題,共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)
17.(本小題10.0分)
△力BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為α,b,c,設(shè)爐+c?=√∑bc.
⑴求4
(2)若α+√∑b=2c,求sinC.
18.(本小題12.0分)
設(shè)數(shù)列{α7l}的前n項(xiàng)和是Srι,數(shù)列{Srι}的前n項(xiàng)乘積是〃,已知Sn+7;=1.
(1)證明:數(shù)列{/}是等差數(shù)列;
ln
(2)數(shù)歹(]{;}中的第幾項(xiàng)最接近2023?
an
19.(本小題12.0分)
已知某商業(yè)銀行甲、乙兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)理財(cái)項(xiàng)目的年利潤(rùn)率分別為Xi和X2,利潤(rùn)率為負(fù)表示虧損,
根據(jù)往年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到Xl和X2的分布列:
現(xiàn)有200萬元資金準(zhǔn)備投資到甲、乙兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)理財(cái)項(xiàng)目一年.
(1)在甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目上各投資100萬元,匕和匕分別表示投資項(xiàng)目甲和乙所獲得的年利潤(rùn),
求。(匕)和。(%);
(2)項(xiàng)目甲投資X萬元,項(xiàng)目乙投資200-X萬元,其中0≤x≤200,XEN,用f(x)表示投資
甲項(xiàng)目的年利潤(rùn)方差與投資乙項(xiàng)目的年利潤(rùn)方差之和,問該如何分配這200萬元資金,能使
/(X)的數(shù)值最小?
20.(本小題12.0分)
如圖,四棱錐P-HBeD中,已知4D〃BC,BC=2AD,AD=DC,NBCD=60。,CD1PD,
PB1BD.
(1)證明:PBIAB;
(2)設(shè)E是PC的中點(diǎn),直線AE與平面力BCD所成角等于45。,求二面角B-PC-C的余弦值.
E
21.(本小題12.0分)
已知橢圓C:務(wù),=l(α>b>0)有兩個(gè)頂點(diǎn)在直線〃X+歷—√∑b=0上,C的中心到I
的距離為苧
(1)求C的方程;
(2)設(shè),1、。是經(jīng)過C下頂點(diǎn)的兩條直線,。與C相交于點(diǎn)M,%與圓/+y2=1相交于點(diǎn)N,若
匕斜率的不等于0,%斜率等于El斜率的2倍,證明:直線MN經(jīng)過定點(diǎn).
22.(本小題12.0分)
已知函數(shù)/(%)=ex—xlnx÷%2—ax.
(1)證明:若α≤e+l,則/(%)≥0;
(2)證明:若f(%)有兩個(gè)零點(diǎn)%2,則%ι%2<L
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解:U=AUB={4,5,6,7,8},AnB={6,7},
???CU(4CB)={4,5,8},
???CU(A∩B)中元素個(gè)數(shù)為3.
故選:A.
進(jìn)行并集、交集和補(bǔ)集的運(yùn)算求出Cu(4nB),然后即可得出答案.
本題考查了交集、并集和補(bǔ)集的運(yùn)算,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.
2.【答案】D
【解析】解:號(hào)I=%,
K∣J∣-l+αi∣=√5,即/(-I/+層=√5.解得α=2或α=-2(舍去).
故選:D.
根據(jù)己知條件,結(jié)合復(fù)數(shù)模公式,即可求解.
本題主要考查復(fù)數(shù)模公式,屬于基礎(chǔ)題.
3.【答案】A
【解析】解:%1>1,%2>1,
則+%2>2,X1X2>1,故命題P能推出q,充分性成立,
令Xl=O.5,X2=3,滿足仁】+?:2,但與<1,故命題q不能推出P,必要性不成立,
kxlx271
故P是q的充分不必要條件.
故選:A.
根據(jù)不等式的性質(zhì),推出充分性成立,結(jié)合特殊值法,推出必要性不成立,即可求解.
本題主要考查充分條件與必要條件的定義,屬于基礎(chǔ)題.
4.【答案】D
【解析】解:由函數(shù)的伸縮變化可知:
將函數(shù)y=sin(2x+弓)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍后的解析式為:y=sin(2×∣x+
I)=Sin(X+≡).
故選:D.
由三角函數(shù)的伸縮變化即可得答案.
本題考查了三角函數(shù)圖象的伸縮變化,屬于基礎(chǔ)題.
5.【答案】B
3
【解析】解:由題意得由(1+q+q2)=84,a1—a4=ɑ?(l—Q)=42,
解得q=g,ɑ?=48,
所以4=^iQ3=48×?=6.
O
故選:B.
由已知結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式先求出首項(xiàng)及公比,進(jìn)而可求.
本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
6.【答案】C
【解析】解:六名同學(xué)被隨機(jī)安排在一個(gè)圓桌會(huì)議室進(jìn)行“深度學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)”座談,
則共有國(guó)=120種,
同一班級(jí)的兩名同學(xué)恰好被安排在一起相鄰而坐,即將每個(gè)班級(jí)的兩名同學(xué)捆綁,形成新的3個(gè)元
素,環(huán)形排列,共有多膨膨外=16種,
故所求概率為=卷
故選:C.
根據(jù)已知條件,依次求出總排列數(shù),以及滿足題意的排列數(shù),并結(jié)合古典概型的概率公式,即可
求解.
本題主要考查排列數(shù)的求解,以及古典概型的概率公式,屬于基礎(chǔ)題.
7.【答案】C
【解析】解:根據(jù)題意,函數(shù)/(X)=各,則/(_?=告=1第,
則有/(乃+/(_乃=篇+奇=2,則函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱,
故選:C.
根據(jù)題意,由函數(shù)的解析式可得f(-x)的表達(dá)式,分析可得f(x)+/(-X)=2,由此分析可得答案.
本題考查函數(shù)對(duì)稱性的判斷,涉及函數(shù)的解析式,屬于基礎(chǔ)題.
8.【答案】D
【解析】解:由題意得雙曲線的焦點(diǎn)F](-c,0),F2(C,0),且漸近線為y=±gx,則以FiF2為直徑
的圓為/+y2=c2,
_b
以FlF2為直徑的圓與C及C的漸近線在第一象限的交點(diǎn)分別為點(diǎn)4和點(diǎn)B,則聯(lián)立y=?%,解
X2+y2=C2
得%B=Q,
v
Λ1B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之比為4:3,?,./l=gα,則XA=Jc?_ga)2,即a(gɑ,Jc?—(gα)2),
將4點(diǎn)代入雙曲線C得G半_吐望=1,整理得當(dāng)=I
a2b2Q/2
e>1,.?.e=苧
故選:D.
由題意得雙曲線的焦點(diǎn)Fι(-c,O),Fz(c,O),且漸近線為y=±^x,則以F/2為直徑的圓為/+y2=
'_b
c2,聯(lián)立,求出4點(diǎn)坐標(biāo),即可得出答案.
X2+y2=C2
本題考查雙曲線的性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想和方程思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力,屬于中檔題.
9.【答案】AC
【解析】解:根據(jù)題意,由圖表可知:10名社區(qū)居民在講座前問卷答題的正確率分別為65%,60%,
70%,60%,65%,75%,90%,85%,80%,95%;
而這10名社區(qū)居民在講座后問卷答題的正確率分別為90%,85%,80%,90%,85%,85%,95%,
100%,85%,100%;
由此分析選項(xiàng):
對(duì)于a,10名社區(qū)居民在講座前問卷答題的正確率分別為65%,60%,70%,60%,65%,75%,
90%,85%,80%,95%,其問卷答題的正確率都小于100%,4正確;
對(duì)于8,10名社區(qū)居民在講座前問卷答題的正確率從小到大排列為60%,60%,65%,65%,70%,
75%,80%,85%,90%,95%,
所以其中位數(shù)為;(70%+75%)=72.5%,B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,這10名社區(qū)居民在講座后問卷答題的正確率分別為90%,85%,80%,90%,85%,85%,
95%,100%,85%,100%,C正確;
對(duì)于D,講座前問卷答題的正確率的極差為95%-60%=35%,講座后問卷答題的正確率的極差
100%-80%-20%,所以講座后問卷答題的正確率的極差小于講座前正確率的極差,所以。錯(cuò)
誤,
故選:AC.
根據(jù)題意,分析圖表可得10名社區(qū)居民在講座前和講座后卷答題的正確率,由此分析選項(xiàng)是否正
確,即可得答案.
本題考查極差、中位數(shù)的計(jì)算,注意從圖表讀取數(shù)據(jù),屬于基礎(chǔ)題.
10.【答案】BC
【解析】解:對(duì)于4當(dāng)點(diǎn)P與Dl重合時(shí),BP與平面ADiC交于點(diǎn)/,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于因?yàn)?。?/p>
B,BBJ/5BBl=DD1,
所以四邊形BDDlBl為平行四邊形,
所以
同理可得ABi〃£)G,
?5U平面。,
XB1D1,AB1FffiC1BD,BD,DC1CI8
所以BIDI〃平面CiBD,ABi〃平面CIBD,
又U平面入?yún)渤穑?/p>
BlDl∩AB1=B1,B1D1.i4B1
所以平面DI〃平面ClBD,
又因APU平面ABi。「
所以AP〃平面ABlD1,
又易知平面TlBiD"/GBD,故8正確;
對(duì)于C,由B選項(xiàng)可知B0〃BID1,
則點(diǎn)P到BD的距離為1,
則SAPBD=∣×l×√2=y>
連接4C,則ACJLBD,
因?yàn)锽Bl_L平面ZBmACU平面4BCD,
所以BBl1AC,
又BBInBD=B,BB1,BDU平面BDDIB
所以AC1平面BDDlB1,
所以三棱錐4-BPD的高為aAC=與,
所以%-BPD=∣×y×y=j,
即三棱錐B-4PD的體積為定值,故C正確;
對(duì)于。,如圖,以點(diǎn)。為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,
則4(1,0,0),B(l,l,0),D1(OAl).設(shè)P(α,α,D(O≤α≤l),
則砧=(-1,0,1),BP=(ɑ-l,ɑ-1,1),
MDI?BP∣_2一。
故ICoS<AD[,^BP>I=
I兩網(wǎng)=ej2(α-l)2+l'
令t=2—α,t∈[1,2],則α=2—t,
]
則ICoS<ADl~BP>I=-----1
f√2x∕Ξ≡+4,
V2×J2(2-t—1)+1
Λy∣tr
令m=?,m∈有1],
______1______
則ICOS<ADγ,>
√2×V3m2-4m+2,
當(dāng)m=1時(shí),∣cos<麗,前>I=芋,此時(shí)BP與所成的角為45。,
當(dāng)m=?∣時(shí),ICoSC而]而>I=竽>爭(zhēng)
所以當(dāng)nι=熱即點(diǎn)P與Dl重合時(shí),BP與明所成的角小于45。,故。錯(cuò)誤.
故選:BC.
根據(jù)點(diǎn)P與Z)I重合時(shí),即可判斷力:證明ABlDI〃平面GBD,再根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可判斷B:
說明APBD的面積為定值,再證明4C1平面BDDlB1,結(jié)合三棱錐的體積公式即可判斷C;以點(diǎn)。為
原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法即可判斷D?
本題主要考查點(diǎn),線,面之間的位置關(guān)系,屬于中檔題.
11.【答案】BD
【解析】解:選項(xiàng)A,設(shè)準(zhǔn)線1與%軸交點(diǎn)為H,過H作C的切線τn,此時(shí)P、Q重合,顯然IPFl≠?PQ?,
選項(xiàng)B,設(shè)M(Xo,M)),則Mi(-gyo),設(shè)拋物線在點(diǎn)M(XO,ytj)處的切線巾為y-%=上。一殉),
與C:y2=2pχ(p>0)聯(lián)立,得[y2一、一A%。+%=0,
卬
k≠0
4=1-WoO-kx0)=0,解得k=r-,
P沏
(x°~?
則切線方程Tn為:y-yo=^^.×-Xo),令尤=0,則YN=-劈+M)=與,即N(O多,
又F(gθ),.??N為MlF中點(diǎn),正確;
選項(xiàng)C,P(-2,3),貝∣Jp=4,
由切線方程my-y<)=夕X-Xo)經(jīng)過點(diǎn)P(-2,3),代入得3-y0=/-2-3,
且光=8&,解得%=8或-2,即a=8或;,則IMFl=Xo+*10或|,錯(cuò)誤;
選項(xiàng)。,若NMPF=60。,則切線m的斜率為6,即力=百,
由切線方程憶y-y0=^-(χ-3可化簡(jiǎn)為yWX-√-?+y0=修+詈,
%?o?θ?o?o
令y=0,則XQ=-XO,Q(To,0)
MQl=√HMf+HQ2=舊+(-%0+獷,又y°=專,XO=那代入得MQl=2p,正確;
故選:BD.
設(shè)準(zhǔn)線/與工軸交點(diǎn)為H,過H作C的切線m,此時(shí)P、Q重合,判斷出選項(xiàng)4設(shè)M(XOfo),寫出切
線方程,求出N的坐標(biāo),判斷選項(xiàng)以若P(-2,3),可求出拋物線方程和切點(diǎn)坐標(biāo),判斷選項(xiàng)C;
若NMPF=60。,可得切線斜率和Ml坐標(biāo),判斷選項(xiàng)。.
本題考查了拋物線的性質(zhì),屬于中檔題.
12.【答案】ABD
【解析】解:由mi>=c>0,可得Iogma>0,
?.?τn>1,.,.ɑ>1,故A正確;
b
當(dāng)C=e時(shí),log7nα=m=c=e,
若m=e;>l,則α=?∏e=e,c=e,b=logme=e,
..a=b=c,不滿足α,b,C互不相等,二c≠e,故B正確;
b
???m>1,logmα=m=c,
t
可將α,b,C看成函數(shù)y=∕ogrnx,y=nr,y=X與y=c圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),
當(dāng)m=1.1時(shí),圖象如下:
可得α<c<b,此時(shí)(C—b)(c—a)<0,
當(dāng)zn=3時(shí),圖象如下圖,
y.
?…......................
可得b<c<α,此時(shí)(c一b)(c-α)<0,故C錯(cuò)誤,力正確.
故選:ABD.
由Iognla>0,解得α>l,可判斷4;當(dāng)c=e時(shí),取瓶=*>1,可得α=b=c,不滿足a,b,
x
C不相等,可判斷B;將α,b,C看成函數(shù)y=logτnx,y=m,y=x,y=C圖象的交點(diǎn),可判斷
CD.
本題考查指數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是中檔題.
13.【答案】1
【解析】解:向量a=(2,1),b=(2,x).a∕∕b>
則2x=1X2,解得X=1.
故答案為:L
根據(jù)已知條件,結(jié)合向量平行的性質(zhì),即可求解.
本題主要考查向量平行的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.
14.【答案】?
【解析1解:Sinxcosx+V3cos2x=^sin2x+遮?〔+,產(chǎn)工_Sin(2x+?)+?>
當(dāng)2x+號(hào)=]+2k∏?,kEZ,即X=?^+∕OT,k∈Z時(shí),sinxcosx+V^Ce)S2χ取得最大值,
所以Xo的一個(gè)值為:??
故答案為:??.
利用三角恒等變換公式,化簡(jiǎn)可得SiTIXCOSX+V5cos2χ=sin(2x+^)+爭(zhēng)再結(jié)合正弦函數(shù)的圖
象與性質(zhì),得解.
本題考查三角函數(shù)的求值,熟練掌握正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),三角恒等變換公式是解題的關(guān)鍵,
考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.
15.【答案】y
【解析】解:直三棱柱ABC-aBICl的所有棱長(zhǎng)均為2,取中
點(diǎn)。,
以CI為球心,√7為半徑的球面與側(cè)面ABB】&的交線是母線長(zhǎng)為√7
的圓錐與側(cè)面ABBiA的交線,
OC1=Λ∕3,ClE=C1F=V7,則ZIE=B1F=√7—4=V3?OE=
OF=√FΓ5=2,
ZB1OF=60°,所以aEOF=60。,該交線長(zhǎng)為2x:手
故答案為:y?
畫出圖形,結(jié)合已知條件,推出以Cl為球心,√7為半徑的球面與側(cè)面ABB√lι的交線,然后求解即
可.
本題考查直三棱柱與球的位置關(guān)系,屬于中檔題.
16.【答案】(1,+8)
【解析】解:f(x)=3x2+2ax+b,
因?yàn)閄=1是函數(shù)f(x)=%3÷ax2+bx的極大值點(diǎn),
所以((1)=0,得3+2α+b=0,b=-3-2α,
f,(x)=3x2+2ax+b=3x2+2ax—3-2α=(3x+2α+3)(%—1),
令r(X)=O得%=1.或%=
若使得%=1為f(x)=X3+ax2+版的極大值點(diǎn),只需>1,
解得α<—3,
所以在(1,一竽)時(shí),∕,(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,
在(一8,1)時(shí),∕,(x)>0,/(%)單調(diào)遞增,
所以X=1為極大值點(diǎn),
所以α<-3符合題意,
所以f(l)=l+Q+b=l+α+(—2Q—3)=-Q—2>1,
所以/(1)的取值范圍為(1,+8),
故答案為:(1,+8).
由%=1是函數(shù)/(%)=%3÷ax2+bx的極大值點(diǎn),得((1)=0,即b=-3-2a,進(jìn)而可得/'(%)=
(3x+2α+3)(X-1),只需一等>1,解得α<-3,檢驗(yàn)/(無)的是否有極大值點(diǎn),進(jìn)而可得/(1)
的取值范圍.
本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,解題中需要理清思路,屬于中檔題.
17.【答案】解:(1)由題設(shè)及余弦定理得CoSA=Q±乂=包,
2bc2
由于0。<A<180°,故A=45°;
⑵由α+√∑b=2c,以及正弦定理得sin45o+√Isin(135°-C)=2sinC,
化簡(jiǎn)得:y+cosC+sinC=2sinC>
可得Sin(C-45。)=1,
由0。<。<135。,可知CoS(C-45。)=浮
故SinC=sin[(C-45o)+45°]=sin(C-45°)cos45°+cos(C-45o)sin45o=^×y+y×y=
T2+V6
-4~,
【解析】(1)利用余弦定理結(jié)合已知求解;
(2)利用正弦定理和兩角和與差公式化簡(jiǎn)已知條件,湊角求值即可.
本題考查三角恒等變換,考查正余弦定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
18.【答案】解:(1)證明:-Sn+Tn=1,
,
???當(dāng)n=1時(shí),T1=S1,且Sl+7ι=1,解得7;=?,
當(dāng)n≥2時(shí),Sn=甘彳,則/y+Tn=1,即視—去y=1,
二數(shù)列{磊}是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列;
(2)由(1)得數(shù)列{2}是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列,則〃=擊,
n
?1"Sc"=不’
當(dāng)幾≥2時(shí),an=Sn-SnT=n(n+i),
「
*?'ɑl=S]=1
?—=n(n+1),
an
???數(shù)列{m>+i)}單調(diào)遞增,
,當(dāng)Ti=44時(shí),n(n+1)=1980,當(dāng)九=45時(shí),n(n+1)=2070,
;?數(shù)列{;}中的第44項(xiàng)最接近2023.
an
【解析】(1)根據(jù)數(shù)列的遞推式,令n=l,n≥2,可得--J-=I,利用等差數(shù)列的定義,即
可證明結(jié)論;
(2)由(1)得數(shù)列{尚}是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列,則〃=嗇,可得S”=缶,求出即,即可
得出答案.
本題考查數(shù)列的遞推式,考查轉(zhuǎn)化思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力,屬于中檔題.
19.【答案】解:(1)由題意可知,
匕的分布列為
匕510-2
P0.60.150.25
22
所以E(V1)=5×0.6+10×0.15+(-2)X0.25=4,D(Y1)=(5-4)X0.6+(10-4)X0.15+
(-2-4)2X0.25=15,
力的分布列為
4612-2.5
y2
P0.20.50.10.2
2
所以E(%)=4X0.2+6×0.5+12×0.1+(-2.5)X0.2=4.5,D(Y2)=(4-4.5)X0.2+(6-
4.5)2X0.5+(12-4.5)2X0.1+(-2.5-4.5)2X0.2=16.6.
(2)由題意可知,
K)=D&+°(鬻㈤=(?)^??)+(需)2。初=15(含¥+16.6(需A=
31.6?)2-4X16.6×(?)+4×16.6.
當(dāng)高=瑞4,即X=啜XIooaI05時(shí),f(x)取得最小值.
IUUZXJ1.0Z.7
因此投資甲項(xiàng)目105萬元,投資乙項(xiàng)目95萬元時(shí)f(%)有最小值.
【解析】(1)根據(jù)Xi和X2的分布列可列出利潤(rùn)匕和七的分布列,并分別計(jì)算出其期望值,再利用方
差計(jì)算公式即可得D(K)和);
(2)由方差性質(zhì)可得/(X)=(高)2。(匕)+(需)20(%),再結(jié)合(1)中數(shù)據(jù)利用二次函數(shù)單調(diào)性即
可求得結(jié)果.
本題考查離散型隨機(jī)變量的應(yīng)用,屬于中檔題.
20.【答案】解法1:(1)證明:連結(jié)BD,在ABDC中,
???BC=2DC,乙BCD=60°,由余弦定理BD=√3DC?
???BC=2DC,
.?.CDIBD,
又CDJ.PD,BDCPD=D,BD,PDU平面PDB,
.?.CD1平面PoB,
又PBU平面PoB,
:.CDA.PB.
???PBLBD,CDCBD=D,CD,BDU平面力BCz),
.?.PB平面4BC。,
又4BU平面4BC0,
.?.PBLAB.
(2)以B為坐標(biāo)原點(diǎn),正的方向?yàn)閄軸正方向,I比I為單位長(zhǎng)度,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
A—xyz,
由⑴可知y軸在平面ABCD內(nèi).
E
則B(OOO),相,苧,0),C(2,0,0),Dd0),DC=(∣,-y,0)?
設(shè)P(O,O,t)(t>O),則定=(2,0,-t),E(1,0,5,AE=(?,-?,?).
?.?平面力BCD的法向量為沅=(0,0,1),
'S〈荏麗=焉=忘?
由AE與平面ABCD所成角等于45。,可知力=$譏45,解得=2.
設(shè)平面DPC的法向量元I=(x,y,z),
則忖字齊-苧y=0,取X=0^I=(√3,I,√3).
n??PC=2x-2z=0
???平面BPC的法向量為元2=(0,1,0),
???8炳,6=磊J=今
???二面角B-PC-。是銳二面角,
其余弦值為爭(zhēng)
解法2:(1)證明:連結(jié)BD,在ABDC中,
BC=2DC,乙BCD=60°,由余弦定理BD=√3DC?
?.?BC=2DC,CD1BD,
又以>?LPD,BDCPD=D,BD,PDU平面PDB,
.?.CD1平面PDB,
又PBU平面PoB,
.?.CDLPB.
■■■PBLBD,CDCBD=D,CD,BDU平面ZBCD,
.?.PB?!平面ABCD,
又ABU平面ABC。,
.?.PB1AB.
(2)取BC中點(diǎn)為F,連結(jié)EF,AF,則EF∕∕P8,S.AF=DC.
由(I)可知EFlψffi?BCD,4E4F是4E與平面ABC。所成角,
.?./.EAF=45°,所以EF=AF=DC,于是PB=2EF=2DC.
以B為坐標(biāo)原點(diǎn),正的方向?yàn)閄軸正方向,I/I為單位長(zhǎng)度,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-
xyz,
由⑴可知y軸在平面48CD內(nèi).
則B(0,0,0),C(2,0,0),Dd0),P(Oo2),正=(2。-2),DC=(∣,-y,0).
設(shè)平面OPC的法向量記=(Q,b,c),
(m^PC=2a-2c=0
貝可一7τ→1√3?取Q=√5,得記=(√5,1,√5).
m?DC=-La-?Lh=0
因?yàn)槠矫鍮PC的法向量=(0,1,0),于是CoS(記,記)=I蒜:I=y.
因?yàn)槎娼荁-PC—D是銳二面角,所以其余弦值為亨.
解法3:(1)證明:連結(jié)BD,在ABOC中,
,:BC=2DC,乙BCD=60°,由余弦定理BO=√3DC?
???BC=2DC,???CDLBD,
又CDLPD,BDCPD=D,BD,PDU平面PDB,
???CD1平面PDB,
又PBU平面POB,
.?.CDVPB.
???PBLBD,CDCtBD=D,CD,BDU平面ABCD,
:?PB-L平面ABCD,
乂ABU平面ZBCD,
:.PB1AB.
(2)取BC中點(diǎn)為F,連結(jié)EF,AF,貝∣JE∕√∕PB,S.AF=DC.
由(1)可知EFJ_平面48?!?gt;,NEAF是AE與平面ABcT)所成角,故ZEAF=45。,
因此EF=4F=DC,于是PB=2EF=2DC=BC,可得PC=2√∑DC?
連結(jié)8E,則BEIPC.過E在平面PDC內(nèi)作EG_LPC,交PD于點(diǎn)G,則NBEG是二面角B—PC—D的
平面角.
因?yàn)镻B1BC,所以BE=五DC,PD=√7CC.因?yàn)镃。_LPD,由4PEGS△POC可得EG=耳DC?
由PCJ■平面BEG,BGU平面BEG,
可得PC1BG,而COJLBG,
又PCCCD=C,PC,CoU平面POC,
故BGI平面PDC,
又GEU平面PDC,
從而BGJ.GE,所以COSZ?BEG=器=
因此二面角B-PC-D的余弦值為今
【解析】法1:(1)連結(jié)BD,由余弦定理BD=√3DC.推導(dǎo)出CD1BD,由CD1PD,得CD_L平面
PDB,從而CD1PB,由PB?BD,得PB1平面4BCD,由此能證明PB1AB.
(2)以B為坐標(biāo)原點(diǎn),配的方向?yàn)閄軸正方向,I配I為單位長(zhǎng)度,建立空間直角坐標(biāo)系力-孫z,
利用向量法能求出二面角B-PC-。的余弦值.
解法2:(1)連結(jié)BD,由余弦定理BD=√5θC,推導(dǎo)出CO_LBD,由CDLPD,得CDJ■平面PDB,
從而COJLPB,由PBJ.80,得PBI平面48C。,由此能證明PBJ.48.
(2)取BC中點(diǎn)為F,連結(jié)EF,AF,則EF〃PB,且4F=DC,推導(dǎo)出NE4F是4E與平面ABCD所成
角,以B為坐標(biāo)原點(diǎn),近的方向?yàn)閄軸正方向,I前I為單位長(zhǎng)度,建立空間直角坐標(biāo)系4-xyz,
利用向量法能求出二面角B-PC-。是的余弦值
解法3:(I)連結(jié)BD,由余弦定理BD=bDC,推導(dǎo)出CDIBD,由CDJ.PD,得CD平面PDB,
從而CDIPB,由PBIB0,得PBI平面48C0,由此能證明PB_L48.
(2)取BC中點(diǎn)為F,連結(jié)EF,AF,則EF〃PB,且AF=DC,4EA尸是AE與平面ABCD所成角,連
結(jié)BE,則BEIPC.過E在平面Pz)C內(nèi)作EGIPC,交PD于點(diǎn)G,則NBEG是二面角B-PC-。的平
面角,由此能求出二面角B-PC-"的余弦值.
本題考查線面垂直、線線垂直的判定與性質(zhì)、二面角的定義及其余弦值的求法,考查運(yùn)算求解能
力,是中檔題.
21.【答案】解:(1)由題設(shè)I經(jīng)過點(diǎn)(α,0),(O,b),可得α=√Ib.
√6_∣-√?∣
由丁=;^,
??b=1,從而Q=√2.
2
因此C的方程為a+y2=ι.
(2)證明:設(shè)小G的斜率分別為名2k,k≠0,由(1)可知B(O,-1),可得小y=kx-l,l2:y=
2kx—1.
將y=kx—1代入]+y2=1,化為(1+2fc2)x2—4kx=0,
解得X=;2或X-0,
l+t2fc
4k2k2-l
可得M(
l+2k2,2k2+l
將y=2kx-1代入/+y2=1,同理可得N,舞,哈!).
4?2-lZfe2-I
直線MN的斜率為孽1-?I=-?.
4κ4k2k
4∕C2+12∕C2+1
2
因此直線MN方程為y-猊I=-?(?-??
化簡(jiǎn)得y=-∕x+l,于是直線MN經(jīng)過定點(diǎn)(0,1).
√6
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