XX秋季第8講垂直機械制圖北京航空航天大學(xué)出版社

XX秋季第8講垂直機械制圖北京航空航天大學(xué)出版社2024/3/24XX秋季第8講垂直機械制圖北京航空航天大學(xué)出版社直線與平面垂直Lineperpendiculartoplane直線垂直于平面內(nèi)的一對相交直線（一切直線）Lineisperpendiculartotwointersectinglinesinplane(alllinesinthatplane)Pp

p相交主直線XX秋季第8講垂直機械制圖北京航空航天大學(xué)出版社NPL1N(相交

intersecting)L2N(交叉Skew)N-法線Normaloftheplane性質(zhì)Characteristics:P面所有直線垂直于NAlllinesinPareperpendiculartoN過N的所有平面垂直于PAll

PlanescontainingNareperpendiculartoP

平面的坡角與法線的傾角互余(αp

+αN=90)OXYZHVL1WPL2L3NXX秋季第8講垂直機械制圖北京航空航天大學(xué)出版社主直線平面Mainlinesplane平面用一對相交主直線表示Planedefinedbyapairofintersectinglinesl1

l1l2

l2a

an

nn

正平線的V投影n

l1

n水平線的H投影n

l2平面以其他形式表示PlanedefinedbyothermethodsXX秋季第8講垂直機械制圖北京航空航天大學(xué)出版社p

pl

ll1

l1L與P平面不垂直LisnotperpendiculartoPL1與P平面垂直LisperpendiculartoP例1:L,L1與平面P垂直嗎？LP?L1P?

用一對相交主直線來判斷DeterminebyapairintersectingmainlinesXX秋季第8講垂直機械制圖北京航空航天大學(xué)出版社例2：過點A作直線垂直于△DEF。ConstructlinethroughpointAperpendicularto△DEFd

e

f

defaa

1

1b

b2

2注意：不是垂足的正面投影Thisisnotthefrontalprojectionofperpendicularfoot.注意：不是垂足的平面投影ThisisnottheHorizontalprojectionofperpendicularfoot.求出直線AB對△DEF的穿點才是垂足ThepiercingpointoflineABand△DEFistheperpendicularfoot.XX秋季第8講垂直機械制圖北京航空航天大學(xué)出版社例3過定點A作直線L的垂面PConstructplanePthroughgivenpointAperpendiculartolineL.p

pl

lLPa

aAXX秋季第8講垂直機械制圖北京航空航天大學(xué)出版社應(yīng)用:求距離問題

Application:Problemsofdistance1)點到平面的距離distancebetweenpointandplane2)平行面間的距離distancebetweentwoplanes步驟Steps:1.過定點作面的垂線(Constructlinethroughgivenpointperpendiculartoplane)2.求垂線對面的穿點--積聚性法或輔助平面法(Findpiercingpointofperpendicularlineandplane--CollectingmethodorAuxiliaryplanemethod)3.求定點到穿點的實長--直角三角形法(Truelengthofdistancebetweengivenpointandpiercingpoint.--Righttrianglemethod)AAKKPPQXX秋季第8講垂直機械制圖北京航空航天大學(xué)出版社二、兩平面垂直Perpendicularityoftwoplanes定理一：Theoremone如果一個平面過另一個平面的任意一條垂線，則這兩個平面垂直。Twoplanesareperpendicularifonecontainsaperpendicularlineoftheotherone.定理二：Theoremtwo如果兩平面垂直，那么過第一個平面內(nèi)一點作第二個平面的垂線必在第一個平面內(nèi)。Iftwoplanesareperpendicular,linethroughapointofoneplaneandperpendiculartoanotherplanemustliesinthefirstplane.XX秋季第8講垂直機械制圖北京航空航天大學(xué)出版社(1)幾何條件Geometrycondition(2)投影作圖ProjectionNQ1Q2Q3P兩平面互相垂直,則其中一個平面必經(jīng)過(或平行于)另一個平面的垂線。Iftwoplanesareperpendicular,oneplanemustcontainlineperpendiculartoanothertheotherplane.過A點作平面Q垂直于平面P。ConstructplaneQthroughpointAperpendiculartoplanePAa

ap

pnn

q

qXX秋季第8講垂直機械制圖北京航空航天大學(xué)出版社例4：過點A作平面垂直于△DEF。ConstructplanethroughpointAperpendicularto△DEFd

e

f

defaa

解法一：Solutionmethodone:①過點A作△DEF的垂線。Constructlineperpendicularto△DEF②過垂線任作一平面即為所求。Constructaplanecontainingthatperpendicularline.1

1b

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c2

2XX秋季第8講垂直機械制圖北京航空航天大學(xué)出版社d

e

f

defaa

解法二：Solutionmethodtwo:①在△DEF上任取一直線，比如DF。Selectalinein△DEFarbitrarilysuchasDF.②過A點作DF的垂面即為所求。ConstructplanethroughpointAperpendiculartoDFb

bc

cXX秋季第8講垂直機械制圖北京航空航天大學(xué)出版社三、直線與直線垂直Perpendicularitybetweenlines(1)幾何條件Geometrycondition(2)投影作圖ProjectionNP兩直線互相垂直,則必有一線在另一直線的垂面上(或平行于另一直線的垂面）Ittwolinesareperpendicular,onemustlieintheperpendicularplaneoftheotherone.過直線L上A點作垂線ConstructlinethroughpointAperpendiculartoLL2與L是什么位置關(guān)系？TherelativepositionofL2andL?a

KQPL1L2NPL1L1P或L2//Pal

lp

pl1

l1l2

l2

XX秋季第8講垂直機械制圖北京航空航天大學(xué)出版社作業(yè)Homework：P24P25-7,8,9復(fù)習(xí)refertotextbook：P152-P157XX秋季第8講垂直機械制圖北京航空航天大學(xué)出版社3.4綜合問題SyntheticalProblems綜合作圖題是指點、線、面等幾何元素及其相互關(guān)系同時出現(xiàn)于問題之中，并且對問題的解答，要求滿足的條件較多，需要進行綜合分析。常用的求解方法有：

①正推法：從正面入手進行分析推理。

②反推法：假定問題已解，再反推回去，找出問題的相互聯(lián)系或條件，從而得到解題的途徑。

③交軌法：分析滿足條件的幾何元素各自的空間軌跡，然后求得可以同時滿足所求條件的幾何元素或關(guān)系，從而得到解題的途徑。一、點線面綜合作圖題XX秋季第8講垂直機械制圖北京航空航天大學(xué)出版社例1：過點A作一條直線，使其與直線BC垂直相交。ConstructalinethroughpointA,requiredtobeperpendiculartoandintersectingwithlineBCa

ac

b

cbe

ef

fk

k①過點A作一主直線平面△AEF與直線BC垂直。ConstructmainlinesAEandAFperpendiculartolineBC1

12

2②作出直線BC對平面△AEF的穿點K。FindpiercingpointKoflineBCand△AEF③直線AK在直線BC的垂面上，故AK⊥BC，又K點在直線BC上，故直線AK為所求。LineAKmeetstherequirementsXX秋季第8講垂直機械制圖北京航空航天大學(xué)出版社例2：已知等腰三角形ABC的底邊AB的V投影a

b

平行于X軸，AC邊的V、H投影a

c

、ac已知，試完成該等腰三角形的H面投影。Given:ABisthebottomedgeofisocelestriangleABC,a

b

∥X.Req’d:CompletetheHprojectionof△ABCcac

a

b

b分析：假設(shè)等腰三角形ABC的底邊AB上的高為CD，因為AB為水平線，故cd⊥ab，又H為AB的中點，根據(jù)定比性可知ad=bd，因此△adc≌△bdc。結(jié)論：ac=bcCDSupposedtobetheheightlineofAB,andAB∥Hcd⊥abAD=BDad=bd△adc≌△bdcConclusion:ac=ab

XX秋季第8講垂直機械制圖北京航空航天大學(xué)出版社例3：在平面△DEF上求一點K與已知三點A、B、C等距，其中A點和C點的Z坐標相等。FindapointKinplane△DEF,requiredtobeequidistantfrompointsA,BandC(AC∥H)bb

aa

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p112

2k

kXX秋季第8講垂直機械制圖北京航空航天大學(xué)出版社例4：已知三條直線CD、EF、GH，要求作一直線AB平行于CD，且與EF、GH相交。Given:ThreelinesCD,EFandGH.Req’d:ConstructalineAB,letAB∥CD,andintersectingEFandGH.c

d

e

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cdefghaa

bb

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XX秋季第8講垂直機械制圖北京航空航天大學(xué)出版社例5：已知一直角△ABC，其中AB為一直角邊，另一直角邊AC平行于正垂面P，且C點距離V面20mm，試完成該三角形的V、H投影。Given:RightangleedgeABof△ABC,otherrightangleedgeACisparalleltoV-perpendicularplaneP,pointCis20mmfromVplane.Req’d:completetheVandHprojectionsof△ABC20mmcc

k

kp

b

ba

aXX秋季第8講垂直機械制圖北京航空航天大學(xué)出版社例6：過已知點A求作一直線AB，使與已知二交叉直線L1、L2相交（P26-1）。ThroughgivenpointAconstructalineABtobeintersectingwithtwoskewlinesL1andL2.aa

l1

l2

l1l2交軌法intersectionoftracks：過A點與L1相交的直線的軌跡；ThetrackoflinesthroughpointAandintersectingwithL12.過A點與L2相交的直線的軌跡;ThetrackoflinesthroughpointAandintersectingwithL23.兩軌跡的交集；TheintersectionoftwotracksXX秋季第8講垂直機械制圖北京航空航天大學(xué)出版社aa

l1

l2

l1l2b

bp

p反推法Reverseinference：假設(shè)此直線AB已作出，只限與L1相交，組成平面P——即A點與L1組成的平面P。AssumingthatlineABintersectingwithlineL1hadbeenfound,thentheplanewhichABandL1defineshouldbetheplanewhichL1andpointAdefine.AB在P面內(nèi)，同時又與L2相交，交點必為P面與L2的公共點——穿點。AB∈PandintersectingwithL2whichmeanstheintersectionpointshouldbethepiercingp