2023年湖南省新高考某校高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023年湖南省新高考教學(xué)教研聯(lián)盟高一(下)期中聯(lián)考

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.設(shè)集合4={y|y=3，,x€R},B=(x\x2<4},則ADB=()

A.(-2,2)B,(0,2)C.(-2,4-00)D.(0,+oo)

2.已知函數(shù)/Q)=cos(2x+J則下列結(jié)論錯誤的是()

A./(x)的最小正周期為兀B.f(x)的圖象關(guān)于直線x=驅(qū)寸稱

C./(x)的一個零點為x=5D./(x)在區(qū)間(04)上單調(diào)遞減

3.如果一組數(shù)據(jù)%2>x3>…，Xn的方差是2,那么另一組數(shù)據(jù)5%+1,5%2+1，5打+1，

…，5%+1的方差為()

A.11B.20C.50D.51

4.已知向量五與3的夾角為等，且|五|=2,忸|=3,貝啜在B方向上的投影向量是()

O11

A./B.—宇方C.-^-bD.

3JJD

5.已知定義在R上的奇函數(shù)/(%)滿足：當X>0時,f(x)=log2(x+2)+x+b,則|/(%)|>8

的解集為()

A.(—8,—6]U[6,+8)B.(-00,-4]U[4,4-00)

C.[-6,6]D.[-4,4]

6.記函數(shù)/(x)=sin(3x+骸3>0)的最小正周期為T,若稱<T<*且/(x)W|%)|,則

3=()

A.4B.5C.6D.7

7.很多人的童年都少不了折紙的樂趣，如今傳統(tǒng)意義上的手工折紙已經(jīng)與數(shù)學(xué)聯(lián)系在一起,

并產(chǎn)生了許多需要縝密論證的折紙問題.有一張矩形紙片ABCD,BC=4,Q為BC的中點，將

△ABQ^^0CQ分別沿AQ,0Q翻折，使點B與點C重合于點P,若-iPD=90°,三棱錐P-QAD

的所有頂點都在球。的表面上，則球。的表面積為()

A.IOTTB.16兀C.207rD.40TT

8.已知。為△ABC的外心，若cos??!+cosA?cos(C-8)=|sinBsinC,~A0=AAB+

e/?).則；L+〃的最大值為()

A.—4B.1C.4—D.2V2

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.下列說法正確的有（）

A.若復(fù)數(shù)z滿足z26R,則z€R

B.若復(fù)數(shù)Z=[2021,i為虛數(shù)單位，則z的共數(shù)復(fù)數(shù)￡=-i

C.復(fù)數(shù)Z一定都滿足|z|2=z2

D.若復(fù)數(shù)z滿足|z|=1,則復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面上對應(yīng)的點的軌跡為圓

10.如圖，在△ABC中，AC=4,AB=8,D,E,F分別是4B邊上的三個四等分點，若而.而=

8,則（）

A.CD=^CA+^CBB.COSNSO=：

448

C.AE-AC=10D.I函=40

11.已知x、y為正實數(shù)，x+y=l,貝ij()

1

Ao<<

-4-B.C+萬的最大值為，1

C.4/+y2的最小值為qD.4x+9y的最大值為方

12.如圖，在三棱柱力BC-ABiG中，側(cè)面BCC/i為矩形，若

平面BCG&J?平面4B&a,平面BCCiBi1平面/BG，記平面

ABC1與平面&B1G的夾角為a,直線4cl與平面BCC/i所成的角

為B，異面直線AC】與BC所成的角為中，則（）

A.側(cè)面為矩形

B.若M為4B的中點，N為BiG的中點，則MN〃平面Cp4i4

C.sinp=sina-sincp

D.若a,￡滿足cosa-cos0=m(0<zn<1且m為常數(shù))，則sing=71一m?

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.數(shù)據(jù)4、7、6、8、2、5、9、20的第70百分位數(shù)為

14.已知向量成=(12,/c).OB=(5,4)，元=(10,-/<),若力、8、。三點共線，則/￡=

15.如圖，在平行四邊形4BCD中，AB=4,乙48c=60°,

E為線段48的中點，AFLBC,則存?謂=.

16.如圖，在A4BC中，4C==會點4與點。分

別在直線8c的兩側(cè)，且BO=CD=1,則40的最大值為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

某實驗中學(xué)對選擇生物學(xué)科的200名學(xué)生的高一下學(xué)期期中考試成績進行統(tǒng)計，得到如圖所

示的頻率直方圖.已知成績均在區(qū)間［40,100］內(nèi)，不低于90分視為優(yōu)秀，低于60分視為不及格.

同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值做代表值.

(1)根據(jù)此次成績采用分層抽樣從中抽取40人開座談會，求在區(qū)間［70,80)應(yīng)抽取多少人？

(2)根據(jù)頻率直方圖，估計這次考試成績的平均數(shù)和中位數(shù).

18.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/'(x)=2sin|cos|+2V_3cos21—V-3+m(m6R).

(1)求〃X)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)若/(%)在區(qū)間(0,亨］上有兩個不同的零點，求實數(shù)m的取值范圍.

19.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面4BCD為矩形，PA1平面ABCD,E為線段PD上一點，PB//

平面AEC.

(1)證明：E為P。的中點;

(2)若直線CE與平面P4)所成的角為45。，且AP=AD=1,求三棱錐E-HCD的體積.

20.(本小題12.0分)

記銳角AABC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,己知則宇=理等

cosAcosB

(1)求證：A=B；

(2)若csinB=l,求白+今的最大值.

21.(本小題12.0分)

如圖，已知△力BC是邊長為4的等邊三角形，D、E分別是AB、AC的中點，將△ADE沿著DE翻

折，使點4到點P處，得到四棱錐P-BCED.

(1)若PC=CU，證明：平面PDE1平面BCED；

(2)若PB1PC,求直線PB與平面BCE。所成角的正弦值.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/'(x)=2/—ax+3,g(x)=4X—2x~a,aER.

(1)若/(sinx)(xGR)的最大值為6,求a的值；

(2)當a<0時，設(shè)九(外=匕像二:，若九。)的最小值為一，求實數(shù)a的值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因為4={y|y=3*,xeR}=(0,+8),

B=[x\x2<4]=(-2,2),

因此，4nB=(0,2).

故選:B.

求出集合力、B,利用交集的定義可求得集合4nB.

本題考查集合的運算，考查補集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：由于/(x)=cos(2x+9的最小正周期為7=年=兀，所以A正確.

因為居)=cos(2W+》=cosw=-l,為最小值,所以f(x)的圖象關(guān)于直線％=，對稱,故8

正確.

因為f給)=cos(2x^1+卞=cos]=0,所以/(x)的一個零點為x=所以C正確.

由工€(0,分，得2%+江或陰，而、=cosx在(0,兀)上遞減，在(兀,2兀)上遞增，

所以/(x)在區(qū)間(0,今上不單調(diào)遞減，所以力錯誤.

故選：D.

對于A,利用周期公式分析判斷，對于B,將％=%弋入函數(shù)判斷是否能取得最值，對于C,將％=工

代入函數(shù)中計算判斷，對于D,由xe(03)求出2x+g的范圍，然后根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷.

本題主要考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，數(shù)據(jù)匕，*2,與，…，％n的方差是2，

則另一組數(shù)據(jù)5%+1,5&+1，5巧+1,…，5%+1的方差52=25乂2=50.

故選：C.

根據(jù)題意，由方差的性質(zhì)分析可得答案.

本題考查數(shù)據(jù)的方差計算，注意方差的計算公式，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：因為向量弓與方的夾角為名且|方|=2,@=3，

所以五?方=|a|-|K|cos^=2x3x(-^?)=-3/3,

oL

所以其在方方向上的投影向量為箴X［*x|=-畢.

\b\335

故選：C.

E

根據(jù)數(shù)量積的定義求出五.b,再根據(jù)五在方方向上的投影向量為萼-

固也

本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：因為定義在R上的奇函數(shù)/'(x)滿足：當xNO時，/(x)=log2(x+2)+x+b,

則/(O)=log22+b=b+l=O,解得b=-1,

故當x20時，f(x)=log2(x+2)+x-1,

因為y=log2(x+2)、y=x-1在［0,+8)上均為增函數(shù)，故函數(shù)/'(x)在［0,+8)上為增函數(shù)，

且當x20時，/(%)>/(0)=0,

令9(x)=If0)1，則函數(shù)g(x)的定義域為R，

g(-x)=|/(-x)|-|-/(x)|=|/(x)|=g(x),故函數(shù)g(x)為偶函數(shù),

且。(6)=f(6)=log28+5=8,

由|f(x)|>8可得g(x)>g(6),即g(|x|)>g(6),

因為函數(shù)/(x)在［0,+8)上為增函數(shù)，則函數(shù)g(x)在［0,+8)上為增函數(shù)，

所以|x|N6,解得工〈一6或%26.

故選：A.

由奇函數(shù)的性質(zhì)可得出/'(0)=0,求出b的值，分析函數(shù)/(X)在［0,+8)上的單調(diào)性，令g(x)=|/(%)|,

分析函數(shù)g(x)的奇偶性及其在［0,+8)上的單調(diào)性，將所求不等式變形為g(陽)2以6),結(jié)合函數(shù)

g(x)的單調(diào)性可得出原不等式的解集.

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性在不等式求解中的應(yīng)用，屬于中檔題.

6.【答案】D

【解析】解：根據(jù)最小正周期3<7<今可得］<之<多解得4<3<8；

4240)2

又f(X)<即％=/是函數(shù)/。)的一條對稱軸，

所以芻3+*=*+ZTT,k￡Z,解得to=1+3",kGZf

DOL

又4<3<8,當卜=2時，0)=7.

故選：D.

由最小正周期］<7<今可得4<3<8,再由f(x)W|/G)|即可得加+*=?+而，k6Z,從

而求出3的值.

本題主要考查三角函數(shù)的周期性，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：由題意可得4P=OP,Z4P0=90。，AD=BC=4,

DP=AP=2「，又PQ=2,

?：DP工PQ,AP1PQ,故以PA,PD,PQ為同一個頂點的正方形的外接球即為三棱錐P-QAD的

外接球，

D

設(shè)外接球的半徑為R,則(2/?產(chǎn)=(2。)2x2+22=20,

???三棱錐P-QAO的所有頂點都在球。的表面積為4兀產(chǎn)=207r.

故選：C.

由題意可得以P4PD,PQ為同一個頂點的正方形的外接球即為三棱錐P-Q4D的外接球，求解

可得球。的表面積.

本題考查求空間幾何體的外接球的表面積，屬中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：在△ABC中，設(shè)內(nèi)角4、B、C的對邊分別為a、b、c,

2

vcos27l+cosA?cos(C—B)=-sinBsinC^cosA=-cos(B+C),

2

:.-sinBsinC=cosA[cos(B—C)+cosA]=cosA[cos(^B—C)—cos(B+C)]

=cosA^cosBcosC+sinBsinC—cosBcosC+sinBsinC)=2cosAsinBsinC,

vsinB>0,sinC>0,/.cosA=

如下圖所示：

取線段4B的中點E,連接OE,則OEJ.AB,

.-.AO-AB=(AE+EO)-AB=AE-AB+EO-AB=同理而■AC=^AC',

?.?AO=AAB+nAC(A，neR)，則而?而=4而？+“四.而，

Hp|c2=Ac2+ncbcosA=Ac2+~fj.bc,:"c+；4b=gc,①

AO-AC=AABAC+nAC2<即那=AcbcosA+nb2=^Xbc+nb2,

+nb=^b,（2）

聯(lián)立①②可得2=卷一需〃建一施，

一93*?，93Q1-b_c3

?11A+^=8-16Q+b）-8-16-2Jc-b=4'

當且僅當b=C時，等號成立，故4+〃的最大值為

故選：A.

由三角恒等變換化簡可得出COS4的值，推導(dǎo)出而.而=2荏2,AO-AC^^AC2,利用平面向量

的數(shù)量積可得出入〃的表達式，利用基本不等式可求得;1+〃的最大值，

本題主要考查平面向量基本定理，向量數(shù)量積運算，考查運算求解能力，屬于中檔題.

9.【答案】BD

【解析】解：對于4：若z=2i,則z2=(2i)2=-4,顯然z=2i為純虛數(shù)，故4錯誤；

對于8：Z=[2021=14x505+1=@4)505xi=i,所以￡=-j,故B正確；

對于C：若z=4+3i,則|z|2=a42+32)2=25,z2=(4+3i)2=42+24i+9i2=7+24i,

顯然|z12rz2,故C錯誤；

對于D：復(fù)數(shù)z滿足|z|=1,所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點的軌跡是以原點為圓心，1為半徑的圓，

故。正確.

故選：BD.

利用反例說明人C,根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方及共軌復(fù)數(shù)判斷B,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷C.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】ABC

【解析】解：對于從前=刀+而=備+3通=市+白雨-的=河+3祉故A正確；

對于B：?.?在AABC中，AC=4,AB=8,CD-CF=8，

.??而?而=(而一硝?港-就)=(同一硝?(3而一硝

=3AD2-4AD-AC+AC2=12-4AD-AC+16=8>即而?就=5.

,9皿。=濡焉=/號，故B正確；

對于C：AE-AC=\AE\\AC\xcos^CAE=4x4xl=10,故C正確；

O

對于?麗=亞-前，

???CB2=(AB-AC)2=AB2+AC2-2AB-AC=

64+16-2x8x4x^=40,

o

.-.\CB\=2Af7o.故。錯誤.

故選：ABC.

根據(jù)圖形，結(jié)合向量加，減，數(shù)乘運算，即可判斷4利用向量而，而表示麗?加，利用數(shù)量積

公式，判斷B；根據(jù)B的判斷，代入數(shù)量積和模的公式，即可判斷CD.

本題考查平面向量的線性運算，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題，

11.【答案】ABD

【解析】解：因為x、y為正實數(shù)，x+y=1,

對于4選項，0<0式(燮)2=1，當且僅當x=y=；時，等號成立，4對；

對于B選項，因為V~^+/y>0,則(，^+J~y)2=x+y+2廠彳W2(x+y)=2,

故，+攵，當且僅當x=y=：時，等號成立，

所以，C+/5的最大值為，9，B對；

對于C選項，4/+y2=4x2+(1-x)2=5x2-2x+1=5(x-|)2+|>1,

fx=I4

當且僅當｛:時，等號成立，故4/+y2的最小值為右c錯；

xy_1_]_]]_J_

對于°選項，4x+9y一泊-e+$(x+y)-13+當+亨一丁+2J鷺一元，

當且僅當時，即X=|,y=|時等號成立，故儡的最大值為煮D對.

故選：ABD.

利用基本不等式可判斷力BD選項，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷C選項.

本題主要考查了基本不等式及二次函數(shù)性質(zhì)在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題.

12.【答案】ABD

【解析】解：對于4丫BCGBi是矩形，BC1

又平面4BB141_L平面BCGBi，平面ABB141n平面BCG/=BB…

BC1平面ABu平面4BB送i，ABIBC,

過點C作CO1BC「

???平面BCGBiJ?平面ABC1，平面BCGB】n平面ZBG=BG，COu平面孔。出,

CO_L平面力BCi，

又ABu平面4BG，???ABICO,

■■■AB1BC,COCiBC=C,CO,BCu平面BCGB1,

AB1平面BCGBi，又BBiu平面BCGBi，

AB1

在三棱柱ABC-AiBiG中4BB1&為平行四邊形，所以4BB1&為矩形，故A正確;

對于B：取的中點G,連接GN、GM,

因為M為力B的中點，N為8傳1的中點，所以GN〃&C「GNu平面MNG,

4G仁平面MNG,所以4G〃平面MNG,

又GM〃/Mi，GMu平面MNG,

ArAC平面MNG,所以&4〃面MNG,

為6門44=41，&G，&Au平面41cl4所以平面464〃平面MNG,

MNu平面MNG,所以MN〃平面的力遇，故8正確

對于C、D：由棱柱知AB〃4Bi，又48_L平面BCGBi，???_L平面BCG為,

以Bi為坐標原點，B〃i，BiB,BiG分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系如下所示,

則明=(a,0,0),崗=(0,-b,c)，

取平面4181G的一個法向量元=(0,1,0),

cosa—|cos(n7，n)|—”廠,一：則sina=：-1一

I-2I2.

取平面BCGBi的一個法向量破=(1,0,0),

設(shè)近=(%i，yi，Zi)為平面48cl的法向量，

ax

則色-i-°,...X1=o,令yi=c,則Zi=b,.??厄=(0,c,b),

(汨?BC]=—by1+cz1—0

由CM=(a,b,—c)f

???sinp=\cos(C^A,n^)\=.a=

cosB=1X,貝破。sacosB=

a24-b2+c2'

Ja2+b2+c2

cc

|cos(Ci4,BC)\=coscp=i==i=y

cja2+b2+c2Ja24-b2+c2

則5比0=,J0+b=,

Ja2+b2+c2

???coscp=cosacosp,sinpHsina?sin(p.

?.cosacosp=m且mG(0,1),<PG(0,,

:.sirup=yj1—cos2<p=V1—m2,

故sing=V1—m2＞故C錯誤，。正確.

故選：ABD.

證明力B工平面BCGBi，即可得到AB_LB8i，從而判斷4,取治當?shù)闹悬cG,連接GN、GM,即可

證明平面平面MNG,從而判斷B,對于C、D,建立空間直角坐標系，利用空間向量法計

算可得.

本題考查空間角、距離，利用空間向量法可以將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)計算等相關(guān)知識，屬于中檔

13.【答案】8

【解析】解：將數(shù)據(jù)由小到大進行排列為2、4、5、6、7、8、9、20,共8個數(shù),

因為8x0.7=5.6,故該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為8.

故答案為：8.

將數(shù)據(jù)由小到大排列，利用百分位數(shù)的定義可求得該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù).

本題主要考查百分位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

14.（答案】—弓

【解析】解：已知向量耐=(12,k)，OB=(5,4),OC=(10,-Zc)，

則荏=OB-OA=(5,4)-(12,fc)=(-7,4-k)，AC=OC-OA=(10,-/c)-(12,k)=

(—2,-2k),

因為4、B、C三點共線，則荏〃痔所以，-7x(-2k)=-2x(4-k),解得k=-|.

故答案為：-全

計算出尼、荏的坐標，由題意可知說〃而，利用平面向量共線的坐標表示可求得實數(shù)k的值.

本題考查了向量坐標的減法運算，向量減法的幾何意義，共線向量的坐標關(guān)系，考查了計算能力,

屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】-6

【解析】解：在平行四邊形4BC0中，E為4B中點，則有通=下一:同，

因為4FJ.BC,Z.ABC=60°,所以在RtAAFB中，

BF=BAxcos^ABC=4x1=2,AF=BA-sin^ABC=4x卒=

因為AF1BC,所以刀?述=0，

則而-CE=AF-(CB-^AB)=-^AF-AB

=-^x20x4xcos30°=-40x?=-6,

故答案為：—6.

以不共線的兩個向量作為平面向量基底，用基底表示出需要的向量，在求解過程中涉及到垂直,

可用數(shù)量積為0來突破，留意向量的方向，準確找出兩向量的夾角.

本題考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

16.【答案】2+C

【解析】解：設(shè)BC=>0),則由4C=，3BC,得AC=Cm,

在△由中，-8C.由正弦定理得缶=焉石

所以翼=而鼠，得sin/BAC，

因為NB4C6(0,等,所以的C=

所以44cB=7T-Z.ABC-^BAC=兀一?一?=￡

3oZ

設(shè)4BCD=a,因為BD=CD=1,

所以々BCD=4CBD=a,

所以NBDC=TT—2a,

BC_BD

在4BCD中由正弦定理得,

sinzBDCsinaBC。'

所以而看=亮，得BC=2cosa,

所以AC=2j~^cosa,

在△AC。中，AC=2y/~~3cosafCD=1,Z-ACD=4-a,

由余弦定理得力。2=AC2+CD2_2AC.CDcos^ACD

=12cos2a+1—2x2y/~3cosax1xcos(^+a)

=12xi+,；s2a+1+2x2yf_3cosasina

=6cos2a4-2y/~-3sin2a+7

=4V-3sin(2a+1)+7,

所以4D=J4，3sin(2a+今+7,

所以當2a+R*即0:=各寸，AD取得最大值)4c+7=J(2+6丫=2+「?

故答案為：2+，~5.

由AC=GBC/ABC=J結(jié)合正弦定理可求得NB4C=%則〃CB=以設(shè)立BCD=a,在△BCD

3OL

中由正弦定理可求得BC=2cosa,則4c=2/?cosa，然后在△4CD中由余弦定理表示出4。，再

結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果.

本題主要考查三角形中的幾何計算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：⑴由頻率分布直方圖可知［70,80)的頻數(shù)為0.03x10x200=60人,

所以在區(qū)間［70,80)中應(yīng)抽取黑X40=12人.

(2)由頻率分布直方圖可知平均數(shù)為：

45X0.14-55x0.15+65X0.2+75X0.34-85x0.15+95X0.1=70.5,

又0.1+0.15+0.2=0.45<0.5,0.1+0.15+0.2+0.3=0,75>0.5,

所以中位數(shù)位于［70,80)之間，

設(shè)中位數(shù)為a,則0.1+0.15+0.2+0.03x(a-70)=0.5,解得a=等,

故中位數(shù)為學(xué).

【解析】(1)首先求出［70,80)中的頻數(shù)，按照分層抽樣計數(shù)可得：

(2)根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)與中位數(shù)計算規(guī)則計算可得.

本題主要考查頻率分布直方圖，平均數(shù)、中位數(shù)的求法，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】(l)/(x)=2sin^cos^+2/3cos2^-<3-m

=sinx+2>/-3x1+；°”——m

=sinx4-y/~3cosx—m

=2sin(x4-^)-m,

最小正周期T=2TT；

令-2+2々兀W%+?42+2々兀，kEZ,得一警+2/CTTW%W?+2k兀，k6Z

，5N66

所以函數(shù)/'(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[一系+2七*+2時，kez；

(2)xG(0,^],x+G(^,TT])

令2sin(x+§-m=0,得sin(x+^)=/,

令t=x6G，7T］,如圖，畫出函數(shù)、=sint,t6G，初的圖象,

若f。)在區(qū)間(0,等上有兩個不同的零點，敗"粘y=sint.te尊利的圖象，有2個不同的交

點，即可?〈卷<i，

得<m<2

所以實數(shù)徵的取值范圍是(C,2).

【解析】（1）首先化簡函數(shù)/（X）,再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)判斷周期和單調(diào)遞增區(qū)間;

（2）將方程轉(zhuǎn)化為sin（x+》=/,再結(jié)合函數(shù)的圖象，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，即可求

解.

本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

19.【答案】解：（1）連接BD,設(shè)4CDBD=。，連接0E,

因為PB〃平面力EC,PBanPBD,平面PBDn平面AEC=E。,

所以PB〃E。，又底面4BCD為矩形，所以。為BD的中點，

所以E為PD的中點.

（2）因為24_L平面力BCD,CDu平面ZBCD,所以PA1CD,

又CO14。，ADdPA=A,AD,P4u平面P40,所以C。_L平面PAO,

所以NCE。為直線CE與平面240所成的角，即“EO=45°,

又4P=AD=L所以PD=>HP2+則DE=：PD=3，

由CDJ■平面PAD,PDu平面PAD,所以CD1PD,

所以在Rt△CDE中CO=OE=與，

所以%-4CD=IVP-ACD=|Xgs“CDXPA=|x|x|xlX^Xl=分.

【解析】（1）連接BD,設(shè)acn8D=0,連接0E,根據(jù)線面平行的性質(zhì)得到PB〃EO,即可證明;

（2）首先證明CD，平面PAD,則NCEC為直線CE與平面PAD所成的角，再求出CD,最后根據(jù)

^E-ACD=5%-AC。=2XXP4計算可得?

本題考查線面平行的性質(zhì)定理，三棱錐的體積的求解，屬中檔題.

20.【答案】解：（1）證明：因為呵宇=網(wǎng)支魯,

cosAcosB

pisinCcosA-cosCsinA_sinCcosB-cosCsinB

""cosA-~cosB'

rrKI.ccosCsinA.》cosCsinB

所以sin。------=sinC-----------,

cosAcosB

VXcosCsinAcosB=cosCsinBcosA,

因為△ABC為銳角三角形，

所以cosC豐0,

所以sinAcosB=sinBcosA,

所以sin（A-B）=O

因為△ABC為銳角三角形，

所以A—B6（一

所以A—B=0,

所以4=8；

（2）因為益=最,cs譏B=l,

所以加譏。=csinB=1,

所以c=焉，b=焉，

因為A=B,所以Q=b,

所以。=短

所以,+今=sin2^+sin2C,

sin2B+sin2（7r—2B）,

1-COS2B_2no

——-——+1-cosQB,

cl3

=-COS22B--cos2B+百,

一（c°s28+,）2

i0<8<3”n

因為2兀，所以3<B<*

0<TT-2B42

2

所以V/r,

所以cos2Be(-1,0),

所以當cos2B=-扣j,%+上取得最大值

【解析】（1）利用三角函數(shù)恒等變換公式對已知式子化簡變形可證得結(jié)論；

（2）由已知條件結(jié)合正弦定理可得c==—二，a=-二，從而可得a+馬=siMB+siMc,

''sinBsinCsinCaL

然后利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡變形可求得結(jié)果.

本題考查解三角形相關(guān)知識，屬于中檔題.

21.【答案】解：（1）證明：翻折前，：。、E分別是48、4c的中點，則。E〃BC,

???/-AED=乙ACB=60°,/LADE=AABC=60°,

.??△40E為等邊三角形，所以，/.CED=120°,

且DE=AD=AE=34C=2,CE=2,

翻折后，取OE的中點0,連接P。、CO,如下圖所示：

B

由題意可知，APDE是邊長為2的等邊三角形,

:。為。E的中點，所以，POS.DE,且p。=VPD2—DM=p22-了=q,

OE=1,CE=2,Z.OEC=120°,

由余弦定理可得。。2=OE2+CE2-2OE-CEcosl20°=l+4-2xlx2cosl20°=7,

???PC=/IU，所以，PO2+OC2=PC2,貝iJPO_LOC,

DEC\OC=0,DE.OCu平面BCED,則P。平面BCED,

又：POu平面PDE,

因此，平面PDE1平面BCED.

(2)取BC的中點凡連接。尸、OB,如下圖所示：

???OD=1,BD=2,乙ODB=120°,

由余弦定理可得OB?=OD2+BD2-2OD?BDcosl200=1+4-2x1x2x(-1)=7,

OB=OC=V"-7>

vBC=4,且尸為BC的中點，所以，O