2023年高考模擬考數(shù)學(xué)試卷2（文）（解析版）

2023年高考數(shù)學(xué)模擬考試卷2(文)

第I卷

一、選擇題.

1.已知集合A={x|3-x<l},B-^y=\lx2-4x^,則AB-()

A.0B.[4,-KO)C.(2,+oo)D.[0,2)

K答案Dc

K解析D由題意可得A={x|x>2},

由函數(shù)值域可得8={y|”o},

所以Ac8={x|x>2}.故選：c.

2.已知2(z+5)-(z-2)=8-2i,則|z+i|=()

A.272B.26C.72D.y/3

K答案UA

K解析X設(shè)z=a+歷(〃,b￡R),則2(z+5)-(z—5)=z+35=4〃-2M=8-2i,則

a=2,b=l,故|z+i|=|2+2i|=V^=2四.故選：A.

3.對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得以下散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是()

35

3030

2525-?????

2020■?????

1515■????

10io-…

55-...............................???”

005101520253035

51015202530

相關(guān)系數(shù)為勺相關(guān)系數(shù)為「2

35f---------------------------------35

30-.30

25-25

20-20

15■??15

10-.?.???,10

55

51015202530355101520253035

相關(guān)系數(shù)為勺相關(guān)系數(shù)為々

A.弓<〃<0<4<6B.%<R<0"<G

C.4<4<0<g<{D.G<q<0<]<4

R答案HA

K解析》小4都是正線(xiàn)性相關(guān)，

所以｛>0,4>0,

并且相關(guān)性4最強(qiáng)，

所以4>4；

公4都是負(fù)線(xiàn)性相關(guān)并，

所以弓<0,r4<0,

且4相關(guān)性強(qiáng)，

所以間>|〃|，

所以4<9；

所以4<“<0<4<4；

故選：A

4.如圖，在ABC中，A5=6,AC=3,N5AC=^,6O=2OC,則ABAD=（）

2

K答案》D

K解析》由8O=2Z)C可得：DC=^BC,

所以AC-Ar>=§8C=§(AC-A8),所以=1AB+§AC,

ABAD=AB\-AB+-AC\=-AB12+3-ABAC,

(33J33

TT

因?yàn)锳8=6,AC=3,N8AC=—,

2

1.221

所以A3?AO=—A3+—A8AC=-x36=12.

333

故選：D.

5.已知°,6e(0,-Ko),則"a</'是'log,二-二”成立的()

~3。b3a

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

K答案》B

K解析H先化簡(jiǎn)log,nlog,匕-log,3〃>：一，-nlog">log23a-，-,構(gòu)

3ab3ab3ab5a

造函數(shù)/(x)=log2X-T，

所以有/(。)>/(3可，顯然/(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，所以6>3a；

又因?yàn)閍,Z?e(0,+oo),所以由“a<6”不能得出“b>3a",由"b>3a"可得出"a<?”,故

"a<是"log,3>，-]”成立的必要不充分條件.

3ab3a

故選：B

6.執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出的S值是()

A.0B.C.—D.—1

22

K答案XB

K解析X因?yàn)閷?duì)任意的女wN,

（62一5）兀（6k-4）n（62—3）兀（6左一2）兀（6攵-1）兀

COS-------------——FCOS------------+COS-------------+COS---------------——FCOS--------------FCOJ

33333

執(zhí)行第一次循環(huán)，S=cos^,〃=1+1=2,〃>2023不成立；

執(zhí)行第二次循環(huán)，S=cos^+cos—,/7=2+1=3,〃>2023不成立；

■jr9TT

執(zhí)行第三次循環(huán)，S=cos-+cos—+005^,"=3+1=4,〃>2023不成立;

L,

jr27r37r2023冗

以此類(lèi)推，執(zhí)行最后一次循環(huán)，S=COS^+COSy+COSy++COS^~,

77=2013+1=2024,”>2023成立，跳出循環(huán)體，

JT1

因?yàn)?023=6x337+1,因此，輸出結(jié)果為S=337X0+COSQ=耳.

故選：B.

7.若直線(xiàn)2x-y-2=0與直線(xiàn)2x-y-l=0被圓（；：*2+;/—2》-6'-，"=0（，">-10）截得的

弦長(zhǎng)之比為1：0，則圓C的面積為()

1416

A.2兀B.一71C.37rD.—7T

55

K答案XB

K解析》圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-l)-+(y-3)2=10+皿，w>-10),

12-3-213

所以圓心C(l,3)到直線(xiàn)2x-y-2=0的距離為!~三

12-3-112

至U直線(xiàn)2x-y-l=0的距離分別為=忑,

所以直線(xiàn)2x-y-2=0被圓。：/+〉2一2》-6、-m=0(機(jī)>一10)截得的弦長(zhǎng)為

直線(xiàn)2x—y—1=0被圓(7:》2+〉2-2犬-6),-膽=0(〃?>_10)截得的弦長(zhǎng)為

2J10+/W

5

2J10+m一（

)36

由題意可得=&，解得相=一彳，滿(mǎn)足

2小10+加一t

14

所以圓C的半徑為向拜方=，面積為w兀.

故選：B.

8.如圖，在四棱錐尸-A8C。中，平面皿>_L平面A88,四邊形A88是矩形,

PA=PD=6AB,E,F分別是棱BC,PD的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)Ek與鉆所成角的余弦值

K答案2B

[解析U如圖，取棱A￡）的中點(diǎn)”，連接則

則NHE戶(hù)是異面直線(xiàn)斯與A8所成的角（或補(bǔ)角）.

又因?yàn)镻A=P￡>=0AB，故PHJLAD,

平面以Q_L平面ABC。，平面P4￡>c平面用JCD=49,平面PAD,

故P”_L平面A3C￡>,EHu平面ABC￡>,故

由四邊形ABCD是矩形，EH//AB,ABLAD,則明，">,

PH4￡>=",/?”,4）<=平面24。,故￡”_1_平面幺￡>,

HFu平面PAD，故EH±HF,

T^AB=2,則￡”=2,HF=gpD=O.

在△EFH中，則EFTE/P+HF?=瓜，故cosNHEF=^=^=也,

EFV63

即異面直線(xiàn)阱與所成角范圍為（0,[],故所求角的余弦值是邁，

23

故選：B

9.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且滿(mǎn)足/(x)="2-x),/(x)=-/(x+2),當(dāng)xe(O,l］

時(shí)，/(x)=xlnx,則()

A./(x)是周期為2的函數(shù)

B./(2022)=1

C.“X)的值域是［-e,e］

D.方程W(x)|=l在區(qū)間0,號(hào)內(nèi)恰有1011個(gè)實(shí)數(shù)解

K答案》D

K解析』對(duì)于A,由/(X)=—“X+2)得：“x+2)=—〃x),

：j(x+4)=—〃x+2)=〃x),\/(x)是周期為4的周期函數(shù)，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,/(x)=〃2—x),.?./(-x)=/(2+x),

又〃力=—〃x+2),=\f(x)為定義在R上的奇函數(shù),

.??/(0)=0,又〃x+2)=—〃x),??.〃2)=-〃0)=0,

.?J(2022)=/(4x505+2)=〃2)=0,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)xe(O,l］時(shí)，/(x)=xlnx,則/'(x)=lnx+I,

.,.當(dāng)xe(0口時(shí)，r(x)<0；當(dāng)時(shí)，/gx)>0；

\/⑴在上單調(diào)遞減，在上的單調(diào)遞增，

［0,j(5I???/(x)En=/g)=T，

又〃0)=0，/(1)=0，?.?當(dāng)xw(O,l］時(shí)，〃x)e-50;

〃x)為奇函數(shù)，，當(dāng)x?—l,0)時(shí)，0,1,

則當(dāng)時(shí)，/(x)ef；

由〃X)=/(2T)得：/(x)關(guān)于直線(xiàn)x=l對(duì)稱(chēng),

.,.當(dāng)xe［l,3］時(shí)，f(x)e；

又的周期為4,???當(dāng)xeR時(shí)，-蘭，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,方程|W(x)|=1解的個(gè)數(shù)等價(jià)于y=|/(x)|與y=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù),

作出、=|/(耳|與＞=’的部分圖象如下圖所示，

=1

、/V、號(hào)

(91U123x

ez-e

.y=|/(x)|的周期為2,且當(dāng)xe［0,2］時(shí)，y=|/(x)|與y=g有兩個(gè)交點(diǎn)，

???當(dāng)xe［0,1010］時(shí)，y=|/(x)|與y有1010個(gè)交點(diǎn)，

?,?當(dāng)x/o。］時(shí)，y=|/(x)|與)=，有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，

e2I2」e

(2023-li

.?.當(dāng)xe11010,「尸］時(shí)，y=|/(x)|與y有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；

-2023-1|

綜上所述：當(dāng)xe0,竽時(shí)，y=|/(x)|與y=：有1011個(gè)交點(diǎn)，即方程|立制|=1恰有

1011個(gè)實(shí)數(shù)解，D正確.

故選：D.

10.記函數(shù)/(x)=sin"+力(。＞0)的最小正周期為T(mén).若兀＜7＜2兀，且尸〃力的圖

象的一條對(duì)稱(chēng)軸為工=三，關(guān)于該函數(shù)有下列四個(gè)說(shuō)法：

O

①2vgv3；

②佃=。；

jr冗

③/(X)在一了不上單調(diào)遞增；

④為了得到g(x)=sin的的圖象，只需將“X)的圖象向右平移個(gè)個(gè)單位長(zhǎng)度.

以上四個(gè)說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

K答案DB

K解析X由丁二2巧7r且兀＜?。?兀，故1VGV2,故①錯(cuò)誤;

(0

因?yàn)閤=B為一條對(duì)稱(chēng)軸，故二口+二=二+左兀(左eZ),co=6\k+-由于lvty＜2,故

6642I4

33兀}所以f[{|=sin]|x5+￡|

a>=-,貝ijf(x)=sm—x+—=sin兀=0故②正確；

24

當(dāng)xwU時(shí)，+。，m，則/(x)在上單調(diào)遞增，故③正確;

6624266

將〃力的圖象向右平移個(gè)個(gè)單位長(zhǎng)度得y=sin+；=sin(|x-胃的圖象，而

g(x)=sin；x,故④錯(cuò)誤.所以，正確的有②③，共2個(gè).故選：B.

11.如圖，在四面體48CD中，AB=BC=AD=CD=4,AC=2,NBCD=NBAD=120。,

則四面體ABCQ外接球的表面積為()

C2。9兀

D.70兀

*3

K答案UA

R解析》如圖1,取8。的中點(diǎn)E,由A3=3C=4)=CE>=4,NBCD=NBAD=120。,

可得AE=CE=2,

又AC=2,所以AACE為等邊三角形.

由AB=A￡>=BC=CD,BE=DE,可得AE_L3Z),CE±BD,

AE\CE=E,AE,CEu平面ACE

則80,平面ACE,

如圖2,延長(zhǎng)AE至Q,使得4E=QE,延長(zhǎng)CE至P,使得CE=PE,

cCD4o

???△38的外接圓的直徑一§由/。3。一。一，即一=4,

故易知尸為△灰?的外心，。為的外心，過(guò)點(diǎn)P作平面BCQ的垂線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)。作平

面ABD的垂線(xiàn)，兩垂線(xiàn)的交點(diǎn)O就是四面體ABCD外接球的球心.

A

圖2

OE-

由PE=/1E=2,ZOEP=30°,可得更6,

5

在△OAE■中,

OA2=AE1+OE2-2AExOEcosZAEO=22+（白）-2x2xexcos（120。+30。）旁

故四面體ABCD外接球的表面積為4兀xCW=等

故選：A.

12.如圖，耳,工為雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)，過(guò)K的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于兩點(diǎn)，且

F2D=3F2B,E為線(xiàn)段川的中點(diǎn)，若對(duì)于線(xiàn)段。耳上的任意點(diǎn)P,都有P%PBNEF「EB

C.2D.非

K答案》D

K解析D取68中點(diǎn)Q,連接尸

y

22

PFtPB=^PFt+PB^-^PFt-PB^=^[4PQ-BF^=PQ,

班?￡8=；[(EF、+時(shí)—(一時(shí)卜;(4EQ：BF：)=EQ=;BF：,

.-.PQ'-^BF^EQ'-^BF,2,則PQ%EQ2,.[PQ|WEQ|恒成立，

.1.EQlDFt,又EQ//BD,.-.BDLDFX,

設(shè)忸閭=m,由耳底=3砧得:\BD\=2m,

根據(jù)雙曲線(xiàn)定義可知：|班|=|。瑪|—2a=3m—2a,忸用=忸周+勿="+2〃，

忸?！?|。用2=|8用2,即4療+(3機(jī)一2“y=(〃?+2a)2,.,.%=:”，

2

：.\DF\=2a,\DF2\=4a,又Q閭?+|￡>周=|耳閭?，：.20/=它，

.".e"=—j-=5,則隅心率e=5/5.

故選：D.

第n卷

二、填空題

x-y+l<0

13.設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足T+y+120,則/+丫2+(》-1"+("1次的取值范圍是

x-2y+4>0

K答案》一，20

4

x-y+l<0

K解析U設(shè)2=彳+九根據(jù)約束條件x+y+120作出可行域如圖所示,

x-2y+4>0

x-2y+4=0x=2,、

解可得,_,所以C（2,3）.

x-y+1=0y=3

由圖知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=x+)?經(jīng)過(guò)點(diǎn)A或點(diǎn)B時(shí)取得最小值當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=x+y經(jīng)

過(guò)點(diǎn)C時(shí)取得最大值Zg*=2+3=5,即ze[-1,5].

又x2+y2+(x-l)y+(y-l)x=(x+y)2-(x+y)=z2-z=^z-^j一；，

又zel-1,5],

所以，當(dāng)z=；時(shí)，該式有最小值為:；當(dāng)z=5時(shí)，有最大值為20.

故R答案》為：4,20.

14.已知函數(shù)/5)=卜一+2匕*，%>())有2個(gè)零點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(e,l),則常數(shù)[的一個(gè)取值

[Inx,x>t

為.

K答案U2(不唯一).

K解析D由f+2x=0可得x=0或x=—2

由lnx=0可得x=l

因?yàn)楹瘮?shù)人幻=1[+2、'*'%>0)有2個(gè)零點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)?1),所以e>/21

[Inx,x>t

故K答案》為：2(不唯一)

15.如圖，矩形A8CD中，AC是對(duì)角線(xiàn)，設(shè)NBAC=a,已知正方形S/和正方形S2分別內(nèi)

接于RtAACD和RtAABC,則魯慧'詈囂的取值范圍為.

K解析II設(shè)兩個(gè)正方形5，邑邊長(zhǎng)分別為〃，b,

則在mACD中，AC=-a~+a+atana,

tana

在心ABC中，有AC="+",所以"+a+atana="+"

sinacosatanasinacosa

11

------+—

S1的周長(zhǎng)與邑的周長(zhǎng)比為黑=sinacosasina+cosa

4。1?1+sinacosa

tana+------+1

tana

設(shè)f=sina+cosa=41sin(a+—),

4

因?yàn)樗裕?0sin(a+[),

sina+cosa_t_2/_2

則1+sinacosa.t1-1r+1.,1,

2t

(rr'

因?yàn)閥=f+!在(1,3]上單調(diào)遞增，所以2,浮

sina+cosa_2

1+sinacosa-1

~J2、

所以周長(zhǎng)比為之2」.

故K答案》為:

16.己知F是拋物線(xiàn)C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，C的準(zhǔn)線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)7,P,Q是C上

的兩點(diǎn)，直線(xiàn)7P與C相切，TP=AFQ(A>0),貝”=.

K答案HV2-1

K解析U由題意得“-goj,F§,oj,對(duì)于y?=2px,

不妨設(shè)y>0，則y=,2px,求導(dǎo)得y'=

設(shè)P（%,%），且%>°，則直線(xiàn)TP的方程為y-也鬲=

因?yàn)辄c(diǎn)力多。）在直線(xiàn)TP上，所以一7^=居1/7。｝得x°=g

則%=P，所以P、，p）,TP=（P，p）.

設(shè)Q（X|，X）,則FQ=,-§,yJ,因?yàn)門(mén)P=/iFQ,

f（p\_Lr（'+2）p

所以他°）=八-§,%],所以個(gè)一5尸P,,22,

12J〔肛?T

代入V=2px,得;12+22-1=0,得2=-/-1（舍）或2=0-1.

故K答案》為：72-1.

三、解答題

17.（12分）在數(shù)列｛%｝中，4=1,%一%=2".

n+in

（1）設(shè)2吟，求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)一（”+1）可，且數(shù)列化,｝的前”項(xiàng)和為7；.若（=1|,求正整數(shù)/的值.

4%63

（1）解：因?yàn)?=1,當(dāng)-%=2",且。=冬，

n+1nn

所以以「”,=2",

當(dāng)〃=1時(shí)。=4=1,

當(dāng)心2時(shí)2=（4_%）++他-幻+4

1_

=2"-'++2+1=—-=-=2n-l,

1-2

又”=1時(shí)也符合上式，所以勿=2"-1.

（2）解：由（1）可知"=幺=2"-1,所以q=，"2"-1）,

UUt'IF?1111,1乙一乙

以7?=1—---1-----------FH---------：---1----：-：--

2-12-12-1T-12-12-121-1

則1=有堞，解得

18.（12分）隨著互聯(lián)網(wǎng)的迅速發(fā)展，越來(lái)越多的消費(fèi)者開(kāi)始選擇網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物，某營(yíng)銷(xiāo)部門(mén)

統(tǒng)計(jì)了2021年某月某地區(qū)的部分特產(chǎn)的網(wǎng)絡(luò)銷(xiāo)售情況，得到網(wǎng)民對(duì)不同特產(chǎn)的滿(mǎn)意度

X（%）和對(duì)應(yīng)的銷(xiāo)售額y（萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)如下表：

特產(chǎn)種類(lèi)甲乙丙丁戊

滿(mǎn)意度X/%2234252019

銷(xiāo)售額y/萬(wàn)元7890867675

（1）求銷(xiāo)售額y關(guān)于滿(mǎn)意度X的相關(guān)系數(shù)r；

（2）約定：銷(xiāo)量額y關(guān)于滿(mǎn)意度X的相關(guān)系數(shù),的絕對(duì)值在0.95及以上表示線(xiàn)性相關(guān)性較

強(qiáng)；否則，線(xiàn)性相關(guān)性較弱.如果沒(méi)有達(dá)到較強(qiáng)線(xiàn)性相關(guān)，則采取“末位淘汰”制（即銷(xiāo)售

額最少的特產(chǎn)退出銷(xiāo)售），求剔除“末位淘汰”的特產(chǎn)后的銷(xiāo)量額y關(guān)于滿(mǎn)意度X的線(xiàn)性回歸

方程.（結(jié)果精確到0.1）

參考數(shù)據(jù)：記X,y的5組樣本數(shù)據(jù)分別為（&x）,（w，%），…，（0為），嚏=24，

5_95_5____

亍=81,>2-5x=146,5y=176,，x/-5xy=151,7146^12.08.

i=li=lr=l

V176?13.27.

，='⑸、⑸a（）.942

解：⑴由題意，可得646x17612.08x13.27

（2）因?yàn)?.94<0.95,所以線(xiàn)性相關(guān)性較弱，淘汰銷(xiāo)售額為75萬(wàn)元的特產(chǎn).

剔除“末位淘汰”的特產(chǎn)的數(shù)據(jù)后，7=25.25，7=82.5.

［七％=22x78+34x90+25x86+20x76=8446,4>^=4x25.25x82.5=8332.5,

Ex；=222+34:+252+202=2665,4,，=4x25.25x25.25=2550.25，

/=1

所以人266530.25“°'-7^^82.5-1.0x25.25.57.3,所以所求線(xiàn)性回歸方程

為y=1.0X+57.3.

19.（12分）如圖①，在梯形A8CD中，AD//BC,AD1AB,AD=2AB=2BC,E為AD中

點(diǎn)，現(xiàn)沿BE將ABE折起，如圖②，其中F,G分別是BE,AC的中點(diǎn).

A

①②

(1)求證：FG_L平面ACL＞；

(2)若AB=AC=叵,求點(diǎn)B到平面ACE的距離.

(1)證明：連接FA,尸C,CE,

在圖①中，因?yàn)锳￡>//2C,AO,48,AO=24B=2BC,E為中點(diǎn),

所以AE7/8C且AE=8C,

所以四邊形ABC。為正方形，

則和8CE都是等腰直角三角形，

在圖②中，由C8=CE,A8=AE且尸是8E的中點(diǎn)，

則AFJ_3E,CF_L8E,

又AFcCF=F,CFu平面ACF,

所以BE_L平面ACF,

又尸Gu平面AC尸，所以8EJ.FG,

又因?yàn)锽E//CD,所以CQ_LFG,

因?yàn)锳F=CF,且G是AC的中點(diǎn)，所以FG八AC,

又因?yàn)锳CCZ)=C,AC,CZ)u平面ACT),

所以尸GJ?平面AC￡＞：

(2)解：在圖②中，因?yàn)锳B=0，所以4尸=8/=CF="=1,CE=Q,

又因?yàn)锳C=也，

所以AQ+CF=AC?,所以AF_LCF,

又由（1）知4F_L8E,C/門(mén)5￡：=產(chǎn),口?,8￡：（^面8（）￡,

所以AFJ_面BCDE,

又CEu面BCDE,所以A/_LCE,

設(shè)”是C￡中點(diǎn)，連接

因?yàn)镕C=FE,

所以FHLCE,又AFcF"=戶(hù),平面A.，

所以CE_L平面A/77,

又APu平面AFH,所以CE_LAF,

由題易得CE=AB=BC=0,"=，8C=變，

22

AH=yjAF2+FH2=—,

2

所以BCE的面積為以砂=；8。?！?1,

AAC￡的面積為%CE=；CE.”=；X&X*=^,

設(shè)點(diǎn)B到平面ACE的距離為d,

=

由VR-ACE匕-SCE有§^AACE,"=§^ABCE'A/，

即lx@.d=klxl,所以d=2叵，

3233

所以點(diǎn)B到平面4CE的距離為2叵.

3

①②

20.(12分)已知函數(shù)g(x)=or-xlnx,/(x)=xg(x),且g(x)之0.

(1)求實(shí)數(shù)。的值；

⑵證明:存在X。,r(x0)=0且0</<1時(shí)，/(x)</(x0).

(1)解：顯然g(x)的定義域?yàn)?0,+8),且g'(x)=a—,x>o.

因?yàn)間(x"O,且g(l)=O,故只需g'(l)=O.

又=則〃一1二0,a=1.

若a=l,則g'(x)=l-J.顯然當(dāng)0<x<l時(shí)，g'(x)<0,11匕時(shí)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減；

當(dāng)X>1,g'(x)>0,此時(shí)g(x)在(1,+00)上單調(diào)遞增.

所以x=l是g(x)的唯一極小值點(diǎn)，

故g(x)Zg(l)=0.綜上,所求4的值為1.

(2)證明：由(1)^n/(x)=x2-x-xlnx,//(x)=2x-2-lnx.

^h[x)=2x-2-\nx,則〃(x)=2

當(dāng)xe(0,g)時(shí)，/Z(x)<0；

當(dāng)xe(；,+8)時(shí)，〃(x)>0,

所以6(x)在(0,；)上單調(diào)遞減，

在(；，+8)上單調(diào)遞增.

又〃佇2)>0,〃(￡|<0,〃(1)=0,

所以Mx)在(0,；有唯一零點(diǎn)看,在上有唯一零點(diǎn)1,

且當(dāng)x?O,Xo)時(shí)，/?(x)>0；當(dāng)時(shí)/?(x)<0；

因?yàn)?(x)=/?(x),所以x=x。是"力的唯一極大值點(diǎn).

即x=x°是/(X)在(0,1)的最大值點(diǎn),所以成立.

22

21.(12分)已知橢圓「:'+親?=l(“>b>0),A、F分別為『的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，。為坐

標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A為直徑的圓與「交于M點(diǎn)(第二象限)，|OM卜].

(1)求橢圓「的離心率e；

(2)若6=2,直線(xiàn)〃/40,/交「于P、。兩點(diǎn)，直線(xiàn)0P,。。的斜率分別為尤，

(i)若/過(guò)尸，求人「右的值；

(ii)若/不過(guò)原點(diǎn)，求6“°的最大值.

解：(1)由已知點(diǎn)M是以A0為直徑的圓上的點(diǎn),

Tl

/.ZAMO=|,又?.1CM]=a,\0M\-^,A|AAf|=^a，ZAOM=±,

3

乂...點(diǎn)M在橢圓「上，...d(刊

。有、整理吟j

—,—a

44

(2)設(shè)P(%,yJ,

22

(i)由b=2,〃=26，，橢圓「的方程為：—+—=1

204

在RtAAOM中NOAM=5，.?.直線(xiàn)/的斜率為％=巫，

63

fy

--------1--------=1

.?.直線(xiàn)/的方程為y=#(x-4),與橢圓方程聯(lián)立得■204

yx-4)

整理得：2f—]0x+5=0,?,?%+%=5,=|,

(x—4)?

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中25

廠

-----F

204

(ii)設(shè)直線(xiàn)/的方程為＞=XT),f工0與橢圓方程聯(lián)立得，

y=一)

消去X整理得：8y2+2圓+/-20=(),當(dāng)△>()得0<*<32,

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