浙江省寧波市正學(xué)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析

浙江省寧波市正學(xué)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.由小正方體木塊搭成的幾何體的三視圖如圖所示，則搭成該幾何體的小正方體木塊有（）A．6塊B．7塊C．8塊D．9塊參考答案：B略2.設(shè)O是原點(diǎn)，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，那么向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D3.下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（）A．75 B．11111（2） C．210（6） D．85（9）參考答案：B【考點(diǎn)】進(jìn)位制．【分析】欲找四個(gè)中最小的數(shù)，先將它們分別化成十進(jìn)制數(shù)，后再比較它們的大小即可．【解答】解：對(duì)于B，11111（2）=24+23+22+21+20=31．對(duì)于C，210（6）=2×62+1×6=78；對(duì)于D，85（9）=8×9+5=77；故11111（2）最小，故選：B．4.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為

A．

B．

C．

D．參考答案：D5.橢圓C：的上下頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上且直線斜率的取值范圍是，那么直線斜率的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B6.設(shè)α、β、γ為兩兩不重合的平面，l、m、n為兩兩不重合的直線．給出下列四個(gè)命題：①若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β；

②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β；③若α∥β，l?α，則l∥β；

④若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，則m∥n.其中真命題的個(gè)數(shù)是(

)參考答案：B略7.輪船按照東偏北10°的方向，以24海里每小時(shí)的速度航行，一個(gè)小島原來在輪船的東偏南50°方向上.經(jīng)過40分鐘，輪船與小島的距離是海里，則小島和輪船原來的距離為（

） A．5海里

B．海里

C．8海里

D．海里參考答案：C8.等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，C與拋物線的準(zhǔn)線交于A,B兩點(diǎn)，,則C的實(shí)軸長為（

）A.2

B.

C.4

D.參考答案：D9.三個(gè)數(shù)，，之間的大小關(guān)系是(

)A. B.C. D.參考答案：A【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解【詳解】,故故選：A【點(diǎn)睛】本題考查三個(gè)數(shù)的大小的比較，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的合理運(yùn)用．10.曲線在處的切線平行于直線，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為(

)

A.1

B.2

C.

D.4參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知球的半徑為，是球面上兩點(diǎn)，，則兩點(diǎn)的球面距離為____________．參考答案：略12.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為

.參考答案：2略13.不等式的解集是____________________.參考答案：{}14.命題“存在實(shí)數(shù)，使”的否定是

.

參考答案：15.若集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|}，則MN＝

。參考答案：解析：，MN=。16.若x，y滿足約束條件，則z=x+3y的最大值為

．參考答案：7【考點(diǎn)】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，再將目標(biāo)函數(shù)z=x+3y對(duì)應(yīng)的直線進(jìn)行平移，可得當(dāng)x=1且y=2時(shí)，z取得最大值．【解答】解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的三角形及其內(nèi)部，由可得A（1，2），z=x+3y，將直線進(jìn)行平移，當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最大值∴z最大值=1+2×3=7．故答案為：717.在棱長為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，向量與向量所成的角為．參考答案：120°【考點(diǎn)】9S：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角．【分析】先建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量與的坐標(biāo)，然后利用空間向量的夾角公式進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），A1（a，0，a）∴=（0，﹣a，a），=（﹣a，a，0）∴cos＜，＞===﹣即＜，＞=120°故答案為：120°三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.傾斜角的直線l過拋物線y2=4x焦點(diǎn)，且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)．（1）求直線l的方程．（2）求線段AB長．參考答案：【考點(diǎn)】直線與拋物線的位置關(guān)系．【分析】（1）求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)F（1，0），用點(diǎn)斜式求出直線方程即可．（2）聯(lián)立直線方程與拋物線方程聯(lián)解得一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合曲線的弦長的公式，可以求出線段AB的長度．【解答】解：（1）根據(jù)拋物線y2=4x方程得：焦點(diǎn)坐標(biāo)F（1，0），直線AB的斜率為k=tan45°=1，由直線方程的點(diǎn)斜式方程，設(shè)AB：y=x﹣1，（2）將直線方程代入到拋物線方程中，得：（x﹣1）2=4x，整理得：x2﹣6x+1=0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：x1+x2=6，x1?x2=1，所以弦長|AB|=|x1﹣x2|=?=8．19.如圖1，在等邊△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC的中點(diǎn)．將△ABF沿AF折起，得到如圖2所示的三棱錐A﹣BCF．（Ⅰ）證明：AF⊥BC；（Ⅱ）當(dāng)∠BFC=120°時(shí)，求二面角A﹣DE﹣F的余弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，在線段BC上是否存在一點(diǎn)N，使得平面ABF⊥平面FDN？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）推導(dǎo)出AF⊥BF，AF⊥FC．由此能證明AF⊥BC．（II）以點(diǎn)F為原點(diǎn)，在平面BCF內(nèi)過點(diǎn)F作FC的垂線作為x軸，F(xiàn)C為y軸，F(xiàn)A為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量法能求出二面角A﹣DE﹣F的余弦值．（III）在平面BCF內(nèi)，過F作FN⊥BF交BC于N，推導(dǎo)出AF⊥FN，從而FN⊥面ABF，進(jìn)而面ABF⊥面DFN．由此能求出在線段BC上存在一點(diǎn)N，滿足面ABF⊥面DFN，且．【解答】（本題滿分9分）證明：（Ⅰ）∵等邊△ABC，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，∴AF⊥BC．即AF⊥BF，AF⊥FC．又∵BF∩FC=F，∴AF⊥面BCF．又∵BC?面BCF，∴AF⊥BC．

…解：（II）如圖，以點(diǎn)F為原點(diǎn)，在平面BCF內(nèi)過點(diǎn)F作FC的垂線作為x軸，F(xiàn)C為y軸，F(xiàn)A為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)FC=2，則有F（0，0，0），，，C（0，2，0），∴，．∴，，，．設(shè)平面DEF的法向量為=（x1，y1，z1），因此，即，令z1=1，則=（﹣3，﹣，1）．設(shè)平面ADE的法向量為=（x2，y2，z2），因此有，即，令z2=1，則=（3，，1）．∴cos＜＞===﹣．∴二面角A﹣DE﹣F的余弦值為．

…（6分）（III）在線段BC上存在一點(diǎn)N，滿足面ABF⊥面DFN，且．證明如下：在平面BCF內(nèi)，過F作FN⊥BF交BC于N，∵AF⊥面BCF，F(xiàn)N?面BCF，∴AF⊥FN．又∵FN⊥BF，AF∩BF=F，∴FN⊥面ABF．又∵FN?面DFN，∴面ABF⊥面DFN．設(shè)FN=a，∵∠BFC=120°，BF=FC，∴∠FBC=∠FCB=30°．又∵FN⊥BF，∴BN=2a．∵∠NFC=∠FCN=30°，∴FN=NC=a．∴BC=3a．∴．

…（9分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查滿足條件的點(diǎn)的位置的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．20.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（1）若函數(shù)在處的切線方程為，求的值；（2）討論方程解的個(gè)數(shù)，并說明理由。參考答案：（1）因?yàn)椋?/p>

，又在處的切線方程為

所以

解得：

………4分（2）當(dāng)時(shí)，在定義域上恒大于，此時(shí)方程無解；……5分當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在定義域上為增函數(shù)。，，所以方程有惟一解?！?分當(dāng)時(shí)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，在內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)為增函數(shù)。所以當(dāng)時(shí)，有極小值即為最小值…7分當(dāng)時(shí)，，此方程無解；當(dāng)時(shí)，此方程有惟一解。當(dāng)時(shí)，因?yàn)榍?，所以方程在區(qū)間上有惟一解，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以

所以

因?yàn)?/p>

，所以所以

方程在區(qū)間上有惟一解。所以方程在區(qū)間上有惟兩解。

……11分

綜上所述：當(dāng)時(shí)，方程無解；當(dāng)時(shí)，方程有惟一解；

當(dāng)時(shí)方程有兩解。

……12分21.（本小題滿分12分）如圖，中心在原點(diǎn)的橢圓的焦點(diǎn)在軸上，長軸長為4，焦距為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）是否存在過的直線與橢圓交于，兩個(gè)不同點(diǎn)，使以為直徑的圓過原點(diǎn)？若存在，求出直線方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為：，

…………………1分

…………………2分

…………………3分所以，橢圓的方程為：

…………………4分（Ⅱ）法一：假設(shè)存在過的直線與橢圓交于、兩個(gè)不同點(diǎn)，使以為直徑的圓過原點(diǎn)，依題意可知.①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，、分別為橢圓短軸的端點(diǎn)，不符合題意

…5分②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)為，則直線的方程為：由得：

………6分令，得：

…………………7分設(shè)，則

………………8分又，

…………………9分

…………………10分

……………………11分直線的方程為：，即或所以，存在過的直線與橢圓交于、兩個(gè)不同點(diǎn)，使以為直徑的圓過原點(diǎn)，其方程為：或

…………12分（Ⅱ）法二：假設(shè)存在過的直線與橢圓交于、兩個(gè)不同點(diǎn)，使以為直徑的圓過原點(diǎn)，依題意可知，設(shè)直線的方程為：

………5分由得：

…6分令，得：

……7分設(shè)，則

……………8分又

……9分

……10分

……11分所求直線的