省直轄縣級行政區(qū)劃潛江市國營后湖農(nóng)場前湖中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

省直轄縣級行政區(qū)劃潛江市國營后湖農(nóng)場前湖中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)圖像上一點(diǎn)，以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線為直線，則直線的傾斜角的范圍是

（

）A.

B． C．

D．參考答案：D略2.在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，則b等于(

)A．4 B． C．4 D．參考答案：A【考點(diǎn)】正弦定理．【專題】解三角形．【分析】先求得A，進(jìn)而利用正弦定理求得b的值．【解答】解：A=180°﹣B﹣C=45°，由正弦定理知=，∴b===4，故選A．【點(diǎn)評】本題主要考查了正弦定理的運(yùn)用．考查了學(xué)生對基礎(chǔ)公式的熟練應(yīng)用．3.復(fù)數(shù)z=（i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：B【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算．【分析】化簡復(fù)數(shù)的分子，然后分母實(shí)數(shù)化，化復(fù)數(shù)為a+bi（a、b∈R）可得對應(yīng)的點(diǎn)位于的象限．【解答】解：復(fù)數(shù)=故選B．【點(diǎn)評】該題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念和運(yùn)算，以及復(fù)平面上點(diǎn)的對應(yīng)問題，屬于容易題．4.圖，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為3的正方形，側(cè)棱AA1長為4，且AA1與A1B1，A1D1的夾角都是60°，則AC1的長等于A.10

B.

C.

D.參考答案：C略5.已知全集，，，則等于

（

）A.

B．

C．

D．參考答案：C6.用反證法證明命題“三角形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)，應(yīng)假設(shè)（

）A．三個(gè)內(nèi)角都不大于60°

B．三個(gè)內(nèi)角都大于60°C．三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60°

D．三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60°參考答案：B7.已知雙曲線（，）的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點(diǎn)．則的方程為(

)A． B． C． D．參考答案：B8.已知集合A={0,2,3}，B={x|x=ab,a,b∈A}，且a≠b，則B的子集的個(gè)數(shù)是

(

）A．4

B．8

C．16

D．15參考答案：A9.函數(shù)的最大值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略10.已知變量x，y滿足約束條件，則z=2x﹣y的最大值為（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1參考答案：C【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】先畫出滿足條件的平面區(qū)域，由z=2x﹣y得：y=2x﹣z，顯然直線過A（2，2）時(shí)，z取得最大值，代入求出即可．【解答】解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：，由，解得：A（2，2），由z=2x﹣y得：y=2x﹣z，由圖知，直線過A（2，2）時(shí)，z取得最大值，∴z的最大值是2，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，是一道基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在伸縮變換φ：作用下，點(diǎn)P（1，﹣2）變換為P′的坐標(biāo)為

．參考答案：（2，﹣1）【考點(diǎn)】Q5：平面直角坐標(biāo)軸中的伸縮變換．【分析】根據(jù)題意，由伸縮變換公式可得x′=2x=2，y′=y=﹣1，代入即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，點(diǎn)P（1，﹣2），即x=1，y=﹣2，x′=2x=2，y′=y=﹣1，故P′的坐標(biāo)為（2，﹣1），故答案為：（2，﹣1）．12.已知棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中點(diǎn)，求直線AE與平面ABC1D1所成角的正弦值

．參考答案：略13.已知，則不等式的解集是____________.參考答案：14.某籃球運(yùn)動員在三分線投球的命中率是，他投球10次，恰好投進(jìn)3個(gè)球的概率為________．(用數(shù)值作答)參考答案：略15.若某學(xué)校要從5名男同學(xué)和2名女同學(xué)中選出3人參加社會考察活動，則選出的同學(xué)中男女生均不少于1名的概率是_____.

參考答案：【分析】選出的男女同學(xué)均不少于1名有兩種情況：1名男生2名女生和2名男生1名女生，根據(jù)組合數(shù)公式求出數(shù)量，再用古典概型計(jì)算公式求解.【詳解】從5名男同學(xué)和2名女同學(xué)中選出3人，有種選法；選出的男女同學(xué)均不少于1名，有種選法；故選出的同學(xué)中男女生均不少于1名的概率：.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合和古典概型.排列組合方法：1、直接考慮，適用包含情況較少時(shí)；2、間接考慮，當(dāng)直接考慮情況較多時(shí)，可以用此法.16.向量的夾角為60°，且||=2，||=1，則__________.參考答案：6【分析】由題意，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算，可得，即可求解.【詳解】由題意，可知向量的夾角為，且則.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，其中解答中熟記平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.17.命題“存在R，0”的否定是_________________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.橢圓C：，其長軸是短軸的兩倍，以某短軸頂點(diǎn)和長軸頂點(diǎn)為端點(diǎn)的線段作為直徑的圓的周長為，直線與橢圓交于，兩點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)O作直線l的垂線，垂足為D.若，求點(diǎn)D的軌跡方程；（3）設(shè)直線OA，l，OB的斜率分別為，，，其中且.設(shè)的面積為S.以O(shè)A、OB為直徑的圓的面積分別為，，求的取值范圍.參考答案：（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由題意知a＝2b，且，由此能求出橢圓方程．（2）先考慮直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，和橢圓的方程聯(lián)立，結(jié)合向量的垂直關(guān)系即可找到找m，k的關(guān)系式，從而求得．再驗(yàn)證斜率不存在時(shí)也滿足，則可得點(diǎn)的軌跡方程.（3）設(shè)直線l的方程為y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、橢圓弦長公式結(jié)合已知條件能求出的取值范圍．【詳解】（1）由題可知，，且，解得：，，故橢圓的方程為：.（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由可得，由韋達(dá)定理有：且∵，∴，即∴由韋達(dá)定理代入化簡得：∵垂直直線，∴當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)：，易求，此時(shí)所以點(diǎn)的軌跡方程為.（3）設(shè)直線的方程為，由可得，由韋達(dá)定理有：且∵，∴，即由韋達(dá)定理代入化簡得：.∵，∴此時(shí)，即.故又為定值.∴∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.綜上：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法及求曲線的方程，考查弦長公式、三角形面積公式及直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了函數(shù)思想，屬于較難題．19.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)M（4，0）． （Ⅰ）若點(diǎn)F到直線l的距離為，求直線l的斜率； （Ⅱ）設(shè)A，B為拋物線上兩點(diǎn)，且AB不與x軸重合，若線段AB的垂直平分線恰過點(diǎn)M，求證：線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值． 參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；直線的斜率；點(diǎn)到直線的距離公式． 【專題】綜合題． 【分析】（Ⅰ）設(shè)直線l的方程為y=k（x﹣4），由已知，拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），因?yàn)辄c(diǎn)F到直線l的距離為，所以，由此能求出直線l的斜率． （Ⅱ）設(shè)線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為N（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），因?yàn)锳B不垂直于x軸，所以直線MN的斜率為，直線AB的斜率為，直線AB的方程為，由此能夠證明線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值． 【解答】解：（Ⅰ）由已知，x=4不合題意．設(shè)直線l的方程為y=k（x﹣4）， 由已知，拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），…（1分） 因?yàn)辄c(diǎn)F到直線l的距離為， 所以，…（3分） 解得，所以直線l的斜率為．…（5分） （Ⅱ）設(shè)線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為N（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）， 因?yàn)锳B不垂直于x軸， 則直線MN的斜率為， 直線AB的斜率為，…（7分） 直線AB的方程為，…（8分） 聯(lián)立方程 消去x得，…（10分） 所以，…（11分） 因?yàn)镹為AB中點(diǎn)， 所以，即，…（13分） 所以x0=2．即線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值2．…（14分） 【點(diǎn)評】本題主要考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．本題的易錯(cuò)點(diǎn)是計(jì)算量大，容易出錯(cuò)． 20.已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓E過點(diǎn)，離心率為.（1）求橢圓E的方程；（2）直線l過橢圓E的左焦點(diǎn)F，且與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，若△OAB的面積為，求直線l的方程.

參考答案：解：（1）設(shè)橢圓的方程為：，由已知：得：，，所以，橢圓的方程為：.………3分（2）由已知直線過左焦點(diǎn)．①當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，，，此時(shí)，則，不滿足條件．②當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為：由得所以，，而，由已知得，所以，則，所以，所以直線的方程為：或．………12分

21.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列前項(xiàng)和為，對總有2，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）若，，求數(shù)列{}的前項(xiàng)和.參考答案：解：（1）∵2，,成等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，解得．

…2分當(dāng)時(shí)，．即．

∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，

……4分（2）又

………5分①②①—②，得

………6分

………8分22.已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）對任意x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想．【分析】（1）先求出其導(dǎo)函數(shù)，再讓其導(dǎo)函數(shù)大于0對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間，小于0對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間即可．（注意是在定義域內(nèi)找單調(diào)區(qū)間．）（2）已知條件可以轉(zhuǎn)化為a≥lnx﹣x﹣恒成立，對不等式右邊構(gòu)造函數(shù)，利用其導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的最大值即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）f′（x）=lnx+1，令f′（x）＜0得：0＜x＜，∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，）令f'（x）＞0得：，