函數(shù)y=(12x+4)²(6x+14)³的主要性質(zhì)及圖像示意圖

函數(shù)y=(12x+4)2(6x+14)3的主要性質(zhì)及圖像示意圖主要內(nèi)容：通過函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、凸凹性及極限的性質(zhì)，并通過函數(shù)導(dǎo)數(shù)知識求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和凸凹區(qū)間，并簡要畫出函數(shù)y=(12x+4)2(6x+14)3示意圖的過程與步驟。※.函數(shù)定義域根據(jù)函y=(12x+4)2(6x+14)3特征，可知函數(shù)自變量x可以取全體實數(shù)，即函數(shù)的定義域為：（-∞，+∞）※.函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)：※.函數(shù)乘積求導(dǎo)法。∵y=(12x+4)2(6x+14)3，∴y'=24(12x+4)(6x+14)3+(12x+4)2*18*(6x+14)2，=(12x+4)(6x+14)2(144x+336+216x+72),=(12x+4)(6x+14)2(360x+408)※.取對數(shù)求導(dǎo)法。∵y=(12x+4)2(6x+14)3，取導(dǎo)數(shù)有：∴l(xiāng)ny=ln(12x+4)2(6x+14)3,即：lny=2ln(12x+4)+3ln(6x+14),兩邊同時對x求導(dǎo)：eq\f(y',y)=eq\f(24,12x+4)+eq\f(18,6x+14),y'=y(eq\f(24,12x+4)+eq\f(18,6x+14)),y'=(12x+4)2(6x+14)3(eq\f(24,12x+4)+eq\f(18,6x+14)),y'=(12x+4)(6x+14)2[24(6x+14)+18(12x+4)],y'=(12x+4)(6x+14)2(360x+408).令y'=0，有12x+4=0，360x+408=0，即：x1=-eq\f(1,3)，x2=-eq\f(17,15).(1)當x∈(-∞，-eq\f(17,15))，(-eq\f(1,3),+∞)時，eq\f(dy,dx)>0,此時函數(shù)為增函數(shù)。(2)當x∈[-eq\f(17,15)，-eq\f(1,3)]時，eq\f(dy,dx)<0,此時函數(shù)為減函數(shù)?！?函數(shù)的凸凹性∵y'=(12x+4)(6x+14)2(360x+408)∴y''=12(6x+14)2(360x+408)+(12x+4)[12(6x+14)(360x+408)+360(6x+14)2]=12(6x+14)2(360x+408)+(12x+4)(6x+14)[12(360x+408)+360(6x+14)]=(6x+14)[12(6x+14)(360x+408)+12(12x+4)(360x+408)+360(12x+4)(6x+14)]=(6x+14){(360x+408)[12(6x+14)+12(12x+4)]+360(12x+4)(6x+14)}=(6x+14)(103680x2+235008x+108288)=2304(6x+14)(45x2+102x+47).令y''=0，則6x+14=0，或45x2+102x+47=0，即：x3=-eq\f(7,3)≈-2.3,x4=eq\f(-17-3\r(6),15)≈-1.62,x5=eq\f(-17+3\r(6),15)≈-0.64,此時函數(shù)的凸凹性性及凸凹區(qū)間為：(1)當x∈(-∞,-2.33),(-1.62,-0.643)時，y''<0,此時函數(shù)y為凸函數(shù)。(2)當x∈[-2.33,-1.62],[-0.643,+∞)時，y''>0,此時函數(shù)y為凹函數(shù)。.函數(shù)的極限lim(x→-∞)(12x+4)2(6x+14)3=-∞；lim(x→+∞)(12x+4)2(6x+14)3=+∞；lim(x→0)(12x+4)2(6x+14)3=42*143。.函數(shù)的五點圖x-7.333-2.33-1.62-1.13-0.643-0.330.1666(12x+4)27056576239.59292.1613.847036(6x+14)3-2700077.342373.241042.417283375y-1905120001853134398144340121500※.函數(shù)的示意圖y(-1.13,34398)(-1.62,18531)(-0.643,14434)