浙江省五校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

浙江省五校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷命題:浙江省杭州第二中學(xué)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求.1.若全集,集合A,B及其關(guān)系如圖所示,則圖中陰影部分表示的集合是()A. B. C. D.2.已知,且,則與的夾角的余弦值為()A. B. C. D.3.設(shè)b,c表示兩條直線,表示兩個(gè)平面,則下列說(shuō)法中正確的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則4.已知角的終邊過(guò)點(diǎn),則()A. B. C. D.5.設(shè)等比數(shù)列的公比為,前項(xiàng)和為,則“”是“為等比數(shù)列”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知實(shí)數(shù)x,y滿足,且,則的最小值為()A. B.8 C. D.7.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)為雙曲線的左頂點(diǎn),以為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于P,Q兩點(diǎn),且,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.8.在等邊三角形ABC的三邊上各取一點(diǎn)D,E,F,滿足,則三角形ABC的面積的最大值是()A. B. C. D.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.在學(xué)校組織的《青春如火,初心如炬》主題演講比賽中,有8位評(píng)委對(duì)每位選手進(jìn)行評(píng)分(評(píng)分互不相同),將選手的得分去掉一個(gè)最低評(píng)分和一個(gè)最高評(píng)分,則下列說(shuō)法中正確的是()A.剩下評(píng)分的平均值變大 B.剩下評(píng)分的極差變小C.剩下評(píng)分的方差變小 D.剩下評(píng)分的中位數(shù)變大10.在三棱錐中,已知,點(diǎn)M,N分別是AD,BC的中點(diǎn)，則()A.MN⊥AD B.異面直線AN,CM所成的角的余弦值是C.三棱錐的體積為 D.三棱錐的外接球的表面積為11.已知函數(shù),則()A.的零點(diǎn)為B.的單調(diào)遞增區(qū)間為C.當(dāng)時(shí),若恒成立,則D.當(dāng)時(shí),過(guò)點(diǎn)作的圖象的所有切線,則所有切點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.直線的一個(gè)方向向量是.13.甲、乙兩人爭(zhēng)奪一場(chǎng)羽毛球比賽的冠軍,比賽為“三局兩勝”制.如果每局比賽中甲獲勝的概率為,乙獲勝的概率為,則在甲獲得冠軍的情況下,比賽進(jìn)行了三局的概率為.14.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為,記,若均為偶函數(shù),且當(dāng)時(shí),,則.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.(本小題滿分13分)如圖,斜三棱柱的底面是直角三角形,,點(diǎn)在底面ABC內(nèi)的射影恰好是BC的中點(diǎn),且.(I)求證:平面平面;(II)若斜棱柱的高為,求平面與平面夾角的余弦值.16.(本小題滿分15分)己知函數(shù),其中.(I)若曲線在處的切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,求的值;(II)是否存在實(shí)數(shù),使得在上的最大值是-3?若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由.17.(本小題滿分15分)記復(fù)數(shù)的一個(gè)構(gòu)造:從數(shù)集中隨機(jī)取出2個(gè)不同的數(shù)作為復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部.重復(fù)次這樣的構(gòu)造,可得到個(gè)復(fù)數(shù),將它們的乘積記為.已知復(fù)數(shù)具有運(yùn)算性質(zhì):,其中.(I)當(dāng)時(shí),記的取值為,求的分布列;(II)當(dāng)時(shí),求滿足的概率;(III)求的概率.18.(本小題滿分17分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,我們把點(diǎn)稱為自然點(diǎn).按如圖所示的規(guī)則,將每個(gè)自然點(diǎn)進(jìn)行賦值記為,例如,.(I)求;(II)求證:;(III)如果滿足方程,求的值.19.(本小題滿分17分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于M,N兩點(diǎn)在第一象限).(I)當(dāng)時(shí),求直線的方程;(II)若三角形OMN的外接圓與曲線交于點(diǎn)(異于點(diǎn)O,M,N),(i)證明:△MND的重心的縱坐標(biāo)為定值，并求出此定值;(ii)求凸四邊形OMDN的面積的取值范圍.參考答案一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合要求的.題號(hào)12345678答案CBDBCACA二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.題號(hào)91011答案BCABDACD三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.(答案不唯一) 13. 14.-6四、解答題:本大題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.(本小題滿分13分)(第I問,6分;第II問,7分)解:(I)取BC中點(diǎn)為,連接在底面內(nèi)的射影恰好是BC中點(diǎn),平面ABC,又平面,又,平面平面,又平面平面平面.(II)以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,,,,設(shè)平面的法向量為,則有,令,則,設(shè)平面的法向量為,則有,令則,,平面與平面夾角的余弦值為.16.(本小題滿分15分)(第I問,6分;第II問,9分)(I),則,故曲線在處的切線為,即,當(dāng)時(shí),此時(shí)切線為,不符合要求當(dāng)時(shí),令,有,令,有,故,即,故(II),①當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,的最大值是,解得,舍去;②當(dāng)時(shí),由,得,當(dāng),即時(shí),時(shí),時(shí),,的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是,又在上的最大值為;當(dāng),即時(shí),在上單調(diào)遞增,,解得,舍去.綜上,存在符合題意,此時(shí)17.(本小題滿分15分)(第I問,6分;第II問,4分;第III問,5分)(I)由題意可知,可構(gòu)成的復(fù)數(shù)為,的可能取值為,，，所以分布列為:X1234(II)共有種,滿足的情況有:①3個(gè)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)均為1,共有種;②3個(gè)復(fù)數(shù)中,2個(gè)模長(zhǎng)均為1,1個(gè)模長(zhǎng)為或者2,共有種;所以.(III)當(dāng)或2時(shí),顯然都滿足,此時(shí);當(dāng)時(shí),滿足共有三種情況:①個(gè)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)均為1,則共有;②個(gè)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)為1,剩余1個(gè)模長(zhǎng)為或者2,則共有;③個(gè)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)為1,剩余2個(gè)模長(zhǎng)為或者2,則共有.故,此時(shí)當(dāng)均成立.所以.18.(本小題滿分17分)(第I問,4分;第II問,7分;第III問,6分)解:(I)根據(jù)圖形可知,(II)固定,則為一個(gè)高階等差數(shù)列,且滿足所以所以,,所以P(x+1,y-1)+P(x,y+1)+P(x+1,y)+P(x+1,y+1)=2024等價(jià)于,等價(jià)于即,化簡(jiǎn)得,由于增大,也增大,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,故當(dāng)時(shí),,即19.(本小題滿分17分)(第I問,4分;第II問,5分;第III問,8分)解:(I)設(shè)直線聯(lián)立,消去,得,所以,,則,則,又由題意,直線的方程是;(II)(i)方法1:設(shè)因?yàn)镺,M,D,N四點(diǎn)共圓,設(shè)該圓的方程為,聯(lián)立,消去,得,即，所以即為關(guān)于的方程的3個(gè)根,則,因?yàn)?由的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等得,,所以的重心的縱坐標(biāo)為0.方法2:設(shè),則,因?yàn)镺,M,C,N四點(diǎn)共圓,所以,即,化簡(jiǎn)可得:,所以的重心的縱坐標(biāo)為0.(ii)記的面積分別