高中數(shù)學(xué)坐標(biāo)系與參數(shù)方程

關(guān)于高中數(shù)學(xué)坐標(biāo)系與參數(shù)方程知識框架第2頁,共69頁，2024年2月25日，星期天考試說明1．坐標(biāo)系(1)理解坐標(biāo)系的作用．(2)了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況．(3)能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點的位置，理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表示點的位置的區(qū)別，能進行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．第3頁,共69頁，2024年2月25日，星期天(4)能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形(直線、過極點或圓心在極點的圓)的方程．通過比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程，理解用方程表示平面圖形時選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義．2．參數(shù)方程(1)了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義．(2)能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程．掌握直線的參數(shù)方程及參數(shù)的幾何意義．能用直線的參數(shù)方程解決簡單的相關(guān)問題．第4頁,共69頁，2024年2月25日，星期天命題趨勢從2010年全國高考看，這部分內(nèi)容難度屬中低檔．考查的重點：一是參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和曲線的關(guān)系；二是由曲線的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程求曲線的基本量．主要考查對方程中各量幾何意義的理解，知識面不太廣，重在考查基礎(chǔ)知識．第5頁,共69頁，2024年2月25日，星期天使用建議本單元內(nèi)容是選修4—4坐標(biāo)系與參數(shù)方程．共2講，第1講坐標(biāo)系，第2講參數(shù)方程．這部分內(nèi)容作為高考的選考內(nèi)容，在考試中所占的分值為7分，但在培養(yǎng)綜合應(yīng)用基礎(chǔ)知識的能力，擴大解題思路，靈活解題上作用很大．特別是參數(shù)方程中體現(xiàn)的參數(shù)思想，常要滲透到高考綜合題的解題過程．為此，在復(fù)習(xí)中建議注意以下幾點：1．高度重視基礎(chǔ)知識以課本知識為主，不要刻意加大難度．本單元的重點是極坐標(biāo)系和利用參數(shù)求軌跡的參數(shù)方程．極坐標(biāo)應(yīng)重點第6頁,共69頁，2024年2月25日，星期天放在極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，并熟練掌握直線、圓的極坐標(biāo)方程與曲線之間的對應(yīng)關(guān)系．參數(shù)方程的重點是普通方程與參數(shù)方程的互化，尤其是參數(shù)方程化為普通方程．2．注意參數(shù)思想的應(yīng)用參數(shù)思想在本單元的體現(xiàn)是簡化運算，減少未知量的個數(shù)，在軌跡問題、最值、定值問題的解決中起到重要的作用．3．注意本單元內(nèi)容和三角函數(shù)及平面解析幾何的交匯第7頁,共69頁，2024年2月25日，星期天由于參數(shù)法既與三角函數(shù)圖象的各種變換交匯，又與解析幾何的軌跡方程的求解有關(guān)，因此必須加強參數(shù)法的應(yīng)用意識，體會參數(shù)法的特點，進一步體驗參數(shù)法解決實際問題的高效．希望備考時引起足夠重視．本單元共2講，每講1課時，45分鐘單元能力訓(xùn)練卷1課時，共約需3課時.第8頁,共69頁，2024年2月25日，星期天坐標(biāo)系第9頁,共69頁，2024年2月25日，星期天知識梳理極軸第10頁,共69頁，2024年2月25日，星期天極坐標(biāo)系極徑極角極坐標(biāo)第11頁,共69頁，2024年2月25日，星期天ρ2＝x2＋y2ρ＝2acosθ第12頁,共69頁，2024年2月25日，星期天第13頁,共69頁，2024年2月25日，星期天要點探究?探究點1平面直角坐標(biāo)系中圖象的變換【思路】把中心不在原點的橢圓通過平移變換化為中心在原點的橢圓，再通過伸縮變換化為中心在原點的單位圓．第14頁,共69頁，2024年2月25日，星期天第15頁,共69頁，2024年2月25日，星期天

【點評】本題設(shè)計的目的是考查平面直角坐標(biāo)系中圖象的變換的基本應(yīng)用．意在通過曲線圖象的變換，來表示對應(yīng)的坐標(biāo)伸縮變換．對于伸縮變換下圖象對應(yīng)的方程變化也是應(yīng)該掌握的，但在本講中只作了解.第16頁,共69頁，2024年2月25日，星期天【思路】通過坐標(biāo)變換求出曲線的變換方程．第17頁,共69頁，2024年2月25日，星期天第18頁,共69頁，2024年2月25日，星期天

【點評】曲線的伸縮變換和平移變換在具體解題時往往要綜合使用，兩個步驟的變換，變換的順序不同，變換的大小是不一樣的，通過實例比較加以區(qū)別．第19頁,共69頁，2024年2月25日，星期天?探究點2極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化【思路】利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程.第20頁,共69頁，2024年2月25日，星期天第21頁,共69頁，2024年2月25日，星期天

【點評】

極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的兩組互化公式必須滿足三個條件才能使用：(1)原點和極點重合；(2)x軸正半軸與極軸重合；(3)兩坐標(biāo)系中長度單位相同．極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化中，更要注意等價性，特別是兩邊同乘ρn時，方程增加了一個n重解ρ＝0，要判斷它是否是方程的解，若不是要去掉該解．第22頁,共69頁，2024年2月25日，星期天?探究點3極坐標(biāo)方程的求解第23頁,共69頁，2024年2月25日，星期天

【答案】ρ＝10＋20cosθ第24頁,共69頁，2024年2月25日，星期天

【點評】求曲線的極坐標(biāo)方程，關(guān)鍵就是找出曲線上的點滿足的幾何條件，將它們用極坐標(biāo)表示，通過解三角形得到．當(dāng)然，直角坐標(biāo)系中軌跡方程的求解方法，對極坐標(biāo)方程的求解也適用，如直譯法、定義法、動點轉(zhuǎn)移法等．第25頁,共69頁，2024年2月25日，星期天【思路】先把圓C的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，然后在所建的極坐標(biāo)系中構(gòu)造三角形．第26頁,共69頁，2024年2月25日，星期天圖72－2第27頁,共69頁，2024年2月25日，星期天

【點評】本題中極坐標(biāo)極點與直角坐標(biāo)系的原點不重合，不能用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式求解，這是同學(xué)解題時易犯的錯誤，第28頁,共69頁，2024年2月25日，星期天?探究點4簡單的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用【思路】有兩種解題思路，一是在極坐標(biāo)系下聯(lián)立方程組求解，另一種方法是化為直角坐標(biāo)方程求解．第29頁,共69頁，2024年2月25日，星期天

【答案】第30頁,共69頁，2024年2月25日，星期天

【點評】本題有兩種解法，一種是在極坐標(biāo)系下，結(jié)合圖形求解；另一種是先化成直角坐標(biāo)，然后在直角坐標(biāo)系下求解．由極坐標(biāo)方程解決的問題，若不好處理，就直角坐標(biāo)化；由直角坐標(biāo)給出的問題，若用極坐標(biāo)方法處理較為簡便，就極坐標(biāo)化.第31頁,共69頁，2024年2月25日，星期天【思路】(1)利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式；(2)設(shè)極坐標(biāo)求解．第32頁,共69頁，2024年2月25日，星期天第33頁,共69頁，2024年2月25日，星期天第34頁,共69頁，2024年2月25日，星期天

【點評】本題在處理過橢圓中心的弦長時，用極坐標(biāo)方法比直角坐標(biāo)方法要簡便的多.第35頁,共69頁，2024年2月25日，星期天?探究點5柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)的應(yīng)用

【答案】第36頁,共69頁，2024年2月25日，星期天規(guī)律總結(jié)第37頁,共69頁，2024年2月25日，星期天參數(shù)方程第38頁,共69頁，2024年2月25日，星期天知識梳理參數(shù)方程參變數(shù)參數(shù)普通方程第39頁,共69頁，2024年2月25日，星期天第40頁,共69頁，2024年2月25日，星期天第41頁,共69頁，2024年2月25日，星期天要點探究?探究點1曲線的參數(shù)方程【思路】把參數(shù)方程化成普通方程，在直角坐標(biāo)系下求解圓心到直線l的距離．第42頁,共69頁，2024年2月25日，星期天第43頁,共69頁，2024年2月25日，星期天第44頁,共69頁，2024年2月25日，星期天第45頁,共69頁，2024年2月25日，星期天【思路】當(dāng)小圓上的定點從A點滾動到M點時，小圓滾動的弧長等于所滾的大圓弧長.第46頁,共69頁，2024年2月25日，星期天第47頁,共69頁，2024年2月25日，星期天?探究點2參數(shù)方程與普通方程的互化第48頁,共69頁，2024年2月25日，星期天【思路】參數(shù)方程化為普通方程，利用普通方程討論曲線的位置關(guān)系．第49頁,共69頁，2024年2月25日，星期天第50頁,共69頁，2024年2月25日，星期天第51頁,共69頁，2024年2月25日，星期天第73講│要點探究第52頁,共69頁，2024年2月25日，星期天第53頁,共69頁，2024年2月25日，星期天第54頁,共69頁，2024年2月25日，星期天?探究點3直線的參數(shù)方程【思路】利用直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的參數(shù)的幾何意義求解．第55頁,共69頁，2024年2月25日，星期天第56頁,共69頁，2024年2月25日，星期天

【點評】直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式下的參數(shù)t具有明顯的幾何意義，即參數(shù)|t|對應(yīng)點M到點M0的距離．下面設(shè)計的變式訓(xùn)練進一步體現(xiàn)直線方程的運用．第57頁,共69頁，2024年2月25日，星期天

【思路】可設(shè)直線的傾斜角為α，利用直線的參數(shù)方程求解，進而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題來解．第58頁,共69頁，2024年2月25日，星期天第59頁,共69頁，2024年2月25日，星期天第60頁,共69頁，2024年2月25日，星期天第61頁,共69頁，2024年2月25日，星期天?探究點4圓錐曲線的參數(shù)方程及其應(yīng)用【思路】利用橢圓的參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值．第62頁,共69頁，2024年2月25日，星期天第63頁,共69頁，2024年2月25日，星期天

【點評】通過三角函數(shù)換元，二元函數(shù)x＋y轉(zhuǎn)化為φ的一元函數(shù)．圓錐曲線(包括圓)的參數(shù)方程的探求與應(yīng)用，與代數(shù)變換、三角函數(shù)及向量都有密切的聯(lián)系，且參數(shù)方程中的參數(shù)都有確定的幾何意義，但它們的幾何意義不像圓的參數(shù)方程中的參數(shù)那樣明確．圓錐曲線的參數(shù)方程的應(yīng)用在于通過參數(shù)可以簡明地表示曲線上任意點的坐標(biāo)，將解析幾何中的計算問題轉(zhuǎn)化為三角問題，從而運用三角性質(zhì)及變換公式幫助求解最值、參數(shù)范圍等問題．下面設(shè)計一變式訓(xùn)練，利用參數(shù)方程求距離．第64頁,共69頁，2024年2月25日，