高三數(shù)學(xué)一元二次不等式的應(yīng)用

關(guān)于高三數(shù)學(xué)一元二次不等式的應(yīng)用一、一元二次方程的解與不等式的解之間的關(guān)系1．一般地，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有①________解?Δ＝b2－4ac>0；ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有②________解?Δ＝b2－4ac＝0；ax2＋bx＋c＝0(a≠0)③________解?Δ＝b2－4ac<0.第2頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根的分布問題：記f(x)＝ax2＋bx＋c，其根的情況、圖像情況、不等式三者關(guān)系如下：第3頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天第4頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天第5頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、簡(jiǎn)單的一元高次不等式的解法一元高次不等式f(x)>0用⑨________(或稱數(shù)軸穿根法，根軸法，區(qū)間法)求解，其步驟是：1．將f(x)最高次項(xiàng)的系數(shù)化為⑩________數(shù)；2．將f(x)分解為若干個(gè)一次因式的積或者若干個(gè)?________之積；3．將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從?________依次穿過每一點(diǎn)畫曲線(注意重根情況，偶次方根穿而不過，奇次方根既穿又過)；4．根據(jù)曲線顯現(xiàn)出的f(x)值的符號(hào)變化規(guī)律，寫出?________.第6頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天第7頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天四、用一元二次不等式解決實(shí)際問題的操作步驟大致為：1．理解題意，搞清量與量之間的關(guān)系；2．建立相應(yīng)的不等關(guān)系，把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)中的一元二次不等式問題；3．解這個(gè)一元二次不等式得到實(shí)際問題的解．第8頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天第9頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天對(duì)于高次不等式及分式不等式應(yīng)如何解決，并應(yīng)注意些什么問題？1．高次不等式也是一種很常見的不等式，在許多問題中都牽涉到解高次不等式．另外，許多分式不等式也可以轉(zhuǎn)化為高次不等式，解高次不等式主要使用以下三種方法：以不等式(x＋3)(x－2)(x－4)>0為例．方法一：原不等式可化為幾個(gè)不等式(組)進(jìn)行求解．此種方法的本質(zhì)是分類討論，強(qiáng)化了“或”與“且”，進(jìn)一步滲透了“交”與“并”的思想方法．第10頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天方法二：不等式(或方程)有三個(gè)零點(diǎn)，－3,2,4，先在數(shù)軸上標(biāo)出零點(diǎn)，這些零點(diǎn)把數(shù)軸分成了若干個(gè)區(qū)間(如下圖)．第11頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天針對(duì)這些區(qū)間，逐一討論各因式的符號(hào)，情況列表如下：從上表可看出(x＋3)(x－2)(x－4)>0的解集為{x|－3<x<2或x>4}因式x＋3x－2x－4(x＋3)(x－2)(x－4)當(dāng)x>4時(shí)＋＋＋＋當(dāng)2<x<4時(shí)＋＋－－當(dāng)－3<x<2時(shí)＋－－＋當(dāng)x<－3時(shí)－－－－第12頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天方法三：先在數(shù)軸上標(biāo)出零點(diǎn)(如下圖)根標(biāo)出來后，不是分區(qū)間進(jìn)行驗(yàn)證討論，而是直接標(biāo)出綜合因式(x＋3)(x－2)(x－4)的正負(fù)號(hào)，再根據(jù)題目要求，直接寫出解集為{x|－3<x<2或x>4}．注：這種方法常稱為“數(shù)軸標(biāo)根法”．這種方法的本質(zhì)是“列表討論法”的簡(jiǎn)化及提煉．這樣的“線”也可看成是函數(shù)y＝(x＋3)(x－2)(x－4)的圖像草圖．(y軸未畫)．利用數(shù)軸標(biāo)根法要先把x的系數(shù)化為正數(shù)，最好是1，否則很容易寫錯(cuò)結(jié)論．第13頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天第14頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天通過以上四種形式之一轉(zhuǎn)化為一元一次不等式或一元二次不等式或特殊高次不等式求解.第15頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天二次函數(shù)是主體，一元二次方程和一元二次不等式分別為二次函數(shù)值為零和不為零的兩種情況，一般討論二次函數(shù)主要是將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程和一元二次不等式的形式來研究，而討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應(yīng)的二次函數(shù)相聯(lián)系，通過二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)來解決問題，關(guān)系如下：第16頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天第17頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天[例1]

m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程：(m＋1)x2＋2(2m＋1)x＋(1－3m)＝0(1)有兩個(gè)異號(hào)實(shí)根；(2)有兩個(gè)實(shí)根，且它們之和為非負(fù)數(shù)．第18頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天第19頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天第20頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天[變式訓(xùn)練1]若0≤x≤1，y＝x2－2ax＋a2－1，求當(dāng)a為何實(shí)數(shù)值時(shí)，恒有y>0.解析：解法1：二次函數(shù)y＝x2－2ax＋a2－1的二次項(xiàng)系數(shù)為1，所以它的圖像開口向上，如右圖所示．令y＝0，可得圖像與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)x1＝a－1，x2＝a＋1且x1<x2.要使在0≤x≤1時(shí)，y>0.由圖可知x1>1或x2<0，即a－1>1或a＋1<0，∴a>2或a<－1.第21頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天解法2：由y>0，則x2－2ax＋a2－1>0.方程x2－2ax＋a2－1＝0的兩根為a－1、a＋1.且a－1<a＋1，∴x>a＋1或x<a－1.依題意可得a＋1<0或a－1>1，即a<－1或a>2.第22頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天對(duì)分子分母含x的因式的不等式，先把不等式右邊化為0，再通過符號(hào)法則，把它轉(zhuǎn)化成整式不等式來解，從而使問題化繁為簡(jiǎn)．第23頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天第24頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天第25頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天第26頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天第27頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天第28頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天化成標(biāo)準(zhǔn)型p(x)＝(x－x1)(x－x2)…(x－xn)v0(這里的v表示>或<)．再利用穿根法寫出解集，其穿根的步驟：(1)分解因式；(2)確定零點(diǎn)；(3)在數(shù)軸上按照從小到大的順序標(biāo)根；(4)當(dāng)最高次項(xiàng)的系數(shù)為正時(shí)，右起為正(其中奇過偶不過)進(jìn)行穿根．第29頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天第30頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天(2)先化簡(jiǎn)不等式得x(x2－2x－8)<0，分解因式，得x(x＋2)(x－4)<0.如右圖所示，由穿針引線法可知原不等式的解集為(－∞，－2)∪(0,4)．第31頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天[變式訓(xùn)練3]解下列不等式(1)x3－2x2＋3<0；(2)x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)≥0.解析：(1)原不等式轉(zhuǎn)化為：(x＋1)(x2－3x＋3)<0.對(duì)任意實(shí)數(shù)x，∵x2－3x＋3>0恒成立(Δ＝(－3)2－12<0)，∴原不等式等價(jià)于x＋1<0.∴原不等式的解集為：{x|x<－1}．(2)各因式的根分別為0,1，－1，－2，其中1為雙重根，－1為3重根(1為偶次根，－1為奇次根)，結(jié)合圖示，可得不等式解集為{x|－2≤x≤－1或x≥0}．第32頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天第33頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天第34頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天第35頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天第36頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天第37頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天分析：(1)根據(jù)方程根的意義，列方程組求解．(2)解含有參數(shù)k的分式不等式關(guān)鍵是搞清引起分類討論的原因．第38頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天第39頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天第40頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天∴m的取值范圍是m<－2.第41頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天解法2：不等式2x2－8x＋6－m>0對(duì)任意的x恒成立，則只需m<2x2－8x＋6對(duì)任意的x恒成立．∵2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，∴2x2－8x＋6在x∈R上最小值為－2，∴m<－2.第42頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天[變式訓(xùn)練5]當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，則m的取值范圍是________．解析：設(shè)f(x)＝x2＋mx＋4，因?yàn)楫?dāng)x∈(1,2)時(shí)，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，所以有∴m≤－5，故m的取值范圍是(－∞，－5]．答案：(－∞，－5]第43頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天[例6]關(guān)于x的方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的兩根都大于2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．第44頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天第45頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天第46頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天第47頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天分析：(1)根據(jù)奇函數(shù)的定義和性質(zhì)求解；(2)若用直接法求解，顯得麻煩，如果能挖掘出函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性則容易去掉“f”符號(hào)，問題便會(huì)迎刃而解．第48頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天第49頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天第50頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天第51頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天(1)解不等式應(yīng)用題，首先要認(rèn)真審題，分清題意，建立合理、恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，這是解決好不等式應(yīng)用題最關(guān)鍵的一環(huán)．(2)不等式應(yīng)用題常常以函數(shù)的形式出現(xiàn)，大都是解決現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)、科技中最優(yōu)化結(jié)果問題，在解題中涉及不等式解法及有關(guān)問題．(3)不等式應(yīng)用題主要考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法、分析和解決實(shí)際問題的能力，考查了數(shù)學(xué)建模、反比例函數(shù)、解不等式等數(shù)學(xué)內(nèi)容．第52頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天[例7]國(guó)家為了加強(qiáng)對(duì)煙酒生產(chǎn)的宏觀管理，實(shí)行征收附加稅政策．現(xiàn)知某種酒每瓶70元，不加附加稅時(shí)，每年大約產(chǎn)銷100萬瓶，若政府征收附加稅，每銷售100元要征稅k元(叫做稅率k%)，則每年的產(chǎn)銷量將減少10k萬瓶．要使每年在此項(xiàng)經(jīng)營(yíng)中所收取附加稅金不少于112萬元，問k應(yīng)怎樣確定？第53頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天解析：設(shè)產(chǎn)銷量為每年x萬瓶，則銷售收入每年70x(萬元)，從中征收的稅金為70x·k%萬元，其中x＝100－10k.由題意，得70(100－10k)k%≥112，整理得k2－10k＋16≤0，解得2≤k≤8.因此，當(dāng)2≤k≤8(單位：元)時(shí)，每年在此項(xiàng)經(jīng)營(yíng)中所收附加稅金不少于112萬元．第54頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天[變式訓(xùn)練7]汽車在行駛中，由于慣性作用，剎車時(shí)還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”．剎車距離是分析事故的一個(gè)重要因素．在一個(gè)限速40km/h以內(nèi)的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)，同時(shí)剎車，但還是相碰了，事發(fā)后現(xiàn)場(chǎng)測(cè)得甲車剎車距離略超過12m，乙車的剎車距離略超過10m，又知甲、乙兩種車型的剎車距離s(m)與車速x(km/h)之間有如下關(guān)系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.問：超速行駛應(yīng)負(fù)主要責(zé)任的是誰？第55頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天解析：由題意列出不等式0．1x＋0.01x2>12，①0．05x＋0.005x2>10，②分別求解，得①的解集為x<－40或x>30，得②的解集為x<－50或x>40.由于x>0，從而可得x甲>30km/h，x乙>40km/h.又因?yàn)楫?dāng)x甲＝40時(shí)，s甲＝20m比12m大得多，所以甲車車速?zèng)]有超過40km/h.經(jīng)比較知乙車超過限速，應(yīng)負(fù)主要責(zé)任