高三數學一元二次不等式的應用

關于高三數學一元二次不等式的應用一、一元二次方程的解與不等式的解之間的關系1．一般地，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有①________解?Δ＝b2－4ac>0；ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有②________解?Δ＝b2－4ac＝0；ax2＋bx＋c＝0(a≠0)③________解?Δ＝b2－4ac<0.第2頁,共63頁，2024年2月25日，星期天2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根的分布問題：記f(x)＝ax2＋bx＋c，其根的情況、圖像情況、不等式三者關系如下：第3頁,共63頁，2024年2月25日，星期天第4頁,共63頁，2024年2月25日，星期天第5頁,共63頁，2024年2月25日，星期天二、簡單的一元高次不等式的解法一元高次不等式f(x)>0用⑨________(或稱數軸穿根法，根軸法，區(qū)間法)求解，其步驟是：1．將f(x)最高次項的系數化為⑩________數；2．將f(x)分解為若干個一次因式的積或者若干個?________之積；3．將每一個一次因式的根標在數軸上，從?________依次穿過每一點畫曲線(注意重根情況，偶次方根穿而不過，奇次方根既穿又過)；4．根據曲線顯現(xiàn)出的f(x)值的符號變化規(guī)律，寫出?________.第6頁,共63頁，2024年2月25日，星期天第7頁,共63頁，2024年2月25日，星期天四、用一元二次不等式解決實際問題的操作步驟大致為：1．理解題意，搞清量與量之間的關系；2．建立相應的不等關系，把實際問題抽象為數學中的一元二次不等式問題；3．解這個一元二次不等式得到實際問題的解．第8頁,共63頁，2024年2月25日，星期天第9頁,共63頁，2024年2月25日，星期天對于高次不等式及分式不等式應如何解決，并應注意些什么問題？1．高次不等式也是一種很常見的不等式，在許多問題中都牽涉到解高次不等式．另外，許多分式不等式也可以轉化為高次不等式，解高次不等式主要使用以下三種方法：以不等式(x＋3)(x－2)(x－4)>0為例．方法一：原不等式可化為幾個不等式(組)進行求解．此種方法的本質是分類討論，強化了“或”與“且”，進一步滲透了“交”與“并”的思想方法．第10頁,共63頁，2024年2月25日，星期天方法二：不等式(或方程)有三個零點，－3,2,4，先在數軸上標出零點，這些零點把數軸分成了若干個區(qū)間(如下圖)．第11頁,共63頁，2024年2月25日，星期天針對這些區(qū)間，逐一討論各因式的符號，情況列表如下：從上表可看出(x＋3)(x－2)(x－4)>0的解集為{x|－3<x<2或x>4}因式x＋3x－2x－4(x＋3)(x－2)(x－4)當x>4時＋＋＋＋當2<x<4時＋＋－－當－3<x<2時＋－－＋當x<－3時－－－－第12頁,共63頁，2024年2月25日，星期天方法三：先在數軸上標出零點(如下圖)根標出來后，不是分區(qū)間進行驗證討論，而是直接標出綜合因式(x＋3)(x－2)(x－4)的正負號，再根據題目要求，直接寫出解集為{x|－3<x<2或x>4}．注：這種方法常稱為“數軸標根法”．這種方法的本質是“列表討論法”的簡化及提煉．這樣的“線”也可看成是函數y＝(x＋3)(x－2)(x－4)的圖像草圖．(y軸未畫)．利用數軸標根法要先把x的系數化為正數，最好是1，否則很容易寫錯結論．第13頁,共63頁，2024年2月25日，星期天第14頁,共63頁，2024年2月25日，星期天通過以上四種形式之一轉化為一元一次不等式或一元二次不等式或特殊高次不等式求解.第15頁,共63頁，2024年2月25日，星期天二次函數是主體，一元二次方程和一元二次不等式分別為二次函數值為零和不為零的兩種情況，一般討論二次函數主要是將問題轉化為一元二次方程和一元二次不等式的形式來研究，而討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應的二次函數相聯(lián)系，通過二次函數的圖像及性質來解決問題，關系如下：第16頁,共63頁，2024年2月25日，星期天第17頁,共63頁，2024年2月25日，星期天[例1]

m為何值時，關于x的方程：(m＋1)x2＋2(2m＋1)x＋(1－3m)＝0(1)有兩個異號實根；(2)有兩個實根，且它們之和為非負數．第18頁,共63頁，2024年2月25日，星期天第19頁,共63頁，2024年2月25日，星期天第20頁,共63頁，2024年2月25日，星期天[變式訓練1]若0≤x≤1，y＝x2－2ax＋a2－1，求當a為何實數值時，恒有y>0.解析：解法1：二次函數y＝x2－2ax＋a2－1的二次項系數為1，所以它的圖像開口向上，如右圖所示．令y＝0，可得圖像與x軸交點橫坐標x1＝a－1，x2＝a＋1且x1<x2.要使在0≤x≤1時，y>0.由圖可知x1>1或x2<0，即a－1>1或a＋1<0，∴a>2或a<－1.第21頁,共63頁，2024年2月25日，星期天解法2：由y>0，則x2－2ax＋a2－1>0.方程x2－2ax＋a2－1＝0的兩根為a－1、a＋1.且a－1<a＋1，∴x>a＋1或x<a－1.依題意可得a＋1<0或a－1>1，即a<－1或a>2.第22頁,共63頁，2024年2月25日，星期天對分子分母含x的因式的不等式，先把不等式右邊化為0，再通過符號法則，把它轉化成整式不等式來解，從而使問題化繁為簡．第23頁,共63頁，2024年2月25日，星期天第24頁,共63頁，2024年2月25日，星期天第25頁,共63頁，2024年2月25日，星期天第26頁,共63頁，2024年2月25日，星期天第27頁,共63頁，2024年2月25日，星期天第28頁,共63頁，2024年2月25日，星期天化成標準型p(x)＝(x－x1)(x－x2)…(x－xn)v0(這里的v表示>或<)．再利用穿根法寫出解集，其穿根的步驟：(1)分解因式；(2)確定零點；(3)在數軸上按照從小到大的順序標根；(4)當最高次項的系數為正時，右起為正(其中奇過偶不過)進行穿根．第29頁,共63頁，2024年2月25日，星期天第30頁,共63頁，2024年2月25日，星期天(2)先化簡不等式得x(x2－2x－8)<0，分解因式，得x(x＋2)(x－4)<0.如右圖所示，由穿針引線法可知原不等式的解集為(－∞，－2)∪(0,4)．第31頁,共63頁，2024年2月25日，星期天[變式訓練3]解下列不等式(1)x3－2x2＋3<0；(2)x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)≥0.解析：(1)原不等式轉化為：(x＋1)(x2－3x＋3)<0.對任意實數x，∵x2－3x＋3>0恒成立(Δ＝(－3)2－12<0)，∴原不等式等價于x＋1<0.∴原不等式的解集為：{x|x<－1}．(2)各因式的根分別為0,1，－1，－2，其中1為雙重根，－1為3重根(1為偶次根，－1為奇次根)，結合圖示，可得不等式解集為{x|－2≤x≤－1或x≥0}．第32頁,共63頁，2024年2月25日，星期天第33頁,共63頁，2024年2月25日，星期天第34頁,共63頁，2024年2月25日，星期天第35頁,共63頁，2024年2月25日，星期天第36頁,共63頁，2024年2月25日，星期天第37頁,共63頁，2024年2月25日，星期天分析：(1)根據方程根的意義，列方程組求解．(2)解含有參數k的分式不等式關鍵是搞清引起分類討論的原因．第38頁,共63頁，2024年2月25日，星期天第39頁,共63頁，2024年2月25日，星期天第40頁,共63頁，2024年2月25日，星期天∴m的取值范圍是m<－2.第41頁,共63頁，2024年2月25日，星期天解法2：不等式2x2－8x＋6－m>0對任意的x恒成立，則只需m<2x2－8x＋6對任意的x恒成立．∵2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，∴2x2－8x＋6在x∈R上最小值為－2，∴m<－2.第42頁,共63頁，2024年2月25日，星期天[變式訓練5]當x∈(1,2)時，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，則m的取值范圍是________．解析：設f(x)＝x2＋mx＋4，因為當x∈(1,2)時，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，所以有∴m≤－5，故m的取值范圍是(－∞，－5]．答案：(－∞，－5]第43頁,共63頁，2024年2月25日，星期天[例6]關于x的方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的兩根都大于2，求實數m的取值范圍．第44頁,共63頁，2024年2月25日，星期天第45頁,共63頁，2024年2月25日，星期天第46頁,共63頁，2024年2月25日，星期天第47頁,共63頁，2024年2月25日，星期天分析：(1)根據奇函數的定義和性質求解；(2)若用直接法求解，顯得麻煩，如果能挖掘出函數的奇偶性和單調性則容易去掉“f”符號，問題便會迎刃而解．第48頁,共63頁，2024年2月25日，星期天第49頁,共63頁，2024年2月25日，星期天第50頁,共63頁，2024年2月25日，星期天第51頁,共63頁，2024年2月25日，星期天(1)解不等式應用題，首先要認真審題，分清題意，建立合理、恰當的數學模型，這是解決好不等式應用題最關鍵的一環(huán)．(2)不等式應用題常常以函數的形式出現(xiàn)，大都是解決現(xiàn)實生活、生產、科技中最優(yōu)化結果問題，在解題中涉及不等式解法及有關問題．(3)不等式應用題主要考查綜合運用數學知識、數學方法、分析和解決實際問題的能力，考查了數學建模、反比例函數、解不等式等數學內容．第52頁,共63頁，2024年2月25日，星期天[例7]國家為了加強對煙酒生產的宏觀管理，實行征收附加稅政策．現(xiàn)知某種酒每瓶70元，不加附加稅時，每年大約產銷100萬瓶，若政府征收附加稅，每銷售100元要征稅k元(叫做稅率k%)，則每年的產銷量將減少10k萬瓶．要使每年在此項經營中所收取附加稅金不少于112萬元，問k應怎樣確定？第53頁,共63頁，2024年2月25日，星期天解析：設產銷量為每年x萬瓶，則銷售收入每年70x(萬元)，從中征收的稅金為70x·k%萬元，其中x＝100－10k.由題意，得70(100－10k)k%≥112，整理得k2－10k＋16≤0，解得2≤k≤8.因此，當2≤k≤8(單位：元)時，每年在此項經營中所收附加稅金不少于112萬元．第54頁,共63頁，2024年2月25日，星期天[變式訓練7]汽車在行駛中，由于慣性作用，剎車時還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”．剎車距離是分析事故的一個重要因素．在一個限速40km/h以內的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對，同時剎車，但還是相碰了，事發(fā)后現(xiàn)場測得甲車剎車距離略超過12m，乙車的剎車距離略超過10m，又知甲、乙兩種車型的剎車距離s(m)與車速x(km/h)之間有如下關系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.問：超速行駛應負主要責任的是誰？第55頁,共63頁，2024年2月25日，星期天解析：由題意列出不等式0．1x＋0.01x2>12，①0．05x＋0.005x2>10，②分別求解，得①的解集為x<－40或x>30，得②的解集為x<－50或x>40.由于x>0，從而可得x甲>30km/h，x乙>40km/h.又因為當x甲＝40時，s甲＝20m比12m大得多，所以甲車車速沒有超過40km/h.經比較知乙車超過限速，應負主要責任