連續(xù)函數(shù)運(yùn)算及初等函數(shù)連續(xù)性(new)

連續(xù)函數(shù)運(yùn)算及初等函數(shù)連續(xù)性(new)目錄連續(xù)函數(shù)的概念連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算初等函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)函數(shù)的不連續(xù)性的影響01連續(xù)函數(shù)的概念Part如果函數(shù)在某點(diǎn)的左右極限相等，且等于該點(diǎn)的函數(shù)值，則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)。函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的定義連續(xù)函數(shù)的定義連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）仍為連續(xù)函數(shù)。復(fù)合函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的，只要其內(nèi)部的函數(shù)和外部的函數(shù)都是連續(xù)的。反函數(shù)與原函數(shù)具有相同的連續(xù)性。STEP01STEP02STEP03連續(xù)函數(shù)的圖像在直角坐標(biāo)系中，連續(xù)函數(shù)的圖像可以用光滑的曲線表示。在極坐標(biāo)系中，連續(xù)函數(shù)的圖像可以用光滑的曲線表示。連續(xù)函數(shù)的圖像是連續(xù)不斷的曲線。02連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算Part010203定義如果$f(x)$和$g(x)$在某點(diǎn)$x_0$處連續(xù)，則$f(x)+g(x)$也在$x_0$處連續(xù)。證明由于$f(x)$和$g(x)$在$x_0$處連續(xù)，所以$lim_{xtox_0}f(x)=f(x_0)$和$lim_{xtox_0}g(x)=g(x_0)$。因此，$lim_{xtox_0}(f(x)+g(x))=lim_{xtox_0}f(x)+lim_{xtox_0}g(x)=f(x_0)+g(x_0)$。應(yīng)用例如，考慮函數(shù)$f(x)=x^2$和$g(x)=x+1$，它們的和$f(x)+g(x)=x^2+x+1$在$x=0$處連續(xù)。加法運(yùn)算定義如果$f(x)$和$g(x)$在某點(diǎn)$x_0$處連續(xù)，則$f(x)-g(x)$也在$x_0$處連續(xù)。證明由于$f(x)$和$g(x)$在$x_0$處連續(xù)，所以$lim_{xtox_0}f(x)=f(x_0)$和$lim_{xtox_0}g(x)=g(x_0)$。因此，$lim_{xtox_0}(f(x)-g(x))=lim_{xtox_0}f(x)-lim_{xtox_0}g(x)=f(x_0)-g(x_0)$。應(yīng)用例如，考慮函數(shù)$f(x)=x^2$和$g(x)=x+1$，它們的差$f(x)-g(x)=x^2-x-1$在$x=0$處連續(xù)。減法運(yùn)算定義如果$f(x)$和$g(x)$在某點(diǎn)$x_0$處連續(xù)，則$f(x)cdotg(x)$也在$x_0$處連續(xù)。證明由于$f(x)$和$g(x)$在$x_0$處連續(xù)，所以$lim_{xtox_0}f(x)=f(x_0)$和$lim_{xtox_0}g(x)=g(x_0)$。因此，$lim_{xtox_0}(f(x)cdotg(x))=lim_{xtox_0}f(x)cdotlim_{xtox_0}g(x)=f(x_0)cdotg(x_0)$。應(yīng)用例如，考慮函數(shù)$f(x)=x^2$和$g(x)=x+1$，它們的乘積$f(x)cdotg(x)=x^3+x^2$在$x=0$處連續(xù)。乘法運(yùn)算除法運(yùn)算定義如果$f(x)$和$g(x)$在某點(diǎn)$x_0$處連續(xù)且$g(x_0)neq0$，則$frac{f(x)}{g(x)}$也在$x_0$處連續(xù)。證明由于$f(x)$和$g(x)$在$x_0$處連續(xù)，所以$lim_{xtox_0}f(x)=f(x_0)$和$lim_{xtox_0}g(x)=g(x_0)$。由于$g(x_0)neq0$，所以$lim_{xtox_0}frac{f(x)}{g(x)}=frac{lim_{xtox_0}f(x)}{lim_{xtox_0}g(x)}=frac{f(x_0)}{g(x_0)}$。應(yīng)用例如，考慮函數(shù)$f(x)=x03初等函數(shù)的連續(xù)性Part一次函數(shù)的連續(xù)性一次函數(shù)$f(x)=ax+b$在定義域內(nèi)是連續(xù)的。一次函數(shù)在任意一點(diǎn)$x$處的極限等于該點(diǎn)的函數(shù)值，即$lim_{xtox_0}f(x)=f(x_0)$。一次函數(shù)在定義域內(nèi)的任何點(diǎn)都滿足連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。二次函數(shù)在任意一點(diǎn)$x$處的極限等于該點(diǎn)的函數(shù)值，即$lim_{xtox_0}f(x)=f(x_0)$。二次函數(shù)在定義域內(nèi)的任何點(diǎn)都滿足連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。二次函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$在定義域內(nèi)是連續(xù)的。二次函數(shù)的連續(xù)性對數(shù)函數(shù)$f(x)=log_ax$在定義域$(0,+infty)$內(nèi)是連續(xù)的。對數(shù)函數(shù)在任意一點(diǎn)$x$處的極限等于該點(diǎn)的函數(shù)值，即$lim_{xtox_0}f(x)=f(x_0)$。對數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)的任何點(diǎn)都滿足連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。010203對數(shù)函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)$f(x)=sinx,cosx$在定義域內(nèi)是連續(xù)的。三角函數(shù)在任意一點(diǎn)$x$處的極限等于該點(diǎn)的函數(shù)值，即$lim_{xtox_0}f(x)=f(x_0)$。三角函數(shù)在定義域內(nèi)的任何點(diǎn)都滿足連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。010203三角函數(shù)的連續(xù)性04函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)Part第一類不連續(xù)點(diǎn)跳躍不連續(xù)點(diǎn)函數(shù)在第一類不連續(xù)點(diǎn)處的值是確定的，但在該點(diǎn)附近無法通過有限次加減乘除運(yùn)算來定義。函數(shù)值可預(yù)知第一類不連續(xù)點(diǎn)通?？梢酝ㄟ^函數(shù)在其他點(diǎn)的值來預(yù)估，但由于其不連續(xù)性，無法通過數(shù)學(xué)運(yùn)算精確求得。無窮大或無窮小當(dāng)函數(shù)在某一點(diǎn)處的值趨于無窮大或無窮小時(shí)，該點(diǎn)即為第二類不連續(xù)點(diǎn)。函數(shù)值無法預(yù)測由于第二類不連續(xù)點(diǎn)處函數(shù)值的變化趨勢不確定，因此無法通過其他點(diǎn)的函數(shù)值來預(yù)估該點(diǎn)的函數(shù)值。第二類不連續(xù)點(diǎn)第三類不連續(xù)點(diǎn)當(dāng)函數(shù)在某一點(diǎn)處的值趨于無窮大或無窮小時(shí)，且該點(diǎn)的變化趨勢是垂直的，則該點(diǎn)為第三類不連續(xù)點(diǎn)。垂直漸近線當(dāng)函數(shù)在某一點(diǎn)處的值趨于一個(gè)常數(shù)，且該點(diǎn)的變化趨勢是水平的，則該點(diǎn)為第三類不連續(xù)點(diǎn)。水平漸近線05函數(shù)的不連續(xù)性的影響Part對函數(shù)值的影響跳躍不連續(xù)性在跳躍不連續(xù)點(diǎn)處，函數(shù)值從一個(gè)值突然跳到另一個(gè)值，可能導(dǎo)致函數(shù)值無法預(yù)測。振蕩不連續(xù)性在振蕩不連續(xù)點(diǎn)處，函數(shù)值在很小的區(qū)間內(nèi)反復(fù)變化，可能導(dǎo)致函數(shù)值不穩(wěn)定。無窮大不連續(xù)性在無窮大不連續(xù)點(diǎn)處，函數(shù)值可能變得無窮大，導(dǎo)致函數(shù)值無法控制。STEP01STEP02STEP03對函數(shù)圖像的影響圖像斷裂在振蕩不連續(xù)點(diǎn)附近，函數(shù)圖像可能產(chǎn)生劇烈的振蕩，影響圖像的視覺效果。圖像振蕩圖像無限伸展在無窮大不連續(xù)點(diǎn)處，函數(shù)圖像可能無限伸展，導(dǎo)致圖像失真。不連續(xù)的函數(shù)圖像可能在不連續(xù)點(diǎn)處斷裂，使得圖像無