計(jì)算機(jī)圖形學(xué)-第4章建模的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(自學(xué))

計(jì)算機(jī)圖形學(xué)-第4章建模的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(自學(xué))目錄CONTENCT引言幾何建?；A(chǔ)曲線與曲面建模光照與材質(zhì)建模紋理映射與細(xì)節(jié)增強(qiáng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)在高級(jí)建模中的應(yīng)用01引言計(jì)算機(jī)圖形學(xué)是研究如何利用計(jì)算機(jī)生成、處理和顯示圖形的科學(xué)。它涉及到計(jì)算機(jī)圖形硬件、圖形軟件標(biāo)準(zhǔn)、圖形交互技術(shù)、光柵圖形生成算法、曲線曲面造型、實(shí)體造型、真實(shí)感圖形計(jì)算與顯示算法，以及科學(xué)計(jì)算可視化、計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)、自然景物仿真、虛擬現(xiàn)實(shí)等。計(jì)算機(jī)圖形學(xué)概述建模是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的核心，它是將現(xiàn)實(shí)世界中的物體或場(chǎng)景轉(zhuǎn)化為計(jì)算機(jī)能夠處理的數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。建模的質(zhì)量直接影響到最終生成的圖形的真實(shí)感和視覺(jué)效果。在游戲開(kāi)發(fā)、電影制作、工業(yè)設(shè)計(jì)、建筑設(shè)計(jì)等領(lǐng)域中，建模都扮演著至關(guān)重要的角色。建模的重要性01020304線性代數(shù)幾何學(xué)微積分學(xué)概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)在建模中的應(yīng)用用于描述物體的表面細(xì)節(jié)和紋理，以及進(jìn)行光照和陰影計(jì)算。用于描述物體的形狀和結(jié)構(gòu)，包括點(diǎn)、線、面等幾何元素。用于描述物體的變換（如平移、旋轉(zhuǎn)、縮放等）和光照計(jì)算。用于處理圖形數(shù)據(jù)中的不確定性和噪聲，以及進(jìn)行圖像分析和理解。02幾何建模基礎(chǔ)點(diǎn)的表示線的表示面的表示在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，點(diǎn)是最基本的圖形元素，通常使用三維坐標(biāo)(x,y,z)來(lái)表示一個(gè)點(diǎn)。線可以由兩個(gè)點(diǎn)確定，表示為兩點(diǎn)之間的所有點(diǎn)的集合。常見(jiàn)的線表示方法包括參數(shù)方程和隱式方程。面可以由三個(gè)或更多點(diǎn)確定，表示為這些點(diǎn)之間的所有點(diǎn)的集合。常見(jiàn)的面表示方法包括三角形網(wǎng)格、多邊形網(wǎng)格和隱式曲面。點(diǎn)、線、面的表示坐標(biāo)系坐標(biāo)變換坐標(biāo)系與坐標(biāo)變換在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，常用的坐標(biāo)系包括笛卡爾坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系等。不同的坐標(biāo)系適用于不同的場(chǎng)景和需求。坐標(biāo)變換是指將一個(gè)點(diǎn)或一組點(diǎn)在一種坐標(biāo)系下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為另一種坐標(biāo)系下的坐標(biāo)的過(guò)程。常見(jiàn)的坐標(biāo)變換包括平移、旋轉(zhuǎn)和縮放等。平移變換平移變換是指將圖形在平面上沿某一方向移動(dòng)一定的距離，而不改變其形狀和大小。平移變換可以通過(guò)向每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)添加一個(gè)常數(shù)向量來(lái)實(shí)現(xiàn)。旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換是指將圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度。旋轉(zhuǎn)變換可以通過(guò)乘以一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣來(lái)實(shí)現(xiàn)，該矩陣描述了旋轉(zhuǎn)的角度和方向。縮放變換縮放變換是指改變圖形的大小，即沿各個(gè)方向放大或縮小一定的比例?？s放變換可以通過(guò)乘以一個(gè)縮放矩陣來(lái)實(shí)現(xiàn)，該矩陣描述了各個(gè)方向上的縮放因子。幾何變換03曲線與曲面建模010203曲線的定義曲線的性質(zhì)曲線的表示方法曲線的基本概念與性質(zhì)曲線是空間中點(diǎn)的集合，可以表示為參數(shù)方程或隱式方程。連續(xù)性、光滑性、可微性、閉合性等。參數(shù)表示法、隱式表示法、顯式表示法等。插值方法擬合方法逼近方法插值、擬合與逼近方法通過(guò)已知的點(diǎn)集，構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，使得該函數(shù)在某種意義下最接近已知點(diǎn)集。常見(jiàn)的擬合方法有最小二乘法、加權(quán)最小二乘法等。通過(guò)已知的函數(shù)或數(shù)據(jù)，構(gòu)造一個(gè)近似函數(shù)，使得該函數(shù)在某種范數(shù)下最接近已知函數(shù)或數(shù)據(jù)。常見(jiàn)的逼近方法有最佳一致逼近、最佳平方逼近等。通過(guò)已知的點(diǎn)集，構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，使得該函數(shù)在已知點(diǎn)上取值與給定值相等。常見(jiàn)的插值方法有拉格朗日插值、牛頓插值、樣條插值等。80%80%100%曲面建模方法參數(shù)表示法、隱式表示法、顯式表示法等。Coons曲面、Bézier曲面、B樣條曲面、NURBS曲面等。計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)等領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用曲面建模技術(shù)，如三維模型的建立、動(dòng)畫(huà)的制作、虛擬現(xiàn)實(shí)等。曲面的表示方法常見(jiàn)的曲面建模方法曲面建模的應(yīng)用04光照與材質(zhì)建模描述光線在場(chǎng)景中多次反射后形成的均勻照明效果。環(huán)境光模型模擬遠(yuǎn)距離光源，如太陽(yáng)，光線平行且方向一致。平行光源模型模擬近距離光源，光線從一點(diǎn)向四周發(fā)散。點(diǎn)光源模型模擬有方向性的光源，如手電筒或舞臺(tái)聚光燈。聚光燈模型光照模型描述不透明、無(wú)光澤的物體表面，反射光強(qiáng)度與入射角余弦成正比。Lambert材質(zhì)模型在Lambert基礎(chǔ)上添加高光效果，模擬光滑表面的反射。Phong材質(zhì)模型改進(jìn)Phong模型的高光計(jì)算，使其更加真實(shí)。Blinn-Phong材質(zhì)模型描述表面微結(jié)構(gòu)導(dǎo)致的光線反射方向不同的現(xiàn)象。各向異性材質(zhì)模型材質(zhì)模型漫反射光線照射到光滑物體表面后按照一定規(guī)律反射的現(xiàn)象。鏡面反射折射陰影01020403光線被物體遮擋后在另一物體上形成的暗區(qū)。光線照射到物體表面后向各個(gè)方向均勻反射的現(xiàn)象。光線從一種介質(zhì)進(jìn)入另一種介質(zhì)時(shí)發(fā)生的方向改變現(xiàn)象。光照與材質(zhì)的交互05紋理映射與細(xì)節(jié)增強(qiáng)03紋理過(guò)濾在紋理映射過(guò)程中，由于物體表面和紋理圖像分辨率不匹配，需要進(jìn)行紋理過(guò)濾以保證圖像質(zhì)量。01紋理坐標(biāo)定義在紋理空間中的坐標(biāo)系統(tǒng)，用于確定紋理圖像上每個(gè)點(diǎn)的位置。02紋理映射函數(shù)將物體表面上的點(diǎn)映射到紋理坐標(biāo)空間中的函數(shù)，實(shí)現(xiàn)物體表面細(xì)節(jié)的添加。紋理映射原理基于物理模型的過(guò)程紋理生成利用物理模型模擬自然現(xiàn)象的紋理生成方法，如模擬水流、火焰等效果的紋理?；谠肼暤倪^(guò)程紋理生成利用噪聲函數(shù)生成隨機(jī)性紋理，如石頭、木材等?；诜中蔚倪^(guò)程紋理生成利用分形理論生成具有自相似性的紋理，如山脈、云朵等。過(guò)程紋理生成方法位移映射通過(guò)改變物體表面的幾何形狀來(lái)增強(qiáng)細(xì)節(jié)表現(xiàn)的技術(shù)，如凹凸貼圖。法線映射通過(guò)改變物體表面的法線方向來(lái)模擬細(xì)節(jié)的技術(shù)，也被稱(chēng)為凹凸映射。視差映射利用視差原理增強(qiáng)物體表面細(xì)節(jié)的技術(shù)，通過(guò)計(jì)算視線與物體表面的交點(diǎn)并調(diào)整紋理坐標(biāo)實(shí)現(xiàn)。細(xì)節(jié)增強(qiáng)技術(shù)06數(shù)學(xué)基礎(chǔ)在高級(jí)建模中的應(yīng)用123分形幾何是一種研究不規(guī)則、自相似結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)分支，對(duì)于自然景物的建模具有重要意義。分形幾何的基本概念分形維數(shù)是描述分形結(jié)構(gòu)復(fù)雜度的重要參數(shù)，對(duì)于刻畫(huà)自然景物的細(xì)節(jié)和紋理具有重要作用。分形維數(shù)與復(fù)雜度常見(jiàn)的分形生成算法包括迭代函數(shù)系統(tǒng)、L系統(tǒng)、分形噪聲等，可用于生成山脈、云朵、樹(shù)木等自然景物的三維模型。分形生成算法分形幾何與自然景物建模剛體動(dòng)力學(xué)與軟體動(dòng)力學(xué)剛體動(dòng)力學(xué)研究剛體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，而軟體動(dòng)力學(xué)則研究可變形物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，兩者在基于物理的建模中都有廣泛應(yīng)用。碰撞檢測(cè)與響應(yīng)碰撞檢測(cè)是判斷兩個(gè)物體是否發(fā)生接觸的過(guò)程，而碰撞響應(yīng)則是處理物體接觸后的行為，如反彈、穿透、粘連等。物理引擎的基本原理物理引擎是一種模擬真實(shí)世界物理現(xiàn)象的計(jì)算機(jī)程序，可用于實(shí)現(xiàn)基于物理的建模與仿真。基于物理的建模與仿真數(shù)據(jù)采集與處理數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的建模方法需要從現(xiàn)實(shí)世界或虛擬世界中采集數(shù)據(jù)，并進(jìn)行預(yù)處理和后處理，以便