大學高數(shù)第一章函數(shù)和極限

大學高數(shù)第一章函數(shù)和極限引言函數(shù)的概念與性質函數(shù)的極限函數(shù)的連續(xù)性習題與解答引言01函數(shù)函數(shù)是數(shù)學中描述兩個變量之間關系的一種工具，它定義了一個輸入值（自變量）對應一個輸出值（因變量）的規(guī)則。極限極限是描述函數(shù)在某一點附近的行為的概念，它描述了函數(shù)值無限趨近于某個特定值的趨勢。連續(xù)性連續(xù)性是函數(shù)的一種特性，它描述了函數(shù)在某一點處的值與其附近的值之間的關系。主題簡介學習目標010203掌握極限的概念、性質和計算方法。理解連續(xù)性的概念，掌握判斷連續(xù)性的方法。理解函數(shù)的定義、性質和分類。函數(shù)的概念與性質02函數(shù)是數(shù)學上的一個概念，它是一種特殊的對應關系，將一個數(shù)集中的每一個元素與另一個數(shù)集中的唯一確定的元素對應起來。函數(shù)的定義函數(shù)可以用解析式、表格、圖象等方式來表示，其中解析式是最常用的表示方法。函數(shù)的表示方法函數(shù)具有一些基本的性質，如函數(shù)的單調性、奇偶性、周期性等，這些性質可以幫助我們更好地理解和應用函數(shù)。函數(shù)的性質函數(shù)的定義解析式表示法通過數(shù)學表達式來表示函數(shù)，是最常用的一種表示方法。表格表示法通過表格的形式來表示函數(shù)，適用于離散的函數(shù)值。圖象表示法通過繪制函數(shù)的圖象來表示函數(shù)，適用于連續(xù)的函數(shù)值。函數(shù)的表示方法函數(shù)在其定義域內的不同區(qū)間上具有不同的單調性，單調性可以通過導數(shù)來判斷。單調性函數(shù)是否具有奇偶性可以通過比較函數(shù)值和自變量之間的關系來判斷。奇偶性函數(shù)是否具有周期性可以通過觀察函數(shù)的周期變化來判斷。周期性函數(shù)的性質函數(shù)的極限03極限的描述性定義當自變量趨近某一值時，函數(shù)值無限接近于某一常數(shù)，稱該常數(shù)為函數(shù)的極限。極限的精確定義對于任意小的正數(shù)$epsilon$，存在一個正數(shù)$delta$，使得當$|x-x_0|<delta$時，有$|f(x)-L|<epsilon$，其中$L$是函數(shù)的極限。極限的定義唯一性對于任意函數(shù)，其極限值是唯一的。有界性函數(shù)在某點的極限存在時，該點的函數(shù)值是有界的。局部保號性如果函數(shù)在某點的極限大于0，則該點的函數(shù)值也大于0；反之亦然。極限的性質030201當自變量趨近于某一值時，函數(shù)值趨近于0。當自變量趨近于某一值時，函數(shù)值趨近于無窮大。無窮小和無窮大無窮大無窮小函數(shù)的連續(xù)性04函數(shù)在某一點連續(xù)是指函數(shù)在該點的極限值等于函數(shù)值?？偨Y詞函數(shù)在某一點連續(xù)是指當自變量在該點附近無限接近時，函數(shù)值也無限接近于該點的極限值，即函數(shù)在該點的左極限等于右極限等于函數(shù)值。詳細描述連續(xù)性的定義連續(xù)函數(shù)具有一些重要的性質，如四則運算性質、復合函數(shù)連續(xù)性等。總結詞連續(xù)函數(shù)具有一些重要的性質，如四則運算性質，即兩個連續(xù)函數(shù)進行加、減、乘、除（分母不為零）后仍為連續(xù)函數(shù)；復合函數(shù)連續(xù)性，即內層函數(shù)和外層函數(shù)都連續(xù)時，復合函數(shù)也連續(xù)。詳細描述連續(xù)函數(shù)的性質總結詞函數(shù)的間斷點是指函數(shù)在該點不連續(xù)的點。詳細描述函數(shù)的間斷點是指函數(shù)在該點不連續(xù)的點，即在該點的左極限和右極限不相等或者在該點無定義。根據(jù)不同的性質，間斷點可以分為可去間斷點、跳躍間斷點和無窮間斷點等。函數(shù)的間斷點習題與解答05$f(x)=sqrt{x^2-1}$1.2已知函數(shù)$f(x)=frac{1}{x}$，求$f(x)$在區(qū)間$(0,+infty)$上的單調性。1.4已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2$，求$f(x)$的極值點。1.1求下列函數(shù)的定義域$g(x)=log_2(x-3)$1.3求函數(shù)$f(x)=x^2-2x$在區(qū)間$(-infty,a)$上的值域。010203040506習題解答與解析1.1【解答與解析】$f(x)=sqrt{x^2-1}$的定義域為$xgeqslant1$或$xleqslant-1$，因為根號下的表達式必須非負。$g(x)=log_2(x-3)$的定義域為$x>3$，因為對數(shù)函數(shù)的自變量必須大于零。1.2【解答與解析】$f(x)=frac{1}{x}$在區(qū)間$(0,+infty)$上單調遞減，因為其導數(shù)$f'(x)=-frac{1}{x^2}$在$(0,+infty)$上小于零。解答與解析03當$a>1$時，值域為$(-infty,a^2-2a]$；011.3【解答與解析】02當$a=1$時，值域為$(-infty,1)$；解答與解析解答與解析當$a<1$時，值域為$(-\infty,a^2-2a]$或$(a^2-2a,+\infty)$。0102031.4【解答與解析】$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$，令其等于零得$x=0$或$x=2$。當$x<0$或$x