陜西省高二年級上冊10月期中考試數(shù)學（理）試題（解析版）

一、單選題

1.設(shè)命題pHxeZllx+l,則。的否定為（）

A.VxgZ,x2<2x+1B.VxeZ,x2<2x+l

C.3xgZ,x2<2x+\D.eZ,x2<2x

【答案】B

【分析】由特稱命題的否定可直接得到結(jié)果.

【詳解】命題pHxeZ./zZx+l,則P的否定為：VxeZ,x2<2x+1.

故選：B

【點睛】全稱量詞命題的否定是特稱（存在）量詞命題，特稱（存在）量詞命題的否定是全稱量詞

命題.

2.已知x,y的取值如下表所示：

X0134

y2.24.34.86.7

若y與x線性相關(guān)，且y=0.95x+a,貝I」4=（）A.2.2B.2.9C.2.8D.2.6

【答案】D

【分析】利用平均數(shù)可得樣本的中心點為（2,4.5）,將中心點對應(yīng)的值代入題目中的等式即可求出“

的值.

【詳解】由表格，得￡=:（0+1+3+4）=2,

歹=；（2.2+4.3+4.8+6.7）=4.5,

線性回歸直線過樣本中心點（2,4.5）,

所以4.5=0.95x2+°,所以a=2.6.

故選：D

3.從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋內(nèi)任取兩個球，現(xiàn)有如下說法：①至少有一個黑球與都是黑

球是互斥而不對立的事件；②至少有一個黑球與至少有一個紅球不是互斥事件；③恰好有一個黑

球與恰好有兩個黑球是互斥而不對立的事件；④至少有一個黑球與都是紅球是對立事件.在上述說

法中，正確的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】利用互斥事件和對立事件的定義逐個判斷即可

【詳解】①“至少有一個黑球”等價于“一個黑球和一個紅球或兩個黑球”與“都是黑球”可以同時發(fā)

生，不是互斥事件，故錯誤.

②“至少有一個黑球，，等價于“一個黑球和一個紅球或兩個黑球，，，“至少有一個紅球，，等價于“一個黑

球和一個紅球或兩個紅球”，可以同時發(fā)生，故正確.

③“恰好有一個黑球”等價于"一個黑球和一個紅球“，與“恰好有兩個黑球“，不同時發(fā)生，還有可能

都是紅球，不是對立事件，故正確.

④“至少有一個黑球,，等價于“一個黑球和一個紅球或兩個黑球,,，與，，都是紅球，，，不同時發(fā)生，但一

定會有一個發(fā)生，是對立事件，故正確.上述說法中，正確的個數(shù)為3.

故選：C

【點睛】此題考查互斥事件和對立事件的判斷，屬于基礎(chǔ)題

4.點/(1,1)到拋物線^=公2的準線的距離為2,則。=()

11-11?

A.--B.-丘或工C.-D.-12或4

【答案】B

【分析】根據(jù)拋物線的準線方程的公式結(jié)合拋物線的開口分類討論求解.

【詳解】由題可得拋物線方程為：x2=-y,所以2。=」，

aa

若空0,則拋物線開口向上，準線為、=-4=-』，

24。

所以點到準線的距離為1+；=2解得：，

4a4

若“<0,則拋物線開口向下，準線為夕=-4=-；,

24a

所以點到準線的距離為1+；=2解得(舍)或。=-二，

4a412

故選:B.

5.某高中學校為了促進學生個體的全面發(fā)展，針對學生發(fā)展要求，開設(shè)了富有地方特色的“泥塑”

與“剪紙”兩個社團.已知報名參加這兩個社團的學生共有800人，按照要求每人只能參加一個社

團，各年級參加社團的人數(shù)情況如下表：

高一年級高二年級高三年級

泥塑abC

剪紙XyZ

3

其中x：y：z=5：3：2,且“泥塑”社團的人數(shù)占兩個社團總?cè)藬?shù)的為了了解學生對兩個社團活

動的滿意程度，從中抽取一個容量為50的樣本進行調(diào)查，則從“剪紙”社團的高二年級學生中應(yīng)抽

取的人數(shù)為()A.4B.6C.9D.10

【答案】B

【分析】先按分層抽樣求出高二年級人數(shù)，再按樣本占總體的比例得解.

【詳解】因為“泥塑''社團的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的

22

所以“剪紙”社團的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的：，人數(shù)為800X：=320.

v33

因為，，剪紙，，社團中高二年級人數(shù)比例為一—二---=-,

x+y+z5+3+210

3

所以“剪紙”社團中高二年級人數(shù)為320x5=96.

以從“剪紙”社團的高二年級學生中抽取的人數(shù)為96'黑=96'上=6.

oOO16

故選：B.

6.執(zhí)行如下所示的程序框圖，則輸出的。=()

‘開始'

n=n+1

/輸出a/

A.2B.1C.-1D.

【答案】D

【分析】由初始條件進入循環(huán)體，求出每一次。的值，可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，最后求出答案.

【詳解】?="=2,。=-1；?=3,?=2.—；：…，。的值構(gòu)成以3為周期的數(shù)列，因

為2020=3x673+1,所以當“=2020時，a=~.

2

故選：D

【點睛】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的輸出問題，考查了數(shù)列的周期性，考查了數(shù)學運算能力.

7.已知命題P：Vx€R,2*<3,；命題0：3xeR,x3=1—x2>則下列命題中為真命題的是：

A.B.RMc.p—qD.rp—q

【答案】B

【詳解】x=0可知：命題P：VxeR,2*<3,為假命題，由函數(shù)圖象可知命題qHxeR,/=1-V

為真命題，所以「夕人"為真命題.

【解析】命題的真假判斷.

V-2V2

8.已知耳鳥分別是雙曲線氏與-4=l（a>0,6>0）的左、右焦點，點M在雙曲線E上，MF、

ab~

與x軸垂直，sin/g4=；,則雙曲線E的離心率為（）

3廠廠

A.-B.V2C.y/3D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)直角三角形邊與角的關(guān)系可得其巴=3崎，再利用雙曲線的定義可求出

MF}=a,MF2=3a,利用勾股定理即可求解.

【詳解】在直角三角形好工中，5出乙明與=饕=；,所以嶼=3加百，

/V/2/23

根據(jù)雙曲線的定義可知嶼-吟=2町=2%

所以峙=a,嶼=3°,

所以在直角三角形肛旦中由勾股定理得/+4/=9.2,

則4=2,所以e=￡=也，

aa

故選:B.

9.已知拋物線/=4x,過焦點尸的直線與拋物線交于4,B兩點,過4B分別作丁軸的垂

線，垂足分別為C,D,則I/CI+IB0的最小值為（）

B.2C.3D.5

【答案】B

【分析】根據(jù)拋物線的定義可得|"。+忸。=|/1用-2,直線與拋物線聯(lián)立求出焦點弦長，討論最值

求解.

【詳解】因為拋物線為V=4x,所以p=2,焦點尸（1,0）

設(shè)”（西，乂），8（七,%）,

根據(jù)拋物線的定義可得|工1+5=玉+5=以尸忸。|+5=%+5=忸3，

所以以1+怛q+「=|/可+忸尸

所以+忸a=,尸|+忸可一2,即|4C|+\BC\=\AB\-2

因為過F的直線與拋物線交于48兩點，所以直線的斜率不等于0,

設(shè)為x=/ny+],

聯(lián)立<1，得/一4叩-4=0,

x=my+1

所以必+=4〃？,再+尢2=加乂+1+叩2+1=機（乂+>2）+2=4〃/+2,

所以|力卻=網(wǎng)+幽=%+勺X2+^=玉+/+P=4加2+4,

所以當且僅當機=0時有最小值為4,

則Mq+忸。=|/邳-2有最小值為2.

故選:B.

10.如圖，“天宮三號”的運行軌道是以地心（地球的中心）尸為其中一個焦點的橢圓.已知它的近

地點A（離地面最近的點）距地面加千米，遠地點8（離地面最遠的距離）距離地面“千米，并且

F,A,5在同一條直線上，地球的半徑為R千米，則“天宮三號”運行的軌道的短軸長為（）千

A.2mnB.J(M+R)(〃+R)

C.mnD.2&m+R)(n+R)

【答案】D

【分析】根據(jù)題設(shè)條件可求橢圓的長半軸長和焦距的關(guān)系式，從而可求短半軸長.

【詳解】由題設(shè)條件可得|必|i+H,|用|=/?+加，

設(shè)橢圓的半長軸長為。，半焦距為則。+。=〃+火，a-c=R+m,

故短半軸長為b=yicr-c2=+R)(n+R),

所以短軸長為2j(〃z+&(〃+/?),

故選：D.

11.設(shè)e是橢圓片+《=1的離心率，且則實數(shù)上的取值范圍是()

4k\2)

A.(0,3)B.p,牛)C.(O,3)U(4,+℃10。

【答案】C

【分析】對k分類討論，確定焦點的位置，求橢圓的離心率，從而可求實數(shù)上的取值范圍.

■>2

【詳解】由橢圓方程上+二=1,

4k

當0<“<4時，/=4,及=k,c2=4-k,

所以e2=4=tA,由ee?[],解得0<左<3,

當%>4時，d=卜,z>2=4,c2=Zr-4,

所以e2=1=I,由ee佶/)，解得上>￥，

ak)3

故實數(shù)k的取值范圍為(O,3)U(g,+8).

故選：C.

【點睛】本題考查橢圓的標準方程與幾何性質(zhì)，考查分類討論的數(shù)學思想，考查計算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

12.已知點P為雙曲線捺-￡=15>0力>0)上任意一點，耳、名為其左、右焦點，。為坐標原

點.過點P向雙曲線兩漸近線作垂線，設(shè)垂足分別為〃、N,則下列所述錯誤的是()

A.為定值

B.0、尸、M、N四點一定共圓

C.兩?庵的最小值為

D.存在點P滿足P、M、4三點共線時，P、N、g三點也共線

【答案】D

【分析】對于A,設(shè)尸（x。,后）,表示出即可判斷A；對于B,由題目可得，M,N

兩點在以0P為直徑的圓上，故可判斷B；對于C,由雙曲線的對稱性可知西?麗=|麗|2-02,

由|由122a2,故可判斷C；對于D,利用雙曲線的對稱性，不妨設(shè)直線EN垂直一條漸近線，垂足

為N；直線鳥河垂直另一條漸近線且交雙曲線于點P,易知直線6N與直線月〃的交點始終落在y

軸上，可判斷D.

【詳解】解：設(shè)尸（X。,％）,點尸仇,外）到漸近線y=<的距離為1PM=、：。,一叫,

Q7CT+b

212

???|尸根療閘=戶7層（定值），故A正確；

???NOMP=NCWP=90°,.?.口OMP和△<?*均為直角三角形，M,N兩點在以0P為直徑的圓上，

故B正確：

由雙曲線的對稱性可知所.電=（而+西）?（所-砒）=|而西『=|而其中

c2=a2+b2,

22222

■■■|P0|>aPFxPF2>a-c=-b成立，故C正確；

如圖利用雙曲線的對稱性，不妨設(shè)直線垂直一條漸近線，垂足為N；直線乙M垂直另一條漸近

線且交雙曲線于點尸，易知直線6N與直線鳥”的交點始終落在y軸上，故D不正確.

故選：D.

二、填空題

13.雙曲線［-/=1的漸近線方程為

【答案】y=+-^-x

2

【分析】由雙曲線方程得。=血,6=1,再計算漸近線方程.

1

【詳解】嶺--，得。故漸近線方程為y=±

正2

故答案為：y—+-^-x

2

14.下列命題正確的是.(填入序號)

①若命題P為假命題，命題g是真命題，則(rp)v(「g)為真命題.

②命題“若2與5的夾角為銳角，則展月＞0”及它的逆命題均為真命題.

③命題“若/+》=0,則x=0或x=-l”的逆否命題為“若xwO且xw-1,貝吐+"0”.

【答案】①③

【分析】通過命題的性質(zhì)一一判定即可.

【詳解】對于①：

命題p為假命題，命題q是真命題，

則命題「。為真命題，命題為假命題，

對于(rP)v(-＞4)有真為真，則為真命題;

對于②：

命題“若2與5的夾角為銳角，則萬萬＞0”中，

當3與很的夾角為銳角，

則cos?,>0,

則。=同.Wcos(1,B)>0,

則原命題為真命題，

它的逆命題“若晨B>o,則]與5的夾角為銳角”中，

當a石>o,

則展月=|a|-|fe|cos/a,6\>0,

則cosG，5)>0,

則2與5的夾角為銳角或0,

則它的逆命題為假命題；

對于③：

對于命題“若一+x=o,則x=o或L1”,

它的逆否命題為“若XH0且XH-1,則/+XR0”；

綜上所述：①③正確，

故答案為：①③.

15.設(shè)。為實常數(shù)，y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x<0時，/(x)=9x+y-7,若“

*e[0,+8),+是假命題，則實數(shù)。的取值范圍為.

【答案】

【分析】先利用y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)求出x>0函數(shù)的解析式，

再根據(jù)Fxe[0,+oo),〃x)<a+l”是假命題，可得該命題的否定是真命題，即/(x)2a+l對一切

xNO成立，利用基本不等式求出了(力的最小值,解不等式求出a的范圍.

【詳解】因為V=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以當x=0時J(x)=0；

2

當x>0時，則—x<0,所以/(-x)=-9x—幺+7.

X

所以/(x)=-/(-x)=9x+--7.

因為/(切2。+1對一切“0成立，

所以當x=0時,02。+1成立，所以；

當x>0時,9%+^--7N.+1成立,只需要9x+---7>a+\

X[X}m.n

因為9x+幺一72—7=6時一7,所以6同一7之〃+1,

QQ

解得：嘿或“4-；；

Q

綜上所述：?<-y.

故。的取值范圍為

三、雙空題

16.橢圓工+乙=1上一點P滿足到左焦點耳的距離為8,則點尸到右焦點的距離為

?\PF?的面積是

【分析】由橢圓定義可知尸耳+尸乙=2。，可得歸周=12；結(jié)合余弦定理算得cosN片「乙=-；，再

結(jié)合面積公式求解.

2,

【詳解】由三+二=1,則"=10)=6,。=8,|耳閭=16

10036

故歸用+儼周=2a=20,且歸用=8,則|尸周=12；

64+144-256_1

2x8x12—-4

故答案為：12,12而

四、解答題

17.在①Zc8=0；②"xeZ“是“xe3”的充分不必要條件：③/uB=8這三個條件中任選一

個，補充到本題第(2)問的橫線處，求解下列問題.

問題：已知集合N={x|a-14x4a+l},8={x|-14x43}.

⑴當。=2時，求/1U8；

(2)若,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)/U8={X|-14X43}

(2)答案見解析

【分析】(1)由并集運算求解即可；

(2)選①：由交集運算的結(jié)果列出不等式，得出實數(shù)”的取值范圍.選②：由A是8的真子集，結(jié)

合包含關(guān)系得出實數(shù)。的取值范圍.選③：由力勺8,結(jié)合包含關(guān)系得出實數(shù)a的取值范圍.

【詳解】(1)當〃=2時，集合Z={X|14X43},B={X|-14X43},

所以NUB={X|-1VXM3}.

(2)若選擇①Nc8=0,

因為Z={x|a-14xWa+l},所以/六0,

又8={x|-14x43},所以a-l>3或a+l<-l,解得a>4或a<-2,

所以實數(shù)a的取值范圍是(V,-2)U(4,+8),

若選擇②，"xe4”是“xe8”的充分不必要條件，則"a'ZwB,

因為/={x|“-14x4a+l},所以/H0,

(a-12—1[Q—\.>—1

又8={x|-1"W3},所以或解得04心2,

[a+1<3[a+l<3

所以實數(shù)a的取值范圍是[0,2].

若選擇③，=則/仁8,

因為』={x|“-lMx4a+l},所以/H0,

—12—1

又B="|UW3},所以,解得0Wa42,

kz4-1<3

所以實數(shù)a的取值范圍是[0,2].

18.已知集合”=卜卜34x<4},8=卜|2機-14x4機+1}

（1）若求實數(shù)切的取值范圍.

（2）命題q：l43xe使得xe8”是真命題，求實數(shù)，〃的取值范圍.

【答案】（Dm2—1；（2）[-4,2].

【分析】（1）B=A,分8為空集和8不是空集兩種情況討論求解即可：

（2）由HxeZ,使得xeB,可知8為非空集合且W0,然后求解=0的情況，求出

機的范圍后再求其補集可得答案

【詳解】解：（1）①當8為空集時，加+1<2布-1,加>2成立.

m+l>2m-l

②當8不是空集時，?.,8勺工，，2機-12-3,m<2

+1<4

綜上①②，〃此一1.

（2）BxeAf使得xe8,??.8為非空集合且力PlB/+122〃?-K2.

[2m—1>4[w+1<-3

當Zc8=0時1,無解或{,m<-4,

[m<2[m<2

/Cl8=0,me[-4,2].

19.下表是某高校2017年至2021年的畢業(yè)生中，從事大學生村官工作的人數(shù)：

年份20172018201920202021

年份代碼X12345

N（單位：人）24478

經(jīng)過相關(guān)系數(shù)的計算和繪制散點圖分析，我們發(fā)現(xiàn)y與x的線性相關(guān)程度很高.

（1）根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程？=&+&；

（2）根據(jù)所得的經(jīng)驗回歸方程，預(yù)測該校2023年的畢業(yè)生中，去從事大學生村官工作的人數(shù).

〃〃

-^（x,-x）（x-7）2卬廠師

參考公式：=-----------T---------，a=y-b-x.

￡（土一可。fx；-而2

/=1/=1

【答案】（1）夕=1&+0.5

⑵11人

【分析】（1）利用最小二乘法計算可得經(jīng)驗回歸方程;

（2）將x=7代入經(jīng)驗回歸方程即可求得所求預(yù)估值.

?-t-1*,,14/if-1+2+3+4+5,—2+44-4+7+8

【詳解】(1)由表格數(shù)據(jù)r1知：x=----------------=3,y=------------------=5,

2升必=2+8+12+28+40=90,^x,2=1+4+9+16+25=55,

i=1/=!

^90-5x3x5

=1.5,.*.5=5-1.5x3=0.5,

55-5x9

「J關(guān)于五的經(jīng)驗回歸方程為：夕=L5x+0.5.

(2)2023年對應(yīng)的x=7,則＞=1.5x7+0.5=11,

即該校2023年的畢業(yè)生中，去從事大學生村官工作的人數(shù)約為11人.

20.2022年9月30日至10月9日，第56屆國際乒聯(lián)世界乒乓球團體錦標賽在成都市高新區(qū)體育

中心舉行.某學校統(tǒng)計了全校學生在國慶期間觀看世乒賽中國隊比賽直播的時長情況（單位：分

鐘），并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.

04080120160200240280時長/分鐘

（1）求頻率分布直方圖中。的值，并估計樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

（2）采用以樣本量比例分配的分層隨機抽樣方式，從觀看時長在［200,280］的學生中抽取6人.現(xiàn)從

這6人中隨機抽取3人在全校交流觀看體會，記“抽取的3人中恰有2人的觀賽時長在［200,240）”

為事件A,求尸（⑷.

【答案】⑴。=0.004,中位數(shù)為160；

⑵|

【分析】（1）先利用頻率的和為1求出“，利用頻率分布直方圖計算得觀看時長在160分鐘以下的

樣本所占比例為0.5,即可得到中位數(shù)；

（2）利用分層抽樣確定［200,240）,［240,280］應(yīng)抽取的人數(shù)，對6人進行編號，用列舉法寫出任取

3人的所有基本事件，得出事件A的基本事件，計數(shù)后計算概率

【詳解】(1)由題意得40x(0.0005+0.002x2+2^+0.006+0.0065)=1，解得a=0.004,

由頻率分布直方圖可知，觀看時長在160分鐘以下的樣本所占比例為

40x(0.0005+0.002+0.004+0.006)=0.5,

所以樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為160；

(2)由題意，觀看時長在［200,240),［240,280］對應(yīng)的頻率分別為0.004x40=0.16和

0.002x40=0.08,

所以采用分層隨機抽樣的方式在這兩個區(qū)間中應(yīng)分別抽取4人和2人，

設(shè)觀看時長在［200,240)的4人為48c。，觀看時長在［240,280］的2人為瓦尸，

從中抽取3人的基本事件有：ABC,ABD,ABE,ABF,ACD,ACE,ACF,

ADE,ADF,AEF,BCD,BCE,BCF,BDE,BDF,BEF,CDE,CDF,CEF,DEF共20個，

其中事件A的基本事件有/8瓦/8尸,/CE,力CF,ADE,ADF,BCE,BCF,BDE,BDF,CDE,CDF共12

123

個，所求概率為尸(4)=去=《

21.已知拋物線C:/=2PMp>0)的焦點F到準線的距離為2.

(1)求C的方程；

(2)已知。為坐標原點，點尸在C上，點。滿足而=9/，求直線。。斜率的最大值.

【答案】⑴y2=4x；(2)最大值為g.

【分析】(1)由拋物線焦點與準線的距離即可得解；

(2)設(shè)。(%,為)，由平面向量的知識可得尸(10x0-9,10%),進而可得X°=25；：+9,再由斜率公

式及基本不等式即可得解.

【詳解】(1)拋物線。：/=2川5>0)的焦點/怎,0),準線方程為x=g,

由題意，該拋物線焦點到準線的距離為與-［-5)=0=2,

所以該拋物線的方程為/=4x；

(2)［方法一］:軌跡方程+基本不等式法

設(shè)。(%,4)，則而=9/=(9-9x0,-9%),

所以P(10x0-9,10必),

由P在拋物線上可得(10%)2=4(10%-9),即X。=25；；9,

2a

據(jù)此整理可得點。的軌跡方程為/

k―典廣盟_10)'。

所以直線。。的斜率'型/25尤+925訴+9,

10

當兒=0時，自°=0;

,10

當盟‘°時，”。一嬴R，

當兒>0時，因為25%+2之225%,2=30,

NoV凡

i93

此時0<%0《，當且僅當25%=一，即%.時，等號成立；

SNo5

當為<0時，自°<0;

綜上，直線。。的斜率的最大值為!.

［方法二］:【最優(yōu)解】軌跡方程+數(shù)形結(jié)合法

同方法一得到點Q的軌跡方程為V=(x-

,29

設(shè)直線。。的方程為y=履，則當直線。。與拋物線V=gx-三相切時，其斜率左取到最值.聯(lián)立

y=kx,

得“-%+盤=0,其判別式△=(一2］-4/X2=0,解得左=±；,所以直線0。

-22

卜=:525I5/253

斜率的最大值為;.

［方法三I:軌跡方程+換元求最值法

2Q

同方法一得點Q的軌跡方程為/=丁一福.

設(shè)直線0。的斜率為肌則〃2=化1=5_-".

IXJ5x25x

令?</吟)，貝西=一家+|/的對稱軸為/=￡,所以04Mq故直線。2

斜率的最大值為;.

［方法四|：參數(shù)+基本不等式法

由題可設(shè)尸(",4f)(f>O),0(x,歹).

因為尸(1,0),而=9/，所以(x-4/,y-4/)=9(l-x,-y).

X-4/=9(l-x)10x=4/+9

于是,所以<

y-4t=-9y\0y=4t

y4t4,41

-=--------=s—?=-

則直線。。的斜率為X4r+94/+2-2和53.

當且僅當4/='9,即f=39時等號成立，所以直線。。斜率的最大值為1：.

t23

【整體點評】方法一根據(jù)向量關(guān)系，利用代