湖北省鄖陽中學2023年數(shù)學高二年級上冊期末經(jīng)典試題含解析

湖北省郎陽中學2023年數(shù)學高二上期末經(jīng)典試題

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.若圓q：f+y2—2-=0（。＞0）與圓C2：/+y2—4x+3=0相外切，貝心的值為（）

-IB.|

3

C.lD.-

2

2.已知直線/的方程為x+y-1=。，則該直線的傾斜角為（）

A.30B.45

C.60D.135

13

3.在等比數(shù)列｛4｝中，若％,%是函數(shù)〃月=3%3+5f+2X一3的極值點，則名的值是（）

B.-yfz

C.0D.+V2

4.已知圓M的圓心在直線x+y—4=0上，且點A（l,0）,5（0,1）在M上，則M的方程為（）

A.（x-2）2+（y-2）2=13B.（x-l）2+（y-I）2=1

C.（x-2）2+（y-2）2=5D.（x+Ip+（y+1）2=5

1

5.已知等比數(shù)列｛&｝中，an=T-,則由此數(shù)列的奇數(shù)項所組成的新數(shù)列的前〃項和為（）

A.1（2"-l）B.|（4"-l）

C.?|（4,'-2）D.4n-1

6.在等差數(shù)列｛&｝中，%=9,且%o構成等比數(shù)列，則公差d等于（）

A.OB.3

C.-3D.0或3

7.某地區(qū)高中分三類，A類學校共有學生2000人，3類學校共有學生3000人，C類學校共有學生4000人，若采取分

層抽樣的方法抽取900人，則A類學校中的學生甲被抽到的概率()

91

A.—B.-------

202000

11

C.一D.—

210

8.如圖，F(xiàn)],工是平面上兩點，且怩&|=10,圖中的一系列圓是圓心分別為耳，工的兩組同心圓，每組同心圓

的半徑分別是1,2,3,A,B,C,D,E是圖中兩組同心圓的部分公共點.若點A在以耳，B為焦點的橢圓M上,

則()

A.點3和C都在橢圓”上B.點C和。都在橢圓M上

C.點。和E都在橢圓M上D.點E和3都在橢圓M上

9.已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，S“為數(shù)列｛4｝的前〃項和，4=1,S3=18,則S$=()

A.54B.71

C.81D.80

14

10.已知a>0,b>0,a+b=l貝！1)=一十—最小值是()

9ab

A.10B.9

C.8D.7

11.若z=l+i,則歸卜()

A.O

C.72D.2

12.拋物線/=4x的焦點到直線x+y—3=0的距離d=()

A出B忑

2

C.lD.2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.某部門計劃對某路段進行限速，為調(diào)查限速60km/h是否合理，對通過該路段的300輛汽車的車速進行檢測，將

所得數(shù)據(jù)按[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]分組，繪制成如圖所示頻率分布直方圖.則。=；這300

輛汽車中車速低于限速60km/h的汽車有輛.

14.a>0,b>0,若2是。與Z?+l的等比中項，則a+b的最小值為.

15.已知點M(-1,1,-2),平面萬過原點。，且垂直于向量〃2,2),則點M到平面萬的距離是.

16.隨機抽取某社區(qū)15名居民，調(diào)查他們某一天吃早餐所花的費用(單位：元)，所獲數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，則這15

個數(shù)據(jù)的眾數(shù)是

莖|葉__________________

023578967

11452131

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在棱長為2的正方體AB?！?4中，E,歹分別為A5,8c上的動點，且4￡=陟=。.

(1)求證：\F1CXE.

(2)當a=l時，求點A到平面GM的距離.

18.(12分)如圖，四邊形是正方形，四邊形BED尸是菱形，平面ABCDi平面BEDF=BD.

E

（2）若AB=BE,且平面ABCD，平面5EO尸，求平面ADE與平面CZ）尸所成的二面角的正弦值.

19.（12分）籃天技校為了了解車床班學生的操作能力，設計了一個考查方案；每個考生從6道備選題中一次性隨機抽

取3道題，按照題目要求獨立完成零件加工，規(guī)定：至少正確加工完成其中2個零件方可通過.6道備選題中，考生

2

甲有4個零件能正確加工完成，2個零件不能完成；考生乙每個零件正確完成的概率都是3,且每個零件正確加工完

成與否互不影響

（1）分別求甲、乙兩位考生正確加工完成零件數(shù)的概率分布列（列出分布列表）；

（2）試從甲、乙兩位考生正確加工完成零件數(shù)的數(shù)學期望及兩人通過考查的概率分析比較兩位考生的操作能力

20.（12分）某校在全體同學中隨機抽取了100名同學，進行體育鍛煉時間的專項調(diào)查.將調(diào)查數(shù)據(jù)按平均每天鍛煉

時間的多少（單位:分鐘）分成五組：[30,40）,[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80],得到如圖所示的頻率分

布直方圖.將平均每天體育鍛煉時間不少于60分鐘的同學定義為鍛煉達標，平均每天體育鍛煉時間少于60分鐘的同

學定義為鍛煉不達標

（1）求”的值，并估計該校同學平均每天體育鍛煉時間的中位數(shù)；

（2）在樣本中，對平均每天體育鍛煉時間不達標的同學，按分層抽樣的方法抽取6名同學了解不達標的原因，再從這

6名同學中隨機抽取2名進行調(diào)研，求這2名同學中至少有一名每天體育鍛煉時間（單位：分鐘）在[50,60）內(nèi)的概率

21.(12分)已知動點M到點F(0,2)的距離，與點M到直線/：y=-2的距離相等.

(1)求動點M的軌跡方程；

(2)若過點尸且斜率為1的直線與動點"的軌跡交于A,B兩點,求線段A5的長度.

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=三-奴2一%，其中a為實數(shù).

(1)若函數(shù)/(x)的圖像在％=3處的切線與直線10%+y+l=0平行，求函數(shù)了。)的解析式;

(2)若/'(-1)=0,求/。)在［-2,3］上的最大值和最小值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】確定出兩圓的圓心和半徑，然后由兩圓的位置關系建立方程求解即可.

【詳解】由三十9—孫=0(a>o)可得無2+(y—a)2=/,所以圓G的圓心為(0,a),半徑為。，

由一+/一4》+3=0可得(％—2)?+y2=i,所以圓C2的圓心為(2,0),半徑為1,

_____3

因為兩圓相外切，所以14+甲=a+l,解得a=Q，

故選：D

2、D

【解析】設直線傾斜角為a,貝Utana=—1,即可求出.

【詳解】設直線的傾斜角為a,貝(ltana=—1,又因為ae［0,%),所以。=彳.

故選：D.

3、B

【解析】根據(jù)導數(shù)的性質求出函數(shù)的極值點，再根據(jù)等比數(shù)列的性質進行求解即可.

］。3,

【詳解】f(x)=—x3+—x2+2%-3^>/'(%)=x2+3x+2=(%+1)(%+2),

當九<-2時，/(元)〉0,/(%)單調(diào)遞增，當一2〈尤<一1時，/(%)<0,/(x)單調(diào)遞減，

當x>-1時，/(%)>(),/(九)單調(diào)遞增，所以—L—2是函數(shù)的極值點，因為—1<0,—2<0,

且?=a/<0

所以%=-J%?氏=-J(-1)x(-2)=—^/2,

故選：B

4、C

【解析】由題設寫出的中垂線，求其與x+y-4=。的交點即得圓心坐標，再應用兩點距離公式求半徑，即可得

圓的方程.

【詳解】因為點41,0),5(0,1)在M上，所以圓心在AB的中垂線X—y=。上

由X：=0，解得=2,即圓心為(2,2)，則半徑r=J(2—1)2+(2—0)2=速,

所以M的方程為(x-2『+(y-2『=5

故選：C

5、B

【解析】確實新數(shù)列是等比數(shù)列及公比、首項后，由等比數(shù)列前〃項和公式計算，

【詳解】由題意，新數(shù)列為句=%“T=227=4"T,所以偽=1,q=4,

1-4"1

前〃項和為Sn=丁了=§(平一1)

故選：B.

6、D

【解析】根據(jù)%=9,且%，%，Go構成等比數(shù)列，利用“知求解.

【詳解】設等差數(shù)列｛&｝的公差為乙

因為%=9,且4，%，Go構成等比數(shù)列，

所以4+3d=9,(q+d)(q+9d)=81,

解得d=O,d=3,

故選:D

7、D

【解析】利用抽樣的性質求解

【詳解】所有學生數(shù)為2000+3000+4000=9000,

所以所求概率為幽■=’.

900010

故選：D

8、C

【解析】根據(jù)橢圓的定義判斷即可求解.

【詳解】因為|Ar|+|A居1=3+9=12,

所以橢圓M中2a=12,

因為|8月|+|8工|=5+9wl2,|+||=5+6/12,

|￡>E|+|。鳥|=5+7=12,|后片|+|E耳|=11+1=12,

所以。，E在橢圓”上.

故選：C

9、C

【解析】利用等差數(shù)列的前“項和公式求解.

【詳解】???{4}是等差數(shù)列，4=1,

/.S3=3q+3d=3+3d=18,得d=5,

6x5

:?$6=6qH—-—d=6+75=81.

故選：C.

10、B

【解析】利用題設中的等式，把y的表達式轉化成［展開后，利用基本不等式求得》的最小值

【詳解】：a>0,b>0,a+b=l,/.y=|-+7|(?+^)=5+-+—>5+2J--=9,

bJabb

b4〃21

當且僅當2=；,即6=—,a=—時等號成立

ab33

故選：B

11、D

【解析】由復數(shù)的乘方運算求Z?，再求模即可.

【詳解】由題設，z2=(l+i)2=2i,故產(chǎn)|=2.

故選:D

12、B

【解析】由拋物線V=4x可得焦點坐標，結合點到直線的距離公式，即可求解.

【詳解】由拋物線V=4x可得焦點坐標為(1,0),

1-3廠

根據(jù)點到直線的距離公式，可得d==

即拋物線/=4.x的焦點到直線x+y-3=0的距離為Q.

故選：B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、①.0.025(2).180

【解析】根據(jù)個小矩形面積之和為1即可求出a的值；根據(jù)頻率分布直方圖可以求出車速低于限速60km/h的頻率,

從而可求出汽車有多少輛

【詳解】由10x(a+0.035+0.030+0.010)=l解得：。=0.025

這300輛汽車中車速低于限速60km/h的汽車有300x10x(0.025+0.035)=180

故答案為：0.025；180

14、3

【解析】根據(jù)等比中項列方程，結合基本不等式求得a+6的最小值.

【詳解】由題可得。伍+1)=4,

444r-

則a+6=——+b=b+l+-----1"彷+1)-----=2〃—1=3,

b+1b+1Vb+1

4

當且僅當b+1=——/=l,a=2時等號成立.

b+1

故答案為：3

7

15、

3

UULLI

UUU1MOn

【解析】確定,利用點M到平面萬的距離為d=,即可求得結論.

MOnrl

ULUlUUU1

【詳解】由題意，MO=(1,-1,2)，n=(l,-2,2),MO-n=1+2+4=7

uuirruuirr

設MO與〃的夾角為a,則ncosa

UUU1

MOn7

所以點M到平面元的距離為d=

3

7

故答案為：-

3

16、11

【解析】將15個數(shù)據(jù)寫出來，可得出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

【詳解】這15個數(shù)據(jù)分別為2、3、5、6、7、7、8、9、11、11、11、12、13、14、15,

該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為n.

故答案為：11.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)證明見解析

【解析】(1)如圖，以為x軸，切為y軸，為二軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法分別求出AE和GE,

再證明即可;

⑵利用空間向量的數(shù)量積求出平面GEE的法向量a=(x,y,z),結合求點到面距離的向量法即可得出結果.

【小問1詳解】

證明：如圖，以為了軸，為丁軸，為二軸，建立空間直角坐標系,

則E(0,2—a,O),F(a,0,0),[(0,2,2),G(2,0,2),

所以4/=(。,—2,—2),QE=(-2,2-a,-2),

所以A尸?Cg=(a,—2,-2)?(―2,2-a,—2)=0,

故4尸，0石，所以

【小問2詳解】

當a=l時，￡(0,1,0),尸(1,0,0),A(0,2,0),C/2,0,2),

貝!IE尸=(1,—1,0),FQ=(1,0,2),AE=(0,-l,0),

設”=(x,y,z)是平面GE尸的法向量，則

y=x

n-EF=x—y=0

由＜「，解得x9取1=2,得〃=(2,2,—1),

n-FQ=%+2z=0z=—

2

出占，至w而「所的旦日宣出/milz7JAE1?川|(0,-1,0)(2,2,-1)|2

設點A到平面CXEF的距離為d,則d=------=------上----=—，

\n\V4+4+13

2

所以點A到平面JEF的距離為y.

18、(1)證明見解析；(2)2叵.

3

【解析】(1)連接AC交班)于點。，連接OE,要證明5。，4石，只需證明平面Q4E即可；

(2)以O為原點建系，分別求出平面與平面。。廠的法向量，再利用向量的夾角公式計算即可得到答案.

【詳解】(1)證明：如圖，連接AC交于點。，連接OE

四邊形ABC。為正方形，

:.BD±OA,且。為的中點

又四邊形班Z四為菱形，

BD±OE

,：OAOE=O,OA,OEu平面OAE,

平面。AE，

又A￡u平面OAE

(2)解：如圖，建立空間直角坐標系，不妨設A5=2,

則出)=2&，OE=e，

則4(2,0,0),。(0,0,0),。(0,2,0)

由(1)得OELBD,

又平面ABCD，平面反郵，平面ABCD平面BEDF=BD,

：.OE1^ABCD,故E(l,l,企),同理/(1,1,一0),

DA=(2,0,0),DE=(1,1,揚,DC=(0,2,0),DF=(1,1,-72)

設加=（%,%,zj為平面DAE的法向量，九=（%,%，Z2）為平面DCF的法向量,

m-DA-2x=0,

則<r故可取m=(0,-V2,1),

m-DE=再+%+，2Z]=0,

n-DC=2%=0,

同理J一廠故可取〃=(、歷,0,1),

_

n-DF=%+%V2Z2=0,

..m-n11

所以儂血,〃〉=麗=小萬

設平面ADE與平面CDF所成的二面角為6,貝！Isin。=Jl—=孚,

所以平面ADE與平面CDF所成的二面角的正弦值為久1

3

19、（1）分布列見解析

（2）甲的試驗操作能力較強，理由見解析

【解析】（1）設考生甲、乙正確加工完成零件的個數(shù)分別為4、”,則占的可能取值有1、2、3,〃的可能取值有0、

1、2、3,且〃?呂卜,1],計算出兩個隨機變量在不同取值下的概率，可得出這兩個隨機變量的概率分布列;

⑵計算出￡（/）、E⑺、尸管22）、尸（〃22）的值,比較后收）、￡（〃）的大小，以及尸管22）、尸（〃22）的

大小，由此可得出結論.

【小問1詳解】

解：設考生甲、乙正確加工完成零件的個數(shù)分別為自、

則J的可能取值有1、2、3,〃的可能取值有0、1、2、3,且

「1C21C2cl3C31

產(chǎn)(。=1)=避=,。何=2)=k=寸^=3)=^=-,

所以，考生甲正確加工完成零件數(shù)&的概率分布列如下表所示:

所以，考生乙正確加工完成零件數(shù)〃的概率分布列如下表所示:

0123

1248

P

279927

1312

【小問2詳解】解：E（^）=lx-+2x|+3x-=2,E（〃）=3x§=2,

“22）=；+；=：P（〃22）=：+W所以，尸（空2）＞尸（*2）,

JJJy乙/乙/

從做對題的數(shù)學期望分析，兩人水平相當；

從通過考查的概率分析，甲通過的可能性大，因此可以判斷甲的試驗操作能力較強.

4

20、(1)a=0.05,中位數(shù)為64；(2)］.

【解析】(1)由頻率和為1求參數(shù)a,根據(jù)中位數(shù)的性質，結合頻率直方圖求中位數(shù).

(2)首先由分層抽樣求6名同學的分布情況，再應用列舉法求概率.

【詳解】（1）由題設，（0.005+0.010+0.015+0.020+0x10=1,可得。=0.05,

二中位數(shù)應在［60,70)之間，令中位數(shù)為x,則0.05x(70—%)+0.02x10=0.5,解得％=64.

???該校同學平均每天體育鍛煉時間的中位數(shù)為64.

(2)由題設,抽取6名同學中1名在［30,40),2名在［40,50),3名在［50,60),

若1名在［30,40)為A，2名在［40,50)為片,不，3名在［50,60)為?！?。2，。3,