2021年新高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題及答案_第1頁
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文檔簡介

1.已知集合力={—5<x<l},5={X|X2<4},則2口6=

A.(2,3)B.[2,3)

C.(-2,1)D.[-2,1)

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(l+i)z=l,則z的虛部為

A.—B.—1

2

11.

C.——D.——i

22

3.已知l-sin(e+g)=cos(5-6),則cos?1+的值為

21

A.-B.-

33

C.逅D.3

33

4.某市政府決定派遣8名干部(5男3女)分成兩個小組,到該市甲、乙兩個縣去檢查扶貧工作,若要求

每組至少3人,且女干部不能單獨成組,則不同的派遣方案共有

A.240種B.320種

C.180種D.120種

5.下列命題中的真命題是

A.VXEN,x2>1

h

B.命題,勺。/€&,—+—>2”的否定

ab

C.“直線4與直線4垂直”的充要條件是“它們的斜率之積一定等于-1”

22

D.“加〉-1”是“方程」-----匚=1表示雙曲線'’的充分不必要條件

2+加加+1

6.函數(shù)/熾)=叱的大致圖象是

x

7.《九章算術(shù)》是中國古代張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學(xué)專著.是《算經(jīng)十書》中最重要的一部,其中將有

三條棱互相平行且有一個面為梯形的五面體稱之為“羨除”,下列說法錯誤的是

A.“羨除”有且僅有兩個面為三角形B.“羨除”一定不是臺體

C.不存在有兩個面為平行四邊形的“羨除”D.“羨除”至多有兩個面為梯形

8.已知函數(shù)/(x)是定義域為R的奇函數(shù),且當(dāng)x<0時、函數(shù)/(x)=xe'+l,若關(guān)于x的函數(shù)

F(x)=[/(x)]2-(?+l)/(x)+a恰有2個零點,則實數(shù)a的取值范圍為

A.B.(-oo,-l)U(l,+℃)

C.D.U[l,+°°)

二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求,

全部選對的得5分,部分選對的得3分,有選錯的得0分.

9.已知,>L>0,貝!]

ab

A.a3>b3B.問〉回

。衿皿>以

22

10.已知6、與是雙曲線C:=_二=1的上、下焦點,點M是該雙曲線的一條漸近線上的一點,并且

42

以線段片鳥為直徑的圓經(jīng)過點“,則下列說法正確的是

A.雙曲線。的漸近線方程為y=±J5x

B.以可鳥為直徑的圓的方程為/+/=2

c.點河的橫坐標(biāo)為土J5

D.△〃尸|鳥的面積為2G

11.在公比為4等比數(shù)列{叫中,s,是數(shù)列{4}的前〃項和,若6=1必=27電,則下列說法正確的是

A.q=3B.數(shù)列{S.+2}不是等比數(shù)列

C.$5=120D.21ga?=1gan_2+1gan+2(?S3)

12.某同學(xué)在研究函數(shù)的性質(zhì)時,受兩點間距離公式的啟發(fā),將/(x)變形

2222

為/")=iy(x_0)+(0-l)+^(X-2)+(0-1),則下列關(guān)于函數(shù)/(x)的描述正確的是

A.函數(shù)/(X)在區(qū)間[1,m)上單調(diào)遞增

B.函數(shù)/(x)的圖象是中心對稱圖形

C.函數(shù)/(X)的值域是[2后,+8)

D.方程/(/(x))=l+若無實數(shù)解

三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.

13.已知向量a=(-1,加),3=(2,-3),若+則加=.

14.二項式(4-工)6的二項展開式中的常數(shù)項是.

X

15.將函數(shù)/(x)=sin2x+JJcos2x的圖象沿x軸向左平移夕(夕>0)個單位后得到函數(shù)g(x)的圖象,

若g(x)為偶函數(shù),則。的最小值為.

16.已知矩形ABCD滿足/6=2百,AD=2,若將48。沿5。翻折到的位置,使得

平面_L平面8cP,M,N分別為4'D,8c的中點,則直線被四面體BCD的外接球

所截得的線段長為

四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)

從①。=3,②③3sinfi=2sin/l這三個條件中任選一個,補充在下面的問題中.若問題中的三

△/loc2

角形存在,求出b的值;若問題中的三角形不存在,說明理由.

問題:是否存在△Z8C,內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,且c=0T,3ccos8=3a+2"?

注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答記分.

18.(12分)

已知數(shù)列{%}的前n項的和為S”,且滿足S,=2%—1(〃eN*).

(1)求數(shù)列{&,,}的通項公式凡及S“.

(2)若數(shù)列{4}滿足"=|S,-15|,求數(shù)列{"}的前〃項的和葉.

19.(12分)

東莞的輕軌給市民出行帶來了很大的方便,越來越多的市民選擇乘坐輕軌出行,很多市民都會開汽車到離

家最近的輕軌站,將車停放在輕軌站停車場,然后進站乘輕軌出行,這給輕軌站停車場帶來很大的壓力.某

輕軌站停車場為了解決這個問題,決定對機動車停車施行收費制度,收費標(biāo)準(zhǔn)如下:4小時內(nèi)(含4小時)

每輛每次收費5元;超過4小時不超過6小時,每增加一小時收費增加3元;超過6小時不超過8小時,

每增加一小時收費增加4元,超過8小時至24小時內(nèi)(含24小時)收費30元;超過24小時,按前述標(biāo)

準(zhǔn)重新計費.上述標(biāo)準(zhǔn)不足一小時的按一小時計費.為了調(diào)查該停車場一天的收費情況,現(xiàn)統(tǒng)計1000輛車

的停留時間(假設(shè)每輛車一天內(nèi)在該停車場僅停車一次),得到下面的頻數(shù)分布表:

T(小時)(0,4](45](5,6](6,刀(7,8](8,24]

頻數(shù)(車次)10010020020035050

以車輛在停車場停留時間位于各區(qū)間的頻率代替車輛在停車場停留時間位于各區(qū)間的概率.

(1)現(xiàn)在用分層抽樣的方法從上面1000輛車中抽取了100輛車進行進一步深入調(diào)研,記錄并統(tǒng)計了停車

時長與司機性別的2x2列聯(lián)表:

男女合計

不超過6小時30

6小時以上20

合計100

完成上述列聯(lián)表,并判斷能否有90%的把握認為“停車是否超過6小時”與性別有關(guān)?

(2)(i)X表示某輛車一天之內(nèi)(含一天)在該停車場停車一次所交費用,求X的概率分布列及期望£(才);

(ii)現(xiàn)隨機抽取該停車場內(nèi)停放的3輛車,自表示3輛車中停車費用大于少(才)的車輛數(shù),求產(chǎn)(J22)的

概率.

參考公式及數(shù)據(jù):H———c——其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2?30.400.250.150.100.050.025

"o0.7801.3232.0722.7063.8415.024

20.(12分)

如圖,四棱錐P—力88中,四邊形是菱形,P4=PC,BD上P4,E是BC上一點、,且EC=3BE,

設(shè)NCfW=。.

(1)證明:PO,平面力BCD;

(2)若NB4D=60°,PALPE,求二面角Z-PE-C的余弦值.

21.(12分)

已知橢圓。:m+,=1(4>6>0)的離心率為等,其左、右焦點分別為大,鳥,點尸為坐標(biāo)平面內(nèi)的

f3TT3

一點,且OP=一,PFfPF,=一一,O為坐標(biāo)原點.

24

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)〃為橢圓C的左頂點,A,8是橢圓C上兩個不同的點,直線M4,MB的傾斜角分別為£,

1T

且a+4=],證明:直線恒過定點,并求出該定點的坐標(biāo).

22.(12分)

已知函數(shù)/(x)=e%x+a),其中e是自然對數(shù)的底數(shù),aeR.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)設(shè)g(x)=/(x-a)-x2,討論函數(shù)g(x)零點的個數(shù),并說明理由.

1.D【解析】因為/={x|—5<x<l},8=卜上244}={川—24x42},所以/n8={x|—2?x<l}.

2.C【解析】由(l+i)z=l得z=±i=,=;一gi,所以z的虛部為一g.故選C.

3.A【解析】因為1-sin[。+《)=cos1]—6),所以i-;sin6-^^cos6=sin8,所以

—sin0+cos0-\所以sin(e+^J=,所以?052(夕+不)=1一5畝2(6+石)=1一§=§,

故選A.

4.C【解析】兩組至少都是3人,則分組中兩組的人數(shù)分別為3、5或4、4,又因為3名女干部不能單

(Q4、

獨成一組,則不同的派遣方案種數(shù)為仁+甘-1人;=180.故選?.

IA2)

5.D【解析】對于選項A,當(dāng)x=0時,Vzi不成立,故A錯誤;

對于選項B,命題“三凡beR,2+色>2”的否定是“\/41€&2+色《2”,當(dāng)。=3,6=1不成立,

abab

故B錯誤:

對于選項C,當(dāng)一直線斜率為0,另一直線斜率不存在時,“它們的斜率之積一定等于-1”不成立,故C

錯誤;

22

對于選項D,由方程」-----匚=1表示雙曲線等價于(2+加)(加+1)>0,即掰<—2或加>一1,所

2+加m+\

以“加>-1”是“方程廣-----匕一=1表示雙曲線”的充分不必要條件,故D正確.故選D.

2+加〃?+1

【解析】/(X)的定義域為卜k#0},關(guān)于原點對稱,且/(T)=皿=-叱=_/(X),.??/(X)

6.B

-XX

為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點對稱,故A,C錯誤;當(dāng)x>0時,為(x)=2(l”x),故當(dāng)xe(0,e)時,

/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增,當(dāng)xe(e,+8)時,/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,故D錯誤,B正確.故選

B.

7.D【解析】如圖所示,AEHBFHCD,四邊形NCDE為梯形.

對選項A,由題知:“羨除”有且僅有兩個面為三角形,故A正確;

對選項B,因為AEHBFHCD,所以“羨除”一定不是臺體,故B正確;

對選項C,假設(shè)四邊形NBbE和四邊形8。尸為平行四邊形,

則AE//BF/CD,AE=BF=CD,則四邊形4C0E為平行四邊形,

與已知四邊形為梯形矛盾,故不存在,C正確.

對選項D,若貝IJ“羨除”有三個面為梯形,故D錯誤.

故選D.

8.C【解析】F(x)=(/(x)-l)(/(x)-4)=0,/(x)=l或/(x)=a,

x<0時,f(x)=xex+1<1,f(x)=(x+l)eA?

x<-l時,f'(x)<0,/(x)遞減,T<x<0時,f\x)>0,/(x)遞增,

.../(x)的極小值為"-1)=1」,又/(x)<l,因此/(x)=l無解.

e

此時/(x)=a要有兩解,則1一2<。<1,

e

又/(X)是奇函數(shù),...x〉。時,/(x)=l仍然無解,/(X)=a要有兩解,則—1<》<,一1.

e

綜上,—])u(l—,1].

故選C.

9.CD【解析】:〉0,6〉a〉0,???〃>/,A錯誤;<網(wǎng),B錯誤;g>1,C正確;,

D正確.故選CD.

22

10.ACD【解析】由雙曲線方程匕—土=1知a=2,b=JL焦點在y軸,漸近線方程為丁=±3》=±缶,

42b

A正確;c7a2〃=&,以1月為直徑的圓的方程是Y+/=6,B錯;由

X=—y/2i—

,由對稱性知M點橫坐標(biāo)是土亞,C正確;

歹=一2

S/ug=;|月眉除|=;*26*及=20,D正確.故選ACD.

11.ABD【解析】因為%=1嗎=27%,所以有qd=27q?夕ng,=27=>夕=3,因此選項A正確;因為

S+2!(3'"+3)2

工=片=和"一1)'所以5〃+2=m+24(3"+3)'因為---------=1+中廣常

1-323〃十幺—(3w+3)?十J

數(shù),所以數(shù)列{s,,+2}不是等比數(shù)列,故選項B正確:因為Ss=;(35-1)=121,所以選項C不正確;

%=囚=3"’>°,因為當(dāng)"23時,Iga“_2+lga“+2=lg(a"-2q+2)=lga/=21gq,,所以選項D正

確.故選ABD.

12.ACD【解析】設(shè)2(0,1),8(2,1),f(x)=J(x—O)2+(O—iy+J(x—2)2+(0-表示x軸上點

P(x,0)到48兩點的距離之和,設(shè)。(L0),以A,B為焦點、,。為短軸上一個端點,作橢圓,x軸與

此橢圓相切于點0,當(dāng)尸從。向右移動時,|/訓(xùn)+|。用逐漸增大,即函數(shù)/(x)在區(qū)間[1,+8)上單調(diào)

遞增,A正確;當(dāng)尸與°重合時,|/訓(xùn)+|尸8|最小,最小值為2夜,因此/(x)的值域是[2后,+8),

C正確;函數(shù)圖象關(guān)于直線x=l對稱,不是中心對稱是,B錯誤;當(dāng)x=0或x=2時,/(x)=l+V5,

由于/(x)22jl,因此/(幻=0和〃x)=2都無解,D正確.故選ACD.

QMP

13.8【解析】因為£=(—1,加),3=(2,-3),所以£+25=(3,加一6).因為(£+2B)_L5,所以

a+2b\-b=6-3(m-6)=0,解得加=8.

14.15【解析】因為(4一工)6的展開式的通項是C;(J7嚴卷,當(dāng)3—主=0時,廠

xx2

=2,所以展開式中的常數(shù)項是C;(-iy=15.

15.【解析】函數(shù)/(》)=而2乂+氐052工=2應(yīng)吟+§,將函數(shù)/(x)的圖象沿x軸向左平移8個單位

后,得到函數(shù)y=2sin(2x+2s++的圖象,因為g(x)為偶函數(shù),所以2。+。=版■+與丘Z),則

k冗冗TT

夕=晝+丘(左eZ).當(dāng)左=0時,<P=~-

16.【解析】過M做于點P,連接PN,因為平面平面8co,所以MPJ.PN,可

2

求得MP=Y3,8P=3,所以。P=3,在三角形。/W中,NPDN=30°,DN=6,所以PN=立,

2222

所以加乂=業(yè)1,由題意可知,四面體力BCD的外接為8。中點,設(shè)為。,過。做的_LW于,,連

2

接ON,可求得ON=1,從而得剛=叵,所以0。=、1^=啦,因為球的半徑為2,故所截得的

4V164

線段長為2

17.(10分)

【解析】解法1:由正弦定理,得3sinCcos5=3sin[7r-(5+C)]+2sin^,

2

整理得3sia5cosc+2sin8=0.因為sinHrO,所以cosC=---.(5分)

3

解法2:由3ccos3=3a+2b,得34ccos5=3〃2+2Qb,

2222222

由余弦定理,得3(a+c-i)=6a+4abt整理得3^a+c-b)=4ah,

2

BP3abcosC+2ab=0.所以COsC=---.(5分)

3

選①Q(mào)=3.由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos=>21=9+/)2-6x/)x

所以〃+4b?12=0,解得方=2或b=?6(舍去),

所以問題中的三角形存在.(10分)

選②5=-absmC=-abx—=—,故M=9,(7分)

8c2"AcBC2232

由余弦定理可得c2+a2+b2-2abcosC^>21=a2+b2+~a^>又a2+b2>2ab,

4in

所以21=/+b2+-ab>yab^ab<6,3,與必=9矛盾,

所以問題中的三角形不存在.(10分)

選③3sin8=2sirL4.由正弦定理得,3sin5=2sin/l=>3b=2a,(7分)

71

由余弦定理可得。2=〃+岳-2“6cosc=2l=—b2,

4

所以6=2或6=-2(舍去),

所以問題中的三角形存在.(10分)

18.(12分)

【解析】(1)由S,,=2a“—1得:$=24-1,即q=l,

由S,=2a”-1得:5n+1=2an+1-l,兩式相減得:an+l=2an+i-2a?,

即%+1=24,即數(shù)列{%}是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列,(4分)

則%=2",

貝US=上三一=2"—1.(6分)

"1-2

,‘16—2"

(2)由⑴知:b?=2"-16,則〃=4,

2"-16(〃>4)

則當(dāng)時,7;,=(16-2')+(16-22)+---+(16-2Z,)

=16?-(2'+22+---+2n)=16?-)

=16M-2,,+1+2:(9分)

當(dāng)〃〉4時,

7;,=(16-2')+(16-22)+---+(16-24)+(25-16)+(26-16)+(27-16)+---+(2,,-16)

=27;+(2'+22+---+2,,)-16n

=2x34+20—216〃=2旬-16/+66,

1-2

16?-2,,+|+2(1<?<4)

則(,="''.(12分)

2"“—16〃+66(〃>4)

19.(12分)

100+100+200

【解析】(1)由題,不超過6小時的頻率為0.4,則100輛車中有40輛不超過6小時,60

1000

輛超過6小時,(2分)

則2x2列聯(lián)表如下:

男女合計

不超過6小時103040

6小時以上204060

合計3070100

根據(jù)上表數(shù)據(jù)代入公式可得小1篇*0**0.794<2,06

所以沒有超過90%的把握認為“停車是否超過6小時”與性別有關(guān).(5分)

(2)(i)由題意知:X的可取值為5,8,11,15,19,30,則

尸(X=5)=*(X=8)=>(X=ll)q,尸(X=15)=g,

71

P(Jf=19)=—,P(^=30)=—.(7分)

所以X的分布列為:

X5811151930

1171

?(X)

1010552020

(8分)

A£(^)=5x—+8x—+llxl+15x-+19x—+30x—=14.65.(9分)

v71010552020

1713(31。分)

(ii)由題意得P(X>14.65)干宗赤'所以"中"(1

5

所以P(*2)=P(-)+P(-固(|)+0二啜/備喘<2分)

20.(12分)

【解析】(1)???四邊形力8C。是菱形,二。是ZC的中點,BDLAC,

':BD1PA,&口/。=/,二80,平面P4C,(2分)

?.?。。匚平面以。,,8。,尸。.

?:PA=PC,。是NC的中點,二尸OJ.4C.

?;ZCu平面Z8C。,80U平面力8C7),AC^BD^O,

,PO_L平面N8CD.(5分)

(2)由(1)知,PO_L平面/BCD,BD1.AC.

...以。為坐標(biāo)原點,以O(shè)N,OB,0。所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)四邊形力88的邊長為4,PO=a.

?.?四邊形/BCD是菱形,NR4。=60。,;.A4BD與ABCD都是等邊三角形.

?*-OA=OC=2^5.

.-.P(0,0,a),碓百,0,0),C(-2A/3,0,0),E,-,0,

[22,

PA=^2^3,0,—,PE=3,—Q,EC=f—^^-,―^-,0.(7分)

<22)(22,

VPA_LPE,**?PA-PE=^2>/3,0,—<2^,f—=0,

7

即一3+a2=0,得a=G-

一亭,|,同(9分)

???莎=(230,-G),~PE=

7

設(shè)平面P4E的法向量為五=(%,M,zJ,

m-PA=2上x「A/3Z]=0/

5百、

由<_3,取Z1=2,得加=1,/;

r3

tn.pE=--X{+-yl-^zi=QI7

設(shè)平面PEC的一個法向量為〃=(/,為,Z2),

無比=_述》3

2一5?2二°

2

由,,取》2=_1,得〃=.

n.PE=-^-

X2+5y2-2~0

2

設(shè)二面角N-PE-C的平面角為。,由圖可得,。為鈍角,

m?,7

貝ijcos0=-

網(wǎng)洞

...二面角4-PE-C的余弦值為—姮.(12分)

5

21.(12分)

【解析】(1)設(shè)尸(加,〃),耳(-c,0),F2(C,0),

由|。尸|=3,PF/PF,=-3可得nt?+"2=2,(-c-m,-n)(c-m,

11244

\222923

-w)=m-c+n=——c=——,

44

即有。2=3,即。=百,(2分)

又e=一字可得-2,底戶7=1

2

則橢圓的方程為二+歹2=1.(4分)

4-

(2)設(shè)4占,乂),B(x2,y2),由題意可得”(—2,0),

若直線AB的斜

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