2023年新高考數學一模試題匯編15 計數原理（解析版）

專題15計數原理

一、單選題

1.（2023?山東荷澤?統(tǒng)考一模）為了迎接“第32屆荷澤國際牡丹文化旅游節(jié)”，某宣傳團體的六名工作人員

需要制作宣傳海報，每人承擔一項工作，現需要一名總負責，兩名美工，三名文案，但甲，乙不參與美工，

丙不能書寫文案，則不同的分工方法種數為（）

A.9種B.11種C.15種D.30種

【答案】C

【分析】利用分類加法計數原理進行分析，考慮丙是否是美工，由此展開分析并計算出不同的分工方法種

數.

【詳解】解：若丙是美工，則需要從甲、乙、丙之外的三人中再選一名美工，

然后從剩余四人中選三名文案，剩余一人是總負責人，共有=12種分工方法；

若丙不是美工，則丙一定是總負責人，

此時需從甲、乙、內之外的三人中選兩名美工，剩余三人是文案，共有C專種分工方法；

綜上，共有12+3=15種分工方法，

故選：C.

2.（2023?山東淄博?統(tǒng)考一模）某公園有如圖所示4至H共8個座位，現有2個男孩2個女孩要坐下休息,

要求相同性別的孩子不坐在同一行也不坐在同一列，則不同的坐法總數為（）

ABCD

EFGH

A.168B.336C.338D.84

【答案】B

【分析】根據題意，先排男生再排女生，由分步計數原理計算可得答案.

【詳解】第一步：排男生，第一個男生在第一行選一個位置有四個位置可選，第二個男生在第二行有三個

位置可選，由于兩名男生可以互換，故男生的排法有4x3x2=24種，

第二步：排女生，若男生選4尸，則女生有BE,BG,BH,CE,CH,DE,CG共7種選擇，由于女生可以互換，

故女生的排法有2X7=14種，

根據分步計數原理，共有24X14=336種，

故選：B

3.（2023?山東濰坊?統(tǒng)考一模）過去的一年，我國載人航天事業(yè)突飛猛進，其中航天員選拔是載人航天事

業(yè)發(fā)展中的重要一環(huán).已知航天員選拔時要接受特殊環(huán)境的耐受性測試，主要包括前庭功能、超重耐力、失

重飛行、飛行跳傘、著陸沖擊五項.若這五項測試每天進行一項，連續(xù)5天完成.且前庭功能和失重飛行須

安排在相鄰兩天測試，超重耐力和失重飛行不能安排在相鄰兩天測試，則選拔測試的安排方案有()

A.24種B.36種C.48種D.60種

【答案】B

【分析】根據特殊元素"失重飛行''進行位置分類方法計算，結合排列組合等計數方法，即可求得總的測試

的安排方案種數.

【詳解】①若失重飛行安排在第一天則前庭功能安排第二天，則后面三天安排其他三項測試有A1=6種安

排方法，

此情況跟失重飛行安排在第五天則前庭功能安排第四天安排方案種數相同；

②若失重飛行安排在第二天，則前庭功能有&種選擇，超重耐力在第四、第五天有C：種選擇，剩下兩種測

試全排列則有CJGA/=8種安排方法，

此情況與失重飛行安排在第四天方安排方案種數相同；

③若失重飛行安排在第三天，則前庭功能有C；種選擇，超重耐力在第一、第五天有C；種選擇，剩下兩種測

試全排列A：,則有A：=8種安排方法；

故選拔測試的安排方案有6×2+8×2+8=36種.

故選：B.

4.(2023?湖南長沙?統(tǒng)考一模)G-2)(1-2x)4的展開式中，常數項為()

A.-4B.-6

C.-8D.-10

【答案】D

【分析】先求出(1-2x)4展開式的通項公式，然后求出其一次項系數和常數項，從而可求得結果.

【詳解】(I-2x)4展開式的通項公式為TV+】=C；(-2x)r=Cζ(-2)r?xr,

所以G-2)(1-2x)4的展開式中，常數項為

C：X(-2)+(-2)XC：=-8-2=-10,

故選：D

5.(2023?廣東梅州?統(tǒng)考一模)若從0,I,2,3,…9這10個整數中同時取3個不同的數,則其和為偶數

的概率為()

A-?B?[C??d?Ξ

【答案】D

【分析】先求出基本事件總數，再求出滿足條件的事件數，利用古典概型概率求解.

【詳解】10不同的數取3個不同的數的情況為：C∣o=120,

其中3個之和為偶數的情況為：

①三個為偶數：Ci=10,

②兩奇數一偶數：C專Cg=50,

共60種情況，所以所求概率為：瑞=/

故選：D.

6.（2023?廣東茂名?統(tǒng)考一模）將4個6和2個8隨機排成一行，則2個8不相鄰的情況有（）

A.480種B.240種C.15種D.10種

【答案】D

【分析】將2個8插空放入不相鄰的5個空位，即可得解.

【詳解】解：將2個8插空放入不相鄰的5個空位（4個6之間有5個空位）中有CW=10方法，

故2個8不相鄰的情況有10種.

故選：D

7.（2023?廣東深圳?統(tǒng)考一模）安排5名大學生到三家企業(yè)實習，每名大學生只去一家企業(yè)，每家企業(yè)至

少安排1名大學生，則大學生甲、乙到同一家企業(yè)實習的概率為（）

A.-B.—C.—D.—

5IO2525

【答案】D

【分析】5名大學生分三組，每組至少一人，有兩種情形，分別為2,2,1人或3,1,1人，根據排列組合得出

各自有多少種，再得出甲、乙到同一家企業(yè)實習的情況有多少種，即可計算得出答案.

【詳解】5名大學生分三組，每組至少一人，有兩種情形，分別為2,2,1人或3,1,1人；

當分為3,1,1人時，有髭Ag=60種實習方案，

當分為2,2,1人時，有筆1?Ag=90種實習方案，

即共有60+90=150種實習方案，

其中甲、乙到同一家企業(yè)實習的情況有的AW+CjAl=36種，

故大學生甲、乙到同一家企業(yè)實習的概率為需=

故選：D.

8.（2023?重慶?統(tǒng)考一模）2022年8月某市組織應急處置山火救援行動，現從組織好的5支志愿團隊中任

選1支救援物資接收點服務，另外4支志愿團隊分配給“傳送物資、砍隔離帶、收撿垃圾''三個不同項目，

每支志愿團隊只能分配到1個項目，且每個項目至少分配1個志愿團隊，則不同的分配方案種數為（）

A.36B.81C.120D.180

【答案】D

【分析】先從5支志愿團隊中任選1支救援物資接收點服務，再將4支志愿團隊分配給“傳送物資、砍隔

離帶、收撿垃圾”三個不同項目，最后根據分步乘法原理求解即可.

【詳解】先從5支志愿團隊中任選1支救援物資接收點服務，有Cg=5種不同的選派方案，

再將剩下的4支志愿團隊分配給“傳送物資、砍隔離帶、收撿垃圾''三個不同項目，

有CjAw=6x6=36種不同的選派方案，

所以，根據分步乘法原理，不同的安排方案有CgCjA,=5x36=180種.

故選：D.

9.（2023?重慶?統(tǒng)考一模）某人有1990年北京亞運會吉祥物“盼盼”，2008年北京奧運會吉祥物“貝貝”“晶

晶”“歡歡”“迎迎”“妮妮”，2010年廣州亞運會吉祥物“阿樣”“阿和”“阿如”“阿意”“樂羊羊”，2022年北京冬奧

會吉祥物“冰墩墩”,2022年杭州亞運會吉祥物“琮琮”“蓮蓮”“宸宸”,若他從這15個吉祥物中隨機取出兩個,

這兩個吉祥物都是來自在北京舉辦的運動會的概率是（）

A.—B.-C.-D.-

105S3

【答案】B

【分析】先得到15個吉祥物中，來自北京舉辦的運動會的有7個，再根據組合知識計算出相應的概率.

【詳解】15個吉祥物中，來自北京舉辦的運動會的有7個，

他從這15個吉祥物中隨機取出兩個，這兩個吉祥物都是來自在北京舉辦的運動會的概率為m="

CIS5

故選：B

二、多選題

10.（2023?湖南岳陽?統(tǒng)考一模）甲、乙、丙、丁四名同學報名參加假期社區(qū)服務活動，社區(qū)服務活動共有

“關懷老人”、“環(huán)境檢測”、“圖書義賣”這三個項目，每人都要報名且限報其中一項.記事件4為“恰有兩名

同學所報項目相同“，事件B為“只有甲同學一人報‘關懷老人'項目”，則（）

A.四名同學的報名情況共有34種

B.“每個項目都有人報名”的報名情況共有72種

C.“四名同學最終只報了兩個項目”的概率是夠

D.P（BM）=W

O

【答案】ACD

【分析】根據分步乘法計數原理可求得四名同學的報名情況的種數，判斷A;根據古典概型的概率公式可判

斷B,C；根據條件概率的概率公式，可判斷D.

【詳解】由題意甲、乙、丙、丁四名同學每人都要報名且限報一項，每人都有3種選擇，

則共有3×3×3×3=34種,A正確;

“每個項目都有人報名''，則必有兩人報同一個項目，

故此時報名情況有CicAg=36種，B錯誤；

“四名同學最終只報了兩個項目“，此時可先選出兩個項目，

報名情況為分別有兩人報這兩個項目，或者一人報其中一個，另三人報名另一個項目，

故共有CxCj+C：A介=42種報名情況，

則“四名同學最終只報了兩個項目，，的概率是Il=SC正確；

事件A為“恰有兩名同學所報項目相同“，WCiAl=36種報名方法，

則P(A)=.T，

事件B為“只有甲同學一人報關懷老人項目”，

若4B同時發(fā)生，即恰有2名同學所報項目相同且只有甲同學一人報關懷老人項目，

則有C次=6種報名方法，則PoIB)=捺=親

故戶(BM)=瑞=拿=，，D正確，

故選：ACD

三、填空題

11.(2023?福建?統(tǒng)考一模)近年來，“劇本殺”門店遍地開花.放假伊始，7名同學相約前往某“劇本殺”門

店體驗沉浸式角色扮演型劇本游戲，目前店中僅有可供4人組局的劇本，其中A,B角色各1人，C角色2

人.已知這7名同學中有4名男生，3名女生，現決定讓店主從他們7人中選出4人參加游戲，其余3人

觀看，要求選出的4人中至少有1名女生，并且A,8角色不可同時為女生.則店主共有_________種選

擇方式.

【答案】348

【分析】根據題意，按照選出的女生人數進行分類，分別求出每一類的選擇種數，然后相加即可求解.

【詳解】由題意，根據選出的女生人數進行分類，

第一類：選出1名女生，先從3名女生中選1人，再從四名男生中選3人，然后安排角色，兩名男生扮演

A,B角色有A專種，剩余的1名男生和女生扮演C角色，或A,B角色1名男生1名女生，女生先選有CL

剩下的一個角色從3名男生中選1人,則C：種，所以共有CC(A1+C?C?)=144種,

第二類：選出2名女生，先從3名女生中選2人，再從四名男生中選2人，然后安排角色，兩名男生扮演

A,B角色有Ag種，剩余的2名女生扮演C角色，或A,B角色1名男生1名女生，選出1名女生先選角

色有C犯之,剩下的一個角色從2名男生中選1人，則C；種，所以共有C犯久A"C犯犯力=180種，

第三類：選出3名女生，從先從3名女生中選3人，再從四名男生中選1人，然后安排角色，A,B角色1

名男生1名女生，選出1名女生先選角色有C；?,剩下的一個角色讓男生扮演，余下的2名女生扮演角色

C,所以共有C犯=24種，

由分類計數原理可得：店主共有144+180+24=348種選擇方式，

故答案為:348.

12.(2023?山東臨沂?統(tǒng)考一模)(/+1)GX-￡)6的展開式中常數項為______.

【答案】-100

【分析】求出(2x-3)6的展開式的通項，再分別求出常數項和專的系數即可求解.

【詳解】Qx-：)6展開式中通項為幾+1=C*.(2x)6-fe(-%-1)k=(-l)k?26-kClx6-2k,

令6-2∕c=0,則Jc=3,令6-2k=-2,則k=4,

所以常數項為-23或+22C?=-160+60=-100.

故答案為：—100.

13.(2023?山東威海?統(tǒng)考一模)在(x+α)6的展開式中的爐系數為160,則α=_______.

【答案】2

【解析】首先求出(x+α)6的展開項中/的系數，然后根據一系數為160即可求出ɑ的取值.

【詳解】由題知4+1=卻氏二鼠,

當r=3時有7；=C1x3a3=160x3nC^a3=160,

解得a=2.

故答案為：2.

【點睛】本題主要考查了二項式展開項的系數，屬于簡單題.

14?(2023?山東日照?統(tǒng)考一模)在(1一%)5的展開式中的系數為___________.

【答案】10

【解析】根據二項展開式的通項，賦值即可求出.

【詳解】(I-X)5的展開式通項為7r+ι=M(-χ)r,令％=2,所以"的系數為盤(-1)2=10.

故答案為：10.

【點睛】本題主要考查二項展開式某特定項的系數求法，解題關鍵是準確求出展開式的通項，屬于基礎題.

15.(2023?湖南邵陽?統(tǒng)考一模)(x-2y)3(y-2z)S(z-2x)7的展開式中不含Z的各項系數之和_____.

【答案】128

【分析】對每一個括號利用二項展開式的通項公式進行展開，展開后對每一項進行合并，合并后使得Z項

基次為0,確定項數后即可得到答案.

【詳解】(X-2y)3(y-2z)5(z-2x)7利用二項展開式的通項公式進行展開，設(X-2y)3項為k,(y-2z)s

項為n,(z-2x)7項為m.

展開后得Cg3-kQ2y)k.Cgy5-n(_2z)n,C7y7f(-2z)m對每一項進行合并得

C^Cψ(-2-)m+k+nx3-k+my5-n+kz7-m+n,因為展開式中不含z,所以7-m+n=0,又小得取值為

{0,l,2,3,4,5,6,7},n得取值為{0,1,2,3,4,5},故得Zn=7,n=0.

代入展開式得C第0(—2)7+。1。-45+上=c"-2)7+Oiofy5+k,又上得取值為{0,1,2,3},分別帶入后各

項系數之和為C式-2)7+C?(-2)8+C式-2)9+C^(-2)10=(-2)7+3?(-2)8+3-(-2)9+(-2)10=

128.

故答案為：128

16.(2023?廣東梅州?統(tǒng)考一模)(1+x)(2-X)5展開式中式的系數為__________.

【答案】40

【分析】易知展開式中/項的系數是由兩部分組成，分別求出再相加即可得出結果.

【詳解】根據題意可知，展開式中含/的項為1XdX22X(-%)3=-40尤3和X戢χ23×(-X)2=80/兩

部分；

所以展開式中二的系數為一40+80=40.

故答案為：40

17.(2023?廣東茂名?統(tǒng)考一模)(x+的展開式中/的系數為______(用數字作答).

【答案】56

【分析】根據二項展開式的通項公式求解即可.

【詳解】τr+1=C>8-r,χ-r=CZχ8-2r,

令8-2r=2,解得r=3,所以CW=哉=56.

故(X+O8的展開式中/的系數為56.

故答案為：56

18.(2023?廣東深圳?統(tǒng)考一模)(1-x)5的展開式中/的系數為______(用數字做答).

【答案】-10

【分析】利用二項展開式的通項公式求解