2022-2023學年安徽省亳州市渦陽二中等校聯(lián)考高一（下）期末數(shù)學試卷

2022-2023學年安徽省亳州市渦陽二中等校聯(lián)考高一（下）期末

數(shù)學試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。

1.某數(shù)學興趣小組有10名同學，在一次數(shù)學競賽中成績的名次由小到大排列分別是2,4,

5,x,11,14,15,39,41,50.若該小組成績名次的40%分位數(shù)是9.5,則x=（）

A.9B.8C.7D.6

f1g（-x）,T<x<0i

2,已知‘⑴二小，o<x（l’則f（下（1嗎3）=（）

A.1-73B.-I+V3C,-I-V3D.1+^

3.在△ABC中，“A=B”是“sin2A=sin2B”的（）

A.必要不充分條件B,充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.現(xiàn)有10名北京冬奧會志愿者，其中2名女志愿者和8名男志愿者，從中隨機地接連抽取

3名（每次取一個），派往參與花樣滑冰項目的志愿者服務.則“恰有一名女志愿者”的

概率是（）

A7R14r7n14

45451515

5.已知正實數(shù)也〃滿足機+〃=1,則占Wii的最大值是（）

A.2B.JQC.返D.—

22

6.黃鶴樓，位于湖北省武漢市武昌區(qū)，地處蛇山之巔，瀕臨萬里長江，為武漢市地標建筑.某

同學為了估算黃鶴樓的高度，在大樓的一側找到一座高為30（E-l）IT的建筑物A8,

在它們之間的地面上的點M（8,M,。三點共線）處測得樓頂A、樓頂C的仰角分別是

15。和60。，在樓頂A處測得樓頂C的仰角為15°,則估算黃鶴樓的高度CQ為（）

A.20V3irB.20V2irC.30V3irD.30V2n

7.一個圓錐的側面展開圖是半徑為2的半圓，則此圓錐內(nèi)切球的體積是()

4遍冗

A?號C.371D.

27

.B-K?asinB

8.在銳角△A8C中,三內(nèi)角4,B,C對應的邊分別為a,b,c,且sirr-z.則

0b

目的取值范圍是（)

b

B.(2,平)c.

A.，1))D.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有

多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得（）分。

（多選）9.對于函數(shù)F（x）=sinx+1」有如下四個判斷，其中判斷正確的是（）

sinx

A.f（x）的定義域是{x|x#所r,kEZ}

B./（x）的最小值是2

C.n是f（x）的最小正周期

D.7（x）的圖象關于直線x=-會對稱

（多選）10.設Zl,Z2是復數(shù)，17,石是其共朝復數(shù)，則下列命題中正確的是（）

22

若Z+Z

A.12=0，則Zl=Z2=0

B.若Z1+Z2=Z|-Z2,則Z1?Z2=O

c.若|Z1|=|Z2I，則Z1=Z2

D.若z「可為實數(shù)，則ZI為實數(shù)

（多選）11.在四棱錐S-ABCQ中，5。_1_平面438,底面ABCQ是正方形，則下列結論

中正確的是（）

A.BC〃平面SAD

B.AC與SB所成的角為60°

C.平面SDC_L平面A8CD

D.BO與平面SCO所成角為45°

（多選）12.某校開展數(shù)理化競賽，甲組有10位選手，其中數(shù)學5人，物理2人，化學3

人；乙組也有10位選手，其中數(shù)學4人，物理3人，化學3人.先從甲組中隨機選出一

人放到乙組，分別以4,A2和A3表示由甲組選出的是數(shù)學、物理和化學的事件；再從乙

組中隨機選出一人，以B表示由乙組選出的人是數(shù)學選手的事件，則下列結論中正確的

是()

A.P(A［)=1

B.Ai,左，4是兩兩互斥的事件

C.事件B與事件4相互獨立

Q

D.P⑻9

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

3兀3兀

1+sinccosc

14.已知正方體ABC。-出的棱長是4,P是棱BC的中點，過點A、P、C的平面截

該正方體得到的多邊形為a,則a的面積是.

15.定義在R上的函數(shù)/(x)滿足f(x+3)t/Xx+1)=/(2),則*2024)的值是.

16.已知向量；,而勺夾角為仇|曰=1,后|=2,且對任意的人＜0,人力的最小值是手,

則0的大小為.

四、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

qx

17.已知函數(shù)f(x)工-至，OGR.

3X

(1)若/(X)為偶函數(shù)，求“的值；

(2)令g(x)—f(x)-(a+1).若函數(shù)g(x)在［-1,1］上有兩個不同的零點，求a

的取值范圍.

18.設。是實數(shù)，復數(shù)(a-i)(2z+l)(i是虛數(shù)單位)在復平面內(nèi)對應的點在第四象限.

(1)求〃的取值范圍；

(2)若a取負整數(shù)，復數(shù)z滿足2z-|z|=a-3i3,求z.

19.如圖，在△ABC中，三內(nèi)角A,B,C對應的邊分別為a,b,c,點E是邊AB的中點，

點。是邊AC上一點，BD,CE相交于點P,且APkAE玲AC?

(1)若標=入標，求實數(shù)人的值；

(2)若下■標=0，證明：a2+3b2=3c2.

A

20.如圖，在三棱柱ABC-AIBIG中，側棱AAi_L平面ABC,ZBAC=90°,AB=AC,E

是棱上的動點，。是棱BC的中點.

(1)證明:ADICiE；

(2)若四棱錐。-A4山山的體積是&,且A4i=2,求△4BC的面積.

C對應的邊分別為a,b,c,sinB+cosBtanC=''^Fa

3c

(1)求角C的大小;

(2)若E是邊AB上的點，且BE=CE=3E4,求tanB的值.

22.“以任意三角形的三條邊為邊，向外作三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓

的圓心組成一個等邊三角形”，這就是著名的拿破侖定理，在AABC中，/4=120°,

以AB,BC,AC為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次是。1,02,。3.已知△

。1。2。3的面積是愿，建立如圖所示的直角坐標系，請利用拿破侖定理、坐標法和解三

角形等相關知識解決以下兩個問題:

(1)求AB+AC的值；

(2)求△ABC周長的取值范圍.

參考答案

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。

1.某數(shù)學興趣小組有10名同學，在一次數(shù)學競賽中成績的名次由小到大排列分別是2,4,

5,x,11,14,15,39,41,50.若該小組成績名次的40%分位數(shù)是9.5,則x=()

A.9B.8C.7D.6

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義，計算即可.

解：40%義10=4,

故40%分位數(shù)是第4、第5個名次數(shù)的平均值，即9.5,

因此史升=9.5，解得x=8.

故選：B.

【點評】本題考查百分位數(shù)的應用，屬于基礎題.

lg(-x),-l4x<0

2.己知f(x)則f-f(1。843)=()

2X.0<x<l

A.1-^/3B.-1-K/3C.-1-V3D-1+V3

【分析】由已知函數(shù)解析式代入即可直接求解.

lg(-x)?-l<x<0

解:因為f(x)

2X,0<x<l

所以fT(兀刃的

故選：C.

【點評】本題主要考查了函數(shù)值的求解，屬于基礎題.

3.在△ABC中，uA=Bn是“sin2A=sin2B”的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷.

解：4=8時，sin2A=sin2B,充分性滿足，

當A+B=/-時，sin2A=sin2(-7--B)=sin(7T-2B)=sin2B>必要性不滿足,

所以“A=B”是“sin2A=sin2B”的充分不必要條件.

故選：B.

【點評】本題主要考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎題.

4.現(xiàn)有10名北京冬奧會志愿者，其中2名女志愿者和8名男志愿者，從中隨機地接連抽取

3名（每次取一個），派往參與花樣滑冰項目的志愿者服務.則“恰有一名女志愿者”的

概率是（）

A.工B.四C.2D.四

45451515

【分析】隨機地接連抽取3名志愿者（每次取一個），恰有一名女志愿者”可分3類:

僅第一次、僅第二次、僅第三次取到女志愿者，由此計算即可.

解：設Cl,C2,C3分別為僅第一次、僅第二次、僅第三次取到女志愿者的事件,

且事件Ci,C2,C3互斥，

則P（cp啥x黑孑與；pg）端吟乂白看

xx;

p（c3）4if=i

則“恰有一名女志愿者”的概率為PCS。）囁春展看

故選：C.

【點評】本題考查互斥時間的概率公式，屬于基礎題.

5.己知正實數(shù)機，〃滿足加+〃=1,則的最大值是（）

A.2B.JQC.叵D.—

22

【分析】由已知結合基本不等式即可直接求解.

解：由基本不等式可知，（逅造_）《史里?，

即我店《我，當且僅當1n=n=￡時等號成立?

故選：B.

【點評】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應用，屬于基礎題.

6.黃鶴樓，位于湖北省武漢市武昌區(qū)，地處蛇山之巔，瀕臨萬里長江，為武漢市地標建筑.某

同學為了估算黃鶴樓的高度，在大樓的一側找到一座高為30（愿-1）IT的建筑物AB,

在它們之間的地面上的點M（B,M,。三點共線）處測得樓頂A、樓頂C的仰角分別是

15°和60°,在樓頂A處測得樓頂C的仰角為15°,則估算黃鶴樓的高度CD為（）

D.3072n

【分析】RtAABM中求得AM,在AACM中運用正弦定理求得CM,解RtACDM求得

CD的值.

AR

解：在RtZ\A8M中，AM=.。，

sinl5

在△ACM中，NC4M=15°+15°=30°，ZAMC=180°-15°-60°=105°,

所以NACM=180°-30°-105°=45°,

AM_CM

由正弦定理,

sinZACM-sinZCAM

.,30（V3-l）x4x-4=-

故CM=AM2sinZCAH=------__叵=60

sinNACM瓜-近

4~

在RtZ^CDM中，CD=CMsin60°=60XCm）

所以估算黃鶴樓的高度CD為30百九

故選：C.

【點評】本題考查了三角形的正弦定理和解三角形的應用問題，也考查了方程思想和運

算求解能力，是中檔題.

7.一個圓錐的側面展開圖是半徑為2的半圓，則此圓錐內(nèi)切球的體積是（）

A."B.返處C.3nD.應L

3327

【分析】求解圓錐的底面半徑與高，然后求解內(nèi)切球的半徑，即可求解球的體積

解：設圓錐的底面半徑是〃母線為/,圓錐的側面展開圖是半徑為2的半圓，

則/=2,2nr—2rc,r—1.圓錐的高h=24-l如圖：SO=h,O'為內(nèi)切球的球心,

設圓錐內(nèi)切球的半徑是R,則顯卑■,即區(qū)=愿田,解得R應.

r112=3

【點評】本題考查幾何體內(nèi)切球的體積的求法，考查空間想象能力，轉化思想以及計算

能力，是中檔題.

8.在銳角△4BC中，三內(nèi)角A,B,C對應的邊分別為〃，b,c,且sidy=asinB.則

5b

目的取值范圍是（）

b

【分析】由題意利用正弦定理可得sin^2=sinA，進而可求A的值，可求

532

利用正弦定理以及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解至的取值范圍.

b

解：因為可得siri4=a?sinB,

sinAsinBb

.BEasinB

所以利用正弦定理可得si虐g=sinA，

5

TTTT

因為0＜，＜萬，

所以

55

而0＜

所以嗒=A，

5

即B+C=5A,

因此6A=p,可得A一不，

山0<B〈冬和0〈罕-B〈爭導到，

NbN3N

兀

因此sin§<sinB<si<］，

于是包=sinA=_a立_）

bsinB2sinB匕（2'3）

故選：C.

【點評】本題考查了正弦定理以及正弦函數(shù)的性質(zhì)的綜合應用，考查了轉化思想和函數(shù)

思想的應用，屬于中檔題.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有

多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分。

（多選）9.對于函數(shù)/（x）=siru+i」有如下四個判斷，其中判斷正確的是（）

sinx

A.f（%）的定義域是{x|xWE,keZ}

B.fdx）的最小值是2

C.n是/（x）的最小正周期

jr

D.f（x）的圖象關于直線犬=勺對稱

【分析】直接利用函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的性質(zhì)的應用判斷A、B、C、。的結論.

解：函數(shù)f（x）=sinx+—7^—，

sinx

對于A：定義域是{x|x￥ht,keZ},故A正確，

對于B：當sinx=-1時，函數(shù)的值為-2,故B錯誤；

對于C：函數(shù)滿足/（X+2TT）=于（x）,故函數(shù)的最小正周期為2m故C錯誤.

JT

對于￡>:函數(shù)/（X）滿足/（7T-X）=/（%）,故函數(shù)的圖象關于直線X=]-對稱，故。

正確.

故選：AD.

【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的對稱性和定義域及值域的應用，

主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎題.

（多選）10.設Z”Z2是復數(shù)，司，司是其共軌復數(shù)，則下列命題中正確的是（）

A.若zj+zg=0'則Z1=Z2=。

B.若Z1+Z2=Z1-Z2,則Zl，Z2=0

C.若|Z]|=|Z2I，則Z|=Z2

D.若zi石為實數(shù)，則zi為實數(shù)

【分析】對于AC,結合特例，即可判斷；

對于B,結合復數(shù)的四則運算，即可求解；

對于￡>,結合復數(shù)的四則運算，以及共期復數(shù)的定義，即可求解.

解：對A,取zi=l,Z2=i,則z；+zg=O，但zi￥O,Z2NO,故A錯誤；

對B,Z|+Z2=Z1-Z2,解得Z2=0,

則z「Z2=0,故B正確；

對c,|771=|7^|,則⑵尸㈤，

顯然『1=1-4,但M-i,故C錯誤；

對。，設Z1=a+/>i,

則z廣a-bi,因此z-W=2bi，〃=°，則zi為實數(shù)，故。正確.

故選：BD.

【點評】本題主要考查復數(shù)的四則運算，考查轉化能力，屬于基礎題.

（多選）11.在四棱錐S-ABCD中，SDJ_平面ABCD,底面ABC。是正方形，則下列結論

中正確的是（）

A.BC〃平面SAQ

B.AC與S3所成的角為60°

C.平面S￡>C_L平面ABCD

D.8。與平面SCO所成角為45°

【分析】選項A,由線面平行的判定定理，可判斷；

選項8,由AC_LSC,AC±BD,可證AC_L平面SBC,知AC_LS8；

選項C,由面面垂直的判定定理，可判斷；

選項。，由SQJ_BC,CDVBC,知BCJ_平面SCO,從而有NBOC即為所求，得解.

解：對于選項A,因為底面488是正方形，所以8C〃A。，

又BCC平面SAO,A￡>u平面SAO,所以BC〃平面SAO,即選項A正確；

對于選項B,因為SO_L平面ABC。，ACu平面ABC。，所以4C_LSO,

又底面ABC。是正方形，所以

因為S￡>nBZ）=Q,SD、BOu平面SB。，所以AC_L平面SB。，

因為S8u平面SB。，所以ACLS8,即4c與SB所成的角為90°,故選項B錯誤；

對于選項C,因為S￡>J_平面A8C￡>,S￡）u平面S￡>C,所以平面SQCL平面ABCQ,即選

項C正確；

對于選項。，因為SO_L平面48CD,BCu平面A8CC,所以SO_LBC,

又CD_LBC,且S￡>nCO=D,SD、CDu平面SC。，所以BC_L平面SCO,

所以NBOC為直線8。與平面SC。所成角，而NBDC=45°,故選項。正確.

故選：ACD.

【點評】本題考查空間角的求法，空間中線與面的位置關系，熟練掌握線面平行的判定

定理，線面、面面垂直的判定定理以及線面角的定義是解題的關鍵，考查空間立體感、

推理論證能力和運算能力，屬于中檔題.

（多選）12.某校開展數(shù)理化競賽，甲組有10位選手，其中數(shù)學5人，物理2人，化學3

人；乙組也有10位選手，其中數(shù)學4人，物理3人，化學3人.先從甲組中隨機選出一

人放到乙組，分別以4,4和4表示由甲組選出的是數(shù)學、物理和化學的事件；再從乙

組中隨機選出一人，以B表示由乙組選出的人是數(shù)學選手的事件，則下列結論中正確的

是（）

A.P（Ai）=1

B.Ai,Ai,4是兩兩互斥的事件

C.事件B與事件4相互獨立

q

D.P⑻嗡

【分析】根據(jù)題意，由古典概型公式可得A正確，由互斥事件的定義可得B正確，由相

互獨立事件定義可得C錯誤，由全概率公式可得。正確，綜合可得答案.

解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A,甲組有10位選手，其中數(shù)學5人，則p(Ai)*,,A正確：

對于8,甲組選出的可以是數(shù)學、物理和化學，分成三類，且互斥，2正確；

對于C,顯然事件4是否發(fā)生影響到事件B,事件B與事件4不獨立，C錯誤:

對于。，由全概率公式，p(B)。正確?

XvJLJLXvJLJLXVXJ.乙乙

故選：ABD.

【點評】本題考查全概率公式，涉及古典概型和互斥事件的定義，屬于基礎題.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

3冗3兀

1+s1nQcoaQ1

13.計算------―匕的值是.

c23兀,----2-

【分析】由二倍角公式化簡即得.

3兀3兀

1+singcosr-^—

解:

~；~~23兀~

2cos-—-1

o

故答案為：-V2

2

【點評】本題考查二倍角公式的應用，屬于基礎題.

14.已知正方體ABCC-48GQ1的棱長是4,P是棱BC的中點，過點A、P、G的平面截

該正方體得到的多邊形為a,則a的面積是__876_.

【分析】根據(jù)題意，取4d的中點Q,連接4。、AP、PG、G。，分析可得四邊形APGQ

就是截面多邊形為a,進而可得截面a是菱形，求出其對角線的長，計算可得答案.

解：根據(jù)題意，如圖：取4。的中點Q,連接AQ、AP、PG、G。，

易得AP〃QG,PCt//AQ,則A、P、Ci、Q四點共面，故平行四邊形APGQ就是截面

多邊形為a,

又由AP=PCi=4Q=QG,則截面a是菱形，

其兩條對角線長分別是4聲和472>

故截面a的面積是/X4>/3X?巧=876.

故答案為：

D\Ci

【點評】本題考查棱柱的結構特征，涉及平面截棱柱所得截面的問題，屬于基礎題.

15.定義在R上的函數(shù)/(x)滿足f(x+3)+f(x+l)=/(2),則/'(2024)的值是0.

【分析】根據(jù)題意，先分析函數(shù)的周期，利用特殊值求出/(0)的值，進而分析可得答

案.

解：根據(jù)題意，由于/(x+3)V(x+1)=/(2)①，變形可得V(x-1)=/(2)

②，

①-②可得：f(x+3)—f(x-1),B|Jf(x+4)—f(x),則是周期為4的周期函

數(shù)；

在/(x+3)4/(萬+1)=/(2)中，令x=-l,貝(2)4/(0)=/(2),所以7(0)=

0,

則/(2024)(0+506X4)=/(0)=0,即/(2024)=0.

故答案為：0.

【點評】本題考查抽象函數(shù)的求值，涉及函數(shù)的周期性，屬于基礎題.

16.己知向量之，石的夾角為。，1』=1，￡1=2,且對任意的入<0,二-入己的最小值是空,

則0的大小為120。.

【分析】先對向量的模長平方得到

Ia-入b|"a'2入a,b+入2b(入-)+sin26'再根據(jù)

|a-XbI.二應運算即可得到|sin8|巫，進一步計算即可.

110X111

。2?min22

解：已知向量Z，E的夾角為Ial=l>1*3=2，

22221

所以|a-Xb|=；-2X；-b+Xb=-4入cose+4入2=

22

4(人26cos8^^-^^)+1=4(X^-)+l-cose=

4(入名紅)2+式八0，

又I/遙I.斗,

iM1mm2

所以lmm=IsinBI，即|sin8|=^--因為峭0,n］,所以$>9=哼，

0=60°或120°.驗證知，0=120°,

故答案為：120°.

【點評】本題主要考查向量的模長公式以及數(shù)量積運算，屬于中檔題.

四、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

qx

17.已知函數(shù)f(x)￡-->〃6R.

3X

(1)若f(x)為偶函數(shù)，求“的值；

(2)令g(x)=/(x)-(ci+1).若函數(shù)g(x)在［-1,1］上有兩個不同的零點，求a

的取值范圍.

【分析】(1)根據(jù)題意，由偶函數(shù)的定義可得/(-x)=/(x),即上11=藝色，

3-x3X

變形分析可得答案；

(2)根據(jù)題意，令g(X)=0分析可得Xl=log3〃，X2=o,分析可得-lW10g3〃Wl且log3?

wo,解可得答案.

解：(1)根據(jù)題意，函數(shù)f(x)旦上■為偶函數(shù)，

3X

則有/(-x)=于(x),即.9；:7=史巨,

3-x3X

變形可得：(a-1)(9'-1)=0,故。=1,

qx

(2)根據(jù)題意，若gCx)=f(x)-(〃+1)=0,則有-----(a+1)=0>

3X

變形可得9"-(。+1)3+〃=0,則有(3、-。)-(3X-1)=0,

解可得:xi=log3a,X2=0.

若函數(shù)g(x)在［-1,1］上有兩個不同的零點，

而0G［-1,1］,

必有-1Wlog3aWl且log3〃W0,解得■|-《lga43，且aWl；

故。的取值范圍是亭1)IJ(1.3].

【點評】本題考查函數(shù)零點與方程根的關系，涉及對數(shù)的運算，屬于基礎題.

18.設a是實數(shù)，復數(shù)(a-i)(2/+1)(i是虛數(shù)單位)在復平面內(nèi)對應的點在第四象限.

(1)求a的取值范圍；

(2)若a取負整數(shù)，復數(shù)z滿足2z-|z|=a-3i3,求z.

【分析】(1)根據(jù)已知條件，結合復數(shù)的四則運算，以及復數(shù)的幾何意義，即可求解；

(2)根據(jù)已知條件，結合復數(shù)模公式，以及復數(shù)相等的條件，即可求解.

解：(1)(a-I)(2/+1)=a+2+(2a-1)i,

貝i」a+2>0,且2a-l<0,解得

故a的取值范圍是(-2,y)；

(2)因為-2<a<|，且。取負整數(shù)，

所以a=-1,

設z=b+ci,b,CGR.則2z-|z|=〃-2產(chǎn)，即2(b+ci)

’2c=2

所以《廣3O?解得"=0,c=l,

、2b-Vb^+c^=-l

故z=i.

【點評】本題主要考查復數(shù)的四則運算，屬于基礎題.

19.如圖，在△ABC中，三內(nèi)角A,B,。對應的邊分別為〃，b,。，點E是邊A3的中點,

點。是邊4c上一點，BD,CE相交于點P,且屈+標卷記

(1)若菽=入標，求實數(shù)人的值；

(2)若下■前=0，證明：a2+3b2—3c2.

【分析】(1)由平面向量的線性運算和平面向量基本定理即可求得;

(2)由平面向量垂直的性質(zhì)和余弦定理化簡即可.

解：(1)因為8,P,。三點共線，

所以存在頭數(shù)相，使AP=mAB+(1-m)AD=2mAE廿AC，

與條件AP-|AE嚀AC比較，

得到21n"■且早"?，

2人2

故X=-^-；

2

證明：(2)，.?前=菽-藤，AP=yAE-^AC=jAB-^AC-

..1?1.?*1.21..1?2

,AP，BC=qAB5AC)?(AC-AB)=qACqAOABqAB

_1,21,,/RV12-1,21,b2+c2-a212-n

-yb-r-bc-cosZBAC-7c--b-rbc,---zr------yc01

N44242bc4

1,2.221

Bpl2_b+c-a_l2,

2b084Cc=U0

化簡整理得：“2+32=3/.

【點評】本題考查平面向量的線性運算，夾角與數(shù)量積，余弦定理的綜合，屬于中檔題.

20.如圖，在三棱柱ABC-AIBICI中，側棱A4_L平面ABC,/54C=90°,AB^AC,E

是棱上的動點，。是棱BC的中點.

(I)證明：AD±CiE；

(2)若四棱錐Q-A413B的體積是&,且A4i=2,求△ABC的面積.

B

E

B

【分析】(I)根據(jù)44」平面ABC,得出CGJ_平面ABC,平面ABCJ_平面BCGBi,

再證明AD_L8C,得出AO_L平面CBBiC”即可證明4O_LGE.

(2)根據(jù)四棱錐。-AAIBIB的體積為5A4?四?OF,求出的值，從而求出△ABC

的面積.

【解答】(I)證明：因為A4_L平面ABC,AAx//CC\,所以CCJ_平面ABC,

又CGu平面BCC\B\,所以平面A8C_L平面BCC?,

因為棱BC的中點為。，且AABC是等腰三角形，所以AOLBC,

又AOu平面ABC,平面ABCn平面CBBC=BC,

所以AD_L平面CBBCi,

又因為CiEu面CBB1C1,所以4O_LCi￡.

(2)解：過點。作。凡LA8于F,則?！闘平面44謠8,

所以四棱錐D-AAyB\B的體積為丫四棱錐AAA.BB=3A4?A8?￡>F,

-i3

即/X2XA8XZ)F=M，解得A￡>XOF=^^,

所以AABC的面積為工4小2。/=42?。/=心;巨.

22

【點評】本題考查了空間幾何體的體積計算問題，也考查了空間中的垂直關系應用問題,

是中檔題.

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