高中數(shù)學圓錐曲線系統(tǒng)講解第6講《通徑公式》練習及答案

第6講通徑公式

知識與方法

1.橢圓的通徑公式：如圖1所示，在橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦叫做通徑，通

徑的長

2.雙曲線的通徑公式：如圖2所示，在雙曲線中，過焦點且垂直于實軸的弦叫做通徑，

2h2

通徑的長=

3.拋物線的通徑公式：如圖3所示，在拋物線中，過焦點且垂直于對稱軸的弦叫做通

徑，通徑的長|AB|=2p.

圖3

典型例題

［例1］橢圓C:.+￡=l的左焦點為凡過尸且與x軸垂直的直線交橢圓C于/、8兩

42

點，則|A8|=.

【解析】由通徑公式，=舒=2

【答案】2

變式1橢圓C:?+］=l的左、右焦點分別為耳、F2,點/在橢圓C上，且Ag的中點

在y軸上，則tan/aA6=.

【解析】如圖，設Ag的中點為M,又。為耳瑪?shù)闹悬c，所以0M是&A斗6的中位線，故

,2

AF,//0M,因為OMJ_x軸，所以A片，x軸，從而同耳|=上=1,

易求得忻段=20,所以tanN/^A8=^^=2板.

1

【答案】2血

2

變式2橢圓C：5+V=l的右焦點為片上、下頂點分別為M、M過E且與'軸垂直的

直線交橢圓C于/、B兩點,則以/、B、M、N為頂點的四邊形的面積為.

【解析】如圖，四邊形A8MN為等腰梯形，

2x1

由通徑公式,=72,顯然|MN|=2Z>=2,

梯形的高人=|。目=1,

所以梯形A3MN的面積5=9(&+2卜=告+1.

【答案】—+1

2

22

變式3橢圓<7:%+%=1(4>6>0)的左焦點為尸，右頂點為4過尸且與x軸垂直的直

線與橢圓C的一個交點為8,若直線AB的傾斜角為150°,則橢圓C的離心率為.

【解析】如圖，直線48的傾斜角為150。=/區(qū)4/=30。=|4同=6忸尸|=4+0=6.1,

所以/+ac=y/ib2=>/3o2—舊c1,從而V3c2+ac+(1=0,

兩端同除以/可得：V3^2+e+l-^=0,

所以(&+l-6)(e+l)=0,解得：e=l-g或-1(舍去)

2

【答案】1--

3

【例2】雙曲線C：《-V=1的左焦點為尸，過尸且與x軸垂直的直線交雙曲線C于4B

兩點，則|4同=.

2b22x12石

【解析】由通徑公式,

1^1=。一百一3

【答案】孚

變式1雙曲線C:f-y2=i的左、右焦點分別為耳、F2,過招且與x軸重直的直線交雙

曲線C于4、8兩點，則,ABf；的面積為.

【解析】如圖，由題意，僧圖=2c=2&,

，序1

由通徑公式，1\AB1\=a——=2,所以S?八叫"=—2x2x2&=20.

【答案】2垃

22

變式2雙曲線C:'-/=1(4>0/>0)的左焦點為「右頂點為兒過尸且與x軸垂直的

直線與雙曲線C的一個交點為8,若tanNFBA=G，則雙曲線C的離心率為.

【解析】如圖，由題意，tanNEBA=F4=W￡=&g=Tt2=，一=Jj,

\FB\b~b~c~-a~c-a

a

3

所以a=V5c-，從而(6+l)a=6c，

所以雙曲線c的離心率”『等，乎.

【答案】1+且

3

【例3】拋物線C：V=6x的焦點為尸，過尸且與無軸垂直的直線交拋物線C于48兩點,

則|A8卜.

【解析】由通徑公式，|A8|=2p=6.

【答案】6

變式1已知。為坐標原點，拋物線C：V=4x的焦點為尸，尸為C上一點，尸尸與x軸垂

直，0為x軸上一點，且PQLOP,貝%OPQ的面積為.

【解析】如圖，由題意,F（1,O）,所以|OF|=1,

由通徑公式，|PF|=2,\0P\=7|OF|2+|PF|2=75,

因為PQLOP,所以0POFiQOP,

而阻=石，所以5,00=55,8=5x1x1x2=5.

OFPOQ1m2

【答案】5

變式2（2021?新高考I卷）已知0為坐標原點，拋物線（7:丁=2°小（0>0）的焦點為尸,

P為C上一點,PF與x軸垂直，。為x軸上一點，且PQ_LOP.若怩。|=6,則C的準線方

4

程為_________.

【解析】如圖，將X=5代入y2=2px解得：y=±p,不妨設pR,p

仁+

|FQ|=6nQ6,0因為PQ_LOP,所以k°p-kpQ=2-

3

故拋物線C的準線方程為x=--.

2

解法2：如圖，由題意，F(xiàn)R,OL\OF\=^,由拋物線的通徑公式可得|PF|=P

=tanNPOF=已=2,

所以直線。P的斜率心.

1M

因為PQLOP,所以直線尸。的斜率為

從而tanNPQF='，又tanNPQF=b=￡,

2\FQ\6

所以R=解得：p=3,故拋物線C的準線方程為x=-3

622

3

【答案】x=--

2

22

變式3（2021?天津）已知雙曲線C:點-￡=1（°>0,匕>0）的右焦點與拋物線丁=2川

（p>0）的焦點重合，拋物線的準線交雙曲線于48兩點，交雙曲線的漸近線于C、。兩點，

若|。|=夜恒回，則雙曲線的離心率為（）

A.V2B.V3C.2D.3

【解析】如圖，設雙曲線的右焦點為（c,0），則該點也是拋物線的焦點，所以拋物線的準線

x=-c

為工=-C,故AB是雙曲線的通徑，由通徑公式，恒陽=竺■，聯(lián)立，b解得：尸土",

y=±-xa

a

5

所以仁必=亍,因為|CD|=3|AB],所以y=VL子,

從而C=y[2b不妨取。=1,

【答案】A

強化訓練

1.(★★)橢圓C:0+V=1(。>1)的左、右焦點分別為耳、F2,過用且與x軸垂直的直

線交橢圓C于/1、8兩點，若r.AB-的面積為班，則橢圓C的離心率為.

【解析】如圖，忸6|=2>/7二F,由通徑公式，h同=［，

所以$孫=千加|忻閔=35-2后=7=嗎m,

由題意’吁坨，所以橢圓c的離心率”方二等

2.(★★)已知拋物線C:y2=2px(0>O)的焦點為F,O為原點，點P在拋物線C上且

PF_Lx軸，則直線0P的斜率為.

【解析】如圖，由通徑公式，|PF|=p,又|OF|=g

所以直線OP的斜率Z=tan/P。尸—=2.

|OF|

6

【答案】2

22

3.（★★）已知雙曲線C:斗嘖=1（a>0力>0）的上焦點為凡過尸且與y軸垂直的直線

交雙曲線C于/、8兩點，若|4B|=2a,則雙曲線C的漸近線方程為.

【解析】由通徑公式，|4叫=詈,又陷=2a,

所以"1=2“，從而b=a,故離心率6="「十'=&.

aa

【答案】V2

22

4.（★★★）已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點尸也是雙曲線C:*■-1=1（a>0,6>0）

的一個焦點，經(jīng)過兩曲線交點的直線恰好過兄則該雙曲線的離心率為.

【解析】如圖，設雙曲線的半焦距為c,

匹c

由題意，g=c,，消去P化簡得：b2=2ac,

—=2p

2

所以一/_2ac,從而°2一2ac-6Z=0,

故〃一2"1=0,解得e=l+0或1一垃（舍去）.

【答案】1+V2

5.（2017?新課標I卷?★★★）已知尸是雙曲線。-二=1的右焦點，P是。上一點,

3

且尸尸與冗軸垂直