高中數(shù)學(xué)圓錐曲線系統(tǒng)講解第6講《通徑公式》練習(xí)及答案

第6講通徑公式

知識(shí)與方法

1.橢圓的通徑公式：如圖1所示，在橢圓中，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦叫做通徑，通

徑的長(zhǎng)

2.雙曲線的通徑公式：如圖2所示，在雙曲線中，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦叫做通徑，

2h2

通徑的長(zhǎng)=

3.拋物線的通徑公式：如圖3所示，在拋物線中，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦叫做通

徑，通徑的長(zhǎng)|AB|=2p.

圖3

典型例題

［例1］橢圓C:.+￡=l的左焦點(diǎn)為凡過(guò)尸且與x軸垂直的直線交橢圓C于/、8兩

42

點(diǎn)，則|A8|=.

【解析】由通徑公式，=舒=2

【答案】2

變式1橢圓C:?+］=l的左、右焦點(diǎn)分別為耳、F2,點(diǎn)/在橢圓C上，且Ag的中點(diǎn)

在y軸上，則tan/aA6=.

【解析】如圖，設(shè)Ag的中點(diǎn)為M,又。為耳瑪?shù)闹悬c(diǎn)，所以0M是&A斗6的中位線，故

,2

AF,//0M,因?yàn)镺MJ_x軸，所以A片，x軸，從而同耳|=上=1,

易求得忻段=20,所以tanN/^A8=^^=2板.

1

【答案】2血

2

變式2橢圓C：5+V=l的右焦點(diǎn)為片上、下頂點(diǎn)分別為M、M過(guò)E且與'軸垂直的

直線交橢圓C于/、B兩點(diǎn),則以/、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形的面積為.

【解析】如圖，四邊形A8MN為等腰梯形，

2x1

由通徑公式,=72,顯然|MN|=2Z>=2,

梯形的高人=|。目=1,

所以梯形A3MN的面積5=9(&+2卜=告+1.

【答案】—+1

2

22

變式3橢圓<7:%+%=1(4>6>0)的左焦點(diǎn)為尸，右頂點(diǎn)為4過(guò)尸且與x軸垂直的直

線與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)為8,若直線AB的傾斜角為150°,則橢圓C的離心率為.

【解析】如圖，直線48的傾斜角為150。=/區(qū)4/=30。=|4同=6忸尸|=4+0=6.1,

所以/+ac=y/ib2=>/3o2—舊c1,從而V3c2+ac+(1=0,

兩端同除以/可得：V3^2+e+l-^=0,

所以(&+l-6)(e+l)=0,解得：e=l-g或-1(舍去)

2

【答案】1--

3

【例2】雙曲線C：《-V=1的左焦點(diǎn)為尸，過(guò)尸且與x軸垂直的直線交雙曲線C于4B

兩點(diǎn)，則|4同=.

2b22x12石

【解析】由通徑公式,

1^1=。一百一3

【答案】孚

變式1雙曲線C:f-y2=i的左、右焦點(diǎn)分別為耳、F2,過(guò)招且與x軸重直的直線交雙

曲線C于4、8兩點(diǎn)，則,ABf；的面積為.

【解析】如圖，由題意，僧圖=2c=2&,

，序1

由通徑公式，1\AB1\=a——=2,所以S?八叫"=—2x2x2&=20.

【答案】2垃

22

變式2雙曲線C:'-/=1(4>0/>0)的左焦點(diǎn)為「右頂點(diǎn)為兒過(guò)尸且與x軸垂直的

直線與雙曲線C的一個(gè)交點(diǎn)為8,若tanNFBA=G，則雙曲線C的離心率為.

【解析】如圖，由題意，tanNEBA=F4=W￡=&g=Tt2=，一=Jj,

\FB\b~b~c~-a~c-a

a

3

所以a=V5c-，從而(6+l)a=6c，

所以雙曲線c的離心率”『等，乎.

【答案】1+且

3

【例3】拋物線C：V=6x的焦點(diǎn)為尸，過(guò)尸且與無(wú)軸垂直的直線交拋物線C于48兩點(diǎn),

則|A8卜.

【解析】由通徑公式，|A8|=2p=6.

【答案】6

變式1已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為尸，尸為C上一點(diǎn)，尸尸與x軸垂

直，0為x軸上一點(diǎn)，且PQLOP,貝%OPQ的面積為.

【解析】如圖，由題意,F（1,O）,所以|OF|=1,

由通徑公式，|PF|=2,\0P\=7|OF|2+|PF|2=75,

因?yàn)镻QLOP,所以0POFiQOP,

而阻=石，所以5,00=55,8=5x1x1x2=5.

OFPOQ1m2

【答案】5

變式2（2021?新高考I卷）已知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線（7:丁=2°?。?>0）的焦點(diǎn)為尸,

P為C上一點(diǎn),PF與x軸垂直，。為x軸上一點(diǎn)，且PQ_LOP.若怩。|=6,則C的準(zhǔn)線方

4

程為_(kāi)________.

【解析】如圖，將X=5代入y2=2px解得：y=±p,不妨設(shè)pR,p

仁+

|FQ|=6nQ6,0因?yàn)镻Q_LOP,所以k°p-kpQ=2-

3

故拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=--.

2

解法2：如圖，由題意，F(xiàn)R,OL\OF\=^,由拋物線的通徑公式可得|PF|=P

=tanNPOF=已=2,

所以直線。P的斜率心.

1M

因?yàn)镻QLOP,所以直線尸。的斜率為

從而tanNPQF='，又tanNPQF=b=￡,

2\FQ\6

所以R=解得：p=3,故拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=-3

622

3

【答案】x=--

2

22

變式3（2021?天津）已知雙曲線C:點(diǎn)-￡=1（°>0,匕>0）的右焦點(diǎn)與拋物線丁=2川

（p>0）的焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于48兩點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于C、。兩點(diǎn)，

若|。|=夜恒回，則雙曲線的離心率為（）

A.V2B.V3C.2D.3

【解析】如圖，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為（c,0），則該點(diǎn)也是拋物線的焦點(diǎn)，所以拋物線的準(zhǔn)線

x=-c

為工=-C,故AB是雙曲線的通徑，由通徑公式，恒陽(yáng)=竺■，聯(lián)立，b解得：尸土",

y=±-xa

a

5

所以仁必=亍,因?yàn)閨CD|=3|AB],所以y=VL子,

從而C=y[2b不妨取。=1,

【答案】A

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.(★★)橢圓C:0+V=1(。>1)的左、右焦點(diǎn)分別為耳、F2,過(guò)用且與x軸垂直的直

線交橢圓C于/1、8兩點(diǎn)，若r.AB-的面積為班，則橢圓C的離心率為.

【解析】如圖，忸6|=2>/7二F,由通徑公式，h同=［，

所以$孫=千加|忻閔=35-2后=7=嗎m,

由題意’吁坨，所以橢圓c的離心率”方二等

2.(★★)已知拋物線C:y2=2px(0>O)的焦點(diǎn)為F,O為原點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線C上且

PF_Lx軸，則直線0P的斜率為.

【解析】如圖，由通徑公式，|PF|=p,又|OF|=g

所以直線OP的斜率Z=tan/P。尸—=2.

|OF|

6

【答案】2

22

3.（★★）已知雙曲線C:斗嘖=1（a>0力>0）的上焦點(diǎn)為凡過(guò)尸且與y軸垂直的直線

交雙曲線C于/、8兩點(diǎn)，若|4B|=2a,則雙曲線C的漸近線方程為.

【解析】由通徑公式，|4叫=詈,又陷=2a,

所以"1=2“，從而b=a,故離心率6="「十'=&.

aa

【答案】V2

22

4.（★★★）已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)尸也是雙曲線C:*■-1=1（a>0,6>0）

的一個(gè)焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)兩曲線交點(diǎn)的直線恰好過(guò)兄則該雙曲線的離心率為.

【解析】如圖，設(shè)雙曲線的半焦距為c,

匹c

由題意，g=c,，消去P化簡(jiǎn)得：b2=2ac,

—=2p

2

所以一/_2ac,從而°2一2ac-6Z=0,

故〃一2"1=0,解得e=l+0或1一垃（舍去）.

【答案】1+V2

5.（2017?新課標(biāo)I卷?★★★）已知尸是雙曲線。-二=1的右焦點(diǎn)，P是。上一點(diǎn),

3

且尸尸與冗軸垂直