新人教版八年級數(shù)學(xué)下冊期中知識點匯總

二次根式的知識點匯總知識點一：二次根式的概念形如〔〕的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項式、多項式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因為負(fù)數(shù)沒有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。例1．以下式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、〔x>0〕、、、-、、〔x≥0，y≥0〕．分析：二次根式應(yīng)滿足兩個條件：第一，有二次根號“”；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或0．知識點二：取值范圍1、

二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)a≧0時，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。2、

二次根式無意義的條件：因負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，所以當(dāng)a﹤0時，沒有意義。例2．當(dāng)x是多少時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？例3．當(dāng)x是多少時，+在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？知識點三：二次根式〔〕的非負(fù)性〔〕表示a的算術(shù)平方根，也就是說，〔〕是一個非負(fù)數(shù)，即0〔〕。注：因為二次根式〔〕表示a的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0的算術(shù)平方根是0，所以非負(fù)數(shù)〔〕的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即0〔〕，這個性質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對值、偶次方類似。這個性質(zhì)在解答題目時應(yīng)用較多，如假設(shè)，那么a=0,b=0；假設(shè)，那么a=0,b=0；假設(shè)，那么a=0,b=0。例4(1)y=++5，求的值．(2)假設(shè)+=0，求a2004+b2004的值知識點四：二次根式〔〕的性質(zhì)〔〕文字語言表達(dá)為：一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個非負(fù)數(shù)。注：二次根式的性質(zhì)公式〔〕是逆用平方根的定義得出的結(jié)論。上面的公式也可以反過來應(yīng)用：假設(shè)，那么，如：，.例1.計算1．〔〕22．〔3〕23．〔〕24．〔〕2例2.在實數(shù)范圍內(nèi)分解以下因式:〔1〕x2-3〔2〕x4-4(3)2x2-3知識點五：二次根式的性質(zhì)文字語言表達(dá)為：一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的絕對值。注：1、化簡時，一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù)a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，假設(shè)是正數(shù)或0，那么等于a本身，即；假設(shè)a是負(fù)數(shù)，那么等于a的相反數(shù)-a,即；2、中的a的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不管a取何值，一定有意義；3、化簡時，先將它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進(jìn)行化簡。例1化簡〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕例2填空：當(dāng)a≥0時，=_____；當(dāng)a<0時，=_______，并根據(jù)這一性質(zhì)答復(fù)以下問題．〔1〕假設(shè)=a，那么a可以是什么數(shù)？〔2〕假設(shè)=-a，那么a是什么數(shù)？〔3〕>a，那么a是什么數(shù)？例3當(dāng)x>2，化簡-．知識點六：與的異同點1、不同點：與表示的意義是不同的，表示一個正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而表示一個實數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在中，而中a可以是正實數(shù)，0，負(fù)實數(shù)。但與都是非負(fù)數(shù)，即，。因而它的運算的結(jié)果是有差異的，

，而2、相同點：當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時，=；時，無意義，而.知識點七：二次根式的乘除1、乘法·＝〔a≥0，b≥0〕反過來：=·〔a≥0，b≥0〕2、除法=〔a≥0，b>0〕反過來，=〔a≥0，b>0〕〔思考：b的取值與a相同嗎？為什么？不相同，因為b在分母，所以不能為0〕例1．計算〔1〕4×〔2〕×〔3〕×〔4〕×例2化簡〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕例3．判斷以下各式是否正確，不正確的請予以改正：〔1〕〔2〕×=4××=4×=4=8例4．計算：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕例5．化簡：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕例6．，且x為偶數(shù)，求〔1+x〕的值．3、最簡二次根式應(yīng)滿足的條件：〔1〕被開方數(shù)不含分母或分母中不含二次根式；〔2〕被開方數(shù)中不含開得盡方的因數(shù)或因式〔熟記20以內(nèi)數(shù)的平方；因數(shù)或因式間是乘積的關(guān)系，當(dāng)被開方數(shù)是整式時要先判斷是否能夠分解因式，然后再觀察各個因式的指數(shù)是否是2〔或2的倍數(shù)〕，假設(shè)是那么說明含有能開方的因式，那么不滿足條件，就不是最簡二次根式〕例1．把以下二次根式化為最簡二次根式(1);(2);(3)4、化簡最簡二次根式的方法：(1)把被開方數(shù)(或根號下的代數(shù)式)化成積的形式，即分解因式；(2)化去根號內(nèi)的分母〔或分母中的根號〕，即分母有理化；(3)將根號內(nèi)能開得盡方的因數(shù)(或因式)開出來．〔此步需要特別注意的是：開到根號外的時候要帶絕對值，注意符號問題〕5.有理化因式：一般常見的互為有理化因式有如下幾類：①與；

②與；③與；

④與．

說明：利用有理化因式的特點可以將分母有理化．13、同類二次根式：被開方數(shù)相同的〔最簡〕二次根式叫同類二次根式。判斷是否是同類二次根式時務(wù)必將各個根式都化為最簡二次根式。如與知識點八：二次根式的加減1、二次根式的加減法：先把各個二次根式化為最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式〔即同類二次根式〕進(jìn)行合并。〔合并方法為：將系數(shù)相加減，二次根式局部不變〕，不能合并的直接抄下來。例1．計算〔1〕+〔2〕+分析：第一步，將不是最簡二次根式的項化為最簡二次根式；第二步，將相同的最簡二次根式進(jìn)行合并．解：〔1〕+=2+3=〔2+3〕=5〔2〕+=4+8=〔4+8〕=12例2．計算〔1〕3-9+3〔2〕〔+〕+〔-〕例3．4x2+y2-4x-6y+10=0，求〔+y2〕-〔x2-5x〕的值．2、二次根式的混合運算：先計算括號內(nèi)，再乘方〔開方〕，再乘除，再加減3、二次根式的比擬：〔1〕假設(shè)，那么有；〔2〕假設(shè)，那么有．

〔3〕將兩個根式都平方，比擬平方后的大小，對應(yīng)平方前的大小例4．比擬3與4的大小【勾股定理】勾股定理：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。即：。常見勾股數(shù)：3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17；7、24、25。這個一定要牢記于心?？键c一：勾股定理的直接應(yīng)用例1.正方形的面積是2，它的對角線長為〔〕A、1B、2C、D、例2．如圖，由Rt△ABC的三邊向外作正方形，假設(shè)最大正方形的邊長為8cm，那么正方形M與正方形N的面積之和為考點二：求第三條邊的長例1．假設(shè)中，且c=37,a=12，那么b=〔〕A、50B、35C、34D、26例2．兩線段的長為6cm和8cm，當(dāng)?shù)谌龡l線段取時，這三條線段能組成一個直角三角形?！蔡崾荆核o的兩條變長不一定都為直角邊。〕例3．假設(shè)一個直角三角形的三邊分別為a、b、c,,那么〔〕A、169B、119C、169或119D、13或25考點三：與高、面積有關(guān)例1．兩個直角邊分別是3和4的直角三角形斜邊上的高是例2．等腰三角形的底邊為10cm，周長為36cm，那么它的面積是◆勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a、b、c滿足，那么這個三角形是直角三角形。判斷步驟：〔1〕比擬a、b、c大小，找最長邊；〔2〕計算兩條短邊的平方和，看是否與最長邊的平方相等。例1．木工師傅要做一個長方形桌面，做好后量得長為80cm，寬為60cm，對角線為100cm，那么這個桌面?！蔡睢昂细瘛被颉安缓细瘛薄忱?．試判斷：三邊長分別是的三角形是不是直角三角形？【習(xí)題】【勾股定理】一、選擇題1、把直角三角形的兩直角邊均擴大到原來的2倍，那么斜邊擴大到原來的幾倍？〔〕A、2B、4C、3D、52、等腰△ABC的底邊BC為16，底邊上的高AD為6，那么腰長AB的長為〔〕A．10B.12C.15D.203、將一根24cm的筷子，置于底面直徑為15cm，高8cm的圓柱形水杯中，如右圖所示，設(shè)筷子露在杯子外面的長度hcm，那么h的取值范圍是〔〕A、h≤17cmB、h≥8cmC、15cm≤h≤16cmD、7cm≤h≤16cm二、填空題1、如果梯子底端離建筑物5m，那么13m長的梯子可到達(dá)建筑物的高度是____________m。2、如圖，一圓柱高，底面半徑，一只螞蟻從點爬到點處吃食，要爬行的最短路程是cm3．、如右圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為5，那么正方形A，B，C，D的面積的和為。4．一個零件的形狀如圖，按規(guī)定這個零件的與都要是直角，工人師傅量得零件各邊尺寸：AD=4,AB=3,DC=12,BC=13,BD=5。這個零件符合要求嗎？5.如圖，南北方向MN為我國領(lǐng)海線，即MN以西是我國領(lǐng)海，以東為公海，上午9時50分，我國反走私艇A發(fā)現(xiàn)正東方向有一走私船C以13海里/時的速度偷偷向我國領(lǐng)海開來，便立即通知正在MN線上巡邏的我國反走私艇B密切關(guān)注。反走私艇A和走私船C的距離是13海里，A、B兩艇的距離為5海里，反走私艇B測得距離C船12海里，假設(shè)走私船C的速度不變，最早會在什么時間進(jìn)入我國領(lǐng)海？(精確到分)AABCMN四邊形知識點總結(jié)：1．四邊形的內(nèi)角和與外角和定理：〔1〕四邊形的內(nèi)角和等于360°；〔2〕四邊形的外角和等于360°.2．多邊形的內(nèi)角和與外角和定理：〔1〕n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)180°；〔2〕任意多邊形的外角和等于360°.3．平行四邊形的性質(zhì)：因為ABCD是平行四邊形4.平行四邊形的判定：.5.矩形的性質(zhì)：因為ABCD是矩形6.矩形的判定：四邊形ABCD是矩形.7．菱形的性質(zhì)：因為ABCD是菱形8．菱形的判定：四邊形四邊形ABCD是菱形.9．正方形的性質(zhì)：因為ABCD是正方形〔1〕〔2〕〔3〕10．正方形的判定：四邊形ABCD是正方形.(3)∵ABCD是矩形又∵AD=AB∴四邊形ABCD是正方形例1：如圖1，平行四邊形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E、F.求證：∠BAE=∠DCF.〔圖1〔圖1〕CABDEF∴∠ABE=∠CDF，AB=CD.又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE≌△CDF.∴∠BAE=∠DCF.OABCDEOABCDEF〔圖2〕證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴OB=OC.又∵BE⊥AC，CF⊥BD，∴∠BEO=∠CFO=90o.∵∠BOE=∠COF.∴△BOE≌△COF.∴BE=CF.評注：此題主要考查矩形的對角線的性質(zhì)以及全等三角形的判定.ADBCEADBCEF(圖3)MN〔1〕求證：△ABE≌△CDF；〔2〕假設(shè)M、N分別是BE、DF的中點，連結(jié)MF、EN，試判斷四邊形MFNE是怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論.〔1〕證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，∠A=∠C.∵AE=CF，∴△ABE≌△CDF.〔2〕解析：四邊形MFNE是平行四邊形.∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB=∠CFD，BE=DF.又∵M(jìn)、N分別是BE、DF的中點，∴ME=FN.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠AEB=∠FBE.∴∠CFD=∠FBE.∴EB∥DF，即ME∥FN.∴四邊形MFNE是平行四邊形.評注：此題是一道猜測型問題.先猜測結(jié)論，再證明其結(jié)論.圖4ABCDEFO例圖4ABCDEFO證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC.∴∠EAC=∠FCA.∵EF是AC的垂直平分線，∴OA=OC，∠EOA=∠FOC，EA=EC.∴△EOA≌△FOC.∴AE=CE.∴四邊形AFCE是平行四邊形.圖5B圖5BCDAEF∴四邊形AFCE是菱形.例5如圖5，四邊形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是對角線AC上的點.〔1〕如果，那么△DEC≌△BFA〔請你填上一個能使結(jié)論成立的一個條件〕；〔2〕證明你的結(jié)論.解析：此題是一道條件開放型問題，答案不唯一.〔1〕①AE=CF；②OE=OF；③DE⊥AC，BF⊥AC；④DE∥BF等.〔2〕①證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD.∴∠DCE=∠BAF.∵AE=CF，∴AC－AE=AC－CF，即AF=CE.∴△DEC≌△BFA.例6如圖6，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，對角線AC和BD相交于點O，E是BC邊上一個動點〔點E不與B、C兩點重合〕，EF∥BD交AC于點F，EG∥AC交BD于點C.〔1〕求證：四邊形EFOG的周長等于2OB；〔2〕請你將上述題目的條件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC”改為另一種四邊形，其他條件不變，使得結(jié)論，“四邊形EFOG的周長等于2OB”仍成立，并將改編后的題目畫出圖形，寫出、求證、不必證明.解析：〔1〕證明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，圖7B圖7BADCOFEG又∵BC=CB，AB=DC，∴△ABC≌△DCB.∴∠ACB=∠DBC.又∵EG∥AC，∠ACB=∠GEB.∴∠DBC=∠GEB.∴EG=BG.∵EG∥OC，EF∥OG，∴四邊形EGOF是平行四邊形.∴OE=OF，EF=OG.∴四邊形EGOF的周長=2〔OG＋GE〕=2〔OG＋GB〕=2OB.ABCD圖6EGOF〔2〕ABCD圖6EGOF求證：四邊形EFOG的周長等于2OB注意：假設(shè)將矩形改為正方形，原結(jié)論成立嗎？課堂練習(xí)：〔一〕精心選一選1.以下命題正確的選項是〔〕A.一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形一定是平行四邊形B.對角線相等的四邊形一定是矩形C.兩條對角線互相垂直的四邊形一定是菱形D.兩條對角線相等且互相垂直平分的四邊形一定是正方形2.平行四邊形ABCD的周長32,5AB=3BC,那么AC的取值范圍為()A.6<AC<10；B.6<AC<16；C.10<AC<16；D.4<AC<163.兩個全等的三角形〔不等邊〕可拼成不同的平形四邊形的個數(shù)是〔〕〔A〕1〔B〕2〔C〕3〔D〕44.延長平形四邊形ABCD的一邊AB到E，使BE＝BD，連結(jié)DE交BC于F，假設(shè)∠DAB＝120°，∠CFE＝135°，AB＝1，那么AC的長為〔〕〔A〕1〔B〕1.2〔C〕EQ\F(EQ\R(,3),2)〔D〕1.55．假設(shè)菱形ABCD中，AE垂直平分BC于E，AE＝1cm，那么BD的長是〔〕〔A〕1cm〔B〕2cm〔C〕3cm〔D〕4cm6.假設(shè)順次連結(jié)一個四邊形各邊中點所得的圖形是矩形，那么這個四邊形的對角線()〔A〕互相垂直〔B〕相等〔C〕互相平分〔D〕互相垂直且相等7.如圖，等腰△ABC中，D是BC邊上的一點，DE∥AC，DF∥AB，AB=5那么四邊形AFDE的周長是 〔〕〔A〕5〔B〕10〔C〕15 〔D〕208.如圖，將邊長為8cm的正方形紙片ABCD折疊，使點D落在BC邊中點E處，點A落在點F處，折痕為MN，那么線段CN的長是〔〕．〔A〕3cm〔B〕4cm〔C〕5cm〔D〕6cm9.如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AC將梯形分成兩個三角形，其中△ACD是周長為18cm的等邊三角形，那么該梯形的中位線的長是()．(A)9cm(B)12cm(c)cm(D)18cm10.如圖，在周長為20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于點O，OE⊥BD交AD于E，那么△ABE的周長為〔〕(A)4cm(B)6cm