2022-2023學(xué)年北京市石景山區(qū)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷及答案解析

2022-2023學(xué)年北京市石景山區(qū)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.設(shè)命題p：3n∈N,n2>2n,則"為()

A.VneN,n2>2nB.3n∈/V,n2<2n

C.Vn∈/V,n2<2nD.3n∈N,n2=2n

不等式二≥1的解集為（

2.X-Iτ)

A.(-∞,1]U[3,+∞)B.口3]

C.(―∞,1)U[3,+∞)D.(1,3]

3.擲兩顆均勻的骰子，則點(diǎn)數(shù)之和為5的概率等于（)

11

A.BMCiD.

1812

4.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)>0）,g（χ）=IogM的圖象可能是（）

A.B.

OX

1

C.D.

OXX

-1

5.已知a、b、C都是實(shí)數(shù)，則“a<bn是tlac2<bc2n的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

6.若α>b>0,0<c<1,則()

caac<bcD.ca>cb

A.IOgaC<]θgbB?logc<IOgCbC.

7.已知函數(shù)f（x）=2x-X-1,則/^（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（)

A.0B.1C.2D.3

8.甲、乙兩人進(jìn)行飛鏢游戲，甲的10次成績(jī)分別為8,6,7,7,8,10,10,9,7,8,乙

的10次成績(jī)的平均數(shù)為8,方差為0.4,則下列說法不正確的是（）

A.甲的10次成績(jī)的極差為4B.甲的10次成績(jī)的75%分位數(shù)為8

C.甲和乙的20次成績(jī)的平均數(shù)為8D.乙比甲的成績(jī)更穩(wěn)定

9.在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足巾2-

巾I=IlgI|，其中星等為W的星的亮度為=1,2）.已知太陽的星等是一26.7,天狼星的星

等是-1.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為（）

A.IO101B.10.1C.IglO.lD.IOTt）I

10.設(shè)是定義在R上的函數(shù)，若存在兩個(gè)不等實(shí)數(shù)％,g∈R，使得/（歿起）="（）產(chǎn)）,

則稱函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P，那么下列函數(shù)：

①f（x）=SX≠0,②/（χ）=%3;③/（χ）=∣χ2_④/"（X）=χ2,不具有性質(zhì)P的函數(shù)

Io%=0

為（）

A.①BBC.③D.（4）

二、填空題（本大題共5小題，共25.0分）

11.一支田徑隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員48人，女運(yùn)動(dòng)員36人，若用分層抽樣的方法從該隊(duì)的全體運(yùn)動(dòng)員

中抽取一個(gè)容量為21的樣本，則抽取男運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)為.

12.函數(shù)y=/+log2（l_%）的定義域?yàn)?

13.某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)），其中自習(xí)時(shí)間的范圍是[17.5,30],

并制成了頻率分布直方圖，如圖所示，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5,20）,[20,22.5）,[22.5,25）,

[25,27.5）,[27.5,30],根據(jù)頻率分布直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的

人數(shù)為.

14.設(shè)函數(shù)/（x）=0，若/Q）=2/（0）,則實(shí)數(shù)α可以為.（只需寫出滿足題

意的一個(gè)數(shù)值即可）

15.設(shè)P為非空實(shí)數(shù)集且滿足：對(duì)任意給定的X,y∈P（X,y可以相同），都有X+y∈P,x-y∈

P,xyEP,則稱P為幸運(yùn)集.有以下結(jié)論：

①集合P={-2,-1,0,1,2}為幸運(yùn)集；

②集合P={x?x=2n,n∈Z}為幸運(yùn)集；

③若集合P2為幸運(yùn)集，則PlUP2為幸運(yùn)集；

④若集合P為幸運(yùn)集，則一定有06P.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題（本大題共5小題，共35.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16.（本小題6.0分）

已知全集U=R,若集合4={x∣-2≤%≤4},B-{x?x-m≤0}.

⑴若m=3,求［B,AUB；

（2）若AnB=4,求實(shí)數(shù)Wi的取值范圍.

17.（本小題6.0分）

下列是一道利用基本不等式求最值的習(xí)題：

已知α>0,b>0,且α+b=l,求y=R加最小值.

小明和小華兩位同學(xué)都巧妙地用了“a+b=1"，但結(jié)果并不相同.

121717

小明的解法：由于Q+b=1,所以y=—FT÷1—1=—F-÷（x+h-1=Qd----?-b-?--1,

JClbabab

而a+，≥2J∑E=2>h+∣≥2=2√Σ那么y≥2+2√2-1=1+2√Σ則最小值為

1+2√2?

小華的解法：由于a+b=l,所以y=；+京=（；+7a+b）=3+^+y,rfθ3+^+y≥3+

2/-??=3+2√Σ則最小值為3+2√2?

7ab

（I）你認(rèn)為哪位同學(xué)的解法正確，哪位同學(xué)的解法有錯(cuò)誤？

（H）請(qǐng)說明你判斷的理由.

18.（本小題8.0分）

某質(zhì)檢機(jī)構(gòu)檢測(cè)某產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格,在甲、乙兩廠勻速運(yùn)行的自動(dòng)包裝傳送帶上每隔10分

鐘抽一包產(chǎn)品，稱其質(zhì)量（單位：克），分別記錄抽查數(shù)據(jù)，獲得質(zhì)量數(shù)據(jù)莖葉圖（如圖）.

（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，求甲、乙兩廠產(chǎn)品質(zhì)量的平均數(shù)和中位數(shù)；

(2)若從甲廠6件樣品中隨機(jī)抽取兩件，列舉出所有可能的抽取結(jié)果；記它們的質(zhì)量分別是α克,

b克，求|a—勿<4的概率.

甲乙

889

642111245

3126

19.(本小題8.0分)

已知函數(shù)/(x)=10g2詈(α為常數(shù))是奇函數(shù).

(1)求α的值與函數(shù)fθ)的定義域；

(2)若當(dāng)X€(1,+8)時(shí)，/(x)+log2(x-1)>恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

20.(本小題7.0分)

甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，采取“三局兩勝”制，即兩人比賽過程中，誰先勝兩局即結(jié)束

比賽，先勝兩局的是勝方，另一方是敗方.根據(jù)以往的數(shù)據(jù)分析，每局比賽甲勝乙的概率均

為|,甲、乙比賽沒有平局，且每局比賽是相互獨(dú)立的.

(1)求比賽恰進(jìn)行兩局就結(jié)束的概率；

(2)求這場(chǎng)比賽中獲勝的概率.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查含有量詞的命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題即可得到結(jié)論.

【解答】

解：存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，

命題p：3n∈W,n2>2n,則-∣p:Vn∈/V,n2≤2n,

故選C

2.【答案】D

【解析】解：因?yàn)椴坏仁缴稀輑可變形為±∣≤0,

x-1τX-I

即伊-3)(：-1)≤。，解得1<X≤3,

tχ-1≠O

所以不等式告≥1的解集為(1,3]?

故選：D.

先將不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，然后等價(jià)轉(zhuǎn)化，求解即可.

本題考查了不等式的求解，主要考查了分式不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題，

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查古典概型的概率，屬于基礎(chǔ)題.

計(jì)算基本事件總數(shù)，由列舉法計(jì)算出要求事件所包含的基本事件數(shù)，即可求解概率.

【解答】

解：拋擲兩顆骰子所出現(xiàn)的不同結(jié)果數(shù)是6x6=36,

事件“拋擲兩顆骰子，所得兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和為5”所包含的基本事件有(1,4),(2,3),(3,2),

(4,1)共4種，

故事件“拋擲兩顆骰子，所得兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和為5”的概率是2=熱

故選B.

4.【答案】D

【解析】解：當(dāng)O<α<l時(shí)，函數(shù)f(x)=≥0),g(%)=[ogɑ%的圖象為:

此時(shí)答案。滿足要求，

當(dāng)α>l時(shí)，函數(shù)，(x)=Xa(X≥O),g(x)=]ogα%的圖象為:

無滿足要求的答案，

綜上：故選。，

故選：D.

結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)和事函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分當(dāng)0<α<l時(shí)和當(dāng)α>l時(shí)兩種情況，討論函數(shù)f。)=

xa(x≥0),g(x)=bgM的圖象，比照后可得答案.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象，熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)和幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

‰2=O判定不充分，再由不等式的性質(zhì)判斷必要性.

本題考查充分必要條件的判定及應(yīng)用，考查分析問題與解決問題的能力，是基礎(chǔ)題.

【解答】

解：由α<b,不一定有ac2<bc2,若c?=0；

反之，由ac2<be2,一定有C?>0,可得α<b.

.??“a<b”是tiac2<be2"的必要非充分條件.

故選:B.

6.【答案】B

【解析】解：Ta>b>0,0<c<1,

?logca<logcb,故B正確；

二當(dāng)a>b>1時(shí)，

0>IogaC>logbC，故A錯(cuò)誤；

ac>bc,故C錯(cuò)誤；

ca<cb,故。錯(cuò)誤；

故選:B.

根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，基函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合換底公式，逐一分析四個(gè)結(jié)論的真假，可得答案.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，基函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔.

7.【答案】C

【解析】解：函數(shù)/(x)=2X-x-l的零點(diǎn)為方程2x=x+l的根,

函數(shù)y=2丫與函數(shù)y=X+1的圖象如下：

所以函數(shù)y=2x與函數(shù)y=x+1有兩個(gè)交點(diǎn)，

所以方程2,=x+1有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

所以函數(shù)/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)，

故選：C.

函數(shù)/(x)=2x-X-1的零點(diǎn)為方程2*=X+1的根，作出函數(shù)y=2*與函數(shù)y=x+1的圖象，

即可得出答案.

本題考查函數(shù)與方程的關(guān)系，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：甲的10次成績(jī)的極差為10-6=4,即A正確；

甲的10次成績(jī)按從小到大順序排列為6,7,7,7,8,8,8,9,10,10,

由10X75%=7.5知，75%分位數(shù)為9,即B錯(cuò)誤；

甲的10次成績(jī)的平均數(shù)為=X(8+6+7+7+8+10+10+9+7+8)=8,

方差為2X[(8-8)2+(6-8)2+(7-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(10-8)2+(10-8)2+(9-

8)2+(7-8)2+(8—8)2]=1.6,

所以甲、乙兩人成績(jī)的平均數(shù)相等，甲的方差比乙的方差大，

所以甲和乙的20次成績(jī)的平均數(shù)為8,乙比甲的成績(jī)更穩(wěn)定，即C,。均正確.

故選:B.

根據(jù)平均數(shù)、方差、百分位數(shù)的計(jì)算方法，即可得解.

本題考查用樣本估計(jì)總體，熟練掌握平均數(shù)、方差、百分位數(shù)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵，考查邏

輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

把已知數(shù)值代入r∏2-mι=∣lgfj,化簡(jiǎn)后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解.

【解答】

解：設(shè)太陽的星等是mi=-26.7,天狼星的星等是τ∏2=-145,

太陽的亮度是瓦，天狼星的亮度是第，

由題意可得：-1.45-（-26.7）=∣lg∣i,

???ig∣∣=罷=io」，則Il=Io1。L

故選：A.

10.【答案】D

【解析】解：①選擇的兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可，如圖：（1）中的4B,

②同①，選擇的兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可，如圖（2）

③如圖，丫=1與/。）的交點(diǎn)，滿足題意，

④沒有滿足的點(diǎn)對(duì)，假設(shè)存在與，g6心使得/（空）=八占）7口2）,

即（警）2=亨得，χ1=&與與力&矛盾，故④不存在，

故選：D.

根據(jù)條件分別進(jìn)行判斷即可?

本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，結(jié)合條件，利用數(shù)形結(jié)合分別進(jìn)行判斷是解決本題的關(guān)鍵，屬

于中檔題.

11.【答案】12

【解析】解：???田徑隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員48人，女運(yùn)動(dòng)員36人，

這支田徑隊(duì)共有48+36=84人，

用分層抽樣的方法從該隊(duì)的全體運(yùn)動(dòng)員中抽取一個(gè)容量為21的樣本，

;每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是2=p

844

,?,田徑隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員48人，

???男運(yùn)動(dòng)員要抽取48XJ=12人，

4

故答案為：12.

根據(jù)田徑隊(duì)的男女運(yùn)動(dòng)員數(shù)目和用分層抽樣要抽取的數(shù)目，得到每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，利用每

個(gè)個(gè)體被抽到的概率乘以男運(yùn)動(dòng)員的數(shù)目，得到結(jié)果.

本題考查分層抽樣，在抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，這是解決這種問題的依據(jù)，本題

是一個(gè)基礎(chǔ)題.

12.【答案】［0,1)

【解析1解：???y=χ24-Iog2(1-X),

???｛；弓>0,???°J<L

???定義域?yàn)椋?,1)，

故答案為：［0,1).

根據(jù)函數(shù)的解析式，列出使函數(shù)解析式有意義的不等式組，求出解集即可.

本題考查了函數(shù)定義域的求法，解題的關(guān)鍵是列出使函數(shù)解析式有意義的不等式組，是基礎(chǔ)題.

13.【答案】140

【解析】解：由題意得，

這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)為

200×(0.16+0.08+0.04)X2.5=140A；

故答案為：140.

結(jié)合頻率分布直方圖，利用樣本估計(jì)總體即可.

本題考查了樣本估計(jì)總體的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】一1(答案不唯一)

【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)0，

當(dāng)α<0時(shí)，/(x)=2x,(%>a)

有/(I)=21=2,/(0)=20=1,滿足f(l)=2/(0),

故區(qū)間(-8,0)上的實(shí)數(shù)都符合題意，

則實(shí)數(shù)ɑ可以為-1,

故答案為：一1(答案不唯一).

根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式分析可得：當(dāng)α<0時(shí)，滿足f(l)=2/(0),故區(qū)間(-8,0)上的實(shí)數(shù)都

符合題意，由此可得答案.

本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)，涉及函數(shù)值的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】②④

【解析】解：P為非空實(shí)數(shù)集滿足：對(duì)任意給定的x、eP(x、y可以相同)，都有％+yeP,x-yEP,

xy∈P,則稱P為幸運(yùn)集.

對(duì)于①，由于-2-2=—4C4,故集合P={—2,—1,0,1,2}不為幸運(yùn)集，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，設(shè)X,yEA,則x=2∕q,y=2k2>且的，k2GZ,故x+y=2(七+七)€4，x—y=

2(?1—k2)∈A,xy=4fc1fc2∈A,

故集合P={%設(shè)=2?5￡2}為幸運(yùn)集，故②正確；

對(duì)于③，若集合呂、P2為幸運(yùn)集，設(shè)Pi={x∣x="6Z},「2=3尤="€2}為幸運(yùn)集，但是

PlUP2不為幸運(yùn)集，故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，若集合P為幸運(yùn)集，取x=y,x-y=0eP,則一定有0∈P,故④正確.

故答案為：②④.

直接利用幸運(yùn)集的定義和賦值法判定①②③④四個(gè)結(jié)論.

本題考查集合的新定義，注意運(yùn)用賦值法，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題.

16.【答案】解：(l)???τn=3,.?.B={x∣x≤3},

???U=R,QuB={x∣x>3},

"A={x?-2<X<4},■■■Ai)B={x?x<4}.

(2)-A∏B=A,.?.AUB,

??A={x?-2≤x≤4},B={x∣x≤m},

?■m≥4>

二實(shí)數(shù)Tn的取值范圍是[4,+8).

【解析】(l)m=3,求出集合B,由此能求出QB,4UB.

(2)由4CB=4,得4UB,由此能求出實(shí)數(shù)πι的取值范圍.

本題考查集合的運(yùn)算，考查交集、并集、補(bǔ)集的定義、不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解

能力，是基礎(chǔ)題.

17.【答案】解：(1)小華的解法正確，小明的解法錯(cuò)誤.

(H)小明的解法中，a+』31=2’等號(hào)成立時(shí)α=L6+建2屈=2√Σ等號(hào)成立時(shí)

QNaby]b

b=V2>

那么取得最小值1+2√Σ時(shí)，α+b=l+√Σ這與條件α+b=1是相矛盾的，

所以小明的解法錯(cuò)誤；

小華的解法中，2+年≥2√2,等號(hào)成立的條件為扭=2a2,即b=√2α.再由已知條件α+b=1,

ab

即可解得滿足條件的α,b的值，

所以小華的解法正確.

【解析】(I)根據(jù)基本不等式的應(yīng)用條件，“一正，二定，三相等”三個(gè)條件缺一不可，可判斷

小華的解法正確，小明的解法錯(cuò)誤.

(H)小明的解法中，兩次應(yīng)用基本不等式，等號(hào)成立條件不滿足題意，故小明的解法錯(cuò)誤；小華

的解法符號(hào)基本不等式的應(yīng)用條件，是正確的.

本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，使用時(shí)要注意“一正，二定，三相等”三個(gè)條件缺一不可，

屬于基礎(chǔ)題.

108÷lll+112+114+116÷123

18.【答案】解：（1）甲廠質(zhì)量的平均數(shù)=114,

6

甲的中位數(shù)是里產(chǎn)=113,

乙廠產(chǎn)品質(zhì)量的平均數(shù)是108+1°9+112尸14+115+126

114,

乙的中位數(shù)是山產(chǎn)=113.

(2)從甲廠6件樣品中隨機(jī)抽兩件，結(jié)果共有n=15個(gè)，分別為：{108,111},{108,112},{108,114},

{108,116),{108,123},{111,112],{111,114},{111,116},{111,123},{112,114},{112,116},

{112,123},(114,116),{114,123},{116,123},

設(shè)“∣α-b∣<4”為事件為4,由事件4共有5個(gè)結(jié)果:{108,111},{111,112},