集合及集合思想應(yīng)用(講 練)-2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)(全國通用)(解析版)

專題1-1集合及集合思想應(yīng)用

目錄

講高考..........................................................................1

題型全歸納......................................................................3

【題型一】集合中元素表示.......................................................3

【題型二】集合元素個(gè)數(shù).........................................................4

【題型三】知識(shí)點(diǎn)交匯處的集合元素個(gè)數(shù)..........................................5

【題型四】由元素個(gè)數(shù)求參.......................................................7

【題型五】子集關(guān)系求參.........................................................8

【題型六】集合運(yùn)算1：交集運(yùn)算求參...........................................10

【題型七】集合運(yùn)算2：并集運(yùn)算求參...........................................12

【題型八】集合運(yùn)算3：補(bǔ)集運(yùn)算求參...........................................13

【題型九】應(yīng)用韋恩圖求解......................................................15

【題型十】集合中的新定義......................................................18

專題訓(xùn)練.......................................................................20

講高考

1.(2022?全國?高考真題(理))設(shè)全集U={-2,T,O,1,2,3},集合

Λ={-l,2},B={x∣X2-4Λ+3=0},則4,(AUB)=()

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,l}D.{-2,0}

【答案】D

【分析】解方程求出集合民再由集合的運(yùn)算即可得解.

【詳解】由題意，B={Φ2-4Λ-+3=0}={1,3},所以AU8={-1,L2,3},

所以電(AUB)={-2,0}.

故選：D.

2.(2021?全國?高考真題(理))已知集合S={s∣s=2"+l,"wZ},T={t?t=4n+l,neZ},則

5?T()

A.0B.SC.TD.Z

【答案】C

【分析】分析可得TqS,由此可得出結(jié)論.

【詳解】任取fw7,則f=4"+l=2?(2")+l,其中〃eZ,所以，teS,故TqS,

因此，S∩T=T.

故選：C.

3.(2021?北京?高考真題)已知集合A={x∣-lvx<l},B={x∣0≤x≤2},則AUB=()

A.{χ∣-l<χ<2}B.{x∣-l<x≤2}

C.{x∣0≤x<l}D.{x∣0≤x≤2}

【答案】B

【分析】結(jié)合題意利用并集的定義計(jì)算即可.

【詳解】由題意可得：A8={x∣T<x≤2}.故選：B.

4.（2021?浙江?高考真題）設(shè)集合4={x∣x21},B={x∣-l<x<2},則AB=（）

A.{x∣x>-l}B.{x∣x≥l}C.{x∣-l<x<l}D.{x∣l≤x<2}

【答案】D

【3析】由題意結(jié)合交集的定義可得結(jié)果.

【詳解】由交集的定義結(jié)合題意可得：A∩5={x∣l≤x<2}.故選：D.

5.（2021?全國?高考真題（文））已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},則

6”(MUN)=()

A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4}

［答案］A

【彳析】首先進(jìn)行并集運(yùn)算，然后進(jìn)行補(bǔ)集運(yùn)算即可.

【詳解】由題意可得：MUN={1,2,3,4},則加（MN）={5}.故選：A.

6.（2007?全國?高考真題（文））已知集合E={例COSe<sin0,0≤6≤2乃},尸={例ta∏e<sin6},

那么EF為區(qū)間（）

A.仁,兀］B.

C.D.

【答案】A

【解析】先分別利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象化簡(jiǎn)集合E,F,再利用交集的

運(yùn)算求解.

【詳解】?.?E={θ?cosθ<f,mθ,0<θ<2π］=^?^<θ,

F=^θ??,a,nθ<sin0}=+<θ<π+kπ,k∈Z∣,.,,EF=Iol<6<.故選：A.

7.（2022?北京?高考真題）已知正三棱錐P-ABC的六條棱長(zhǎng)均為6,5是_ABC及其內(nèi)部的

點(diǎn)構(gòu)成的集合?設(shè)集合T={QeS∣PQ≤5},則T表示的區(qū)域的面積為（）

A.—B.TiC.2πD.3π

4

【答案】B

【分析】求出以P為球心，5為半徑的球與底面ABC的截面圓的半徑后可求區(qū)域的面積.

【詳解】設(shè)頂力尸在底面上的投影為°,連接8°,則°為三角形ABC的

RO_2乂6_石______

中心，且一寫、X2一',故PO=J36-12=27因?yàn)镻Q=5,故。。=1,

故S的軌跡為以。為圓心，1為半徑的圓，而三角形ABC內(nèi)切圓的圓心為0,半徑為

2×-×36

48>［,故S的軌跡圓在三角形A8C內(nèi)部，故其面積為燈故選：B

3×6

題型全歸納

【題型一】集合中元素表示

【講題型】

例題1：已知集合A={{0},0},下列選項(xiàng)中均為A的元素的是()

(1){0}(2){{0}}(3)0(4){{0}0}

A.(I)(2)B.(I)(3)C.(2)(3)D.(2)(4)

【答案】B

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系判斷.

集合A有兩個(gè)元素：{0}和0,

故選：B

例題2、設(shè)集合M={x∣x=空keZ},N={x∣x="+g,keZ},則()

2442

A.M=NB.MVNC.MjND.MYN

【答案】B

【分析】

對(duì)于集合N,令.=2∕n(meZ)和A:=2吁I(TMeZ),即得解.

【詳解】

.kττ7Γ(71..Ikτc7ΓI7]

Mlλ={ixIX=---1—,κ∈Z}N=frχIX=--F一,k∈Z}

24f42f

對(duì)于集合N,當(dāng)x=2W(WeZ)時(shí)，X=ψ+∣,∕n∈Z;

當(dāng)Ar=2"]-l(,"eZ)時(shí)，X=拳+?,mez.-.MVN,故選：B.

【講技巧】

集合表示

1、列舉法，注意元素互異性和無序性

2、描述法，注意準(zhǔn)確理解集合元素，能理解不同符號(hào)的元素

描述法表示集合時(shí),要注意“那條豎線"前邊的字母及字母形式。一般情況下，一個(gè)字母是數(shù)集，有

序數(shù)對(duì)（a,b、）形式可以理解為點(diǎn)集

【練題型】

1.以下四個(gè)寫法中:①0∈{0,l,2};②0={1,2};③{0,l,2,3}={2,3,0,1}；④AcO=A,正

確的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

對(duì)于①，0∈{0,l,2}正確；對(duì)于②，因?yàn)榭占侨魏渭系淖蛹?，所?={L2}正確；對(duì)于

③，根據(jù)集合的互異性可知{0,l,2,3}={2,3,0,1}正確；對(duì)于④，Af）0=0,所以AcO=A

不正確；四個(gè)寫法中正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)，故選C.

2.下面五個(gè)式子中:①α={α};②0={α};③{4}e{α,b}；④{α}u{4};⑤αe{Z>,c,

4};正確的有（）

A.②④⑤B.②③④⑤C.②④D.①⑤

【答案】A

【分析】根據(jù)元素與集合，集合與集合之間的關(guān)系逐個(gè)分析即可得出答案.

①中，。是集合{4}中的一個(gè)元素，αe{α},所以①錯(cuò)誤；

空集是任一集合的子集，所以②正確；

{0}是{?；氐淖蛹?所以③錯(cuò)誤;

任何集合是其本身的子集，所以④正確；

“是"C,a}的元素，所以⑤正確.

故選：A.

3.若α∈{l,3,∕},則。的可能取值有（）

A.OB.0,1C.0,3D.0,1,3

［答案］C

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系及集合中元素的性質(zhì)，即可判斷α的可能取值.

α=0,則αe{l,3,0},符合題設(shè)；

α=l時(shí)，顯然不滿足集合中元素的互異性，不合題設(shè)；

a=3時(shí)，則αe{l,3,9},符合題設(shè)；.?.α=0或α=3均可以.故選：C

【題型二】集合元素個(gè)數(shù)

【講題型】

B=L∕v∣^∣<oL則集合

例題1.已知集合A=?XEZ?^-<y-'≤3e

Iθ*

{z∣z=Λy,x∈Ay∈8}的元素個(gè)數(shù)為（

A.6B.7

C.8D.9

【答案】B

【分析】

解指數(shù)不等式求得集合4,解分式不等式求得集合8,由此求得集合{Z∣Z=孫/€4、€國的

元素個(gè)數(shù).

【詳解】

由!<3'τ≤3得3Y<3i43∣,-4<x-l≤l,解得一3<x≤2,所以4={-2,-1,0,1,2}.由

—<0解得-2<x<3,所以B={T0,l,2}.所以{z∣z=孫,xeAycB}={2,0,-2,T,l,-l,4},

共有7個(gè)元素.故選：B.

例題2..L=卜L=W.V；,若IAj表示集合A,中元素的個(gè)數(shù)，則IAl=

，則∣A∣+∣4∣+∣4∣+?.?+∣Ao∣=-

【答案】11;682.

【詳解】

?學(xué)G辭'

試題分析：當(dāng)〃=5時(shí)，2i<3m<2f>.即IlSM≤4小I=IL

H二

山丁「不能整除3,從」】到?：,Jn噩運(yùn)二，3的倍數(shù)，共有682個(gè),

.?.∣4∣+%∣+…+∣4o∣=682

【講技巧】

集合元素個(gè)數(shù)，多涉及到對(duì)集合元素形式的判斷：

1.點(diǎn)集多是圖像交點(diǎn)

2.數(shù)集，多涉及到一元二次方程的根。

【練題型】

1.若集合A={xwN∣logzX<3},8=Ny=√7≡5},則AB的元素個(gè)數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

［答案］C

【2■析】分別求出集合43,然后，由交集定義求得交集后可得元素個(gè)數(shù).

由題意得，A={x∈N∣0<x<8}={l,2,3,4,5,6,7},B={ψ≥3},故AB={3,4,5,6,7},有

5個(gè)元素.

故選：C

2.已知集合A={—l,O,l},β=∣(Λ,y)∣x∈A,y∈A,^∈Nj,則集合8中所含元素的個(gè)數(shù)為

A.3B.4C.6D.9

【答案】B

【彳析】根據(jù)幾何A中的元素，可求得集合B中的有序數(shù)對(duì)，即可求得B中元素個(gè)數(shù).

λ尤

因?yàn)閤∈A,yiA,-∈N,

y

所以滿足條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)為(TT)，(O,τ),(0,1),(1,1).

故選:B.

3.集合A={jc∣χ2-7x<(),xwN*},則B=1.v∣?∣eN*,ye4］中元素的個(gè)數(shù)為

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

A={Λ∣X2-7Λ?<0,X∈N"}={Λ∣0<X<7,X∈^}={1,2,3,4,5,6),

B=jy∣∣∈N?y∈Aj={1,2,3,6},則B中的元素個(gè)數(shù)為4個(gè).

本題選擇D選項(xiàng).

【題型三】知識(shí)點(diǎn)交匯處的集合元素個(gè)數(shù)

【講題型】

例題1」.已知全集u={(χ,y)∣χeR,yeR},集合s=u,若S中的點(diǎn)在直角坐標(biāo)平面內(nèi)形成

的圖形關(guān)于原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、直線N=X均對(duì)稱，且(2,3)eS,則S中的元素個(gè)數(shù)至少有

A.4個(gè)B.6個(gè)C.8個(gè)D.10個(gè)

【答案】C

求出點(diǎn)(2,3)關(guān)于原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、直線y=X的對(duì)稱點(diǎn)，其中關(guān)于直線y=X對(duì)稱點(diǎn)，再求它

關(guān)于原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、直線y=χ的對(duì)稱點(diǎn)，開始重復(fù)了.從而可得點(diǎn)數(shù)的最小值.

因?yàn)?2,3)eS.S中的點(diǎn)在直角坐標(biāo)平面內(nèi)形成的圖形關(guān)于原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、直線N=X對(duì)稱，所

以(-2,-3)∈S,(-2,3)∈S,(2,-3)∈5,(3,2)∈S,(-3,-2)∈S,(3,-2)∈5,(-3,2)∈S,所以S中的

元素個(gè)數(shù)至少有8個(gè)，

故選：C.

例題2.若正方體4兒44-與的棱長(zhǎng)為1,則集合

{x∣X=A4?4%左{1,2,3,4},共{1,2,3,4}}中元素的個(gè)數(shù)為()

A.?B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】將4耳=(AA+At+4瓦)代入At/5；,結(jié)合LAj?和A4鳥

(∕e{2,3,4})化簡(jiǎn)即可得出集合中元素的個(gè)數(shù).

ABlBlBj=O(j∈{2,3,4})AiBj(AiAi+AtBt+BlBj)

2

AiBt-=A4?(AA+A4+BlBj)=A,Bl-AjA,+A,Bl^+A,Bt-BlBj=1

{xIX=A4?Ag,ie{L2,3,4}J€{1,2,3,4}}中元素的個(gè)數(shù)為1.

②A4=A鳥時(shí).

X=AtBtAiBι=AiBcAlBi=AB：=1此時(shí){x∣X=A4?A%i∈{1,2,3,4},j∈{1,2,3,4}}中元素

的個(gè)數(shù)為1.

綜上所述,{x∣X=A8「44,觸{1,2,3,4},上{1,2,3,4})中元素的個(gè)數(shù)為1.故選人

【講技巧】

集合知識(shí)點(diǎn)交匯處，多涉及到集合與函數(shù)，集合與向量，集合與數(shù)列，集合與立體幾何，

集合與圓錐曲線等等相關(guān)知識(shí)的綜合應(yīng)用。

【練題型】

L設(shè)集合A={-2,T,0,l,2},5={-l,0,l},C=?(x,y)*+qi≤l,XeAyeB,,則集合C中元素的

個(gè)數(shù)為()

A.HB.9C.6D.4

【答案】A

【分析】由題意可得出：X從-1,0,1任選一個(gè)；或者X從-2,2任選一個(gè)；結(jié)合題中條件,確

定對(duì)應(yīng)的選法，即可得出結(jié)果.

解：根據(jù)條件得:X從-1,0,1任選一個(gè)J從而T,0,1任選一個(gè),有9種選法;

x=-2或2時(shí),y=0,有兩種選法；共H種選法；???C中元素有11個(gè).故選A.

2.已知集合A={(x,y)∣?√+y2≤],χ,yez},B={(x,y)∣Λ∣<2,∣y∣≤2,x,yeZ},定義集合

4十8={(x∣+々,y+y2)∣(x,,yl)GA,(x2,y2)GB},則A十8中元素的個(gè)數(shù)為

A.77B.49C.45D.30

【答案】C

因?yàn)榧熄M={(k.r)∣F+y'4l,k,GZ},所以集合X中有5個(gè)元素(即5個(gè)點(diǎn))，即圖

中圓中的整點(diǎn)，集合8-k工卜小區(qū)2.惘42,工”2；中有25個(gè)元素(即25個(gè)點(diǎn))：即

圖中正方形,2CD中的整點(diǎn)，集合/由6={(%+.q..n+A)∣(*∣,F∣)W4區(qū)..y,)w8}的

元素可看作正方形.±51CQι中的整點(diǎn)(除去四個(gè)頂點(diǎn))，即-一-』="個(gè).

3.若集合E={(p,%r,s)I()≤°<s≤4,0≤夕<s≤4,()≤r<s≤4?,?,r,.y∈N},

F={(r,M,v,w)∣0≤f<M≤4,0≤v<W≤4?,M,V,WEN},用Card(X)表示集合X中的元素個(gè)數(shù),

貝I]Card(E)+card(F)=

A.50B.IOOC.150D.200

【答案】D

當(dāng)s=4時(shí)，P,q,r都是取0,1,2,3中的一個(gè)，有4x4x4=64種，當(dāng)s=3時(shí)，P,<?,

r都是取0，1，2中的一個(gè)，有3x3x3=27種，當(dāng)s=2時(shí)，P,<1,r都是取0,1中的一

個(gè)，有2x2x2=8種，當(dāng)S=I時(shí)，P,q,r者E取0,有1種，所以Card(E)=64+27+8+1=100,

當(dāng)f=0時(shí)，”取1,2,3,4中的一個(gè)，有4種，當(dāng)f=l時(shí)，“取2,3,4中的一個(gè)，有3種，

當(dāng)r=2時(shí)，〃取3,4中的一個(gè)，有2種，當(dāng)f=3時(shí)，”取4,有1種，所以人〃的取值有

1+2+3+4=10種，同理，八W的取值也有10種，所以Card(F)=IO*10=100,所以

Card(E)+card(F)=IOo+100=200,故選D.

【題型四】由元素個(gè)數(shù)求參

【講題型】

例題1.若集合A={xeR∣0√+αx+ι=o}中只有一個(gè)元素，則〃=()

A.4B.2C.0D.0或4

【答案】A

集合A中只有一個(gè)元素,A=α2-4〃=0,.?.a=0或4.又當(dāng)α=0時(shí)集合A中無元素，故選A.

考點(diǎn)：該題主要考查集合的概念、集合的表示以及集合與一元二次方程的聯(lián)系.

例題2.已知集合A={xeN∣l<x<log2%},集合A中至少有3個(gè)元素，則

A.Λ>8B.)t>8C.Λ>16D.k≥l6

【答案】C

試題分析：因?yàn)锳={x∈Λφ<x<log∕}中到少有3個(gè)元素，即集合A中一定有23,4三個(gè)元

素，所以Jl>24=16,故選C.

【講技巧】

在根據(jù)元素與集合關(guān)系求解參數(shù)值的問題時(shí)，容易錯(cuò)的地方是忽略求得參數(shù)值后，需驗(yàn)

證集合中元素是否滿足互異性

【練題型】

L已知集合A={#2+2奴+2a≤θ},若A中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)。的值為()

A.0B.0或—2C.0或2D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為拋物線y=f+20r+2a與X軸只有一個(gè)交點(diǎn)，只需A==O

即可求解.

若A中只有一個(gè)元素，則只有一個(gè)實(shí)數(shù)滿足χ2+20r+2α≤0,

即拋物線y=χ2+20r+2α與X軸只有一個(gè)交點(diǎn)，.?.Z?=4∕-8α=0,.?.a=0或2.故選：C

2..已知A={(x,y)∣χ2+y2≤l,xeZ,yeZ},B={(x,y)∣∣x∣≤3,∣y∣≤3,xeZ,yeZ卜定義集合

A十8={(芭+々,乂+丫2)|(4凹)€闋(孫丫2)€氏},則4十B的元素個(gè)數(shù)〃滿足()

A.n=77B.H≤49C.w=64D.∕?≥81

【答案】A

先理解題意，然后分①當(dāng)±=±1,M=0時(shí),②當(dāng)士=0,y=±1時(shí),③當(dāng)西=0,M=O時(shí),三種情

況討論即可.

解:由A={(X,y)?x2+y2≤l,xeZ,yeZ^,B={(x,γ)∣∣x∣≤3,∣y∣≤3,xeZ,yeZ∣.

①當(dāng)±=±l,y∣=0時(shí)，x1+x2=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,

+)?=-3,-2,-1,0,1,2,3,

此時(shí)A十B的元素個(gè)數(shù)為9x7=63個(gè)，

②當(dāng)F=。，y=±1時(shí)，(+?=-3,-2,-1,0,1,2,3,

-

X÷y2=4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,

這種情況和第①種情況除X+%=-4,4外均相同,故新增7x2=14個(gè)，

=

③當(dāng)Xl=O,y=0時(shí)，x↑+X2-3,-2,-1,0,1,2,3,

y+y?=-3,-2,-1,0,1,2,3,這種情況與前面重復(fù),新增0個(gè)，

綜合①②③可得：

A十3的元素個(gè)數(shù)為63+14+0=77個(gè)，

故選:A.

3.如果集合4=1|62+2工+1=0}中只有一個(gè)元素，貝IJa的值是()

A.0B.0或1C.1D.不能確定

【答案】B

2

因?yàn)锳中只有一個(gè)元素,所以方程Λ√+2X+1=O只有一個(gè)根，當(dāng)a=0時(shí)，x=-；;WlaKO時(shí)，

A=4-4α=0,q=l,所以a=0或1.

【題型五】子集關(guān)系求參

【講題型】

例題1.已知集合A=H萬，≤1},B={XIX(X-a)<θ},若A仁8,則。的取值范圍是()

A.(YO,1)B.(∣,+∞)C.(f2)D.(2,+∞)

【答案】D

【分析】先化簡(jiǎn)集合A,8,再根據(jù)A=B得解.

【詳解】

由題得j2-x≤l=>l≤x≤2,故A=[l,2],

當(dāng)“<0時(shí)，B=(α,0),顯然不滿足A=B;

當(dāng)α=0時(shí)?，B=O,顯然不滿足AuB；

當(dāng)α>0時(shí),B=(0,67),若A=5na>2.故選:D

例題2.已知集合A={x∣d-2x-3<θ},非空集合B={x∣2-q<x<l+4},β?A,則實(shí)數(shù)〃

的取值范圍為().

A.(~∞,2]B?(g,2C.(-∞,2)D.

【答案】B

先化簡(jiǎn)集合A,再由BaA建立不等式組即可求解

【詳解】

A={x,-2X-3<0}={Λ∣-1<Λ<3},由5±A且8為非空集合可知，

2-a≥-?

應(yīng)滿足?l+α43,解得αe(,2故選：B

1+4>2—。

【講技巧】

集合子集：

(1)子集是刻畫兩個(gè)集合之間關(guān)系的，它反映的是局部與整體之間的關(guān)系

(而元素與集合之間的關(guān)系是個(gè)體與整體之間的關(guān)系).

(2)并不是任意兩個(gè)集合之間都具有包含關(guān)系.例如：A={1,2},B={l,3},

因?yàn)?∈A,但2<β,所以A不是B的子集；同理，因?yàn)?∈B,但3?4,所以

8也不是A的子集.

(3)子集有下列兩個(gè)性質(zhì)：

①自反性：任何一個(gè)集合都是它本身的子集，即ACA;

②傳遞性：對(duì)于集合A,B,C,如果AUB,且BNC,那么A=C

(4)求子集運(yùn)算時(shí)，一定要注意子集是從“空集開始”

【練題型】

1.若集合A={x∣2α+l≤x≤3α-5},B={x∣5≤x≤16},則能使AUB成立的所有“組成的集合

為()

A.{a?2<a<l}B,{α∣6≤α<7}C.{a?a<l}D.0

【答案】C

仔。+1≤3α-5

考慮A=0和A≠0兩種情況，得到3^-5≤16,解得答案.

[2α+l≥5

【詳解】

當(dāng)A=0時(shí)，即加+l>3α-5,α<6時(shí)成立；

2。+1≤3。一5

當(dāng)4#0時(shí)，滿足V3α-5≤16,解得6<α≤7:

2。+1≥5

綜上所述：α≤7.故選：C.

2.A=3-2≤x≤5},B={x∣m+l≤x≤2∕n-l},若BuA,則實(shí)數(shù)也的取值范圍是()

A.m<3B.2≤m≤7>C.m≤3D.2<m<3

【答案】C

由B=A,分8=0和B≠0兩種情況討論，利用相應(yīng)的不等式(組)，即可求解.

【詳解】

由題意，集合A={x卜2≤xM5},B={x?m+?≤X<2m-↑],因?yàn)锽=A,

(1)當(dāng)3=0時(shí)，可得m+l>2m-l,BPm<2,此時(shí)B±A,符合題意；

m+?<2m-?

(2)當(dāng)8≠0時(shí)，由3αA,則滿足一2≤相+1,解得2≤m≤3,

2ffl-1≤5

綜上所述，實(shí)數(shù)，”的取值范圍是m≤3.

故選：C.

3.已知集合A={?ψ2-2x-3=θ},B={x∣0x-l=0},若B=A,則實(shí)數(shù)”的值構(gòu)成的集合

是()

?-{^l,0,l}B.{T0}0.卜尚D?歸}

【答案】A

解方程求得集合A,分別在5=0和3W0兩種情況下，根據(jù)包含關(guān)系構(gòu)造方程求得結(jié)果.

【詳解】

由f-2x-3=0得：X=-I或x=3,即A={-l,3};①當(dāng)α=0時(shí),B=0,滿足5=A,符

合題意；

②當(dāng)QWo時(shí)，3={x∣&x-l=θ}=口BqA,.」=_]或_1=3,解得：α=T或Q=L

JIaJaa3

綜上一所述：實(shí)數(shù)。的值構(gòu)成的集合是卜l,θg}?故選：A.

【題型六】集合運(yùn)算1：交集運(yùn)算求參

【講題型】

例題L已知集合A={(x,y)∣x+αy-α=θ},8={(x,y)辰+(24+3))T=θ}.若4β=0,

則實(shí)數(shù)”=()

A.3B.-1C.3或-1D.-3或1

【答案】A

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為“直線》+毆-。=0與直線6+(2a+3)y-1=0互相平行”，由此求解

出α的取值.

【詳解】因?yàn)锳∏5=0,所以直線x+ay-α=0與直線?+(2z+3)y-1=0沒有交點(diǎn)，

所以直線》+@-。=0與直線雙+(2α+3)y-l=0互相平行，

所以lx(2α+3)-4xa=0,解得。=—1或。=3,

當(dāng)a=T時(shí)，兩直線為：x-y+l=O,-x+y-?=O,此時(shí)兩直線重合，不滿足，

當(dāng)α=3時(shí)，兩直線為：x+3γ-3=0,3x+9y-1=0,此時(shí)兩直線平行，滿足，

所以"的值為3,

故選：A.

例題2.已知集合4={xeN*.-2x-3<θ},8={x卬+2=0},若A8=8,則實(shí)數(shù)“的取

值集合為()

A.{-l,-2}B.{-l,0}C.{-2,0,l}D.{-2,-1,0)

【答案】D

【分析】先求出集合A,由AB=B得到BaA,再分類討論”的值即可.

【詳解】A={xwN*∣χ2-2x—3<θ}={l,2},因?yàn)锳B=B,所以B=A,

當(dāng)α=0時(shí),，集合B={x∣αx+2=θ}=0,滿足8C4；

當(dāng)"0時(shí)，集合B={x∣αr+2=θ}=[x=-21,

山BαA,A={l,2}得-W=I或-W=2,解得α=-2或α=-l,

aa

綜上，實(shí)數(shù)。的取值集合為{-2,-1,0}.故選：D.

【講技巧】

交集的運(yùn)算性質(zhì)：

LAHB=BnA,A∩BCA,A∏A=A,A∩0=g,Λ∩B=A4≠A?B.

2.求交集題型時(shí)，要注意“邊界值”是否能取等號(hào)

【練題型】

1.已知集合A={x∣l<x<2},集合B=卜卜=√^二7),若AB=A,則機(jī)的取值范圍是

)

A.(0,l]B.(1,4]C.[l,+∞)D.[4,+∞)

【答案】D

由AnB=A可得出AuB,可知3X0,解出集合8,結(jié)合題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)小的不等式,

由此可解得實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【詳解】QAIB=A且A={x∣l<x<2},則Au8,.?.8H0.

若加<0,則帆--<0,可得3=0,不合乎題意；

若m≥0,則B={x∣y=J"i-χ2}=卜卜而

所以，際≥2,解得，”>4.因此，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是[4,+∞).故選：D.

2.設(shè)集合A={4r2-4≤)},B={x?lx+a<^},且An8={x卜2≤x≤l},則α=()

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】B

【分析】由題意首先求得集合A.8,然后結(jié)合交集的結(jié)果得到關(guān)于。的方程，求解方程即可

確定實(shí)數(shù)α的值.

【詳解】求解二次不等式/一4≤0可得：A={x|—2≤x≤2},

求解一次不等式2x+a≤0可得：β=jx∣x≤-4.

由于ACB={x|-2≤x≤l},故：-￡=1,解得：α=-2.故選：B.

222

3.已知集合4=..θkβ≈{x∣x-(a+l)x+2o(a+l)<0,若Aβ=0,則實(shí)數(shù)。的

取值范圍是()

A.(2,+∞)B.{l}u(2,+∞)

C.{l}U[2,+∞)D.[2,+∞)

【答案】C

【分析】先解出集合A,考慮集合5是否為空集，集合5為空集時(shí)合題意，集合8不為空集

時(shí)利用或2解出a的取值范圍.

2a.4a+1,,-1

【詳解】由題意A='g??θ}=(T,4],

8=卜卜2-(α+l)2χ+2α(/+l)<θ}=卜卜一加肛-(Q2+l)]<θ},

2

當(dāng)3=0時(shí)，2α=∕+ι,即α=ι,符合題意；當(dāng)3W0,即αwl時(shí)，B=(2a,a+l)t則有

24.4或/+],,-1,即a.2.

綜上，實(shí)數(shù)”的取值范圍為{l}U[2,+∞).故選：C.

【題型七】集合運(yùn)算2：并集運(yùn)算求參

【講題型】______

例題L,已知A=*ly=45x-χ2-4},B={x?x2-2ax+a+2≤6?若AUB=A,那么實(shí)數(shù)〃

的取值范圍是()

A.(-L2)B.[4]C,]用D.卜耳

【答案】D

【分析】由題意,可先化簡(jiǎn)集合A,再由AUJB=A得BuA,由此對(duì)B的集合討論求a,由于集

合B可能為空集,可分兩類探討,當(dāng)B是空集時(shí),與B不是空集時(shí),分別解出a的取值范圍,選出

正確選項(xiàng)

【詳解】解：由題意,A={χ∣y=j5x-χ2_4}={χ∣?c4},

由AUB=A得BqA

又B={x∣χ2-20r+α+2≤0}

當(dāng)B是空集時(shí),符合題意,此時(shí)有a=4a、4a-8V0解得-l<αV2

A=4∕-4"-8..0

4

當(dāng)B不是空集時(shí).有嗎Cn解得2Vα≤m宗上知,實(shí)數(shù)a的取值范圍是1-1,歲]故

l-2α+α+2..07I7」

16—8α+α+2..0

選：D

例題2.設(shè)常數(shù)a∈R,集合A={x∣(x-1)(x-a)之0},B={x∣x>a-1},若AUB=R,則a的

取值范圍為()

A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(2,+co)D.[2,+∞)

【答案】B

【詳解】試題分析：當(dāng)α=l時(shí)，<=火，此時(shí)HU8=R成立，當(dāng)a>l時(shí)，

A-?a→當(dāng)/UB=E時(shí);α-l<l=?α≤2.即(L2],當(dāng)α<l時(shí)，

J=l,+x>∪l-x.α].當(dāng)/UB=K時(shí)，α-IVa恒成立，所以。的取值范圍為I-X,2],

故選B.

【講技巧】

并集的運(yùn)算性質(zhì)：

AUB=BUA,A=AUB,AUA=A,AU0=A,ΛUB=B<=>A?B.

【練題型】

L設(shè)集合A={x∣∕-(α+3)x+3α=θ},β={x∣x2-5x+4=θ},集合AUB中所有元素之和

為8,則實(shí)數(shù)。的取值集合為()

A.{0}B.{0,3}C.{0,l,3,4}D.{1,3,4}

【答案】C

【詳解】試題分析：B={l,4},χ2-(α+3)χ+3o=0兩根是x=3,x=a,當(dāng)a=0、1、3、4時(shí),

滿足集合AUB中所有元素之和為8,故選C.

2

2.非空集合A={xeN∣0<x<3},B=(3'∈/V∣y-wy+1<0√n∈/?},AB=A[B,則實(shí)數(shù)

機(jī)的取值范圍為()

【答案】A

【分析】由題知A=B={1,2},進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)F(X)=X2一e+1,再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理得

/(3)≥θ

-/(2)<O,解不等式即可得答案.

∕0)<θ

【詳解】解：由題知A={x∈N∣0<x<3}={l,2},

因?yàn)锳B=AB,所以A=B,

所以8={yeN∣y2—陽+ι<0,π7eR}={ι,2},

故令函數(shù)/(x)=x2-〃a+1,

所以，如圖，結(jié)合二次函數(shù)的圖像性質(zhì)與零點(diǎn)的存在性定理得:

/(3)≥O[1O-3∕7J≥O

?/(2)<0,即<5-2〃?<0,解得2<m≤與，

/(l)<02-ιn<0—

所以，實(shí)數(shù)，"的取值范圍為(|,與.

3.已知集合M={l,3},N={l-a,3},若MN={l,2,3},貝心的值是（）

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【分析】根據(jù)集合N和并集，分別討論“的值，再驗(yàn)證即可.

【詳解】因?yàn)镸uW={1,2,3},若1—α=l="=O,經(jīng)驗(yàn)證不滿足題意；

若l-a=2=a=-1,經(jīng)驗(yàn)證滿足題意.所以α=-L故選：B.

【題型八】集合運(yùn)算3：補(bǔ)集運(yùn)算求參

【講題型】

例題1.已知集合/I={.Uθ<x<2],集合B二{.r∣-I<工<1卜集合C二[Y+1>0},若

ΛuB?C,則實(shí)數(shù)川的取值范圍是.

【答案】-p'

【詳解】由題意，AuB={Λ∣-l<x<2},

：集合C={x∣∕nr+l>O},AkjB?C,

CljlZ7?！躉,-----,.?.≥2>.,.tn≥—,—≤方?V0；

mm22

②m=0El寸，成立；

(3√,〃7>0,x>----,.?-----≤—Ltn≤1?0<，〃≤1?

mm

綜上所述，-二≤,*≤1,故答案為-彳WwiWl.

22

例題2..已知集合A=[xeR^j≤l],8={xeRKX-24)(x-∕-l)<θ},若低A)B=0,

則實(shí)數(shù)4的取值范圍是

A.[l,-κo)B.[0,+∞)C.(0,+∞)D.(l,+∞)

【答案】B

解分式不等式求得集合A,對(duì)。進(jìn)行分類討論，結(jié)合(4A)8=0,求得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

112x+l-Ix-2Λ(2X+1)≤0

【詳解】由-l≤0,≤O<≠>=X或x≥O.所以

2x÷l2x+?2x+i2x+12x+?≠02

A={x∣x<［或XN0},所以6?A=卜∣V≤x<θ1.由(x-2aXX-a?7)=。，解得彳=2。或

X=(a2+1.α2+1≥2?∣a2-I=2同≥2“，當(dāng)a=1時(shí)，2α="+1,此時(shí)B-0>滿足@A)B=0-

(,`/、(2a≥0

當(dāng)4片1時(shí)，B={x?2a<x<ai+??,由(?A)8=0得,即4≥0且。Wl.綜上所述，

實(shí)數(shù)。的取值范圍是［o,a).

故選：B

【講技巧】

補(bǔ)集運(yùn)算:

L符號(hào)語言：［.uA=［x?x≡U,HΛ?A).

2.圖形語言:

【練題型】

1.設(shè)全集。={1,2,3,4,5},集合A={1,∕T4},q,A={2,α+3},則。的值為()

A.±2B.±√6C.-2D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)集合A及其補(bǔ)集情況分情況討論即司;

【詳解】由已知得{l,2,4,∕τ,α+3}=U,

所以■“二二3或IdJ解得α=2,故選：D.

α+3=5[?+3=3

2.已知全集U={2,4,∕},集合A={4,Q+3},?,A={1},則a的所有可能值形成的集合為()

A.{-l}B.{1}C.{-l,l}D.0

【答案】A

【解析】由6AuU,可得a?=1，即α=±ι,當(dāng)。=1時(shí)?，不符合元素的互異性，α=T時(shí)，

符合題意.

【詳解】由q,,AαU,即{1}u{2,4,/},則“2=1，解得0=±l,

若4=1,則α+3=4,而A={4,α+3},不符合集合中元素的互異性，舍去;

若α=T,則U={2,4,1},A={4,2},?,A={1},符合題意.

所以α的所有可能值形成的集合為{-1}.故選：A.

3.已知全集U={2,3,〃+2α-3},A="+1],2},GA={α+3}廁。的值為

湖北省荊州市沙市中學(xué)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題

【答案】2

【分析】要求a的值，需正確理解原集和補(bǔ)集的含義，由于?參數(shù)a為未知數(shù)，此題應(yīng)該進(jìn)行

分類討論

【詳解】由補(bǔ)集概念及集合中元素互異性知a應(yīng)滿足

∩

a+3=3(1)。+3=cr+2a—3/

/72

Iα+lI=a2+2CL3(2)∣a+l∣=3\

(/

cι~+2。—3≠2⑶或3a2+2a-3≠2?

cr+2?！?≠3(4)Cr+2。—3≠3

分兩種情況進(jìn)行討論：

在A中，由(1)得a=0依次代入(2)、(3)、(4)檢驗(yàn)，不合②，故舍去.

在B中，由(1)得a=-3,a=2,分別代入(2、(3)、(4)檢驗(yàn)，a=-3不合②，故舍去，a=2

能滿足②③④，故a=2符合題意.答案為：2

【題型九】應(yīng)用韋恩圖求解

【講題型】

例題L全集U=R,集合A=卜±≤θ1,集合8=卜降2(》-1)>2},圖中陰影部分所表

示的集合為()

A.(-∞,0][4,5]B.(F,0)(4,5]

C.(-∞,O)[4,5]D.(-∞,4]_(5,+∞)

【答案】C

【分析】由圖可得，陰影部分表示的集合為Q(A=B).求出集合A,8,AuB,即求G(AU3).

【詳解】集合A={x∣0≤x<4},B={ψ>5},

由玲皿圖可知陰影部分對(duì)應(yīng)的集合為G7(A=B),又AUB={x∣0≤x<4或x>5},

.?.Q(A8)=(FO)u[4,5].故選:C.

例題2.已知全集U=R,集合A=HXa+2)<θ},B=Hw≤1},則圖中陰影部分表示的集

合是()

QQ

A.(-2,1)B.[-1,0][1,2)C.(-2,-1)[θ,l]D.[0,1]

【答案】C

【分析】由集合描述求集合A8,結(jié)合韋恩圖知陰影部分為CU(ACB)C(AUB),分別求出

Gy(A8)、(AuB),然后求交集即可.

【詳解】A=HX(X+2)<θ}={x∣-2<x<θ},β=∣x∣∣x∣≤l∣=(x∣-l≤x≤l},

由圖知：陰影部分為CU(AC8)C(AUB),而Ac8={x∣T≤x<0},AOB={X∣-2<Λ≤1},

CU(ACB)={x∣x<T或x≥0},即CU(ACB)C(AUjB)={或-2<x<-l或04x41),

故選：C

【講技巧】

并集運(yùn)算韋恩圖：

圖形語言：

【練題型】

L若全集U=R,集合A={x∣y=lg(6-x)},3={x∣2*>l},則圖中陰影部分表示的集合是

()

A.(2,3)B.(-l,0］C.［0,6)D.(→χ>,0］

［答案］D

【分析】根據(jù)函數(shù)定義域和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到集合A,8,陰影部分表示的集合是A,

計(jì)算得到答案.

［詳解］A={x∣y=lg(6-x)}={x∣x<6),B=∣X∣2A^I∣={X∣X>0),

陰影部分表示的集合是QQA=(e,0］(3,6)=(9,0］.

故選：D.

2.已知全集U=R,集合M=H3∕τ3x-lθ<θ}和N={x∣x=2Z,%∈Z}的關(guān)系的韋恩(Venn)

圖如圖所示，則陰影部分所示的集合的元素共有

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.無窮個(gè)

［答案］C

【分析】由題意首先求得集合例，然后結(jié)合韋恩圖