（人教A版2019必修第二冊）數(shù)學(xué) 第8章 立體幾何初步 大單元教學(xué)設(shè)計

第八章立體幾何初步

8.1基本立體圖形

一、【單元目標(biāo)】

1、利用實物、計算機軟件等觀察空間圖形，認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能夠識別

和區(qū)分這些幾何體；

2、會用柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征描述簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征。使學(xué)生感受空間幾何體存在于現(xiàn)實生

活周圍，提高學(xué)生的觀察能力。同時培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和抽象概括能力。

3、與平面幾何體的有關(guān)概念、圖形和性質(zhì)進行適當(dāng)類比，初步學(xué)會用類比的思想分析問題和解決問題.

數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：多面體與旋轉(zhuǎn)體等概念的理解；

2.邏輯推理：棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特點；

3.直觀想象：判斷空間幾何體；

4.數(shù)學(xué)建模：通過平面展開圖將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法.

二、【單元知識結(jié)構(gòu)框架】

定義

表示

?三棱柱

?直三棱柱

?A,r-3-πχ44.四棱柱

-按底面形狀----?直四棱柱——正方體

一棱柱一

?直棱柱?正棱柱——?正方體

分類一按側(cè)^與底面

的位置關(guān)系

?斜棱柱?平行六面體

-棱錐

J棱臺

分類

定義

組合體

基本形式

三、【學(xué)情分析】

1.認知基礎(chǔ)

初中階段已經(jīng)初步認識了幾何圖形，知道立體圖像和幾何圖形的區(qū)別和聯(lián)系，日常生活中也積累了大

量關(guān)于空間物體結(jié)構(gòu)特征的直觀檢驗，為本章學(xué)習(xí)提供了基礎(chǔ)。

2.認知障礙

本單元的難點在理解幾何體結(jié)構(gòu)特征的含義，以及抽象幾何體機構(gòu)特征的數(shù)學(xué)方式，包括如何觀察、

從哪些角度抽象，如何用精確的幾何語言表達等等。

四、【教學(xué)設(shè)計思路/過程】

課時安排：2課時

教學(xué)重點：觀察實物、模型的角度，理解幾何體結(jié)構(gòu)特征的含義，描述基本立體圖形的語言。

教學(xué)難點：觀察實物、模型的角度，理解幾何體結(jié)構(gòu)特征的含義，描述基本立體圖形的語言。

教學(xué)方法/過程：

章引言閱讀，把握本章結(jié)構(gòu)

1創(chuàng)設(shè)情景,揭示主題

本章學(xué)習(xí)方式及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求

一空間幾何體

3

-定義

Γ棱柱-百

-分類

類型「定義

棱錐

--特征

定義

一棱臺

3

r圓柱

圓錐

類型

回臺

J球

定義

基本形式

r例題

4典例分析，舉一反三-

練習(xí)

5課堂小結(jié)，作業(yè)布置

五、【教學(xué)問題診斷分析】

問題1回顧初中幾何學(xué)習(xí)的過程，兒何學(xué)是研究什么的？按怎樣的路徑研究平面圖形的？

破解方法：回顧初中知識，理順幾何學(xué)是研究幾何圖形的形狀大小及位置關(guān)系，并按照“背景一概念一性

質(zhì)一特例一應(yīng)用”的路徑展開，進而進入本章立體幾何的學(xué)習(xí)。

問題2閱讀教材章引言，并回答本章的研究對象是什么？研究路徑是什么？有哪些基本方法？

【設(shè)計意圖】構(gòu)建本章的先行組織者，讓學(xué)生對本章的研究對象、內(nèi)容、過程和方法有一個了解。

問題3觀察課本P97圖8.1-1,這些圖片中的物體具有什么樣的形狀？在日常中，我們把這些物體的形狀

叫做什么？如何來描述的？

引導(dǎo)學(xué)生將物體抽象成空間幾何體，進而引導(dǎo)學(xué)生進行分類，并找到其根本區(qū)別。

學(xué)生活動：歸納分類一一多面體和旋轉(zhuǎn)體。

閱讀教材，說出多面體、旋轉(zhuǎn)體各組成要素的名稱，并在圖中找到并標(biāo)出。

【設(shè)計意圖】在具體研究方法的指導(dǎo)下，帶領(lǐng)學(xué)生由整體到局部，去認識空間幾何體，對幾何體的分類標(biāo)

準(zhǔn)，名稱有深入了解。經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過程，體會刻畫幾何體結(jié)構(gòu)特征的數(shù)學(xué)方式。

問題4觀察圖8.1-4中的長方體，它的每個面是什么樣的多邊形？不同的面之間有什么位置關(guān)系？

師：通過觀察討論能否得到棱柱的準(zhǔn)確定義呢？

生：交流探究給出棱柱定義。

辨析1有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱嗎？留出反呼

解析：如圖所示，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的A/

幾何體不一定是棱柱/!_A_.

辨析2有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱嗎？

解析：如圖所示，兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形

的幾何體不一定是棱柱\

【設(shè)計意圖】通過學(xué)生合作探究及引導(dǎo)，用舉反例的方式幫助學(xué)生改進、完善描述方法，使學(xué)生體會如何

準(zhǔn)確描述立體圖形的結(jié)構(gòu)特征。

棱柱的組成元素特征：棱柱的兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的側(cè)面，相鄰側(cè)面的

公共邊叫做棱柱的側(cè)棱，側(cè)面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點.g__2'

棱柱的結(jié)構(gòu)特征:

1、底面互相平行且全等

2、側(cè)面都是平行四邊形

3、側(cè)棱平行且相等

棱柱的表示法:

棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'B頂點

問題5回顧平面幾何研究多邊形的過程，在定義多邊形的概念后，我們以組成多邊形的線段條數(shù)為標(biāo)準(zhǔn),

將多邊形進行分類，然后以多邊形組成元素的特征屬性一一各個內(nèi)角相等、各條邊相對為標(biāo)準(zhǔn)分出正多邊

形。類似的，給出棱柱的定義后，我們也要對它進行分類。你認為應(yīng)該如何確定分類標(biāo)準(zhǔn)？

直三棱柱

----直四棱柱-----長方體

直棱柱一正棱柱一正方體

斜棱柱一平行六面體

【設(shè)計意圖】對棱柱結(jié)構(gòu)特征的研究具有示范性，在完整研究的基礎(chǔ)上，對研究過程與方法進行梳理，并

畫出結(jié)構(gòu)圖，幫助學(xué)生形成更加清晰的幾何體結(jié)構(gòu)特征的研究思路和方法，從而為接下來的棱錐、棱臺結(jié)

構(gòu)特征的自主探究做好充分準(zhǔn)備。

問題6你能類比棱柱的研究內(nèi)容、過程和方法，自己研究棱錐的結(jié)構(gòu)特征嗎？請同學(xué)們先不看書，通過自

主探究，寫出自己的研究成果，然后和小組內(nèi)的同學(xué)交流，再閱讀《必修二》第99頁至IOO頁關(guān)于棱錐的

內(nèi)容，完善研究成果。

棱錐的概念：有一面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.

棱錐的結(jié)構(gòu)特征：S

jΓ---頂點

1、底面是一個多邊形/k

2、側(cè)面都是三角形MK一/?χ*W

3、各側(cè)面有一個公共頂點底而…\一二》C

棱錐的表示法：”匕------Y

用表示頂點和底面的字母表示，如四棱錐S-ABCD.

師生活動：類比棱柱，學(xué)生自主完成棱錐相關(guān)知識點的思維導(dǎo)圖。

練習(xí)：（多選）下列說法中，正確的是（AB）

A.棱錐的各個側(cè)面都是三角形

B.四面體的任何一個面都可以作為棱錐的底面

C.棱錐的側(cè)棱平行

D.有一個面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐

解析：D選項，如圖：

問題6用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間部分，這樣的多面體叫做棱臺。原棱錐的

底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面。

請同學(xué)們仿照前面的研究，自己給出關(guān)于棱臺的所有結(jié)論,

然后閱讀教科書第IOO頁，檢查自己的結(jié)論。

師生活動：學(xué)生自主完成。

練習(xí):有下列四種敘述中，正確的有（）

①.用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺；

②.兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺；

③.有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺；

④.棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點.

解:①中的平面不一定平行于底面，故①錯；

由棱臺的定義知，④正確；

②③可用反例去檢驗，如圖所示，側(cè)棱延長線不能相交于一點，故②③錯.

六、【教學(xué)成果自我檢測】

1.課前預(yù)習(xí)

預(yù)習(xí)教科書制出本節(jié)的知識框架圖。

2.課堂檢測

例1將下列各類幾何體之間的關(guān)系用Venn圖表示出來:

多面體，長方體，棱柱，棱錐，棱臺，直棱柱，四面體，平行六面體.

解析:

例2判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫T”，錯誤的畫“X”.

(1)長方體是四棱柱，直四棱柱是長方體.(×)

提示：直四棱柱不一定是長方體。

(2)四棱柱、四棱臺、五棱錐都是六面體.(√)

例3填空題

(1)一個幾何體由7個面圍成，其中兩個面是互相平行且全等的五邊形，其他各面都是全等的矩形，則這

個幾何體是.直五棱柱一.

(2)一個多面體最少有個面，此時這個多面體是_四面體(三棱錐).

例4關(guān)于如圖所示幾何體的正確說法的序號為.

①這是一個六面體.

②這是一個四棱臺.

③這是一個四棱柱.

④此幾何體可由三棱柱截去一個三棱柱得到.

⑤此幾何體可由四棱柱截去一個三棱柱得到.

【答案】①③④⑤.

①正確.因為有六個面，屬于六面體的范圍.②錯誤.因為側(cè)棱的延長線不能交于一點，所以不正確.③

正確.如果把幾何體放倒就會發(fā)現(xiàn)是一個四棱柱.

④⑤都正確.如圖所示.

解題技巧（判斷結(jié)構(gòu)特點的注意事項）

在解答關(guān)于空間幾何體概念的判斷題時，要注意緊扣定義判斷，這就要求熟悉各種空間幾何體的概念的內(nèi)

涵和外延，切忌只憑圖形主觀臆斷.

【設(shè)計意圖】檢測對棱柱、棱錐、棱臺相關(guān)概念的理解程度。

3.課后作業(yè)

（1）必修二第IOl頁練習(xí)第4題，第105頁習(xí)題8.1的1、2、6、7、8題“

（2）請你類比棱柱、棱錐、棱臺結(jié)構(gòu)特征的研究，自主研究圓柱、圓錐和圓臺，寫出研究成果，然后閱讀

教科書，對照教科書內(nèi)容修改、完善自己的研究成果。

8.2立體圖形的直觀圖(單元教學(xué)設(shè)計)

一、【單元目標(biāo)】

1.知識與技能：

(1)了解“斜二測畫法”的概念并掌握斜二測畫法的步驟.

(2)會用斜二測畫法畫出一些簡單平面圖形和立體圖形的直觀圖.

2.過程與方法：

通過類比,利用斜二測畫法畫出平面圖形和空間幾何體的直觀圖.

3.情感態(tài)度與價值觀：

(1)提高空間想象能力與直觀感受

(2)體會類比在學(xué)習(xí)中的作用.

(3)感受幾何作圖在生產(chǎn)生活中的作用.

(4)通過學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數(shù)學(xué)思想，增強學(xué)生的應(yīng)用意識。

二、【單元知識結(jié)構(gòu)框架】

畫平面圖形的直觀圖平行不變

實際背景斜二測畫法\畫立體圖形的直觀圖

長度規(guī)則

比平面圖形多fz?

三、【學(xué)情分析】

1.認知基礎(chǔ)

本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書-必修第二冊》(人教A版)第八章《立體

幾何初步》，本節(jié)課主要平面圖形、空間幾何體的直觀圖的畫法。

畫出空間幾何體的直觀圖是學(xué)生學(xué)好立體幾何的必要條件。本節(jié)課主要是介紹了最常用

的、直觀性好的斜二測畫法。而水平放置的平面圖形的直觀圖畫法,是畫空間幾何體直觀圖

的基礎(chǔ)。教學(xué)的重點是斜投影畫平面圖形直觀圖的方法,即斜二測畫法。教材給出了正六邊

形、長方體、圓柱、圓柱和圓錐組合體直觀圖的畫法。教學(xué)時可以適當(dāng)延伸,討論正五邊形、

圓錐、圓臺、球的直觀圖畫法。

畫空間幾何體的直觀圖，了解空間幾何體的直觀圖，有助于提高學(xué)生的空間想象能力，

是學(xué)生學(xué)習(xí)點、直線、平面之間位置關(guān)系的基礎(chǔ)。

2.認知障礙

一方面，學(xué)生對于立體空間感沒有建立，需要在老師的啟發(fā)引導(dǎo)下探究體會由平面圖形

到立體圖形的轉(zhuǎn)換；另一方面，讓學(xué)生體會橫不變縱減半畫圖可以得出最佳立體感，培養(yǎng)學(xué)

生的作圖能力和直觀想象能力.

四、【教學(xué)設(shè)計思路/過程】

課時安排：約1課時

教學(xué)重點：斜二測畫法的步驟；

教學(xué)難點：會用斜二測畫法畫出一些簡單平面圖形和立體圖形的直觀圖

教學(xué)方法/過程：

課前預(yù)習(xí)

引入新課平行投影

直觀圖概念斜二測畫法

平面圖形的斜二測畫法

立體圖形的直觀圖

立體圖形的斜二測畫法

例題

鞏固拓展

練習(xí)

課后作業(yè)

五、【教學(xué)問題診斷分析】

問題1：如圖，矩形窗戶在陽光照射下留在地面上的影子是什么形狀？眺望遠處成塊的

農(nóng)田，矩形的農(nóng)田在我們眼里又是什么形狀？

【答案】平行四邊形

【破解方法】通過學(xué)生熟悉的身邊環(huán)境，引發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生了解平面圖形的的直觀

圖，提高學(xué)生的解決問題、分析問題的能力。

問題2：利用平行投影，獲得的畫直觀圖的方法是什么？

【答案】斜二測畫法

【破解方法】通過了解概念，從平行投影到平面圖形的直觀圖的畫法，根據(jù)總結(jié)得出最

能體現(xiàn)出立體感的作圖方法，即斜二測畫法.

問題3：用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟是怎樣的？

【破解方法】通過斜二測畫法的講解，讓學(xué)生了解到斜二測畫法作平面圖形的關(guān)鍵：①

建系；②平行關(guān)系；③長度規(guī)則.

【教學(xué)過程】用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟：

(1)在已知圖形中取互相垂直的X軸和y軸，兩軸相交于點。畫直觀圖時，把它們畫成

對應(yīng)的x'軸與了軸，兩軸相交于點。'，使Nx'O'>'=45(或135),它們確定的平而表

示水平面.

(2)已知圖形中平行于X軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x'軸與y'軸的線

段.

(3)己知圖形中平行于X軸的線段。在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段,

在直觀圖中長度為原來的一半.

問題4：具體怎么用斜二測畫法畫水平放置的正方形的直觀圖？

【破解方法】通過講解步驟,讓學(xué)生了解注意畫平面圖形的直觀圖,提高學(xué)生分析問題、

概括能力。

【教學(xué)過程】①以正方形的中心為原點，平行與邊的直線為X軸，y軸建立如圖所示的

坐標(biāo)系；'

②建立Zx'o'ay'=45。的坐標(biāo)系

③平行于x、y軸的線段在斜二測坐標(biāo)系中仍平行于X'軸與y'軸，但橫向長度不變，縱向長

度減半

問題5：用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖的步驟是什么？

【破解方法】和利用斜二測畫平面圖形的方法的對比，理解利用斜二測畫法畫空間凡何

體的直觀圖的步驟的異同，通過后面具體例題進一步鞏固空間幾何體直觀圖的畫法，提高學(xué)

生畫圖的能力、直觀想象能力.

【教學(xué)過程】畫幾何體的直觀圖時.，與畫平面圖形的直觀圖相比，只是多畫一個與X軸、

y軸都垂直的Z軸，并且使平行于Z軸的線段的平行性和長度都不變.

問題6：能具體說說怎么利用斜二測畫法作已知長方體的長,寬,高分別是3cm,2cm,1.5cm

的直觀圖嗎？

【破解方法】通過具體例題進一步鞏固利用斜二測畫法作立體圖形的直觀圖的步驟提高學(xué)生

畫圖的能力、直觀想象能力，與畫平面圖形的直觀圖相比，只是多畫一個與X軸、y軸都垂

直的Z軸，作直觀圖是必須利用幾個平行關(guān)系進行定位，充分理解長度的變與不變的應(yīng)用.

【教學(xué)過程】畫法:⑴畫軸。畫X軸，y軸,z軸,三軸交于點O,使Z.xoy=45°,NMZ=90".

(2)畫底面。在X軸正半軸上取線段AB,使AB=3cm,在y軸正半軸上取線段AD,使

AD=ICm,過點B作y軸的平行線，過點D作X軸的平行線，設(shè)它們的交點為C,則平行四邊

形ABCD就是長方體的底面ABCD的直觀圖。

(3)畫側(cè)棱。在Z軸正半軸上取線段AA使A4'=1.5αn,過B,C,D各點分別作Z軸

的平行線，并在這些平行線上分別截取1.5Cm長的線段8B',CC',

Z

(4)成圖。順次連接A,B',C',D',并加以整理(去掉輔助線，將被遮擋部分改成虛線)，

就可得到長方體的直觀圖。

六、【教學(xué)成果自我檢測】

1.課前預(yù)習(xí)

設(shè)計意圖：落實與理解教材要求的基本教學(xué)內(nèi)容.

用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，下列結(jié)論是否正確。

(1)相等的線段在直觀圖中仍然相等。()

(2)平行的線段在直觀圖中仍然平行。()

(3)一個角的直觀圖仍然是一個角。()

(4)相等的角在直觀圖中仍然相等。()

【答案】(1)X(2)√(3)√(4)×

【解析】對于(1)；利用斜二測畫法橫不變縱減半，所以相等的線段在直觀圖中不一定相

等，(1)是假命題；

對于(2)；利用斜二測畫法，平行的線段在宜觀圖中仍然平行；所以，(2)是真命題；

對于(3)；利用斜二測畫法，一個角的直觀圖仍然是一個角，是真命題；

對于(4)；因為直觀圖中橫不變縱減半，則相等的角在直觀圖中不一定相等，所以，(4)

是假命題；

2、用斜二測畫法畫水平放置的六邊形的直觀圖

【解析】(1)在六邊形ABCDEF中，取AD所在的直線為X軸，對稱軸MN所在直線為y

軸，兩軸交于點O。畫相應(yīng)的x'軸和y'軸，兩軸相交于點o',使NX'o'y'=45".

（2）以o'為中心，在x'軸上取AZy=AD,在y軸上WMM=LMN,以點N'為中心,

畫8'。'平行與X'軸，并且等于BC;再以M'為中心，畫E尸'平行于￡軸，并且等于EF。

V

F'?/T?/R，

A/D'

（3）連接A'B',C'D',E'F',F'A',并擦去輔助線x'軸和y'軸，便獲正六邊形ABCDEF

水平放置的直觀圖A3'C7XE'r'。

3、如圖，平行四邊形。尸，QR是四邊形OPQR的直觀圖，若0,9=3,OR=I,則原

四邊形OPQR的周長為.

【答案】10

【解析】由直觀圖可知，原圖形是矩形OPQ凡且。P=3,OR=2.故原四邊形OPQR的周

長為10.

4.畫出水平放置的四邊形OBC￡＞（如圖所示）的直觀圖.

【解析】（1）過點C作CE_LX軸，垂足為點E,如圖①所示，畫出對應(yīng)的/軸、軸，使N

/01"=45。，如圖②所示.

(2)如圖②所示，在V軸上取點Q，E',使得OB=O2,OE=OE;在y軸上取一點。，

使得。Ty=；OD；過點E作￡C〃y釉，使￡C=SC.

(3)連接夕C,CD',并擦去V軸與y軸及其他一些輔助線，如圖③所示，

四邊形OEC。就是所求的直觀圖.

2.課堂檢測

設(shè)計意圖：例題變式練.

【變式1】判斷正誤

用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖.

(1)原來相交的仍相交.()

(2)原來垂直的仍垂直.()

(3)原來平行的仍平行.()

(4)原來共點的仍共點.()

【答案】(IW(2)x(3)√(4)√

【解析】(1)正確；利用斜二測畫法，平行的仍然平行，原來相交的仍相交：

(2)錯；長度有可能改變，故垂直關(guān)系改變；

(3)正確；利用斜二測畫法，平行的仍然平行，原來相交的仍相交；

(4)正確；利用斜二測畫法，平行的仍然平行，原來相交的仍相交：

(6)正確；規(guī)定:零向量與任意向量平行.

【變式2】利用斜二測畫法畫出邊長為3cm的正方形的直觀圖，正確的是()

3

O1.5□、與口口3

3333

ABCD

【答案】C

【解析】正方形的直觀圖應(yīng)是一個內(nèi)角為45。的平行四邊形，且相鄰的兩邊之比為2：I,故

選C.

3.課后作業(yè)

設(shè)計意圖：鞏固提升.

1.課本109頁練習(xí)

2.課本習(xí)題8.2復(fù)習(xí)鞏固及綜合運用

8.3簡單幾何體的表面積與體積(單元教學(xué)設(shè)計)

一、【單元目標(biāo)】

?.知識與技能：

(I)通過對棱柱、棱錐、棱臺的研究，掌握棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積計算公式.

(2)能運用棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積公式進行計算和解決有關(guān)實際問題.

(3)通過對圓柱、圓錐、圓臺、球的研究，掌握圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積計

算公式.

(4)能運用圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積公式進行計算和解決有關(guān)實際問題.

2.數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

(1)數(shù)學(xué)抽象：棱柱、棱錐、棱臺的體積公式，圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積與體積公

式；

(2)數(shù)學(xué)運算：求多面體或多面體組合體的表面積和體積，求旋轉(zhuǎn)體及組合體的表面積或

體積；

(3)數(shù)學(xué)建模：數(shù)形結(jié)合，運用棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積公式進行計算和解決有

關(guān)實際問題，數(shù)形結(jié)合，運用圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積公式進行計算和解決有

關(guān)實際問題.

二、【單元知識結(jié)構(gòu)框架】

棱柱、棱錐、棱臺的表面積、體積

簡單幾何體的表面積與做棱柱、棱錐、棱臺的表面積、體積

球的表面積、體積

三、【學(xué)情分析】

1.認知基礎(chǔ)

第一節(jié)是在學(xué)生已從棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征和直觀圖兩個方面認識了多面體的基

礎(chǔ)上，進一步從度量的角度認識棱柱、棱錐、棱臺，主要包括表面積和體積.

第二節(jié)是在學(xué)生已從圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征和直觀圖兩個方面認識了旋轉(zhuǎn)體

的基礎(chǔ)上，進一步從度量的角度認識圓柱、圓錐、圓臺、球，主要包括表面積和體積.

四、【教學(xué)設(shè)計思路/過程】

課時安排：約2課時

第一課時：棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積

第二課時：圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積

教學(xué)重點：掌握棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積計算公式和

應(yīng)用；

教學(xué)難點：棱臺、圓臺的體積公式的理解

教學(xué)方法/過程：

課前預(yù)習(xí)

引入新課

表面積公式

柱體、錐體、棱臺表面積、體積V-----------------

\體積公式

表面積公式

圓柱、圓錐、圓臺的表面積、體積

體積公式

簡單幾何體的表面積與體積

表面積公式

球的表面積、體積

體積公式

鞏固拓展

課后作業(yè)

五、【教學(xué)問題診斷分析】

8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積

問題1：棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積如何計算？

【答案】棱柱、棱錐、棱臺的各個面都是平面，則棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積就是所有

側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和.

【破解方法】通過學(xué)生對棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面展開的觀察，引發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生

了解棱柱、棱錐、棱臺各個表面特征，自己總結(jié)出方法，提高學(xué)生的解決問題、分析問題的

能力。

問題2：求解棱柱、棱錐、棱臺和組合體的側(cè)面積、表面積有哪些是要注意的？

【答案】(1)幾何體的側(cè)面積是指(各個)側(cè)面面積之和，而表面積是側(cè)面積與所有底面面

積之和.

(2)對側(cè)面積公式的記憶，最好結(jié)合幾何體的側(cè)面展開圖來進行，要特別留意根據(jù)幾何

體側(cè)面展開圖的平面圖形的特點來求解相關(guān)問題.

(3)組合體的表面枳應(yīng)注意重合部分的處理.

【破解方法】通過對立體圖形的展開，觀察出各個圖形的特點，通過平面圖形的面積公

式，歸納出棱柱、棱錐、棱臺和組合體的側(cè)面積、表面積公式的特征，了解公式的來龍去脈，

從而加深公式的印象.

問題3：柱體、錐體、棱臺體的體積公式是什么？

【答案】1.棱柱：柱體的底面面積為S,高為h,則V=S/?.

2.棱錐：錐體的底面面積為S,高為h,則V=gs%.

3.棱臺：臺體的上、下底面面積分別為卜、S,高為h,則V=/S+√詆+S)/?.

【破解方法】對于柱體、錐體、棱臺體的體積公式可以類比平面圖形的面積公式進行記

憶，讓學(xué)生感受從二維到三維的區(qū)別和相似，在推導(dǎo)過程中可以加以類比.

新知探究

考點一：柱、錐、臺的表面積

例1?正六棱錐的底邊長為4厘米，高為2厘米，求它的側(cè)面積.

【分析】根據(jù)已知中正六棱錐的底邊長為4厘米，高為2厘米，求出側(cè)高，進而可得正六棱

錐的側(cè)面積.

【解答】解：?正六棱錐的底邊長為4厘米，

故底面「II心到底面邊長的距離OQ=等X4=2√5,

22

故正六棱錐的側(cè)高PQ=y∣PO+OQ=4,

故正六棱錐的側(cè)面積S=6χJχ4x4=48厘米2.

2

P

例2.已知四棱錐S-ABCD的各棱長為5,底面為正方形，各側(cè)面均為正三角形，求它的

表面積.

【分析】根據(jù)題意，該四棱錐的底面是邊長為5的正方形，四個側(cè)面都是邊長為5的正三角

形，由此結(jié)合正方形和正三角形面積計算公式，即可算出該四棱錐的表面積.

【解答】解：作出正四棱錐S-ABCD,如圖所示：

?正四棱錐各棱長均為5,

.?.正四棱錐的底面是邊長為5的正方形，一個側(cè)面為邊長為5的等邊三角形

由此可得側(cè)面ΔS8C中，面積S=^X52="√5

44

因此，它的側(cè)面積為S(M=4*m#=25小，

底面積為S底=52=25

該正四棱錐的表面積為S=S底=+Swj=25√3+25=25(1+幣)

變式訓(xùn)練：正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，它的底面積為Q,求它的側(cè)面積.

【分析】設(shè)正三棱錐的側(cè)棱長為*推出側(cè)棱與底面面積的關(guān)系，求出側(cè)棱長，然后求出側(cè)

面積.

【解答】解：設(shè)正三棱錐的側(cè)棱長為α,則由條件知底面邊長=VLz,

底面面積苴(√Σα)2=Q,.?.∕=3?,

43

?,?S側(cè)=3X萬。--y/3Q.

故它的側(cè)面積為6。.

解題技巧（求多面體表面積注意事項）

1.多面體的表面積轉(zhuǎn)化為各面面積之和.

2.解決有關(guān)棱臺的問題時.，常用兩種解題思路：一是把基本量轉(zhuǎn)化到梯形中去解決;

二是把棱臺還原成棱錐，利用棱錐的有關(guān)知識來解決.

題型二：柱、錐、臺的體積

例1.如圖，在長方體ABCD-A4GA中，AB=AD=2,A4,=3,則四棱錐A-ABCZ）的

體積為（）

A.3B.4C.6D.9

【分析】利用己知條件，直接求出四棱錐。-ABCO的體積即可.

【解答】解：A8CQ-AqGR是長方體，且Aβ=AD=2,AA=3,

.?.四棱錐。-ABC。的體積為％τBc°=gx2x2x3=4.

故選：B-

例2.已知三棱臺ABC-ABC中，三棱錐A-AAG的體積為4,三棱錐A-ABC的體積

為8,則四面體A-BCG的體積為（）

A.3√3B.4√2C.4√3D.4√7

【分析】設(shè)SM（C=SI，SA4G=$2，棱臺的高為人，用:?棱錐的體積求出S2、A，再求出

三棱臺ABC-A耳G的體積，即可求出四面體A-BCG的體積.

【解答】解：如圖所示，

設(shè)s?ABC=S］，SAfiC1=S2,棱臺的君J為/?，

由題意知，

?,MCI=?52Λ=4,

1?

解得S?=";

I.24

匕棱帆-板==8,解得S1=—；

所以三棱臺ASC-A1S1C1的體積為：

V=1?(S1+s2+√s^s7)=∣∕ι(?+^+J?×?=i2+4√2,

33Ah?hh

所以四面體A-BCG的體積為：

%面體4-4%=V-‰l,wι-Vl,WA.AflC=(12+4√2)-4-8=4√2.

故選：B.

變式訓(xùn)練1：如圖，正方體A8Cr>-A4GA的棱長為",那么三棱錐A-ABC的體積是（

【分析】求出R到平面ABC的距離為=”,從而三棱錐A-ABC的體積是

%1-ABC??XBBIXMBC,

【解答】解：正方體ABCD-AgCa的棱長為a,

D1到平面ABC的距離為BB,=a,

.?.三棱錐A-ABC的體積是：

%"c=gx叫xSz^c=3xαxgxαxα=’.

AB=6，BB1=5.求它的側(cè)面積、體積.

【分析】由已知該正三棱柱的側(cè)面積S=3S矩窗陰A體積U=SMBC"4，由此能求出結(jié)果.

【解答】解：?在正三棱柱中，AB=6,BB∣=5.

：.它的側(cè)面積S=3S矩形AgA=3×6×5=90.

o

它的體積V=SΔABC.陰=l×6×6×sin60×5=45√3.

解題技巧（求棱柱、棱錐、棱臺體積的注意事項）

1.常見的求幾何體體積的方法

①公式法：直接代入公式求解.②等積法：如四面體的任何一個面都可以作為底面，只

需選用底面積和高都易求的形式即可.③分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求

體積.

2.求幾何體體積時需注意的問題

柱、錐、臺的體積的計算，一般要找出相應(yīng)的底面和高，要充分利用截面、軸截面，求

出所需要的量，最后代入公式計算.

六、【教學(xué)成果自我檢測】

1.課前預(yù)習(xí)

設(shè)計意圖：落實與理解教材要求的基本教學(xué)內(nèi)容.

1.已知正四棱錐的底面邊長為1,側(cè)棱長為2,那么它的體積為（）

A.-B.叵C.—D.以上都不對

366

【分析】作出正四棱錐的圖象，利用勾股定理求出正四棱錐的高，由錐體的體積公式求解即

可.

【解答】解：如圖所示，在正四棱錐P-ABCD中，AB=I.F4=2,

設(shè)正四棱錐的高為OP,連接AO,

則Ao=IAC=立,

22

在RtAPOA中，PO=-JPA2-AO2=

則正四棱錐的體積為V=Lsy(Ca?尸。=L*儼*恒=恒

2.如圖，正方體ABa)-A耳GA的棱長為1，線段與A上有兩個動點E，F(xiàn),且EF=斗,

則三棱錐A-8￡F的體積為()

A.—B.-C.—D.不確定

12412

［分析］計算MEF的面積和點A到平面BEF的距離，再利用錐體的體積公式求解即可.

【解答】解：因為用?！ㄆ矫鍭Ba>,

又E,尸在直線。M上運動，

所以EE〃平面ΛBCE>,

因為點8到平面與R的距離不變，且EF=包,

所以SMEF=；XEFXBBl=；X與Xl=,,

因為點A到平面BEF的距離為變，

2

所以匕BEF=LXSgEF×—=-×—X—=??

Λ-uc,r3iΛθc?r2342］2

故選：A.

3.直平行六面體的底面是菱形，兩個對角面面積分別為。/Q2,求直平行六面體的側(cè)面

積.

【分析】設(shè)底面邊長為側(cè)棱長為/,兩對角線分別為C，d,由條件建立方程組，消去c,

d,用。，Q2表示側(cè)面積4〃.

【解答】解：設(shè)底面邊長為α,側(cè)棱長為/，兩對角線分別為c,d.

c∕=Q⑴

則(d?∕=0(2)消去c,d＞由(1)得c=9,

I

(gc)2+(2)2="2(3)

由(2)得d=牛，代入(3)得：牛尸=/，

222

+Q；=4∕α，.?.2la=y∣Q'+Q2

2.課堂檢測

設(shè)計意圖：例題變式練.

【變式1】如圖，在四棱錐P-ABeD中，四邊形/WC力為平行四邊形，E為PC的中點,

則平面ΛBE截四棱錐上下兩部分的體積之比為（）

A.1:2B.2:3C.3:4D.3:5

【分析】設(shè)平面ABE交棱于點尸，連接AF,EF,利用等體積法以及分割法，得到

VPYBEF=匕，-Μ3+匕，-MB，結(jié)合錐體的體積公式分析求解即可?

【解答】解：設(shè)平面ABE交棱PD于點F,連接AT,EF,

則YPfBEF~VP-AFB+VP-EFB'

因為AB∕∕8,且A8仁平面尸C￡),CZ)U平面PCQ,

故AB//平面PCD,

又ABU平面ABEF,M'IzIflIABEFe平面平面PCD=EF,

所以ΛB∕∕EF,

因為E為PC的中點，

所以點尸為PD的中點，

vvV

則P-AFH=VIITAF=?B-PAD==~P-AHCI>,

VyP-EFB=VvB-PEF--VγB-PDC--VyP-BCD--VvP-ABCD,

3

所以Vp_ABEF=dVP-ABCD,

O

所以平面ABE截四棱錐上下兩部分的體積之比為3:5.

故選：D.

【變式2】底面是邊長為1的正方形，側(cè)面均是等邊三角形的四棱錐的體積為（）

A.在B.也C.更D.立

6432

【分析】首先確定該四棱錐為正四棱錐，由正棱錐的幾何性質(zhì)求出棱錐的高，利用棱錐的體

積公式求解即可.

【解答】解：底面是邊長為I的正方形，側(cè)面均是等邊三角形的四棱錐是正四棱錐，

底面正方形對角線長為√12+12=√2,

則正四棱錐的高∕z=_（*>=*,

所以正四棱錐的體積為V=JSG=LxVX也=也.

3326

故選：A.

【變式3】正四棱臺的高，側(cè)棱，對角線長分別為7c∕n,9cm,Ucm,求它的側(cè)面積.

【分析】利用正四棱臺的兩底面的半徑（中心到底面頂點的距離）、高、側(cè)棱長構(gòu)成一個直

角梯形，從而構(gòu)造直角三角形，使用勾股定理，求出兩底面的邊長，代入側(cè)面積公式進行運

算.

【解答】解：如圖，在aAAG中過A作AELAG于E,

22

貝IJAE=OOt=Icm,.??AtE=-AE=4√2，C1E=y∣AC；-AE=6√2

AO=OlE=AlO「AE=；(ClE-AIE)=日Λ10l=Λ1E+O1E=5√2,

上底邊長A8=√∑4O=2,下底邊長ABl=√2Λ10,=10,

斜高h'={OO：+；(ABl-ABy=√65,

S惻=；(C+C')〃=；麻(8+40)=24辰cz√.

3.課后作業(yè)

設(shè)計意圖：鞏固提升.

1.課本116頁練習(xí)

2.課本習(xí)題8.3復(fù)習(xí)鞏固及綜合運用

8.3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積

問題1：圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積、底面積、表面積公式各是什么？

【答案】

圓柱（底面半徑為r,母線長圓錐（底面半徑為「，母線長圓臺（上、下底面半徑分

為/）為/）別為八一，母線長為/）

------------j

1

1

側(cè)面展I網(wǎng)’/

開圖I

___________]

2πr

2底=兀（尸

底面積S?E=2πrS底一兀廣S2+7）

側(cè)面積Sw=2πr∕Sm=πrlS側(cè)=兀（"+以

表面積S表=2兀r(r+/)S表=7τr(∕+/)S表=π(4+戶)+π(√÷r)/

【破解方法】通過學(xué)生對圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開的觀察，引發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生

了解圓柱、圓錐、圓臺各個表面特征，自己總結(jié)出方法，提高學(xué)生的解決問題、分析問題的

能力。

問題2：圓柱、圓錐、圓臺的體積公式各是什么？

【答案】1.棱柱：柱體的底面面積為S,高為h,則V=S/?.

2.棱錐：錐體的底面面積為S,高為h,則V=∣%.

3.棱臺：臺體的上、下底面面積分別為卜、S,高為h,則V=g（S+√詬+S）/?.

【破解方法】對于圓柱、圓錐、圓臺的體積公式可以類比柱體、錐體、棱臺體的體積公

式進行記憶，讓學(xué)生感受二者，在推導(dǎo)過程中可以加以類比.

問題3：球的表面積與體積公式各式什么？

【答案】1.球的體積公式V=gτrR3（其中R為球的半徑）.

2.球的表面積公式S=4τrR2.

【破解方法】類比利用圓周長求圓面積的方法，我們可以利用球的表面積求球的體積.

把球O的表面分成"個小網(wǎng)格,連接球心O和每個小網(wǎng)格的頂點,整個球體就被分割成〃個

“小錐體”.小椎體的底面積的和就是球的表面積，小椎體的體積和就是球的體積.

新知探究

題型一圓柱、圓錐、圓臺的表面積

例1.如果圓錐底面半徑為r,軸截面為等腰直角三角形，那么圓錐的側(cè)面積為（）

1?

A.J2πrB.（√2+1）ΛT2C.-（√2+l）^r2D.-πr1

【分析】根據(jù)圓錐的底面半徑及軸截面為等腰直角三角形，然