2023-2024學(xué)年北京市高二年級(jí)下冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年北京市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.已知拋物線的準(zhǔn)線方程為y=τ,則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.X2=2yB.y2=2xC.x2=4yD.y2=4x

【正確答案】C

【分析】根據(jù)準(zhǔn)線方程為y=τ,可知拋物線的焦點(diǎn)在>軸的正半軸，再設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式為

x2=2py,根據(jù)準(zhǔn)線方程求出。的值，代入即可得到答案.

【詳解】由題意可知拋物線的焦點(diǎn)在）'軸的正半軸，設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2=2py[p>0）,

：拋物線的準(zhǔn)線方程為y=τ,

Λ^=l,.?p=2,

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：f=4y,

故選：C.

本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線的簡單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

2.在二項(xiàng)式（f-4）5的展開式中，X的系數(shù)為（）

X

A.-80B.-40C.40D.80

【正確答案】A

H）

【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，可得（M=（-2XCA-",令z?=3,即可求得X的系數(shù)，得到答案.

O?

【詳解】由題意，二項(xiàng)式與的展開式的通項(xiàng)為加=《，尸（_與=（_2）匕”.,

XX

令r=3,可得n=（-2）3f江=-80x,

即展開式中X的系數(shù)為-80,故選A.

本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，其中解答中熟記二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是解答本題的關(guān)鍵，著重考

查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列為

X1234

???

Pm

346

則P(IX-3∣=1)=()

A.—B.—C.-D.-

121246

【正確答案】B

【詳解】試題分析：P(X=2)=l-!-9-!=!,∣X-3∣=lnx=2或4.

3464

則P(IX-3|=1)=P(X=2)+P(X=4)=(+g=ι∣,故選B

概率分布

4.用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為

A.24B.48

C.60D.72

【正確答案】D

【詳解】試題分析：由題意，要組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)，則個(gè)位數(shù)應(yīng)該為1或3或5,其他

位置共有4：種排法，所以奇數(shù)的個(gè)數(shù)為34：=72,故選D.

排列、組合

【名師點(diǎn)睛】利用排列、組合計(jì)數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類和分步，分類時(shí)要注意不重不漏，分步

時(shí)要注意整個(gè)事件的完成步驟.在本題中，個(gè)位是特殊位置，第一步應(yīng)先安排這個(gè)位置，第二步再

安排其他四個(gè)位置.

5.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九

日共行一千二百六十里，問日增幾何？”，該問題中，善走男第5日所走的路程里數(shù)是()

A.120B.130C.140D.150

【正確答案】C

【分析】設(shè)第〃天走步里，則｛《,｝是等差數(shù)列，問題轉(zhuǎn)化為已知等差數(shù)列的前9項(xiàng)和為1260,要

求％,利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.

【詳解】由題意設(shè)此人第一天走步為里，第二天走步公里.第〃天走步。“里，｛《｝是等差數(shù)列，己

知Sg=1260,要求生,

Sg=駒抖==9%=1260,.?.%=140.

故選：C.

6.盒子中有6個(gè)乒乓球，其中4新2舊，從中取2個(gè)來用，用完后放回盒中.設(shè)此時(shí)盒中舊乒乓球

的個(gè)數(shù)為4,則P（4=3）等于（）

【正確答案】D

【分析】通過用完后，將球放回盒中有3個(gè)舊球，可知取出的2個(gè)球1新1舊，從而可求解答案.

【詳解】盒子中有6個(gè)乒乓球，其中4新2舊，從中取2個(gè)來用，用完后放回盒中.

設(shè)此時(shí)盒中舊乒乓球的個(gè)數(shù)為乙

&=3說明取出的2個(gè)球1新1舊，

則P（4=3）=箸

故選：D.

7.對(duì)于數(shù)列｛4｝,“%＞㈤他=1,2,）”是“｛%｝為遞增數(shù)列”的

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】B

【詳解】由4向＞同（〃=1，2，）,又⑷NaM=I,2,），

所以＞〃,（〃=12）,則｛為｝為遞增數(shù)列；

若｛??｝為遞增數(shù)列，如氏=〃-8Ml=-7,α2=-6,a2＜∣al|,

?÷ι＞同不成立,

所以＞∣4∣5=1,2,）”是“｛《,｝為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.

故選：B.

8.某人射擊一次命中目標(biāo)的概率為T,則此人射擊6次,3次命中且恰有2次連續(xù)命中的概率為（）

【正確答案】B

【分析】根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率，可得這名射手射擊命中3次的概率，再根

據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法運(yùn)算求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是：，且各次射擊的結(jié)果互不影響，故此人射擊6次，3

次命中的概率為,

?2

恰有兩次連續(xù)擊中目標(biāo)的概率為奇,

故此人射擊6次，3次命中且恰有2次連續(xù)命中的概率為C>

故選B

本題主要考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題，熟記概念和公式即可，屬于?？碱}型.

22

9.過雙曲線￡-白=1（〃>0,。>0）的右焦點(diǎn)尸作一條漸近線的垂線，垂足為A.ZAFO=IZAOF

（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則該雙曲線的離心率為（）

A.在B.述C.2D.至或2

233

【正確答案】B

【分析】由題意易得所以NAO尸=30,從而tan30,再由e=?=J+（gJ求解.

【詳解】解：在RrZVlFO中，因?yàn)镹AFO=2NAOF,

10.把5名新生安排到某3個(gè)班級(jí)，要求每個(gè)班級(jí)至少有一名新生，則不同的安排方式共有（）

A.150種B.180種C.300種D.360種

【正確答案】A

【分析】要求每個(gè)班級(jí)至少有一名新生，所以先從人的個(gè)數(shù)分三組，則有兩類情況，求出所有的組

數(shù)，再對(duì)三組進(jìn)行排序即可.

【詳解】解：把5名新生安排到某3個(gè)班級(jí)，要求每個(gè)班級(jí)至少有一名新生，

從人的個(gè)數(shù)有2組分法，即1,1,3和1,2,2兩種分法.

若分成1人，1人，3人，則共有C；=10分組方法,

C2C2

若分成1人，2人‘2人’則共有意E分組方法,

將分好的三組安排到三個(gè)班級(jí)中共有A；=6種排法,

所以所有的安排方法共有（10+15）x6=150種安排方法.

故選.A

11.若橢圓上存在點(diǎn)尸，使得點(diǎn)尸到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之比為2:1,則稱該橢圓為“倍徑橢圓”,

則下列橢圓中為“倍徑橢圓''的是（）

A.t+Jl2

B.—+=5

161589

22X2y2

C.二+&=1D.—+^-=1

25243336

【正確答案】B

【分析】根據(jù)橢圓的定義結(jié)合橢圓性質(zhì)分析可得g≤e<l,進(jìn)而可得，e0,1,逐項(xiàng)分析判斷即可.

【詳解】設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為耳K,

由題意可得：則∣PM∣+IP聞=2α,即IPMl=2α-∣PK∣,

不妨設(shè)∣W∣>∣P周，則IP用=%-IpEl=2|「用，解得Ip闖=與,

r/曰/2。/L1/

可得α-c≤—<a+c,解得一≤e<l1,

33

2rZ8

解得-∈-

29

<

對(duì)于A：可知Y=i6,從=15,貝IJB=整史（θ,g],故A錯(cuò)誤；

a16I9

2222

對(duì)于B：因?yàn)橥?—=5,即—+—=1,

894045

〃22（Q-

可知〃2=45,〃=40,則-T=Trg°，TT'故B正確；

a9I9_

對(duì)于C：可知/=256=24,貝I」（=之50，外，故C錯(cuò)誤；

a25I9_

對(duì)于D：可知/=36,〃=33,則任（0。],故D錯(cuò)誤；

a12I9」

故選：B.

12.已知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S.,且q=4,?+?÷I=4Λ+2（∕7∈N*）,則使得5.>2023成立的〃

的最小值為（）

A.32B.33C.44D.45

【正確答案】D

【分析】分〃為奇數(shù)和〃為偶數(shù)兩種情況，得到｛%｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)而分〃為奇數(shù)和〃為偶數(shù)兩種情

況求和，解不等式，求出答案.

【詳解】an+an+i=4n+2φ,

當(dāng)∕≥2時(shí)，%+%=4(〃-1)+2②,

兩式相減得4+∣-α,ι=4,

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，｛4｝為等差數(shù)列，首項(xiàng)為4,公差為4,

所以““=4+42/7+2

4+/+I=4"+2中，令〃=1得q+%=6,?ɑ2=6-4=2,

故當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，｛%｝為等差數(shù)列，首項(xiàng)為2,公差為4,

所以=2+42n-2,

所以當(dāng)"為奇數(shù)時(shí),

—(4+2n+2)+-(2+2n-4)

2

+?)+(?+?++an-?)=-------------------------------------=n+n+2'

s,,=(q+/+,2

-(4+2n)+-(2+2π-2)

當(dāng)”為偶數(shù)時(shí),

5=(α+?++a,T)+-%++%)2--------------2---------------=n2+n

n12

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí),令/+〃+2>2023,解得/1245,

當(dāng)”為偶數(shù)時(shí),令〃2+〃>2023,解得〃≥46,

所以S“>2023成立的n的最小值為45.

故選：D

二、填空題

13.在等差數(shù)列｛“〃｝中，若4=5,ai=l,則Q=.

【正確答案】O

【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，列方程求得首項(xiàng)與公差，從而可得結(jié)果.

【詳解】在等差數(shù)列｛%｝中，

由q=5且%=%+44=1,

=5

解得

:.a6=5+5×(-l)=0,

故答案為：O.

14.已知某班級(jí)中，有女生18人，男生20人，而且女生中不戴眼鏡的有8人，男生中戴眼鏡的有

11人，現(xiàn)從這個(gè)班級(jí)中隨機(jī)抽出一名學(xué)生，己知這名學(xué)生是女生，則所抽到學(xué)生戴眼鏡的概率是

【正確答案】I

【分析】計(jì)算女生中戴眼鏡的人數(shù)，根據(jù)條件概率的意義，即可求得答案.

【詳解】由題意從這個(gè)班級(jí)中隨機(jī)抽出一名學(xué)生，己知這名學(xué)生是女生，而女生有18人，

女生中不戴眼鏡的有8人，則戴眼鏡的有10人，

故所抽到學(xué)生戴眼鏡的概率是yj=∣,

嗚

22

15.已知橢圓C:三+匕=1的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)尸是橢圓C上異于A,B的任意一點(diǎn),

43

則直線∕?,PB的斜率之積為.

【正確答案】-j∕-0.75

4

【分析】根據(jù)題意結(jié)合斜率公式分析運(yùn)算.

【詳解】由題意可得α=2,則A(-2,0),8(2,0),

設(shè)P(Λ0,%XΛ0H±2),則芯?+^?=I,整理得乂=_3(/一4),

434

可得直線以，PB的斜率分別為％=T?,L=U?

-

X0÷ZΛθ-Z

_3區(qū)-4)

所以“k?)(????zz?z3.

KPA.KPB

Xθ+2X0—2XQ—4XQ-44

3

故答案為二

16.在數(shù)列｛4｝中，已知q=0,4向=會(huì)冷，則％。=

【正確答案】√3

【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推式求出數(shù)列前面幾項(xiàng)，可推得數(shù)列的周期，根據(jù)周期性即可求得答案.

【詳解】由題意4=0,LM=］宵,則/=f?｝=G'

_1+62>∕3rτ_Cl+?/?—?/?+?/?

%=τ?=rr73,∕=ιt3^=7Ξ^=°'

故數(shù)列｛4｝的項(xiàng)具有周期性，周期為3,

故a50="16x3+2=%=上'

故G

17.對(duì)正在橫行全球的“新冠病毒”，某科研團(tuán)隊(duì)研發(fā)了一款新藥用于治療，為檢驗(yàn)藥效，該團(tuán)隊(duì)從“新

冠'’感染者中隨機(jī)抽取IOO名，檢測發(fā)現(xiàn)其中感染了“普通型毒株”，”德爾塔型毒株”、“其他型毒株”

的人數(shù)占比為5:3:2.對(duì)他們進(jìn)行治療后，統(tǒng)計(jì)出該藥對(duì)“普通型毒株”、”德爾塔型毒株”、“其他型

毒株”的有效率分別為82%、60%、75%,那么你預(yù)估這款新藥對(duì)“新冠病毒'’的總體有效率是

【正確答案】74%

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合概率的計(jì)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.

【詳解】由題意，感染了“普通型毒株”，”德爾塔型毒株”、”其他型毒株”的人數(shù)占比為5:3:2且該藥

對(duì)“普通型毒株”、”德爾塔型毒株”、“其他型毒株”的有效率分別為82%、60%、75%,

532

所以這款新藥對(duì)“新冠病毒”的總體有效率為南x82%+而x60%+5x75%=74%.

故答案為.74%

18.袋中裝有5個(gè)相同的紅球和2個(gè)相同的黑球，每次從中抽出1個(gè)球，抽取3次按不放回抽取，

得到紅球個(gè)數(shù)記為X,得到黑球的個(gè)數(shù)記為K按放回抽取，得到紅球的個(gè)數(shù)記為九下列結(jié)論中正

確的是.

①E(X):E(y)=5:2；②D(X)>D(y);③E(X)=E⑷;④。(X)<E>⑷.

(注：隨機(jī)變量X的期望記為E(X)、方差記為。(X))

【正確答案】①③④

【分析】根據(jù)不四回抽取，確定紅球個(gè)數(shù)X的可能取值以及黑球個(gè)數(shù)為丫的可能取值，求出每個(gè)值

對(duì)應(yīng)的概率，即可求得χ,y的期望和方程，判斷①，②；按放回抽取，可知gB(3,∣)-求出其期

??7

望和方程，即可判斷③，④.

【詳解】由題意抽取3次按不四回抽取，可得紅球個(gè)數(shù)X的可能取值為123,

黑球個(gè)數(shù)y的可能取值為2,1,0,

則P(X=D=9χ2χ?2∕∕+Ml∕,

7657657657

P(X=2)∕χ3χ2+*χ2J+M*U

7657657657

5432

P(X=3)=-×-×-=-,

7657

14215

?E(X)=l×-+2×-+3×-=-

7777

由題意可知x+y=3,

142

故p(y=2)=p(x=i)=—,p(y=i)=p(x=2)=—,p(y=o)=p(x=3)=一,

777

故E(y)=2χLiχ3+oχ2=9,

7777

故E(X):E(y)=￡:g=5:2,故①正確；

z.15、21-15、24C15、2220

D(X)=(1一■—)×-÷(2——)×-÷(3—-)×-=—,

77777749

r?/p八/c6、,1八64_6、,220

D(n=(2--)2×-+(l--)-×-+z0--)2×-=-,

77777749

BPD(X)=D(F),故②錯(cuò)誤;

抽取3次按期抽取，每次抽取到紅球的概率嗚,

得到紅球的個(gè)數(shù)記為4,則&B吟,

故E(f)=3x沙刀⑶=3乂齊(1一｝=豢

故E(X)=E?,D(X)<D(?),即③，④正確,

故①③④

關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是明確不放回抽取和放回抽取的區(qū)別，從而計(jì)算變量的期望和方程，不

放回抽取時(shí)，要考慮互斥情況，計(jì)算概率；放回抽取時(shí)，可確定變量服從二項(xiàng)分布，從而可求解問

題.

三、解答題

19.已知圓C過點(diǎn)P(O,Y),Q(2,0),Λ(3,-l).

⑴求圓C的方程；

⑵若直線/：如+丫-1=0與圓C交于兩點(diǎn)A,B,且IABl=4,求機(jī)的值.

【正確答案】(I)(X-I)?+(y+2)2=5

【分析】(I)設(shè)圓的一般方程，代入運(yùn)算求解即可；

(2)根據(jù)垂徑定理可得圓心到直線的距離，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式運(yùn)算求解.

【詳解】(O設(shè)圓的一般方程為f+V+Dx+Ey+F=O,

I6-4E+F=O[D=-2

由題意可得：4+2。+/=0,解得E=4,

10+3D-E+F=0

故圓的一般方程為χ2+V-2x+4y=0,即(X-Iy+(y+2)?=5.

(2)由(1)可得：圓心C(l,-2),半徑/=石,

則圓心C(l,-2)到直線I的距離d=-m

4

所以〃，的值為

20.已知等差數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和公式為S“，2%-見=5,S5-S3=M.

(1)求｛見｝的通項(xiàng)公式；

⑵若對(duì)V〃eN*,S“-4+4≥0恒成立，求4的取值范圍.

【正確答案】(1)4=4"-11

⑵[10,4W)

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可求得4=5,%=9,再求4,d,進(jìn)而可得結(jié)果;

(2)由(1)可得S,,=2"2-9W,根據(jù)恒成立問題，結(jié)合二次函數(shù)分析運(yùn)算.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,

由題意可得物一%=(a2+a4)-a2=a4=5,

且S5-S3=g+%=14,則%=9,

可得Q=a5-a4=4,q=a4-3d=-7,

所以q=-7+4g1)=4〃—11.

(2)由(1)可得：S?="("7+4n~11)

=2ZJ2_9?,

2

則-4+2=(2/一訓(xùn)一(4〃—11)+4=2*-13〃+4+11,

13

因?yàn)椤?2〃2-13〃+；1+11的開口向上，對(duì)稱軸為n=二，

4

且"∈N",則當(dāng)〃=3時(shí)，y=2〃2-13a+2+l1取到最小值2-10,

可得K)≥0,BPΛ>10,

所以2的取值范圍為［10,收).

21.某冰糖橙是甜橙的一種，以味甜皮薄著稱.該橙按照等級(jí)可分為四類：珍品、特級(jí)、優(yōu)級(jí)和一

級(jí).某采購商打算訂購一批橙子銷往省外，并從采購的這批橙子中隨機(jī)抽取100箱(每箱有5kg),

利用橙子的等級(jí)分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下表：

等級(jí)珍品特級(jí)優(yōu)級(jí)一級(jí)

箱數(shù)40301()20

(1)從這100箱橙子中隨機(jī)抽取1箱，求該箱是珍品的概率；

(2)利用樣本估計(jì)總體，果園老板提出兩種方案供采購商參考:

方案一：不分等級(jí)出售，價(jià)格為27元/kg；

方案二：分等級(jí)出售，橙子價(jià)格如下表

等級(jí)珍品特級(jí)優(yōu)級(jí)一級(jí)

價(jià)格(元∕kg)36302418

從采購商的角度考慮，應(yīng)該采用哪種方案？

(3)從這100箱中抽取3箱，這3箱等級(jí)不全相同的概率記為p∣;用分層隨機(jī)抽樣的方法從這100箱

橙子中抽取20箱，再從抽取的20箱中隨機(jī)抽取3箱，這3箱等級(jí)不全相同的概率記為P?,請(qǐng)直接

寫出Pl與幺的大小關(guān)系(不必說明理由).

2

【正確答案】(1)§

(2)采購商應(yīng)選擇方案一

⑶R<Pi

【分析】(I)根據(jù)題意結(jié)合古典概型分析運(yùn)算；

(2)根據(jù)題意求方案二的平均單價(jià)，進(jìn)而對(duì)比分析；

(3)先按分層抽樣求各層抽取的箱數(shù)，再根據(jù)古典概型運(yùn)算分析.

【詳解】(1)由題意可得：該箱是珍品的概率P=當(dāng)40=M7

1Uv)?

(2)若選方案一：則單價(jià)為27元/kg；

36×40+30×30+24×10+I8×20

若選方案二：則單價(jià)為=29.4元/kg；

100

因?yàn)?7<29.4,所以采購商應(yīng)選擇方案一.

C；o+C狗+C+C*一1465

(3)由題意可得：P=I-

11617'

若用分層隨機(jī)抽樣的方法從這100箱橙子中抽取20箱，則珍品、特級(jí)、優(yōu)級(jí)和一級(jí)分別抽取8箱、

6箱、2箱和4箱,

,C：+C：+C：53

則πl(wèi)0=ι一七L=另'

Eu146553...

因?yàn)閈(17<~51，所trr以Pi<.

22.已知橢圓C：5+￡=l(a>b>0)的離心率為上頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,l),

⑴求橢圓C的方程.

⑵若橢圓C下頂點(diǎn)是B,M是C上一點(diǎn)(不與A,B重合)，直線AM與直線y=2交于點(diǎn)P,直線

BP交橢圓C于點(diǎn)N.求證：直線MN過定點(diǎn).

2

【正確答案】⑴L+y2=l

2

⑵直線MN過定點(diǎn)(θ,g)

【分析】(1)由題意可得：b=?,￡=也，解方程即可得出答案；

a2

1Q

(2)設(shè)P(r,2),直線40的方程為)，=jx+l,直線BP的方程為y=jx-l,兩直線分別與橢圓的

方程聯(lián)立求出M,N的坐標(biāo)，即可表示出直線MN的方程，即可知求的直線MN過的定點(diǎn).

【詳解】(1)由題意可得：b=?,￡=立，a2=h2+c2,解得a=&,c=l,

a2

???橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為］+丁=?.

(2)A(0,l),設(shè)P(f,2),直線AM：y=-x+?,

y=-x+l

可得：[了+i]/+：X=°,

聯(lián)立方程＜

4

I

---4Z所以"h?

22+/

-T

rO

3

β(0,-l),P&2),直線BP的方程為y=1x-l,

y=-x-l

聯(lián)立方程,可得:

-+y2=｛

2

6

Zi31

所以

貝=2rK=-

918+/2f82+r2

-+-

rO2

⑵36

則N

18+/'18+產(chǎn)

36(__Λ

%—%=18+*I2+-J=-2/+72=-2(*+6)(*-6)=6-￡

XW-XM=—⑵，書——16∕+96f=~16f(/+6)~="1T

18Z?W、

LL■T一,,,、,6—1~(4f)4,6—1~