人教A版高中數(shù)學(xué)必修2學(xué)案2-3-1直線與平面垂直的判定

2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)直線與平面垂直的判定學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解直線與平面垂直的定義．(重點(diǎn))2．理解直線與平面垂直的判定定理，并會(huì)用其判斷直線與平面垂直．(難點(diǎn))3．理解直線與平面所成角的概念，并能解決簡(jiǎn)單的線面角問(wèn)題．(易錯(cuò)點(diǎn))1.通過(guò)學(xué)習(xí)直線與平面垂直的判定，提升直觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．2．通過(guò)學(xué)習(xí)直線與平面所成的角，提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．1．直線與平面垂直定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線l與平面α互相垂直記法l⊥α有關(guān)概念直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．它們惟一的公共點(diǎn)P叫做垂足圖示畫法畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直2.直線與平面垂直的判定定理文字語(yǔ)言一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直符號(hào)語(yǔ)言l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α圖形語(yǔ)言3.直線和平面所成的角有關(guān)概念對(duì)應(yīng)圖形斜線與平面α相交，但不和平面α垂直，圖中直線PA斜足斜線和平面的交點(diǎn)，圖中點(diǎn)A射影過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過(guò)垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影，圖中斜線PA在平面α上的射影為AO直線與平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角．規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°的角取值范圍[0°，90°]思考：直線與平面垂直定義中的關(guān)鍵詞“任意一條直線”是否可以換成“所有直線”“無(wú)數(shù)條直線”？[提示]定義中的“任意一條直線”與“所有直線”是等效的，但是不可說(shuō)成“無(wú)數(shù)條直線”，因?yàn)橐粭l直線與某平面內(nèi)無(wú)數(shù)條平行直線垂直，該直線與這個(gè)平面不一定垂直．1．若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于()A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABCC[由線面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.]2．一條直線和三角形的兩邊同時(shí)垂直，則這條直線和三角形的第三邊的位置關(guān)系是()A．平行 B．垂直C.相交不垂直 D.不確定B[一條直線和三角形的兩邊同時(shí)垂直，則其垂直于三角形所在平面，從而垂直第三邊．]3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線AB1與平面ABCD45°[如圖所示，因?yàn)檎襟wABCD-A1B1C1D1中B1B⊥平面ABCD，所以AB即為AB1在平面ABCD中的射影，∠B1AB即為直線AB1與平面ABCD所成的角．由題意知，∠B1AB＝45°，故所求角為45°.]直線與平面垂直的判定【例1】如圖，在三棱錐S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點(diǎn)，且SA＝SB＝SC.(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.[證明](1)因?yàn)镾A＝SC，D是AC的中點(diǎn)，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD?平面ABC，所以SD⊥平面ABC.(2)因?yàn)锳B＝BC，D為AC的中點(diǎn)，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又因?yàn)镾D∩AC＝D，SD，AC?平面SAC，所以BD⊥平面SAC.證線面垂直的方法：(1)線線垂直證明線面垂直：①定義法(不常用，但由線面垂直可得出線線垂直)；②判定定理最常用：要著力尋找平面內(nèi)哪兩條相交直線(有時(shí)作輔助線)；結(jié)合平面圖形的性質(zhì)(如勾股定理逆定理、等腰三角形底邊中線等)及一條直線與平行線中一條垂直，也與另一條垂直等結(jié)論來(lái)論證線線垂直．(2)平行轉(zhuǎn)化法(利用推論)：①a∥b，a⊥α?b⊥α；②α∥β，a⊥α?a⊥β.eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，M是圓周上任意一點(diǎn)，AN⊥PM，垂足為N.求證：AN⊥平面PBM.[證明]設(shè)圓O所在的平面為α，∵PA⊥α，且BM?α，∴PA⊥BM.又∵AB為⊙O的直徑，點(diǎn)M為圓周上一點(diǎn)，∴AM⊥BM.由于直線PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM，而AN?平面PAM，∴BM⊥AN.∴AN與PM、BM兩條相交直線互相垂直．故AN⊥平面PBM.直線與平面所成的角[探究問(wèn)題]1．若圖中的∠POA是斜線PO與平面α所成的角，則需具備哪些條件？[提示]需要PA⊥α，A為垂足，OA為斜線PO的射影，這樣∠POA就是斜線PO與平面α所成的角．2．空間幾何體中，確定線面角的關(guān)鍵是什么？[提示]在空間幾何體中確定線面角時(shí)，過(guò)斜線上一點(diǎn)向平面作垂線，確定垂足位置是關(guān)鍵，垂足確定，則射影確定，線面角確定．【例2】在正方體ABCD-A1B1C1D1中(1)求直線A1C與平面ABCD(2)求直線A1B與平面BDD1B1所成的角．[證明](1)∵直線A1A⊥平面ABCD∴∠A1CA為直線A1C與平面ABCD所成的角設(shè)A1A＝1，則AC＝eq\r(2)，∴tan∠A1CA＝eq\f(\r(2),2).(2)連接A1C1交B1D1于O在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1∴BB1⊥A1C1又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足為O∴∠A1BO為直線A1B與平面BDD1B1所成的角，在Rt△A1BO中，A1O＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(1,2)A1B，∴∠A1BO＝30°，即A1B與平面BDD1B1所成的角為30°.在本例正方體中，若E為棱AB的中點(diǎn)，求直線B1E與平面BB1D1D所成角的正切值．[解]連接AC交BD于點(diǎn)O，過(guò)E作EO1∥AC交BD于點(diǎn)O1，易證AC⊥平面BB1D1D，∴EO1⊥平面BB1D1D，∴B1O1是B1E在平面BB1D1D內(nèi)的射影，∴∠EB1O1為B1E與平面BB1D1D所成的角．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，∵E是AB的中點(diǎn)，EO1∥AC，∴O1是BO的中點(diǎn)，∴EO1＝eq\f(1,2)AO＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2)a,2)＝eq\f(\r(2)a,4)，B1O1＝eq\r(BOeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋BBeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)a,4)))\s\up10(2)＋a2)＝eq\f(3a,2\r(2))，∴tan∠EB1O1＝eq\f(EO1,B1O1)＝eq\f(\f(\r(2)a,4),\f(3a,2\r(2)))＝eq\f(1,3).求斜線與平面所成角的步驟：1．線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化：2．證明線面垂直的方法：(1)線面垂直的定義．(2)線面垂直的判定定理．(3)如果兩條平行直線的一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面．(4)如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么它也垂直于另一個(gè)平面．1．直線l⊥平面α，直線m?α，則l與m不可能()A．平行B．相交C．異面D．垂直A[若l∥m，l?α，m?α，則l∥α，這與已知l⊥α矛盾．所以直線l與m不可能平行．]2．垂直于梯形兩腰的直線與梯形所在平面的位置關(guān)系是()A．垂直 B．相交但不垂直C．平行 D．不確定A[因?yàn)樘菪蝺裳谥本€為兩條相交直線，所以由線面垂直的判定定理知，直線與平面垂直．選A.]3．如圖所示，若斜線段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，則AB與平面α所成的角是()A．60° B．45°C．30° D．120°A[∠ABO即是斜線AB與平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝eq\f(1,2