2024年新高考數(shù)學一輪復習題型歸納與達標檢測第12講函數(shù)與方程

第12講函數(shù)與方程思維導圖知識梳理1．函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的定義：對于函數(shù)y＝f(x)，把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．(2)三個等價關(guān)系：方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點．2．函數(shù)零點的判定如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是f(x)＝0的根．我們把這一結(jié)論稱為函數(shù)零點存在性定理．3．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與零點的關(guān)系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與x軸的交點(x1，0)，(x2，0)(x1，0)無交點零點個數(shù)兩個一個零個題型歸納題型1函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷【例11】（2020春?浙江期中）函數(shù)的零點所在區(qū)間是A． B． C． D．【分析】由函數(shù)的解析式可得（1），（2）的符號，再根據(jù)函數(shù)零點的判定定理可得函數(shù)的零點所在的區(qū)間．【解答】解：由于函數(shù)，（1），（2），（1）（2），函數(shù)是連續(xù)增函數(shù)，函數(shù)的零點所在的區(qū)間是，故選：．【跟蹤訓練11】（2020?廣東學業(yè)考試）函數(shù)的零點所在區(qū)間為A． B． C． D．【分析】判斷在遞增，求得，，，（1）的值由零點存在定理即可判斷．【解答】解：因為函數(shù)，在時函數(shù)是連續(xù)增函數(shù)，且有，，，（1），可得在存在零點．故選：．【名師指導】確定函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點的存在性定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點．(2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷．題型2求函數(shù)零點的個數(shù)【例21】（2020春?渝中區(qū)校級期末）函數(shù)的零點個數(shù)為A．0 B．1 C．2 D．3【分析】條件等價于函數(shù)與函數(shù)圖象交點個數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可【解答】解：令，可得，則條件等價于函數(shù)與函數(shù)圖象交點個數(shù)，分別作出兩函數(shù)圖象如下：如圖，兩函數(shù)無交點，故選：．【例22】（2020?武昌區(qū)模擬）函數(shù)的零點個數(shù)為A．2個 B．4個 C．6個 D．8個【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，利用零點判斷定理轉(zhuǎn)化推出零點個數(shù)．【解答】解：函數(shù)，是偶函數(shù)，，時，，，，時，，時，，所以，時函數(shù)有2個零點，，時，，時，，，函數(shù)有1個零點，所以函數(shù)，的零點個數(shù)為6．故選：．【跟蹤訓練21】（2020春?海淀區(qū)校級期末）函數(shù)的零點個數(shù)是．【分析】條件等價于與圖象交點個數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可．【解答】解：令，即，則函數(shù)零點個數(shù)等價于與圖象交點個數(shù)，作出兩函數(shù)圖象如圖：由圖可得只有1個交點，故答案為：1．【跟蹤訓練22】（2020春?杭州期末）已知，則函數(shù)的零點個數(shù)為．【分析】作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合即可【解答】解：作出函數(shù)的圖象如下：由圖可得，函數(shù)只有一個零點，故答案為：1【名師指導】函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法(1)直接求零點，令f(x)＝0，有幾個解就有幾個零點；(2)零點存在性定理，要求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定函數(shù)零點個數(shù)；(3)利用圖象交點個數(shù)，作出兩函數(shù)圖象，觀察其交點個數(shù)即得零點個數(shù)．題型3函數(shù)零點的應用【例31】（2020?迎澤區(qū)校級模擬）已知以4為周期的函數(shù)滿足，當時，，其中，若方程恰有5個根，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【分析】根據(jù)條件函數(shù)是周期為4的函數(shù)，作出兩個函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合結(jié)合直線和曲線的相切問題，即可得到結(jié)論．【解答】解：依題意，函數(shù)的周期為4，方程恰有5個根，等價為函數(shù)的圖象與直線有5個交點，作函數(shù)圖象如下：當時，，當時，，當直線與，相切時，即方程有唯一解，化簡得，則△，解得；當直線與相切時，即方程有唯一解，化簡得，則△，解得；由圖可知，實數(shù)的取值范圍，．故選：．【例32】（2020?宜昌模擬）若函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)有且僅有一個零點，則實數(shù)的取值范圍為A． B．， C． D．【分析】依題意，在，上有且僅有一個解，設，求導可知函數(shù)在，上單調(diào)遞增，故（1），（2），由此求得的取值范圍．【解答】解：依題意，在，上有且僅有一個解，設，則，由（當且僅當時取等號）可知，當，時，函數(shù)單調(diào)遞增，當，時，，，．故選：．【例33】（2020?3月份模擬）已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，且滿足，當時，，，則函數(shù)所有零點的和為A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由為偶函數(shù)，且滿足，可得函數(shù)為最小正周期為2，對稱軸，畫出函數(shù)的圖象，又有題意可得關(guān)于對稱，且有的范圍可得時，（5），（3）的取值范圍，進而可得，的交點情況，進而可得的零點情況．【解答】解：函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，且滿足，可得對稱軸，所以可得周期，又，可得也是關(guān)于對稱，令，可得，在同一坐標系中在作與的圖象如圖所示：因為，，所以（2），（5），與無交點，（3）與有兩個交點，所以時，與有3個交點，所以時，與有3對關(guān)于對稱的點，所以所以交點之和為，即函數(shù)所有零點的和為6，故選：．【跟蹤訓練31】（2020?江蘇模擬）已知函數(shù)，函數(shù)是最小正周期為2的偶函數(shù)，且當，時，．若函數(shù)恰有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是．【分析】做出的函數(shù)圖象，令與的函數(shù)圖象有3個交點，列不等式組求出的范圍．【解答】解：有3個零點，與的函數(shù)圖象有3個交點，作出得函數(shù)圖象如圖所示：若，即，則與的函數(shù)圖象只有1個交點，不符合題意；若，即，則與的函數(shù)圖象有無數(shù)多個交點，不符合題意；若，即，若與的函數(shù)圖象有3個交點，則，且，解得：．故答案為：．【跟蹤訓練32】（2020?贛州模擬）關(guān)于的方程在區(qū)間上有三個不相等的實根，則實數(shù)的取值范圍是A． B．， C． D．，【分析】由題意畫出圖形，可知當時，顯然不滿足題意；當時，利用導數(shù)求出直線與曲線相切時的直線的斜率，結(jié)合時直線在曲線上方求解．【解答】解：關(guān)于的方程在區(qū)間上有三個不相等的實根，即在區(qū)間上有三個不相等的實根，也就是函數(shù)與在區(qū)間上有三個不同的交點，當時，顯然不滿足題意；當時，設直線與的切點為，，切線方程為，代入，可得，即，則，此時．再由，可得．關(guān)于的方程在區(qū)間上有三個不相等的實根，則實數(shù)的取值范圍是．故選：．【跟蹤訓練33】（2020?江西模擬）已知函數(shù)，，則方程所有根的和等于A．1 B．2 C．3 D．4【分析】在坐標系中畫出兩個函數(shù)的圖象，判斷函數(shù)的對稱性，然后求解零點的和即可．【解答】解：通過圖象可以知道函數(shù)，圖象都關(guān)于點對稱，并且兩個函數(shù)圖象有三個交點，所以