最值問題-2023年中考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)練習(xí)（江蘇）（解析版）

2023年中考數(shù)學(xué)【熱點(diǎn)?重點(diǎn)?難點(diǎn)】專練（江蘇專用）

重難點(diǎn)04最值問題

【命題趨勢(shì)】

最值問題，在中考里，無論是解答題，還是選擇、填空題，都是學(xué)生感覺有困難的地方，也恰是學(xué)生能力

區(qū)分度最重要的地方。在各地中考種都以中高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。

【滿分技巧】

1）.在代數(shù)部分最值問題，多出現(xiàn)在函數(shù)部分，無論是一次函數(shù)還是二次函數(shù)，都需要先求自變量的取值范

圍，再求函數(shù)解析式，根據(jù)實(shí)際問題，求得最值。有關(guān)內(nèi)容在前面的一次函數(shù)、二次函數(shù)中都有諸多體現(xiàn)。

近幾年，利用配方法求最值來解決一些實(shí)際問題，也常常見到。

2）.在幾何最值問題，幾何背景下的最值是考生感覺較難的，往往沒有思路。常見的有：（1）幾何圖形中在

特殊位置下的最值；（2）比較難的線段的最值問題，其依據(jù)是：①兩點(diǎn)之間，線段最短；②垂線段最短，涉

及的基本方法還有：利用軸對(duì)稱變換、旋轉(zhuǎn)變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差

小于第三邊”等；③借助于圓的知識(shí)；④二次函數(shù)的最值法解決。

3）幾何最值問題中的基本模型舉例

s

圖形XZ.

、/11

P1.MN

軸對(duì)稱最值原理兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短E三角形三E邊關(guān)系

（將軍飲馬）

A,B為定點(diǎn)，/為定直線，A,8為定點(diǎn),/為定直線，

A,8為定點(diǎn)，/為定直線，MN為直線I

特征P為直線/上的一個(gè)動(dòng)P為直線/上的一個(gè)動(dòng)

上的一條動(dòng)線段，求AM+8N的最小值

點(diǎn)，求AP+BP的最小值點(diǎn)，求∣AP-8P∣的最大值

作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定先平移AM或BN使M,N重合,然后作其?中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)廠定

轉(zhuǎn)化

直線/的對(duì)稱點(diǎn)作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線/的對(duì)稱點(diǎn)直線/的對(duì)稱點(diǎn)

A

圖形

折疊最值

BNC

原理兩點(diǎn)之間線段最短

在AABC中，M,N兩點(diǎn)分別是邊ABBC上的動(dòng)點(diǎn)，將ABMN沿MN翻折，B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

為B',連接A9，求A9的最小值.

轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化成求4B%B7V+NC的最小值

【限時(shí)檢測(cè)】

A卷（真題過關(guān)卷）

一、單選題

1.如圖，E為正方形ABC。邊4。上一點(diǎn)，AE=1,DE=3,P為對(duì)角線BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PE的最小

值為（）

A.5B.4√2C.2√10D.IO

【答案】A

【分析】連接EC交Bn于P點(diǎn)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，可知PA+PE的最小值即為線段EC的長(zhǎng)，求出EC

的長(zhǎng)即可.

【詳解】連接EC,交BD于P點(diǎn)

???四邊形48CD為正方形

.?.A點(diǎn)和C點(diǎn)關(guān)于BD對(duì)稱

.?.PA=PC

.?.PA+PE=PC+PE=EC

根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短“，可知IPA+PE的最小值即為線段EC的長(zhǎng).

"JAE=1,DE=3

.?.AD=4

?DC=4

：.CE=√DF2+CD2=J32+42=5

.?.P4+PE的最小值為5

故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短，這是一個(gè)將軍飲馬模型.熟練掌握正方形的性

質(zhì)并且能夠識(shí)別出將軍飲馬模型是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，Rt△4BC中，NC=90。，AC=4,BC=3,點(diǎn)P為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PO_LAB于點(diǎn)￡）,

則PB+PD的最小值為（）

A.-B.-C.5D.-

453

【答案】B

【分析】作點(diǎn)B關(guān)于ZC的對(duì)稱點(diǎn)B',過點(diǎn)B'作夕。，ZB于點(diǎn)￡>,交4C于點(diǎn)P,點(diǎn)尸即為所求作的點(diǎn)，此時(shí)

PB+PC有最小值，連接AB',根據(jù)對(duì)稱性的性質(zhì)，可知：BP=B'P,ΔABC≈ΔAB'C,根據(jù)S0BB，=5ΔΛBC+

SAM，C=2SMBC,即可求出PB+PD的最小值.

【詳解】解：如下圖，作點(diǎn)8關(guān)于47的對(duì)稱點(diǎn)8',過點(diǎn)B'作B'CJ.AB于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)P,連接NB',點(diǎn)

P即為所求作的點(diǎn)，此時(shí)?PB+PD有最小值，

根據(jù)對(duì)稱性的性質(zhì)，可知：BP=BR

在Rt△4BC中，?ACB=90,AC=A1BC=3,

.?.AB=√∕JC2+FC2=5,

根據(jù)對(duì)稱性的性質(zhì)，可知:KABC三AAB'C,

?'?S4ABB'=SAABC÷SAAB，C=2SΔΛBC,

即:XAB?B'D=2X3BC?∕1C,

.?.5B'D=24,

-?-B1D=T

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱一最短路線問題，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱的性質(zhì).

3.如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)M在。C上，且QM=1,N是Ae上一動(dòng)點(diǎn)，則。N+MN的最小值為

()

C.2√5D.5

【分析】由正方形的對(duì)稱性可知點(diǎn)8與。關(guān)于直線AC對(duì)稱，連接BM交4C于N',M即為所求在Rt?BCM

中利用勾股定理即可求出的長(zhǎng)即可.

【詳解】：四邊形ABs是正方形,

二點(diǎn)B與。關(guān)于直線AC對(duì)稱,

：.DN=BN,

連接8D,BM交.AC于N，,連接￡)V,

D

，當(dāng)8、N、M共線時(shí)，DN+MN有最小值，則8W的長(zhǎng)即為。N+MN的最小值,

.?.AC是線段BD的垂直平分線，

又YCQ=4,DM=?

，CM=CQ-CM=4-1=3,

在Rt?BCM中，BM=y∣CM2+BC2=√32+42=5

故IW+MN的最小值是5.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題及正方形的性質(zhì)，先作出力關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)，由軸對(duì)稱

及正方形的性質(zhì)判斷出。的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)B是解答此題的關(guān)鍵.

4.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=-X2+bx+3的圖像與X軸交于A、C兩點(diǎn),與X軸交于點(diǎn)C(3,0),

若尸是X軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,-1),連接PD,則或PO+PC的最小值是()

A.4B.2+2√2C.2√2D.∣+∣√2

【答案】A

【分析】過點(diǎn)P作PjJ-Be于J,過點(diǎn)。作DHLBC于H,根據(jù)魚PD+PC=√2(PD+?PC)=近(PD+PJ),

求出DP+PJ的最小值即可解決問題.

【詳解】解：連接8C,過點(diǎn)尸作只/_L8C于J,過點(diǎn)。作OHJ_8C于

；二次函數(shù)y=-X2+bx+3的圖像與X軸交于點(diǎn)C(3,0),

：.b=2,

二二次函數(shù)的解析式為y=-/+2x+3,令y=0,-/+2x+3=0,

解得X=-I或3,

ΛA(-1,0),

令X=0,v=3,

：.B(0,3),

：.OB=OC=3,

???ZBOC=90o,

：.ZOBC=ZOCB=45°,

VD(0,-1),

ΛOD=I,BD=4,

?：DHI.BC,

：.NDHB=90。,

設(shè)DH=x,則BH=居

222

'：DH+BH=BDf

Λx2+X2=42,

Λx=2λ∕2,

ΛDH=2√2,

?：PuCB,

ΛzP∕C=90o,

：.PJ=與PC,

：.y∕2PD+PC=√2(PD+yPC)=V2(PD+PJ),

?,DP+PJ≥DH,

：.DP+PJ>2√2,

.?.DP+PJ的最小值為2√Σ

.?.√∑PD+PC的最小值為4.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，得到

/03C=NOCB=45。，P/=號(hào)PC是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，四邊形4BCO為矩形，AB=3,BC=4.點(diǎn)尸是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AP上一點(diǎn).乙4DM

?BAP,則BM的最小值為（）

C.√13-∣D.√13-2

【答案】D

【分析】證明N4MD=90°,得出點(diǎn)M在。點(diǎn)為圓心，以AO為半徑的圓上，從而計(jì)算出答案.

【詳解】設(shè)AO的中點(diǎn)為。，以。點(diǎn)為圓心，A。為半徑畫圓

???四邊形ABCC為矩形

.".?BAP+?MAD=90°

'JΛADM=/.BAP

.".?MAD+?ADM=90°

二乙4MD=90°

.?.點(diǎn)M在O點(diǎn)為圓心，以4。為半徑的圓上

連接08交圓O與點(diǎn)、N

：點(diǎn)8為圓。外一點(diǎn)

二當(dāng)直線BM過圓心。時(shí)，BM最短

BO2=AB2+AO2,A0=-AD=2

`:2

：.B02=9+4=13

：.B0=√13

?；BN=BO-AO=尺一2

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形、圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形和圓的相關(guān)知識(shí).

6.如圖1,正方形力BCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)AP=x,PB+PE=y,

當(dāng)點(diǎn)P從4向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，y與X的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，其中點(diǎn)”是函數(shù)圖象的最低點(diǎn)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是（）

D.(3√5,4√2)

【答案】A

【分析】根據(jù)圖像，當(dāng)P與C重合時(shí),PB+PE=9B∣JCB+CE=9,從而確定正方形的邊長(zhǎng)為6,根據(jù)將軍飲馬

河原理，連接OE交4C于點(diǎn)G,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)G重合時(shí)，PE+PB最小，且為OE的長(zhǎng)即點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，利

用相似三角形，計(jì)算AG的長(zhǎng)即為橫坐標(biāo).

【詳解】如圖，根據(jù)圖像，當(dāng)P與C重合時(shí)，PB+PE=9BPCB+CE=9,

；點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，

；.BC=6,

連接OE交AC于點(diǎn)G,當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)G重合時(shí)，PE+PB最小，且為OE的長(zhǎng)即點(diǎn)M的縱坐標(biāo),

：四邊形A8C。是正方形，AB=6,

：.CE〃AD,AC=√62+62=6√2,DE=√62+32=3√5,

.?.ZXCGEsZ?AGZ),

?.C?G一=CE-=1-,

AGAD2

?AC_3

??茄―2f

ΛAG=4√2,

故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4√2,3√5),故A正確.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，函數(shù)圖像信息的獲取，將軍飲馬河原理，

熟練掌握正方形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角形相似，構(gòu)造將軍飲馬河模型求解是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，點(diǎn)M是菱形ABC。的邊BC的中點(diǎn)，P為對(duì)角線BO上的動(dòng)點(diǎn)，若AB=2,ZA=120°,則PM+

PC的最小值為()

A.2B.√3C.√2D.1

【答案】B

【分析】連接AM、AC,AM交BD于P,此時(shí)月W+PC最小，連接C尸，由菱形的性質(zhì)可知C和A關(guān)于BD

對(duì)稱，AP=CP,由條件易證AABC是等邊三角形，根據(jù)三線合一可知AMJ_BC,再根據(jù)勾股定理可求A仞

的值，即可求解.

【詳解】解：連接AM、AC,AM交8。于P,

此時(shí)PM+PC最小，連接CP,

：四邊形ABC。是菱形,

ΛOA^OC,AC-LBD,

，C和A關(guān)于BQ對(duì)稱，

：.AP=PC,

?/NA=I20。，

ZABC=GO0,

.?.ZiABC是等邊三角形，

.?.4C=A8=2,

?.?M是BC的中點(diǎn),

：.AMLBC,

：.NBAM=30°,

.?AM=y∕AB2-BM2=√3,

/.PM+PC=AM=3

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了將軍飲馬類型的求最小值問題，涉及菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定

理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找到尸的位置.

8.如圖，O。的半徑是述，P是OO上一動(dòng)點(diǎn)，4是。。內(nèi)部一點(diǎn)，且4。=6，則下列說法正確的是（）

①刑的最小值為迷-8;②的最大值為歷+√3;③當(dāng)〃MP=90。時(shí)，△PAO是等腰直角三角形;④△必。

面積最大為|.

A.①③④B.①②④C.①②③D.②③④

【答案】C

【分析】分析知當(dāng)A在線段Po上時(shí)，附取最小值，A在尸。延長(zhǎng)線上時(shí)，以取最大值，可以判斷①②是

否正確；當(dāng)NoAP=90。時(shí)，根據(jù)勾股定理求出A尸的長(zhǎng)度，可以判斷③是否正確；作出A點(diǎn)的軌跡圓，知當(dāng)

04,Po時(shí)，三角形∕?0面積取最大值，通過計(jì)算判斷④是否正確即可.

【詳解】解：由題意知，當(dāng)A在線段尸。上時(shí)，力取最小值，A在Po延長(zhǎng)線上時(shí)，抬取最大值,

.?.∕?的最小值為n√I,Λ4的最大值為√δ+√5,

故①②正確：

當(dāng)ZoAP=90。時(shí)，根據(jù)勾股定理得：4P=J(伺2-(√3)2=√3,

即AP=OA,三角形以。為等腰直角三角形，

故③正確；

作出A點(diǎn)軌跡圓如下：

知當(dāng)。4,PO時(shí)，三角形以0面積取最大值，最大值為：∣×√3×√6=^

故④錯(cuò)誤，

綜上所述，正確的序號(hào)為：①②③，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)、勾股定理、線段最值等知識(shí)點(diǎn)，借助圓的性質(zhì)判斷出線段的最值是解決本

題的關(guān)鍵.

二、填空題

9.如圖，在Rt△力BC中，Z.ACB=90o,AC=BC,點(diǎn)C在直線MN上，ZBCN=30。，點(diǎn)P為MN上一動(dòng)點(diǎn),

連接AP,BP.當(dāng)月P+BP的值最小時(shí)，/CBP的度數(shù)為度.

B

MN

【答案】15

【分析】如圖，作B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)。，連接4D,BD,CD,AP+BP的值最小，則MN交AD于P,由軸對(duì)

稱易證/CBP=ZCDP,結(jié)合LBCN=30。證得ABCD是等邊三角形，可得AC=CD,結(jié)合已知根據(jù)等腰三角

形性質(zhì)可求出ZCDP,即可解決問題.

【詳解】如圖，作B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)。，連接4D,BD,CD,

?.?4P+BP的值最小，

則MN交4D于P,由軸對(duì)稱可知：

CB=CD,PB=PD,

：?乙

Z-CBD=Z-CDB1?PBD=PDB,

：?乙

CBP=Z.CDPf

???乙BCN=30°,

???乙BCD=ZLBCN=60°,

??.ABCD是等邊三角形，

VAC=BC,

：?AC=CD,

：.?CAD=Z-CDA,

???乙ACB=90°,乙BCD=60°,

.?.LCAD=?CDA=I(180o-UCB-乙BCD)=15°,

?乙CBP=NCDP=15°,

故答案為：15.

B

MN

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形判定和性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、最短路徑問題、等腰三角形的性質(zhì)；熟練掌握

相關(guān)性質(zhì)的聯(lián)系與運(yùn)用，會(huì)利用最短路徑解決最值問題是解答的關(guān)犍.

10.如圖，在周長(zhǎng)為12的菱形ABCD中，DE=1,DF=2,若P為對(duì)角線4C上一動(dòng)點(diǎn)，則EP+FP的最小值

為.

【答案】3

【分析】作F點(diǎn)關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)9，連接EF交BD于點(diǎn)P,貝!∣PF=PF',由兩點(diǎn)之間線段最短可知當(dāng)E、P、

F'在一條直線上時(shí)，EP+FP有最小值，然后求得EF的長(zhǎng)度即可.

【詳解】解：作F點(diǎn)關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)F',則PF=PF',連接EF'交Bn于點(diǎn)P.

.?.EP+FP=EP+F'P.

由兩點(diǎn)之間線段最短可知：當(dāng)E、P、F'在一條直線上時(shí),EP+FP的值最小,此時(shí)EP+FP=EP+F'P=EF'.

???四邊形ABCD為菱形，周長(zhǎng)為12,

.?.AB=BC=CD=DA=3,AB??CD,

?.?AF=2,AE=1,

.?.DF=AE=1,

二四邊形4EF⑺是平行四邊形，

.?.EF'=AD=3.

:?EP+F尸的最小值為3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是菱形的性質(zhì)、軸對(duì)稱-路徑最短問題，明確當(dāng)E、P、F'在一條直線上時(shí)EP+FP

有最小值是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，在AABC中，?BAC=90o,AB=3,AC=4,EF垂直平分BC,點(diǎn)P為直線EF上任意一點(diǎn)，則

AP+BP的最小值是.

【答案】4

【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)可得BP=PC,可得當(dāng)點(diǎn)A,P,C在一條直線上時(shí)，PA+BP有最小值,

最小值為AC的長(zhǎng).

【詳解】解：連接PC?

?.?EF是BC的垂直平分線，

；.BP=PC,

：.PA+BP=AP+PC,

二當(dāng)點(diǎn)A,P,C在一條直線上時(shí)，P4+8P有最小值，最小值為AC=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，明確線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題

的關(guān)鍵.

12.如圖，拋物線了=%2-4尤+3與》軸分別交于48兩點(diǎn)（點(diǎn)4在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,在其對(duì)稱

軸上有一動(dòng)點(diǎn)M,連接ΛM,MC,4C,則周長(zhǎng)的最小值是

【答案】3√2+√10

【分析】根據(jù)''將軍飲馬”模型，先求出4(l,0),B(3,0),C(0,3),由二次函數(shù)對(duì)稱性，AB關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，從

而CAM4c=CA+CM+MA=CA+CM+MB,AC=y∣OA2+OC2=√Tθ,則^M4C周長(zhǎng)的最小值就是CM+

MB的最小值，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可得到CM+的最小值為C,M,B三點(diǎn)共線時(shí)線段CB長(zhǎng)，從而得

到CB=√OC2+OF2=3√2,即可得到答案.

【詳解】解：拋物線y=/-4工+3與工軸分別交于48兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,

.?.當(dāng)y=0時(shí)，O=X2-4χ+3解得X=I或X=3,即4(1,0),8(3,0)；當(dāng)X=O時(shí)，y=3,即C(0,3),

由二次函數(shù)對(duì)稱性，AB關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，S∣JΛfΛ=MB,

.?.CΔMAC=CA+CM+MA=CA+CM+MB,

■■■AC=7OA2+OC2=√ιo,

ZiMAC周長(zhǎng)的最小值就是CM+MB的最小值，

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可得到CM+MB的最小值為C,M,B三點(diǎn)共線時(shí)線段CB長(zhǎng)，CB=√OC2+Ofi2=

3√2,

.?.ΔAMC周長(zhǎng)的最小值為CA+CB=3√2+√10,

故答案為：3√Σ+√IU.

【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)最值問題與二次函數(shù)綜合，涉及“將軍飲馬”模型求最值、二次函數(shù)圖像與性質(zhì)、解一

元二次方程、勾股定理求線段長(zhǎng)等知識(shí)，熟練掌握動(dòng)點(diǎn)最值的常見模型是解決問題的關(guān)鍵.

13.如圖，在O。中，點(diǎn)A、點(diǎn)B在。。上，乙AOB=90o,OA=6,點(diǎn)C在CM上，且OC=2AC,點(diǎn)。是。B的中

點(diǎn)，點(diǎn)M是劣弧4B上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+2。M的最小值為.

【答案】4√i0

【分析】延長(zhǎng)OB到7,使得BT=OB,連接MT,C7,利用相似三角形的性質(zhì)證明Mr=2CM,求CM+2。M

的最小值問題轉(zhuǎn)化為求CM+Mr的最小值.求出CT即可判斷.

【詳解】解：延長(zhǎng)。B到7,使得BT=OB,連接MT,CT.

OM=6,OD=DB=3,OT=12,

.?.OM2=OD-OT,

OM_OT

"OD~0M,

■■/.MOD=?TOM,

AMODSATOM,

.DM_OM_1

"MT~OT~2

.?.MT=2DM,

?.?CM+2DM=CM+MT≥CT,

又???在RtAOCT中，“07=90。，OC=4,OT=12,

.?.CT=y∕OC2+OT2=√42+122=4√Tθ,

.?.CM+2DM≥4√Γθ,

.?.CM+2DM的最小值為4國，

故答案為：4√Tθ.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,

構(gòu)造相似三角形解決問題.

14.如圖，直線y=X+4與X軸，y軸分別交于4和B,點(diǎn)C、。分別為線段AB、OB的中點(diǎn)，P為。4上一動(dòng)點(diǎn),

當(dāng)PC+PD的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

【答案】(―1>0)

【分析】根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點(diǎn)4、B的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)

找出點(diǎn)D'的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)C、。'的坐標(biāo)求出直線CD'的解析式，令y=0即可求出X的值，從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【詳解】解：作點(diǎn)。關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)C',連接CC'交X軸于點(diǎn)P,此時(shí)PC+PD值最小，最小值為CD',如圖.

令y=X+4中X=0,則y=4,

.?.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,4)；

令y=x+4中y=0,則x+4=0,解得：x=-4,

點(diǎn)A的坐標(biāo)為(一4,0).

：點(diǎn)C、D分別為線段4B、OB的中點(diǎn)，

二點(diǎn)C(-2,2),點(diǎn)。(0,2).

Y點(diǎn)。'和點(diǎn)。關(guān)于X軸對(duì)稱，

點(diǎn)。'的坐標(biāo)為(0,-2).

設(shè)直線CO的解析式為y=kx+b,

；直線CD'過點(diǎn)C(-2,2),D,(0,-2),

2

??Πi-Γ*解得仁二］

...直線CC'的解析式為y=-Zx-2.

令y=0,則0=—2%—2,解得：x=-l,

，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（一1,0）.

故答案為：（—1，o）?

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及軸對(duì)稱中最短路徑問題，

解題的關(guān)鍵是求出直線CD'的解析式.本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，找出點(diǎn)的坐標(biāo)利用

待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵.

15.如圖，點(diǎn)P是乙4。8內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=3cm,點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線04和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，NAOB=30°,

則^PMN周長(zhǎng)的最小值是.

【分析】分別作點(diǎn)尸關(guān)于。4、OB的對(duì)稱點(diǎn)C、D,連接CD,分別交。4、OB于點(diǎn)M、N,連接

OP、OC.OD.PM、PN,當(dāng)點(diǎn)M、N在CD上時(shí)，APMN的周長(zhǎng)最小.

【詳解】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于。4OB的對(duì)稱點(diǎn)C、D,連接CD,分別交。4、OB于點(diǎn)例、M連接

OP.0C.0D、PM.PN.

：點(diǎn)P關(guān)于。4的對(duì)稱點(diǎn)為C,關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為D,

.?.PM=CM,OP=0C,?C0A=?P0Ai

???點(diǎn)P關(guān)于。B的對(duì)稱點(diǎn)為D,

：.PN=DN,OP=OD,4DOB=乙POB,

：.0C=OD=OP=3cm,乙COD=?COA+?POA+乙POB+乙DOB=2?POA+2乙PoB=2?AOB=60°,

?COD是等邊二角形,

.*.CD=OC=OD=3(cm).

，△PMN的周長(zhǎng)的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3cm.

故答案為：3cm.

【點(diǎn)睛】本題主要考查最短路徑問題和等邊三角形的判定.作點(diǎn)P關(guān)于04、OB的對(duì)稱點(diǎn)C、D是解題的

關(guān)鍵所在.

16.如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,4(0,4),B(4,0),P是第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，OP=2,連接4P、BP,貝∣JBP+14P

的最小值是.

【答案】√17

【分析】取點(diǎn)7(0,1),連接PT,BT.根據(jù)。P?=OT-。4,有2=絡(luò)即可證明4POTSXAOp,即有蕓=蕓=；,

U1Urin?JA/

進(jìn)而可得Pr=則有PBPA=PB+PT,利用勾股定理可得Br=√12+42=√Γ7,則有BP+(4P>

√17,問題得解.

【詳解】解：如圖，取點(diǎn)7(0,1),連接PT,BT.

.?.OT=1,OA=4,OB=4,

???OP=2,

:?OP2=OT-OA,

OPOA

—=—，

OTOP

■■■乙POT=Z.AOP,

.??ΔPOTSZkAOP,

PT_OP_1

PAOA2

：.PT=-PA,

2

.?.PB+-PA=PB+PT,

2

BT=√12+42=√17,

.?.PB+PT≥√17,

.?.BP+14P≥√Π,（當(dāng)8、尸、T三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)）

???8「+：「8的最小值為717.

故答案為：√17.

【點(diǎn)睛】本題考查阿氏圓問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用

輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題.

三、解答題

17.如圖，在△4BC中，AB=ACZBAC=I20。,AB邊的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D,若AE=3,

⑴求BC的長(zhǎng)；

（2）若點(diǎn)尸是直線DE上的動(dòng)點(diǎn)，直接寫出PA+PC的最小值為

【答案】（1）9

(2)9

【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可證AZBE為等腰三角形，由角度可證AACE為30。直角三角形，再由

線段之間的關(guān)系即可求出BC的長(zhǎng)；

(2)根據(jù)將軍飲馬原理即可得出PA+PC的最小值為BC的長(zhǎng)度.

【詳解】(1)解：'：AB=AC,ΛBAC=120°

：.乙B=NC=HI80。-4BAC)=30°

TAB邊的垂直平分線交4B于點(diǎn)D,

：.BE=AE=3,

."BAE=48=30°

J.?CAE=LBAC-/.BAE=120°-30°=90°

在RtΔSE中，ZC=30°

ΛCE=2AE=6

：.BC=BE+CE=3+6=9

(2)解:如圖，

取點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)，即點(diǎn)B；連接B,C兩點(diǎn)，與直線。E交于點(diǎn)P(E),

??,PA=PB

???PA-VPC=PB+PC

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短

則BC即為P4+PC的最小值，最小值為9

【點(diǎn)睛】本題考查J'圖形的軸對(duì)稱，相關(guān)知識(shí)點(diǎn)有：垂直平分線的性質(zhì)、將軍飲馬等，軸對(duì)稱性質(zhì)的充分

利用是解題關(guān)鍵.

18.在△力BC中，4B=90。，D為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E為線段4C,CC的垂直平分線的交點(diǎn)，連接E4EC,

ED.

(1)如圖1,當(dāng)NBAC=40。時(shí)，則乙4EO=°；

⑵當(dāng)NBAC=60。時(shí)，

①如圖2,連接/D,判斷AAED的形狀，并證明；

②如圖3,直線CF與EO交于點(diǎn)尸，滿足NCFO=NCAE.P為直線CF上一動(dòng)點(diǎn).當(dāng)PE-PO的值最大時(shí)，用

等式表示PE,PD與ZB之間的數(shù)量關(guān)系為,并證明.

【答案】⑴100；

(2)①△4CE時(shí)等邊三角形，證明見解析；

②PE-PD=24B.證明見解析.

【分析】(1)利用線段的垂直平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和定理解決問題即可；

(2)①AADE時(shí)等邊三角形，證明瓦4=ED,=60。即可；②結(jié)論：PE-PD=24B.如圖，作點(diǎn)。關(guān)

于直線CF的對(duì)稱點(diǎn)。'，連接CD',DD',ED'.當(dāng)點(diǎn)P在Ezy的延長(zhǎng)線上時(shí)，PE-PD的值最大，此時(shí)PE-PD=

ED',利用全等三角形的性質(zhì)證明ED'=4C,可得結(jié)論.

【詳解】(I)解：Y點(diǎn)E為線段AC,CD的垂直平分線的交點(diǎn)，

：.EA=EC=ED,

.??EAC=?ECA,乙ECD=4EDC,

'：/.ABC=90o,/.BAC=40°,

.,.?ACB=90°-40°=50°,

.,.?ACD=180°-50°=130°,

J.?EAC+Z.ACD+乙EDC=260°,

：.Z.AED=360°-260°=100°,

故答案為：100.

(2)解：①結(jié)論：△4DE時(shí)等邊三角形.

理由：??,點(diǎn)E是線段AC,CO的垂直平分線的交點(diǎn)，

：.EA=EC=ED,

乙乙

J.?EAC=?ECAfECD=EDC,

?,?ABC=90o,?BAC=60°,

ΛZ.?Cβ=90°-60°=30°,

J.?ACD=180°-30°=150°,

Λ?EAC+Z-ACD+乙EDC=300°,

.??AED=360°-300°=60。，

.?.△4DE時(shí)等邊三角形；

②結(jié)論：PE-PD=2AB.

理由：如圖，作點(diǎn)。關(guān)于直線CF的對(duì)稱點(diǎn)連接C。，DD',ED'.

?；PE-PD=PE-PD'VE?

則，點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上時(shí)，PE-Po的值最大，此時(shí)PE-PD=EO,

乙乙

VzCFD+CFE=180°,CFD=?CAEf

J.?CAEΛ-?CFE=180°,

J.?ACFZ.AEF=180°,

tJz-AED=60°,

：.?ACF=120°,

：,z.ACB=Z-FCD=30o,

ΛZDCF=乙FCD'=30°,

.??DCD,=60°,

VCD=CD,,

???ZkCDD'時(shí)等邊三角形，

：?DC=DD',?CDD,=?ADE=60°,

.'.?ADC=乙EDD',

'：DA=DE,

Λ?τ4DC≤?EDD,（SAS）,

：.AC=ED1,

VZ.B=90o,ACB=30。，

：.AC=2AB,

：.PE-PD=2AB.

故答案為：PE-PD=2AB.

【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的

性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問題，屬于中考?？?/p>

題型.

19.在棋盤中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，其中4（一1,1）,B（4,3）,C（4,一1）處各有一顆棋子.

（1）如圖1,依次連接A,B,C,A,得到一個(gè)等腰三角形（BC為底邊），請(qǐng)?jiān)趫D中畫出該圖形的對(duì)稱軸.

（2）如圖2,現(xiàn)X軸上有兩顆棋子P,Q,且PQ=I（P在Q的左邊），依次連接A,P,Q,B,使得4P+PQ+QB

的長(zhǎng)度最短，請(qǐng)?jiān)趫D2中標(biāo)出棋子P,。的位置，并寫出P,0的坐標(biāo).

【答案】（1）圖形見解析；

(2)P(0,0),(2(1,0),圖見解析;

【分析】（1）直接畫出等腰三角形的對(duì)稱軸即可；

（2）將A向右平移1個(gè)單位得4'（0,1）,再作A關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)A'（0,-1）,連接4''B交X軸于點(diǎn)Q,

再將Q向左平移1個(gè)單位得點(diǎn)尸，此時(shí)，4P+PQ+Q8的長(zhǎng)度最短；

【詳解】（1）解：如圖所示：

(2)如圖所示：將A向右平移1個(gè)單位得4(0,1),再作4關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)4''(0,-1),連接4'B交

X軸于點(diǎn)Q，再將。向左平移1個(gè)單位得點(diǎn)P,此時(shí)，AP+PQ+Q8的長(zhǎng)度最短;

設(shè)4'B的解析式為y=kx+b,將4”(0,-1),B(4,3)代入得:

—,解需二

.?.4'B的解析式為y=x-l,

當(dāng)y-0,0=x-l,

解得％=1>

二。點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0),

...P的坐標(biāo)為(0,0).

【點(diǎn)睛】本題考查作圖問題，等腰三角形的對(duì)稱軸，線段和的最小值問題，靈活運(yùn)用“將軍飲馬”模型是解題

的關(guān)鍵.

20.如圖，拋物線y=產(chǎn)+歷：+(;與工軸交于4(一1,0),8(3,0)兩點(diǎn).

(1)求該拋物線的解析式；

(2)觀察函數(shù)圖象，直接寫出當(dāng)X取何值時(shí)，y>0?

(3)設(shè)(1)題中的拋物線交)，軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使得AQAC的周長(zhǎng)最?。咳?/p>

存在，求出。點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)拋物線的解析式為y=X2-2X-3;

(2)當(dāng)*<-1或X>3時(shí)，y>0；

(3)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2).

【分析1(1)已知了拋物線過A、B兩點(diǎn),而拋物線的解析式中也只有兩個(gè)待定系數(shù)，因此可將A、B的坐

標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值，也就得出了二次函數(shù)的解析式；

(2)觀察圖象即可解決問題；

(3)本題的關(guān)鍵是找出Q點(diǎn)的位置，已知了B與A點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，因此只需連接BC,直線BC

與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為Q點(diǎn).可根據(jù)以C兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求出直線BC的解析式，然后聯(lián)立拋物線對(duì)稱軸的解

析式即可求出。點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】(1)解：???拋物線y=尤2+bχ+c與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為4(一1,O),B(3,0),

THLCU，解得『=一］

.?.所求拋物線的解析式為y=X2-2X-3;

(2)解：觀察函數(shù)圖象，當(dāng)*<一1或％>3時(shí)，y>0,

故答案為X<一1或X>3；

(3)解：在拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q,使AQAC的周長(zhǎng)最小.

:AC長(zhǎng)為定值，

二要使△Q4C的周長(zhǎng)最小，只需Q4+QC最小，

?.?點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸直線X=-卷=1的對(duì)稱點(diǎn)是(3,0),

二。是直線BC與對(duì)稱軸直線X=1的交點(diǎn)，

設(shè)過點(diǎn)8,C的直線的解析式y(tǒng)=kx-3,把(3,0)代入,

Λ3∕c-3=0,

；?k=1,

；?直線BC的解析式為y=X—3,

把X=1代入上式，

.?.Q點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定，函數(shù)圖象的交點(diǎn)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用對(duì)稱解

決最短問題，屬于中考?？碱}型.

21.定義：既相等又垂直的兩條線段稱為“等垂線段”，如圖1,在RtZMBC中，?A=90o,AB=4C,點(diǎn)。、

E分別在邊AB、AC±.,AD=AE,連接。E、DC,點(diǎn)M、P、N分別為DE、DC、Be的中點(diǎn)，且連接PM、PN.

圖1圖2

(1)觀察猜想

線段PM與PN填(“是”或“不是”)“等垂線段”.

(2)A40E繞點(diǎn)4按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，連接BD,CE,試判斷PM與PN是否為“等垂線段”,

并說明理由.

(3)拓展延伸

把△4。E繞點(diǎn)4在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若DE=2,BC=4,請(qǐng)直接寫出PM與PN的積的最大值.

【答案】⑴是

(2)是，答案見解析

【分析】(1)根據(jù)中位線的性順以及48=AC,AD=AE,可得MP=PN,由中位線性質(zhì)可得MPIlEC,PN||

BD,再由/B=ΛACB=45。結(jié)合平行線的性質(zhì)，可證/MPD+乙DPN=45°-4DCB+45°+4DCB=90°,

故線段PM與PN是“等垂線段”.

(2)先證a4BD三CE(SAS),可得BD=CE,根據(jù)中位線的性質(zhì)得到MP=IEC,PN=∣β∕),即MP=PN；

由中位線性質(zhì)可得MPIlEC,PNHBD,再由乙4BC=?ACB=45。結(jié)合平行線的性質(zhì)，可證NMPD+乙DPN=

90°,故線段PM與PN是“等垂線段”.

(3)由(2)可知，MP=PN,MP1PN,故PMXPN=PM2=竽,當(dāng)MN取最大值時(shí)，PM與PN的積有

最大值.當(dāng)N、4、M三點(diǎn)共線，且點(diǎn)4在NM之間時(shí)，MN取最大值.此時(shí)MN=M4+4M.最后根據(jù)已知

條件，計(jì)算出最大值即可.

【詳解】(1)解：線段PM與PN是“等垂線段”.

理由如下：

Y點(diǎn)M、P、N分別為Z)E、DC、BC的中點(diǎn)，

：.MP=AEC,PN=-BD,

22

?'AB=ACfAD=AE,

：,AB-AD=AC-AE9

即80=CE,

：?MP=PN.

?；點(diǎn)M、P、N分別為DE、DC、BC的中點(diǎn)，

；?MPHEC,PNHBD,

???在RtZkABC中，乙4=90。，AB=ACf

：,乙B=?ACB=45°,

.??ACD=45°-乙DCB,乙BDC=180o-?B-乙DCB=135°-乙DCB,

YMPHEC,PNHBD,

J.?MPD=?ACD=450-乙DCB,乙DPN=180°-4BDC=180°-(135°一上DCB)=45o+Z.DCB,

J.?MPD+4DPN=45°-乙DCB+45°+4DCB=90°,

：.MP1PN,即線段PM與PN是“等垂線段”，

故答案為：是.

(2)解：線段PM與PN是“等垂線段”，理由如下：

???△ADE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，

：.AD=AE,?DAE=90°,

?"?BAC=90°,

：.乙BAC-?DAC=4DAE-?DAC,

即/BAD=Z-CAE,

在AABD與ZMCE中，

AB=AC

V]ZB∕1D=?CAE,

DA=EA

：.?ABD≡?/ICF(SAS),

.'.BD=CE,

：點(diǎn)M、P、N分別為DE、DC、BC的中點(diǎn)，

：.MP=-EC,PN=-BD,

22

?；BD=CE,

：.MP=PN.

Y點(diǎn)M、P、N分別為DE、DC、BC的中點(diǎn)，

：.MPHEC,PNHBD,

o

T在Rt△力BC中，?BAC=90,AB=ACf

：.Z.ABC=乙ACB=45°,

；?4ACD=45。一乙DCB,乙DBC=45。一乙ABD,

乙BDC=180°-乙DBC-乙DCB=180o-(45°-?ABD)-Z-DCB=135o+Z-ABD-乙DCB

TMPHEC,PNHBD,

."MPD=Z.ECD=?ECA+Z.ACD,

V△ABD≡?TlCF(SAS),

：.?ABD=?ACE,

即4MP0=4ECD=Z.ABD+Z.ACD

乙DPN=180o-Z.BDC=180o-(135°+UBD-4DCB)=45°-UBD+乙DCB,

.??MPD+乙DPN=/.ABD+?ACD+45°-4ABD+乙DCB=450+45°=90°,

：.MP1PN.

?：MP=PN,MP1PN.

故線段PM與PN是“等垂線段”.

(3)解：由(2)可知，MP=PN,MP1PN,

故PM×PN=PM2=竽，

當(dāng)MN取最大值時(shí)，PM與PN的積有最大值.

?.?把^ADE繞點(diǎn)4在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，

.?.當(dāng)N、4、M三點(diǎn)共線，且點(diǎn)A在NM之間時(shí)，

MN取最大值.

,此時(shí)MN=NA+AM.

Y在RtBC中，Z.BAC=90o,AB=AC,BC=4,N為BC的中點(diǎn)，

：.NA=-BC=2,

2

同理可得，M4=(CE=1,

,MN的最大值為3,PM與PN的積有最大值會(huì)

【點(diǎn)睛】本題考查了中位線的性質(zhì)及運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)以及圖形動(dòng)態(tài)問題，綜合運(yùn)用以上知

識(shí)是解題的關(guān)鍵.

22.己知△CDE與△4BC有公共頂點(diǎn)C,△CDE為等邊三角形，在AABC中，?BAC=120°.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，連接A。，已知四邊形ABoC的面積為26，求48+4C的值；

(2)如圖2,AB=AC,A、E、。三點(diǎn)共線，連接4E、BE,取BE中點(diǎn)〃，連接4M,求證：AD=2AM-,

(3)如圖3,AB=AC=4,CE=2,將△CDE以C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，取CE中點(diǎn)凡當(dāng)BF+苧AF的值最小時(shí),

求tan乙4BF的值.

【答案】(l)2√∑

(2)見解析

【分析】(1)延長(zhǎng)AC到T,使得C7=B4連接DT,過點(diǎn)。做DNIar于N,證明AABD三△TCD(SAS),得

出ZM=DT,/.ADB=乙TDC,證明△DAT為等邊三角形,設(shè)AN=TN=x,得出雇°川=^AT-DN=√3x2=

2√3,求出X的值即可得出答案；

(2)延長(zhǎng)BA至UH使得4H=AB,連接￡77、CH,證明△ACD≡△HCE(SAS),得出4。=HE,證明力”為^BHE

的中位線，得出HE=24M=4D,即可證明結(jié)論；

(3)連接CF,過點(diǎn)A作4GJ.BC于點(diǎn)G,以點(diǎn)C為圓心，CF為半徑作圓，在AC上截取CM=更CF,連接MF,

4

證明△CFMCAF,MfH-=—=即FM=—AF,得出B尸+-AF=BF+FM,連接BM與G)C交

AFCF444

于一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸在此點(diǎn)時(shí)，BF+尸M最小，即BF+更4F最小，過點(diǎn)M作MN1BC于點(diǎn),M過點(diǎn)A作AQ1BM

4

于點(diǎn)。，求出4Q,BQ即可得出答案.

【詳解】(1)解：延長(zhǎng)4C到T,使得CT=BA連接CT,過點(diǎn)。做CNJ.AT于N,如圖所示：

；△CDE為等邊三角形,乙BAC=120°,

：.DB=DC,?BDC=60°,

四邊形4BCC中，4BDC+4DCA+"AB+/.ABD=360°,

.??ABD+Z.ACD=乙DCT+?ACD=180°,

：.?ABD=?TCD,

在AABC和ATCD中,

AB=TC

乙ABD=?TCD，

.DB=DC

Λ?∕4βD≤?TCD(SAS),

：.DA=DTt乙ADB=4ΓDC,

：?乙ADB+?ADC=?TDC+?ADC=?ADT=60°,

???ZiZMT為等邊三角形，

丁四邊形ABDC的面積為2次，

?ΛDAT=2√3>

9

:DNLAT9

：?乙ADN=30°,

設(shè)AN=TN=χ9

：.DN=y∕3AN=√3x,

,S皿T=^AT?DN=√3X2=2√3,

Λx=√2,

：.AB-^-AC=CT-I-AC=AT=2x=2√2,

(2)證明：延長(zhǎng)84至U”使得AH=48,連接￡7/、CH,如圖所示:

:,(HAC=60°,

*：AC=AHf

???△4HC為等邊三角形，

o

"ACH=60,AC=AH=CH=ABf

???ZkCDE為等邊三角形，

,??ECD=60o,DC=DE=CE,

：.Z.ECD+?ECA=?ACH+?ECAf

C.?ACD=乙HCE,

在A4CD和a"CE中，

AC=HC

?ACD=乙HCE,

CD=CE

Λ?ΛCD≡ΔHCF(SAS),

：,AD=HE,

?；A為AH中點(diǎn),M為BE中點(diǎn)，

,AM為z?BHE的中位線，

：.HE=2AM=AD,

：.AD=2AM↑

(3)解：如圖，連接CF,過點(diǎn)A作AG1BC于點(diǎn)G,以點(diǎn)C為圓心，CF為半徑作圓，在AC上截取CM=fC