河南省2023-2024學年高二年級上冊12月聯(lián)考數(shù)學模擬試題（附答案）

河南省2023-2024學年高二上學期12月聯(lián)考數(shù)學模擬試題

1.拋物線-=8y的準線方程為()

A.y=2B.y=-2C.x=-2D.x=2

2.數(shù)列-4,7,-10,13,…的一個通項公式為（）

A.?！?（一1）"（3〃+4）B.g=（一1）"（3〃+1）

+1+1

C.a?=（-l）"（3n+4）D.an=（-l）"（3?+l）

3.一條漸近線方程為2x+3y=0,且經(jīng)過點（3百,2行）的雙曲線的標準方程是（）

22222222

A.土-匕=1B.匕-二=1C.二-匕=1D.匕-土=1

94494994

4.若數(shù)歹U｛〃〃｝滿足q=2,=%-1，則。2024=（）

A.3B.2C.7D.-1

5.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，若率=7,則看=（）

、7?14

1831111

A.—B.-C.—D.—

7276

6.已知E，外是平面內(nèi)兩個不同的定點，則“||上陰|-|九里||為定值”是“動點M的軌

跡是雙曲線”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.定義[可表示不超過x的最大整數(shù)，例如：[0.3]=0,[2.1]=2,[-1.7]=-2.若

〃+2

(〃eN+),數(shù)列｛6｝的前〃項和為S“，貝1]邑。=()

A.64B.70C.77D.84

22

8.已知橢圓C*+3=l(a>b>0)的左，右焦點分別為片，F(xiàn)2,/卜形,1)為橢圓。內(nèi)

一點，對稱中心在坐標原點，焦點在x軸上的等軸雙曲線E經(jīng)過點(6,1),點。6)

在E上，若橢圓C上存在一點P,使得小圖+1%1=4,則C的離心率的取值范圍是

()

2A/22A/22四后'

丁，丁

"V|2"

7

二、多選題（本大題共4小題）

22

9.已知關(guān)于X,＞的方程一=+J=i表示的曲線是￡,則曲線￡可以是（）

4一mm-2

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

10.在數(shù)列｛%｝中，％=1,出=3,V〃eN*,a“+2=a”+「a”,S”為｛%｝的前〃項和，則邑"的值

可以為（）

A.0B.3C.4D.5

11.等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，公差為d,⑸-邑）（凡-邑）＜0，則下列結(jié)論正確的

是（）

A.若d＜0,則無＜。B.若4＞0,則當〃=6時，S”最小

C.V〃eN*，42a；D.若％=21,d為整數(shù)，則d=-4

12.經(jīng)過拋物線C:/=2px（p＞0）的焦點廠的直線/交C于45兩點，O為坐標原點，

設(shè)5（尤2,%乂%〉%），|/冏的最小值是4,則下列說法正確的是（）

A.OAOB=3

B.|/斤|+忸廠|=|4F|忸尸|

C.若點加］|,1］是線段的中點，則直線/的方程為2x-y-2=0

D.若刀=4方，則直線/的傾斜角為60°或120°

三、填空題（本大題共4小題）

13.已知數(shù)列｛%,｝的通項貝!1。5+4?=__________.

n+5

14.已知橢圓￡:2+/=1的左，右頂點分別為4,B,上頂點為C,則直線。，

C8的斜率之積為.

22

15.已知尸，/分別是雙曲線二-a=1（。＞0力＞0）的左焦點和右頂點，過點下作垂直于

ab

x軸的直線/,交雙曲線于M,N兩點，若則雙曲線的離心率

為.

47〃+33

16.已知兩個等差數(shù)列｛%｝和也｝的前"項和分別為4和瓦,，且苗=）不，則使得

Dn“十3

乎為整數(shù)的正整數(shù)n的集合是.

四、解答題(本大題共6小題)

17.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為&=-2,%=25.

(1)求數(shù)列｛。“｝的通項公式；

(2)求S”的最小值及取得最小值時n的值.

18.已知數(shù)列｛?！埃那啊椇蜑?“，且S“=-；/+5〃("eN*).

(1)求數(shù)列｛與｝的通項公式；

⑵求數(shù)列｛寓|｝的前n項和

19.如圖，過拋物線C:f=2/(°>0)的焦點/的直線與C相交于4,8兩點，當直

線4B與y軸垂直時，MB1=4.

(1)求C的方程；

(2)以為直徑的圓能否經(jīng)過坐標原點0?若能，求出直線的方程;若不能，請說

明理由.

7〃—12*

20.已知數(shù)列｛。"｝滿足q=1,。用=、(*N).

乜J-3

(1)求證：數(shù)列｛占｝為等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列缶“｝的通項公式與最大值.

22

21.已知橢圓C:三+4=l(a>b>0)的短軸長與焦距均為2,A,3是橢圓上的動點，

ab

O為坐標原點.

⑴求橢圓的標準方程；

⑵若直線。4與斜率的乘積為-；，動點尸滿足方=刀+/彷，(其中實數(shù)幾為常數(shù)

),若存在兩個定點耳，F(xiàn)2,使得|尸耳|+十￡卜2C，求丹，鳥的坐標及2的值.

22.已知曲線C上的任意一點到直線x=警的距離是它到點(石,0)的距離的手倍.

(1)求曲線C的方程;

(2)設(shè)M(-2,0),N(2,0),過點G(4,0)的直線/在夕軸的右側(cè)與曲線c相交于aB兩

點，記直線瓦V的斜率分別為七"，kBN,求直線/的斜率左的取值范圍以及

后BN+3kAM的值.

答案

1.【正確答案】B

【詳解】由拋物線方程可知，拋物線焦點在J軸正半軸，且=所以所求準線

方程為；-—―--2.

■

2.【正確答案】B

【詳解】由符號來看，奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，所以通項公式中應該是

數(shù)值4,7,10,13,…滿足3〃+1,所以通項公式可以是。“=(-1)"(3〃+1).

故選B.

3.【正確答案】A

【詳解】由題意設(shè)雙曲線的方程為4./-9/=2，

將點362近代入雙曲線方程得2=4x(3G『-9x(20y=36,

所以雙曲線的方程為4/-9/=36,即《一仁=1.

94

故選A.

4.【正確答案】C

2

【詳解】因為數(shù)列｛%｝滿足q=2,an+lan=a?-1,所以％=1，%=T，?4=>

1

%=5'…'

故數(shù)列的周期為3,故*=%=；?

故選C.

5.【正確答案】A

【詳解】在等差數(shù)列｛%｝中，'，兒-凡，星「幾成等差數(shù)列，即

2($14-H)=S+(S211sl4)，

設(shè)$7=7〃(加#0),則&4=7加，于是12加=加+(邑1-7加)，解得邑1=18羽，所以

5JI__18

丁丁

故選A.

6.【正確答案】B

【詳解】充分性：當"IISHMII為定值”，但“U肛a比工I”時，“動點M

的軌跡不是雙曲線”，不滿足充分性；

必要性：雙曲線上的動點"滿足龍陰1-1〃居||為定值"，滿足必要性；

因此TIM為定值”是“動點"的軌跡是雙曲線”的必要不充分條件.

故選B.

7.【正確答案】C

〃+2

【詳解】因為4=亍，所以當時，an=l；

當4W〃W6/EN+時，?！?2；

當7W〃W9,〃￡N+時，%=3;…；

當3左一2W〃（3左，左￡N+時，an=k.

所以q9=出。=7,S20=3（1+2+…+6）+7x2=77.

故選C.

8.【正確答案】B

【詳解】因為等軸雙曲線E經(jīng)過點（百/），所以將（百」）代入可得雙曲線￡

的方程為二-仁=1,

22

由點0（。,6）在￡上，得/一片=2,

所以橢圓C的左焦點￡的坐標是卜板,0）,

因為|P/|+p周=4,所以戶聞+（2a-戶用）=4,即盧/|-|尸凰=4一2%

又歸山-歸耳忖陽|=1,當且僅當尸,4月共線時等號成立，

a5

所以|4一2441,解得］VaW；①,

又因為點止也」）在橢圓c內(nèi)，所以怖+\<1,即

解得/<1（舍去）或/>4②,

5211

由①②得2K萬,

cV2、2母母、

所以e=-=——e

aa52

故選B.

22

【思路導引】根據(jù)題意求出雙曲線E的方程為由點。（凡6）在E上可求得。與6

的關(guān)系與橢圓的焦點坐標，由-圖+產(chǎn)引=4及橢圓的性質(zhì)可知|尸/|-|尸片1=4-2a,再根據(jù)點

。（。,與在￡上和/卜后,1）為橢圓。內(nèi)一點，求出。的取值范圍進而即可得到離心率的取值

范圍.

9.【正確答案】ABC

22

【詳解】當4-加=冽-2〉0時，m=3,方程/一+上二=1可以化簡為/+/=],曲線

4一加m-2

石是圓；

當4一加〉0,加一2〉0且4一次。機一2時，2＜加＜3或3＜加＜4,曲線E是橢圓；

當（4—加）（加—2）＜0時，冽＜2或加＞4,曲線后是雙曲線.

故選ABC.

10.【正確答案】ACD

【詳解】=3,4+2=%+「4，

**43=CL[Q]—,〃4=—02~—，々5=々4—々3=一，46=二—2，

%=a6~a5=1,%=%—4=3,…

，｛?！保秊橐?為周期的數(shù)列，且久=1+3+2-1-3-2=0,

而V〃eN*，2"被6除的余數(shù)只能為0,2,4,

???邑”的值只能為邑=1+3=4,邑=1+3+2-1=5,$6=0,

故ACD正確，B錯誤.

故選ACD.

【思路導引】利用列舉法計算出。1,。2,。3,。4,。5,。6的值，進而得出｛%｝為以6為周期的數(shù)

列，又艮=1+3+27-3-2=0,進而可得邑"的值只能為邑，邑,艮，計算即可.

11.【正確答案】ABD

【詳解】因為⑸-邑）（\-邑）＜0,

）＜X

所以（/+。6+%）（。5+。6+。7+。80，即342（O6+?7）＜0,

即a6（a6+a7）＜0'

若d<0,等差數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列,

則得&>0,Q+%<0,則52=12（%；%2）=6（&+%）<0,故A正確；

若d>0,等差數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，

貝!!&<0，&+。7>°，則%>0，久最小，故B正確；

由。6（。6+%）<0，得城<-a6a7，所以同<卜。6%］，

所以㈤<|%|，<a7>故C錯誤；

若為=21,結(jié)合0；<-&07，知。6。7<0，則必有d<0,貝!|R>0，%<0，

由4=%+5d>0,%+%=24+1M<0,

2142

解得-（<〃<-■1P又d為整數(shù)，所以1=-4,故D正確，

故選ABD.

12.【正確答案】BC

【詳解】尸（1，0），由題意可知直線/的斜率存在且不為0，可設(shè)直線/的方程為

P

x=my+—,

y2=2px

聯(lián)立,p，y2-2pmy-p2=0,

x=my+—

A=4p2m2+4p2>0，

2

%>2=-p2，%+丁2=2pm,xt+x2=m(yl+y2)+p=2pm+p,

222

2p2P4

所以|4a=再+%2+2=22(加2+1"22,當冽=0時等號成立,

所以2夕=4,p=2,所以拋物線方程為/=4x,

所以再％=1，%%=-4,

所以O(shè)AOB=xxx2+yry2=-3,A選項錯誤；

\AF\=xx+1,|5F|=x2+1,

2

所以\AF\+\BF\=+x2+2=4m+4,

|T4F|X|5F|=(再+l)(x2+1)=xxx2++x2+1=4m2+4,

所以MT+忸用=M用忸引，B正確；

因為點是線段的中點，所以外+%=2,即4加=2,加=g,

所以直線/的方程為2x-y-2=0,C正確；

AB=4FB^所以M尸|=3|產(chǎn)用,即項+1=3（%2+1）,所以玉-3%-2=0,

3

因為再％=1,所以芯2=。，即％；-2項—3=0,解得項=3（演=—1舍去），

%i

又必>力，故M>0>%，所以/（3,26），

所以直線/的斜率為正2=6，直線/的傾斜角為60。，D錯誤.

3-1

故選BC

【關(guān)鍵點撥】求解直線和拋物線V=2力相交所得弦長，如果直線過焦點，此時直線的斜率

存在且不為0,故可設(shè)直線的方程為》=叼+1，這樣的設(shè)法可以避免討論直線的斜率是否

存在，減少一定的運算量.

13.【正確答案】工

【詳解】由于數(shù)列｛%｝的通項4=￡

n+5

所以%+%0=B?

14.【正確答案】二

16

【詳解】由題意知/（一4,0）,5（4,0）,C（0,l）,所以心.3=雇乙x±=-+,

即直線。，C3的斜率之積為

16

15.【正確答案】2

2272

【詳解】設(shè)尸（-C,o）,將x=-c代入=v一七=1,得了=±幺，所以

aba

因為/（。⑼，且由雙曲線的對稱性可知，刊,

所以|MF|=|/司，即歐=q+c,即62=^+皿

a

所以/-QC-2“2=0,BPe2-e-2=09

因為e>l,所以e=2,

所以雙曲線的離心率為2,

故2.

16.【正確答案】｛1,2,5)

一+“2〃-1

7（2”-1）+33

【詳解】由%=2

bn仄+&-i%-12〃-1+3

2

14〃+267/7+137（〃+1）+6「6

----------=--------------------------=7H--------，

2〃+2n+1n+1n+\

因為?為整數(shù)且“eN*，所以〃=125.

b,

故答案為.｛1,2,5｝

17.【正確答案】(1)?！?3〃-14

(2)當〃=4時，S,最小，最小值為-26

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為小

1nxo

由。4二-2,S10=25,得q+3d=-2,10%H--—d=25,解得％=—11,d=3,

所以〃〃=%+（〃-1”=3〃-14.

（2）方法一：由d=3知｛%｝是遞增數(shù)列，

當〃W4時，??<0；當”》5時，a?>0.

所以耳>52>￡>邑<55<…，

4x3

所以當〃=4時，S〃最小，最小值為邑=4%+—^-xd=-26.

625

方法二:

~2A

又〃eN*,所以當"=4時，S“最小，最小值為-26.

18.【正確答案】⑴。“=一3〃+21

339

——nH----nA<n<7

22

339

—n2----n+126,n>8

.22

33Q

【詳解】(1)由N*),

339T3?39-

當〃22時，=S〃一11=_,“+—n--(H-1)-H^-(?-l)=與〃+21,

當〃=1時，4=5=18,滿足上式，

綜上，%=-3〃+21.

(2)令420,得21—3〃20,解得〃07,

令%<0,得21—3〃<0,解得〃〉7,

339

則當］<〃(7時，Tn=1^|+|a2|Haj=%+2~1-----1~%=一萬"?，

當“28時，Tn=+a2-\----F%)—-----*~Q“)

23239

=2S7-S=2x63-|--n+—n\=—n----n+126,

7"I22)22

32391-

—nH-----w,l<n<l

22

綜上所述,

339

—n2---n+126,〃>8

22

19.【正確答案】（l）I=4y

（2）不能，理由見解析

【詳解】（I）尸點的坐標是（0,￡|,

當直線N3與y軸垂直時，點4,3的坐標分別是［-P,^

\AB\=2p=^,解得p=2,

所以C的方程是，=4），.

（2）以N3為直徑的圓不可能經(jīng)過坐標原點O,理由如下：

如圖，

直線的斜率顯然存在，設(shè)其方程為歹=丘+1,

代入/=4y,消去y并整理得/_4履-4=0,

設(shè)力（再,必），B（x2,y2）,貝1］芭%2=—4

因為OA-OB-xxx2+yxy2=再型+>/=-4+1=—3,

■■~16

所以。4與08不垂直.

因此，以為直徑的圓不可能經(jīng)過坐標原點.

20.【正確答案】（1）證明見解析

（2）?！?，+2,最大值是;.

3〃一42

【詳解】（1）因為一1一一I

。”+「2an-2

1

=______^=X-5__^=X-6=3_^=_1

7a”-12_2an—2a?—2an—2an—2ax—2,

3a,-5

所以數(shù)列是以-1為首項，3為公差的等差數(shù)列.

（2）由（1）可得一+^an=—^—+1.

23^-4

當〃22時，由反比例函數(shù)的性質(zhì)知｛4｝單調(diào)遞減，

所以電>%"A冊>…，

又4=1,%=g,ax<a2,

所以數(shù)列｛%｝的最大值是，

21.【正確答案】⑴三+/=1;

（2）2=土也，耳卜啊,《（6,0）或耳（代町,巴卜6。）.

【詳解】（1）橢圓C的短軸長與焦距均為2,可得26=2c=2,所以b=c=l,

因為/=62+02=2,所以橢圓的標準方程為片+2=1.

2

（2）設(shè)尸（xj）,4（再,必）,/%,%）,

由麗=況+4彷，可得%=再+4%2，>=必+4%，

因為點4,5在橢圓一+2歹2=2上，

所以工；+2%之=2,%；+=2,

則%2+2）2=（x；+丸2%；+22毛%2）+2（）；+丸?）；+22必%）

—（x：+2y；）+X?（x；+）+24（/％2+2yly2）=2+24?+2%（/％2+2%,

又因為電,%=二一；，所以石工2+2%歹2=0，

22

所以/+2/=2+2矛，即=

^2+2221+A2

fV2

所以點尸是橢圓一J+上方