2023版高考數(shù)學一輪總復習10年高考真題分類題組8-1空間幾何體的三視圖表面積和體積

8.1空間幾何體的三視圖、表面積和體積

考點一空間幾何體的三視圖與直觀圖

1.（2016天津文,3,5分）將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐,得到的幾何體

的正視圖與俯視圖如圖所示,則該幾何體的側（左）視圖為（）

答案B由幾何體的正視圖、俯視圖以及題意可畫出幾何體的直觀圖,如圖所示.

該幾何體的側視圖為選項B中圖形.故選B.

評析本題主要考查空間幾何體的三視圖與直觀圖,考查學生的空間想象能力和識圖、畫圖

能力.

2.（2014課標1,8,5分,0.795）如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形,粗實線畫出的是一個幾何

體的三視圖，則這個幾何體是（）

?.三棱錐B.三棱柱C.四棱錐D.四棱柱

答案B由題中三視圖可知該幾何體的直觀圖如圖所示,則這個幾何體是三棱柱，故選B.

3.（2014北京理,7,5分）在空間直角坐標系0-χyz中,已知

A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,e).若S”S2,A分別是三棱錐D-ABC在xθy,yθz,zθx

坐標平面上的正投影圖形的面積,則()

A.S1=S2=S3B.Sz=S］且S

C.Sa=&且S3≠S2D.s3??s3≠s,

答案D三棱錐D-ABC如圖所示.

Sl=S=∣X2X2=2,

S2=i×2×√2=√2,

S3=∣×2×√2=√2,

.?.S2?1LS,≠S3,故選D.

4.（2014課標I理，12,5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的

三視圖,則該多面體的各條棱中,最長的棱的長度為（）

Λ.6√2B.6

答案B由多面體的三視圖可知該幾何體的直觀圖為一個三棱錐,如圖所示.其中面ABC_L

面BCD,ΔABC為等腰直角三角形,AB=BC=4,取BC的中點M,連接AM,DM,則DML面ABC,在等腰

ΔBCD中，BD=DC=2√5,BC=DM=4,所以在RtΔΛMD中，ΛD=√AI^+D.^=√42+22+42=6,又在

RtΔΛBC中,ΛC=4√2<6,故該多面體的各條棱中，最長棱為AD,長度為6,故選B.

2

評析本題考查空間幾何體的三視圖與直觀圖之間的互相轉化,考查面面垂直性質定理的應

用.同時考查考生的空間想象能力和運算求解能力.正確畫出三棱錐的直觀圖是解決本題的

關鍵.

5.(2013課標II,理7,文9,5分)一個四面體的頂點在空間直角坐標系0-χyz中的坐標分別是

(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),畫該四面體三視圖中的正視圖時，以ZoX平面為投影面,

則得到的正視圖可以為(

答案A設0(0,0,0),八(1,0,1),8(1,1,0),(：(0,1,1),將以0、A、B、C為頂點的四面體補

成一正方體后，由于OAlBC,所以該幾何體以ZOX平面為投影面的正視圖為A.

方法歸納由幾何體直觀圖畫三視圖的要求:①注意三個視圖對應的觀察方向;②注意視圖

中虛線與實線的區(qū)別;③畫出的三視圖要符合“長對正,高平齊,寬相等”的基本特征.

6.(2013湖南理,7,5分)已知棱長為1的正方體的俯視圖是一個面積為1的正方形,則該正方

體的正視圖的面積不可能等于()

√2-l

A.1B.√2cr?-rD與

答案C若該正方體的放置方式如圖所示,當正視的方向與正方體的任一側面垂直時,正視

圖的面積最小,其值為1,當正視的方向與正方體的對角面BDDB或ACCA垂直時,正視圖的面

積最大,其值為北,

由于正視的方向不同，因此正視圖的面積S∈[1,√2].故選C.

評析本題考查空間幾何體的三視圖與直觀圖,考查學生空間想象能力及有關知識的應用能

力,解答本題應設法求出正視圖的面積的取值范圍，而不應該逐項計算.

3

7.（2011課標理,6文,8,5分）在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示,則相應的

側視圖可以為（）

答案D由幾何體的正視圖和俯視圖可知I,該幾何體應為一個半圓錐和一個有一側面垂直

于底面的三棱錐組成的組合體,故其側視圖應為D選項.

錯因分析將組合體看成半圓柱和三棱錐的組合或不注意C和D中中線實虛的含義，易誤選

A或C.

評析本題主要考查空間幾何體的三視圖,考查學生的識圖能力和空間想象能力.

考點二空間幾何體的表面積與體積

1.（2018課標I文,5,5分）已知圓柱的上、下底面的中心分別為0,,0”過直線OQ的平面截

該圓柱所得的截面是面積為8的正方形,則該圓柱的表面積為（）

A.12√2πB.12πC.8√2πD.10π

答案B本題主要考查圓柱的表面積及圓柱的軸截面.

設圓柱的底面半徑為r,高為h,由題意可知2r=h=2北,.?.圓柱的表面積

S=2πr2+2πr?h=4π+8π=12JI.故選B.

解題關鍵正確理解圓柱的軸截面及熟記圓柱的表面積公式是解決本題的關鍵.

2.（2016課標II文,4,5分）體積為8的正方體的頂點都在同一球面上,則該球的表面積為

（）

A.12πB.^πC.8πD.4π

3

答案A設正方體的棱長為a,則1=8,解得a=2.

4

設球的半徑為R,則2R=√5a,即R=√3,所以球的表面積S=4πR2=12π.故選?.

方法點撥對于正方體與長方體,其體對角線為其外接球的直徑,即外接球的半徑等于體對

角線的一半.

3.（2016課標ΠI,理10,文11,5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多

面體的三視圖,則該多面體的表面積為（）

A.18+36√5B.54+18√5

C.90D.81

答案B由三視圖可知,該幾何體是底面為正方形（邊長為3）,高為6,側棱長為3代的斜四

棱柱.其表面積S=2×32+2×3×3√5+2×3×6=54+18√5.故選B.

易錯警示學生易因空間想象能力較差而誤認為側棱長為6,或漏算了兩底面的面積而致

錯.

4.（2015課標1理,11,5分）圓柱被一個平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個幾何體,

該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20π,則

r=（）

A.1B.2

C.4D.8

5

答案B由已知條件可知I,該幾何體由圓柱的一半和半球組成,其表面積為

2πr2+πr2+4r2+2π/=5πr2+4r2.由5￡r2+4r2=16+20π得r=2.故選B.

5.（2015北京理,5,5分）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（）

正?。┮晥D制左）視圖

A.2+√5B.4+√5C.2+2√5D.5

答案C由三視圖可得該三棱錐的直觀圖如圖所示,其中PA=I,BC=2,取BC的中點M,連接

AM,MP,則ΛM=2,AM_LBC,故AC=AB=√6A+A/=√ΓΠ=√5,由正視圖和側視圖可知PA_L平面

ABC,因此可得PC=PB=√為2+A∕=√∏Γ^=√δ,PM=√Λ42+A^=√H74=√5,所以三棱錐的表面積

×2×2+^×√5×l+∣×√5×14∣×2×2+2C.

為SΔΛK+SΔPΛB+SΔPΛC+SΔPBC=∣晶=倔故選

6.（2015陜西，理5,文5,5分）一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為（）

A.3πB.4冗C.2五+4D.3π+4

答案D由題中三視圖知該幾何體是底面半徑為1,高為2的半個圓柱,故其表前R

S=2×-×JtXl2+πXlX2+2X2=3π+4.

2

評析本題考查三視圖的概念和性質以及圓柱的表面積,考查運算及推理能力和空間想象能

力.由三視圖確定幾何體的直觀圖是解題的關鍵.

7.（2015課標∏,理9,文10,5分,0.685）已知A,B是球0的球面上兩點,ZA0B=90o,C為該

球面上的動點.若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球0的表面積為（）

A.36πB.64πC.144πD.256π

6

答案C?.?SAOMi是定值,且VoTBC=VC一OW

...當0C_L平面OAB時,Vc如B最大,即Vo-ABC最大.設球0的半徑為R,則

（VUC）X照XR=?3=36,.?.R=6,...球0的表面積s=4??R?=4Jt×62=144π.

（BJZO

思路分析由aOAB的面積為定值分析出當OCJ_平面OAB時,三棱錐O-ABC的體積最大,從而

根據(jù)已知條件列出關于R的方程,進而求出R值,利用球的表面積公式即可求出球0的表面

積.

導師點睛點C是動點,在三棱錐O-ABC中，如果以面ABC為底面,則底面面積與高都是變量,

而SAMs為定值,因此轉化成以面OAB為底面,這樣高越大,體積越大.

8.（2014浙江理,3,5分）某幾何體的三視圖（單位:cm）如圖所示，則此幾何體的表面積是

（）

,一4一4一,,一3?3一,

H-----÷-----HH-*h~~H

?i??m

正視圖惻視圖

3

3

俯視圖

A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm2

答案D由三視圖可知該幾何體由一個直三棱柱與一個長方體組合而成（如圖），其表面積

為S=3×5+2×^×4×3+4×3+3×3+2×4×3+2×4×6+3×6=138(cm2).

9.（2014福建文,5,5分）以邊長為1的正方形的一邊所在直線為旋轉軸,將該正方形旋轉一周

所得圓柱的側面積等于（）

A.2πB.πC.2D.1

答案A由題意得圓柱的底面半徑r=l,母線1=1.

圓柱的側面積S=2πrl=2n.故選A.

10.（2018浙江,3,4分）某幾何體的三視圖如圖所示（單位:Cm）,則該幾何體的體積（單位:cm'）

是（）

7

A.2B.4C.6D.8

答案C本小題考查空間幾何體的三視圖和直觀圖以及幾何體的體積公式.

由三視圖可知該幾何體是直四棱柱,其中底面是直角梯形,直角梯形上,下底邊的長分別為

lcm,2cm,高為2cm,直四棱柱的高為2cm.故直四棱柱的體積V甘X2X2=6cπf.

思路分析（D利用三視圖可判斷幾何體是直四棱柱；

（2）利用“長對正,高平齊,寬相等”的原則,可得直四棱柱的各條棱長.

11.（2016山東理,5,5分）一個由半球和四棱錐組成的幾何體,其三視圖如圖所示.則該幾何

體的體積為（）

俯視圖

.1,21√21,√2

A.-+-πBn.lπrC.-+—nπD.l+-π

3333366

答案C由三視圖可知四棱錐為正四棱錐,底面正方形的邊長為1,四棱錐的高為1,球的直

徑等于正四棱錐底面正方形的對角線的長,所以球的直徑2R=√5,即R所以半球的體積為

2

N邛lt,又正四棱錐的體積為ι×ι=i,所以該幾何體的體積為9?n.故選C.

?O333b

易錯警示不能從俯視圖中正確地得到球的半徑,而錯誤地從正視圖中得到球的半徑R=∣.

評析本題考查了空間幾何體的三視圖和體積公式.正確得到幾何體的直觀圖并準確地計算

是解題關鍵.

8

12.（2016北京,6,5分）某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為（）

其底面是等腰直角三角形ACB,直角邊長為1,三棱錐的高為1,故體積IxlXl=.故

?LO

選A

13.（2015課標I,理6,文6,5分,0.451）《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著，

書中有如下問題：“今有委米依垣內角，下周八尺,高五尺.問：積及為米幾何？”其意思

為：“在屋內墻角處堆放米（如圖,米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺,米

堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，

圓周率約為3,估算出堆放的米約有（）

答案B設圓錐底面的半徑為R尺，由［X2"R=8得R=?從而米堆的體積

V=χ"Nx5牛2（立方尺），因此堆放的米約有罟黑二七22（斛）.故選B.

4Jo???5^1.b/??

14.（2015課標Il,理6,文6,5分,0.426）一個正方體被一個平面截去一部分后,剩余部分的三

視圖如下圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）

9

A?IB??c?lD?I

答案D如圖，由已知條件可知,在正方體ABCD-ABCD中,截去三棱錐A-A1B1D1后剩余的部

分即為題中三視圖對應的幾何體,設該正方體的棱長為a,則截去部分的體積為?Γ',剩余部分

的體積為a4a?a3.它們的體積之比為故選D.

665

15.（2015重慶理,5,5分）某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為（）

A.?πB.-e,??D.，

3632

答案B由三視圖可知,該幾何體是一個底面半徑為1,高為2的圓柱和底面半徑為1,高為

22

1的半圓錐拼成的組合體.所以該幾何體的體積為TXgXπ×lxi+π×1×2=?,故選B?

16.（2015浙江理,2,5分）某幾何體的三視圖如圖所示（單位:Cm）,則該幾何體的體積是

（）

10

正視圖側視圖

俯視圖

A.8cm3B.12cm3

c.>3小,

答案C由三視圖知，該幾何體是由棱長為2cm的正方體和底面邊長為2cm,高為2cm的正

四棱錐組合而成的幾何體.所以該幾何體的體積V=24×22×2=≡cm3,故選C.

17.（2015山東理,7,5分）在梯形ABCD中，NABCq,AD〃BC,BC=2AD=2AB=2.將梯形ABCD繞AD

所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（）

.2∏.4π廠5元門小

A.—-Br."-C.--D.2H

333

答案C如圖,此幾何體是底面半徑為1,高為2的圓柱挖去一個底面半徑為1,高為1的圓

錐，故所求體積V=2π-∣=^

評析本題主要考查幾何體的體積及空間想象能力.

18.（2015湖南文，10,5分）某工件的三視圖如圖所示.現(xiàn)將該工件通過切削，加工成一個體積

盡可能大的正方體新工件,并使新工件的一個面落在原工件的一個面內，則原工件材料的利

用率為（材料利用率=S≡）

11

3,333

側視圖

.824(√2-l)3D8(修1)3

A.—βr

9π?F7

答案Λ由三視圖可知1,原工件是一個底面半徑為1,母線長為3的圓錐,則圓錐的高為2近,

新工件是該圓錐的內接正方體,

如圖,此截面中的矩形為正方體的對角面,

設正方體的棱長為X,

則牽嗡,解得X4

3

所以正方體的體積v,=（^）岑，

2

又圓錐的體積V2=Iπ×l×2√2=^π

所以原工件材料的利用率為故選A.

19.（2014陜西理,5,5分）已知底面邊長為1,側棱長為虎的正四棱柱的各頂點均在同一個球

面上,則該球的體積為（）

A.空B.4π

C.2πD.—

3

答案D如圖為正四棱柱AC,.根據(jù)題意得AC=?,.?.對角面ACe冏為正方形，.?.外接球直徑

2R=A∣C=2,.?.R=1,,VMi與故選D.

12

20.（2014課標∏,理6,文6,5分,0.506）如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1（表示1cm）,

圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3cm,高為6cm的圓柱體毛坯切

削得到,則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為（）

答案C該零件是兩個圓柱體構成的組合體,其體積為“X22χ4+"X32χ2=34Bcm',

圓柱體毛坯的體積為“×32×6=54πcm3,

所以切削掉部分的體積為54π-34π=20πcm3,

所以切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為需專,故選C.

21.（2014課標II文,7,5分,0.495）正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2,側棱長為窩,D為BC

中點,則三棱錐A-BJ）C的體積為（）

Λ.3B=C.1D.^

22

答案C在正三棱柱ABC-ABQ中，???AD_LBC,AD_LBB|,BBmBC=B,???AD_L平面BMc“

??口小瓦DG=^S△瓦DG*AD=∣×∣×2×V3×V3=l,故選C.

22.（2013課標I,理8,文11,5分,0.718）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

（）

13

?.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π

答案A由三視圖可知該幾何體由長方體和圓柱的一半組成,其中長方體的長、寬、高分別

為4、2、2,圓柱的底面半徑為2,高為4.所以該幾何體的體積V=4×2×2+∣π×22×4=16+8π.

故選A.

思路分析由三視圖分析該幾何體的構成,從而利用三視圖中的數(shù)據(jù)計算幾何體的體積.

23.（2013浙江文,5,5分）已知某幾何體的三視圖（單位:cm）如圖所示,則該幾何體的體積是

?.108cm3B.100cm,C.92cm,D.84cmi

答案B由三視圖可知,該幾何體是一個長方體截去了一個三棱錐,結合所給數(shù)據(jù),可得其

體積為6X6X3qxgx4X4X3=100（cm3）,故選B.

24.（2012大綱全國，理7,文7,5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾

何體的三視圖，則此幾何體的體積為（）

A.6B.9C.12D.18

14

答案B由三視圖可得,該幾何體為如圖所示的三棱錐S-ABC,其中底面AABC為等腰三角

形,底邊AC=6,AC邊上的高為3,SBL底面ABC,且SB=3,所以該幾何體的體積

V=i×i×6×3X3=9.故選B.

評析本題考查了三視圖和三棱錐的體積,考查了空間想象能力.由三視圖正確得到該幾何

體的直觀圖是求解的關鍵.

25.（2011陜西文,5,5分）某幾何體的三視圖如圖所示,則它的體積為（）

A.8-—B.8」C.8-2πD.?

333

答案A由給出的三視圖可得原幾何體為正方體中挖去一圓錐,且此圓錐以正方體的上底

面內切圓為底，以正方體的棱長為高.

故所求幾何體的體積為8—XπXI2X2=8-^.

評析三視圖是考查空間想象能力很好的一個題材,正確解答此類題目的關鍵是平時空間想

象能力的培養(yǎng),對文科學生來說,本題屬中等難度題.

26.（2016課標I,6,5分）如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相

垂直的半徑.若該幾何體的體積是空,則它的表面積是（）

A.17πB.18π

15

C.20πD.28π

答案A由三視圖知該幾何體為球去掉了?所剩的幾何體（如圖），設球的半徑為R,則

O

gx]R'彗,故R=2,從而它的表面積s=^×4πR2+∣XπR2=17π.故選Λ.

27.（2016課標II,6,5分）下圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表

面積為（）

A.20πB.24π

C.28πD.32π

答案C由三視圖可得圓錐的母線長為√22+（2√5）2=4,.?.Smw=πX2X4=8n?又SBIma

=2nX2X4=16π,S皿=4JI,Λ該幾何體的表面積為8π+16π+4π=28τ.故選C.

思路分析先求圓錐的母線長,從而可求得圓錐的側面積,再求圓柱的側面積與底面積,最后

求該幾何體的表面積.

28.（2017課標II文,15,5分）長方體的長,寬,高分別為3,2,1,其頂點都在球O的球面上,則

球O的表面積為.

答案14π

解析本題考查長方體和球的性質，考查了球的表面積公式.

由題意知長方體的體對角線為球0的直徑,設球0的半徑為R,則（ZR）FS+/=",得R2=∣,

所以球O的表面積為4πR2=14π.

疑難突破明確長方體的體對角線為球0的直徑是求解的關鍵.

易錯警示易因用錯球的表面積公式而致錯.

16

29.（2013課標∏,15,5分,0.158）己知正四棱錐O-ABCD的體積為苧,底面邊長為心,則以0

為球心,OA為半徑的球的表面積為.

答案24π

解析設底面中心為E,連接0E,AE,

則IAEl用ACl《

：體積VWXlABl2χ∣0EI=IOE吟

：.|0A|2=|AEr+：0E|2=6.

從而以OA為半徑的球的表面積S=4"?'0Λ∣2=24π.

思路分析先根據(jù)已知條件直接利用錐體的體積公式求得正四棱錐O-ABCD的高,再利用勾

股定理求出OA最后根據(jù)球的表面積公式計算即可.

30.（2013課標I,15,5分,0.123）已知H是球0的直徑AB上一點,AH：HB=I：2,ABJ_平面α,H

為垂足，ɑ截球0所得截面的面積為∏,則球0的表面積為.

答案?

解析平面a截球0所得截面為圓面,圓心為H,設球0的半徑為R,則由AH：HB=I:2得

OHwR,

由圓H的面積為π,得圓H的半徑為1,

2

所以（9+I2=R2,得出R2=∣.所以球0的表面積S=4πR2=4π?∣=∣π?

31.（2013福建理，12,4分）已知某一多面體內接于球構成一個簡單組合體,如果該組合體的

正視圖、側視圖、俯視圖均如圖所示,且圖中的四邊形是邊長為2的正方形,則該球的表面積

是.

17

答案12π

解析由三視圖知:棱長為2的正方體內接于球,故正方體的體對角線長為2g,即為球的直

徑.所以球的表面積為S=4π?（竽）=12π.

32.（2017江蘇,6,5分）如圖,在圓柱Oa內有一個球0,該球與圓柱的上、下底面及母線均相

切.記圓柱Oa的體積為％,球0的體積為V2,則￡的值是.

答案I

解析本題考查空間幾何體的體積.

設圓柱內切球的半徑為R,

則由題設可得圓柱Oa的底面圓的半徑為R,高為2R,

.匕_n層.2R_3

v

2，廬2,

33.（2018天津理,11,5分）已知正方體ABCD-ABeD的棱長為1,除面ABCD外,該正方體其余

各面的中心分別為點E,F,G,H,M（如圖）,則四棱錐M-EFGH的體積為.

答案?

解析本題主要考查正方體的性質和正四棱錐的體積.

由題意知四棱錐的底面EFGH為正方形,其邊長為當即底面面積為右由正方體的性質知，四棱

錐的高為;.故四棱錐M-EFGH的體積V4×∣×?

34.（2016天津理，∏,5分）已知一個四棱錐的底面是平行四邊形,該四棱錐的三視圖如圖所

示（單位：m）,則該四棱錐的體積為一￡

18

俯視圖

答案2

解析四棱錐的底面是平行四邊形，由三視圖可知其面積為2X1=2∏Λ四棱錐的高為3m,所以

四棱錐的體積V=∣X2X3=2∏Λ

易錯警示該題有兩點容易出錯:一是錐體的體積公式中的系數(shù)g易漏寫;二是底面平行四邊

形的面積易錯誤地寫成3X1=3∏Λ

評析本題考查了三視圖和直觀圖,考查了錐體的體積.

35.（2016四川，13,5分）已知三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖

如圖所示,則該三棱錐的體積是.

h—√3""*∣*?"T

正視圖

答案?

解析由題意及正視圖可知三棱錐的底面等腰三角形的底長為2√3,三棱錐的高為1,則三棱

錐的底面積為（X√22-（百）2X2尋聰,

，該三棱錐的體積為gx√5xl=y.

評析正確理解正視圖中的數(shù)據(jù)在直觀圖中表示的含義很關鍵.

36.（2014山東理，13,5分）三棱錐P-ABC中,D,E分別為PB,PC的中點,記三棱錐D-ABE的體

積為V?P-ABC的體積為V2,則少________.

v2

答案?

4

解析如圖，設SΔΛBD=S,,SAPAB=S2,E到平面ABD的距離為h1,C到平面PAB的距離為h2,則

S2=2SI,hz=2h”vl?lh,,v2?h2,.,--JHTS-

33為S2∏24